巧用力的三角形分析力的动态平衡

巧用力的三角形分析力的动态平衡
江苏省新沂市第三中学 唐宝扩
解决力的动态平衡问题通常有两个方法：解析法和图解法。

图解法直观、简便，能快捷判断各力的大小、方向变化情况。

图解法一般适用于物体受到三个共点力的情况。

根据平衡条件，三力首尾相连构成一封闭三角形，再由动态力的三角形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。

这里举两例说明力的矢量三角形的简单巧用。

一、在结构三角形上画力的矢量三角形
【例1】半径为R 的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1所示。

现缓慢地拉绳，在使小球由A 沿球面运动到B 的过程中，半球对小球的支持力F N 和绳对小球的拉力F T 的大小变化的情况是
A 、F N 变大，F T 变小
B 、F N 变小，F T 变大
C 、F N 变小，F T 先变小后变大
D 、F N 不变，F T 变小
【一般解法】对小球进行受力分析，画出受力示意图，如图2所示。

由平衡条件可知，将三个力首尾相连，可形成如图3所示的封闭三角形。

这三个力与ΔAOO ′的三个边始终平行，即力的三角形与结构ΔAOO ′相似，故有
L
F R F h R mg T N ==+ 其中，mg 、R 、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知，F N 不变，F T 变小。

故D 正确。

【巧妙解法】如图2所示，因为重力方向竖直向下，把表示重力的线段移到OO′位置，画跟OO′一样长。

同理，把F N 移到半径A O′位置，画跟A O′一样长；把F T 直接延长跟AO 一样长，如图4所示。

这样就画出了小球初始的受力矢量三角形，这个三角形与结构ΔO O′A 重合。

OO′表示重力，A O′表示F N ，AO 表示F T 。

在小球由A 运动到B 的过程中，这个结构三角形变扁，半径不变，AO 变短，
F N
G
F T
O
图
2 O′ F T
G
F N
图3
图1
O′ O
图4 O′ G F N
F T
O
所以F N 不变，F T 变小。

故D 正确。

上述分析，也不要根据力的三角形跟结构三角形相似列相似比方程。

要列的话，对应的边一目了然。

熟练情况下，不画图2的受力图，直接画图4的力三角形，快捷方便。

在结构三角形上画力的矢量三角形，多数情况都适用。

有时结构三角形不明显，可以通过延长线段或作辅助线构建出结构三角形。

要先明确什么是不变的，再分析变化的。

比如，重力大小和方向不变，就要让表示重力的边不变。

又如，若斜面的支持力方向不变，则要保证表示支持力的边方向不变。

二、四力平衡的力三角形
【例2】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。

现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。

设F 的方向与水平地面的夹角为θ，如图5所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则
A 、F 先减小后增大
B 、F 一直增大
C 、F 一直减小
D 、F 先增大后减小
【一般解法】木箱受力如图6所示，正交分解力F ，由平衡条件，有
0sin N =-+mg F F θ，0cos f =-F F θ
其中
N f F F μ=
联立，解得：θ
μθμsin cos +=
mg
F
由数学知识可知)cos(12
αθμμ-+=mg
F ，其中μα=tan
当μαθarctan ==时，F 最小，则θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

故选A 。

【巧妙解法】因为F f =μF N ，所以F f 与F N 成正比，F f 和F N 的合力方向不变，
设F f 和F N 的合力为F 合，F 合与竖直方向夹角为β，如图7所示。

由F f =μF N 可知，tan β=μ。

图5
F N
F
G F f
F 合 θ
β
图7
F N
F
G F f θ
图6
F F 合
G β
图8。