平面几何定理公理总结
初中几何证明的所有公理和定理
初中几何证明的所有公理和定理几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。
在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。
以下是初中几何中常用的公理和定理。
一、公理1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。
2.同位角公理：同位角互等。
3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。
4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。
二、定理1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。
2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。
3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。
4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。
5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。
6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。
7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。
8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。
10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。
11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。
12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。
13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。
14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。
15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。
16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。
17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。
18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。
19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。
20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。
平面几何的基本概念和定理
平面几何的基本概念和定理1. 基本概念1.1 点平面几何的研究对象是由点、线、面组成的。
点是几何图形的基本元素，用来表示位置。
在平面几何中，点没有大小和形状，只有位置。
我们通常用大写字母来表示点，如A、B、C等。
1.2 直线直线是由无数个点连成的，它在平面内延伸无穷远。
我们通常用一个小写字母加上箭头表示直线，如直线AB、CD等。
直线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。
1.3 射线射线是由一个起点开始，延伸到一个方向上的直线。
我们通常用一个小写字母加上箭头表示射线，如射线AB、CD等。
射线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。
1.4 线段线段是由两个端点确定的直线部分，具有有限的长度。
我们通常用两个端点的大写字母表示线段，如线段AB、CD等。
1.5 平面平面是由无数个点组成的二维空间。
在平面几何中，我们通常用大写字母I表示平面，如平面ABCD等。
1.6 角角是由两条射线的公共端点和这两条射线的延伸部分组成的图形。
我们通常用一个小写字母表示角的顶点，如角A、B、C等。
角的度量单位是度（°），用符号°表示。
1.7 三角形三角形是由三条线段组成的平面图形，具有三个顶点和三个内角。
我们通常用三个顶点的大写字母表示三角形，如三角形ABC等。
1.8 四边形四边形是由四条线段组成的平面图形，具有四个顶点和四个内角。
我们通常用四个顶点的大写字母表示四边形，如四边形ABCD等。
1.9 圆圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的图形。
我们通常用圆心和半径的大写字母表示圆，如圆O（半径为r）。
2. 基本定理2.1 欧几里得几何公理欧几里得几何公理是平面几何的基础，包括以下五个公理：1.任意两点之间存在唯一的直线。
2.直线上的点可以按任意顺序排列。
3.任意两点确定一条直线。
4.直线上的点与直线外的点确定一条直线。
5.平面上任意一点到平面上任意一点的直线是唯一的。
2.2 平行线公理平行线公理是指：如果两条直线在平面内不相交，那么这两条直线是平行的。
平面几何十三大公理
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1、线段公理：两点之间，线段最短。
思考：为什么三角形两边之和大于第三边？
2、直线公理：过两点有且只有一条直线。
3、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
4、平行线判定公理：同位角相等,两直线平行。
如图：若∠1＝∠2，则直线AB ∥CD 。
5、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。
如图：若直线AB ∥CD ，则∠1＝∠2。
6、全等的判定公理一：三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS )
7、全等的判定公理二：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS )
8、全等的判定公理三：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA )
9、全等的判定公理四：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL )
10、全等三角形性质公理：全等图形的面积相等。
11、矩形的面积＝长×宽
思考：长方形的面积公式是什么？为什么？
三角形的面积公式是什么？为什么？
12、圆的面积公式：2S r π=
思考：扇形的面积公式是什么？为什么？
13、圆的周长公式：2C r π=
思考：弧长公式是什么？为什么？。
高中易忘常用平面几何定理及公式
14.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 15.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 16.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 17.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 18.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
的余弦值等于它的余角的正弦值
全等三角形 1.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 2.角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 3.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 4.边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 5.斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个
等腰三角形 1.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 2.等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
4. 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 1.直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对
的直角边等于斜边的一半 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
正方形
1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角
梯形 1.等腰梯形的两条对角线相等 2.对角线相等的梯形是等腰梯形 3.三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，
并且等于它的一半 4.梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且
直角三角形全等
相似三角形 1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似 2.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都
欧几里得平面几何公理
欧几里得平面几何公理欧式几何原理是指欧几里得几何的基本原理和公理。
欧几里得几何是一种传统的几何学，它基于欧几里得的《几何原本》构建。
欧几里得几何主要研究二维平面和三维空间中的几何性质，其中包括点、线、面、角、圆等基本概念，并通过一系列公理来描述它们之间的关系。
以下是欧几里得几何的五条公理（公设）：1.从一点向另一点可以引一条直线。
2.任意线段可以无限延伸成一条直线。
3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4.所有直角都相等。
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
这些公理构成了欧几里得几何的基础，通过它们可以推导出许多几何定理和性质。
其中第五条公理被称为平行公理，它描述了平行线的性质。
然而，平行公理并不像其他公理那么显然，它在过去曾经受到质疑。
在19世纪，通过构造非欧几里得几何，人们发现平行公理是不能被证明的。
因此，平行公理可以看作是欧几里得几何的一个假设，而非必然的几何真理。
现代方法中，欧几里得几何的构造通常使用解析几何的方法。
通过解析几何，可以用数学语言和符号来描述几何对象和它们之间的关系。
例如，可以用坐标系来表示点，并使用距离公式来计算点之间的距离。
通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何中的公理和定理。
尽管这种方法没有公理化方法那么漂亮，但它更加简洁直观。
总结起来，欧式几何原理包括以下内容：1.欧几里得几何的五条公理，包括从一点向另一点引一条直线、任意线段可以无限延伸成一条直线、给定线段可以作一个圆、所有直角相等以及平行公理。
2.平行公理是欧几里得几何中的一个假设，无法从其他公理中推导出来。
3.现代方法中，欧几里得几何通常使用解析几何的方法进行构造和证明。
平面几何的公理系统构建几何学的基本原理
平面几何的公理系统构建几何学的基本原理在数学领域中，几何学是研究空间形状、大小、相对位置和性质的学科。
几何学的基本原理是建立在一套公理系统之上的，这些公理为几何学提供了逻辑基础和严密性。
在平面几何中，公理系统的构建是构建几何学基本原理的关键。
一、点、线、平行公理平面几何的公理系统首先包括点、线和平行公理。
点是几何学的基本单位，没有具体大小和形状。
线是由无数个点组成的，具有长度但没有宽度。
平行公理是指，通过一个点外的一条直线，可以画出一条且只能一条与这条直线平行的直线。
二、点的无限性公理点的无限性公理是平面几何公理系统的重要部分，它表明在平面上任意两个点之间，可以无限延伸地找到更多的点。
这个公理保证了几何学的连续性，使得我们可以研究和分析任意两点之间的关系。
三、圆的构建公理圆的构建公理是指通过平面上的一个点和一个确定边长的线段，可以唯一确定一个圆。
圆在几何学中有重要的作用，它是无数个点等距离于一个中心点的集合。
通过这个公理，我们可以研究圆的性质和圆与其他几何形状之间的关系。
四、角的构建公理角的构建公理是平面几何中的基本公理之一。
通过两条线段共享一个端点，我们可以唯一确定一个角。
角是由两条线段确定的，分为内角和外角。
通过角的构建公理，我们可以研究角的大小、关系，以及角与其他几何形状之间的相互作用。
五、相似性公理相似性公理是平面几何中的重要概念。
它描述了在平面几何中相似图形的性质。
相似性公理表明，在两个图形中，如果对应的角度相等，并且对应的边长成比例，那么这两个图形是相似的。
这个公理为我们研究和解决许多几何问题提供了便利。
六、距离公理距离公理是平面几何的另一个重要公理。
它描述了平面上任意两点之间的距离关系。
根据距离公理，我们可以计算出任意两点之间的距离，并研究距离在几何形状上的应用，比如计算周长、面积等。
通过以上的公理系统，我们可以构建出平面几何学的基本原理。
这些公理为我们提供了在平面上研究和解决各种几何问题的工具和方法。
欧几里得几何学：平面上的点、线和角
欧几里得几何学，又称平面几何，是一门古老而重要的数学学科，由古希腊数学家欧几里得创立。
它研究平面上的点、线和角之间的关系，通过推理和证明，发展出了一套严密的数学体系，并对后世的数学、科学和哲学产生了深远的影响。
欧几里得几何学的基本要素是点、线和角。
点是几何学最基本的概念，它没有长度、宽度和深度，只有位置。
线是由无数个点组成的，由于它没有宽度，所以可以看作是无限细小的。
角是由两条线段所夹的部分，它的大小用度数来表示。
欧几里得几何学的第一原理是平行公理，即通过一个点外一直线上存在一条与给定直线无交点的直线。
根据这一原理，欧几里得几何学发展出了许多重要定理。
例如，直线的垂直平分线将一条直线分成两个相等的部分；等边三角形的三个内角是相等的；两个平行直线被一条横截线所切割，其内角和等于两个直线夹角的和。
欧几里得几何学的核心方法是证明。
通过逻辑推理，欧几里得建立了一套完善的证明体系。
这套体系由公理、定义、命题和定理组成，其中公理是不需要证明的基本原理，定理则是通过推理和证明得出的结论。
欧几里得的《几何原本》是这套体系的最早和最完整的表述，对后世的数学研究产生了巨大的影响。
欧几里得几何学的应用广泛而深远。
它不仅在数学领域内发挥着重要的作用，也在物理学、工程学和计算机科学等领域内得到了广泛的应用。
例如，它在测量、建筑和导航等方面被广泛使用，实际上，我们身边的世界无不与几何学有着密切的关系。
然而，虽然欧几里得几何学在很长一段时间内是数学的基础，但在19世纪末，它开始受到挑战。
非欧几里得几何学的发展推翻了欧几里得的平行公理，提出了与欧几里得几何学不同的几何体系。
这一新的几何学体系证明了同一个公理集合下可以存在多个不同的真命题系统，揭示了欧几里得几何学的局限性和相对性。
综上所述，欧几里得几何学作为一门古老而重要的数学学科，研究平面上的点、线和角之间的关系。
它通过逻辑推理和严密证明，发展出了一套完善的数学体系，并对后世的数学、科学和哲学产生了深远的影响。
几何原本5大公理
几何原本5大公理
几何学是一门关于空间和形状的数学学科。
在几何学中，五大公理是非常重要的概念。
它们被用来推导所有几何学的理论。
以下是几何原本五大公理的简短介绍以及它们的重要性。
一、东西两点之间只有一条直线
这个公理是几何学的基础。
它表明在一个平面上，任意两个不同的点之间有且仅有一条直线通过。
如果这个公理不成立，整个几何学的理论都将失效。
二、有限直线可以无限延伸
这个公理表明一条直线可以从两个点开始无限延伸下去。
这个公理非常重要，因为它使得我们能够定义直线的长度和角度等概念。
三、任意角都能够被分成两个角
这个公理表明，对于任意一个角，我们都可以找到一条直线把它分成两个角相等的部分。
这个公理是几何学中构造图形的基础。
四、所有直角都相等
这个公理表明任何一个直角都等于另一个直角。
这个公理是建立几何
学中三角形和多边形的基础。
五、平行的直线永远不会相交
这个公理表明，如果有两条直线在一个平面内，且它们的一端点不重合，那么这两条直线要么在这个点的一侧相交，要么在这个点的另一
侧永不相交。
这个公理是几何学中研究平行线和角度等概念的重要基础。
总的来说，几何原本五大公理为几何学的发展提供了非常重要的基础。
这些公理被用来推导几何学的许多理论和定理。
同时，这些公理也为
几何学提供了一些重要的概念和定义。
对于几何学的研究来说，这些
公理是至关重要的。
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平面几何定理公理总结一、线与角1.两点之间，线段最短。
线段的长叫两点间的距离。
2.直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。
3.一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。
4.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
5.不在同一直线上的三点确定一个角。
6.两直线相交，对顶角相等。
7.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
8.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
9.经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
10.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
11.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
12.平行线(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(2)平行线的判定方法：(3)①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
(4)②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(5)③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(6)④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
(7)平行线的性质：(8)①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
(9)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
(10)③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(11)④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。
(12)⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。
(13)⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。
13.平行线等分线段定理：(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
(2)推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。
(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。
14.平行线分线段成比例定理：(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。
15.线段的垂直平分线：(1)性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
(2)判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
16.角平分线：(1)性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)判定：在角的内部，且到此角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
二、三角形及多边形1.三角形的任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。
2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
3.四边形内角和定理：四边形内角和等于360°。
4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。
5.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6.三角形外角性质：(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
7.三角形中位线定理：三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
8.等腰三角形的相关公理、定理：(1)等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）。
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边”）。
(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（“三线合一”）。
9.等边三角形的公理、定理：(1)三个边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。
(2)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；有两个角为60°的三角形是等边三角形(3)等边三角形的三边相等；等边三角形的三角相等，且都等于60°。
(4)等边三角形三条角平分线、三条中线、三条高均交于同一点，该点是等边三角形的中心。
10.直角三角形的公理、定理：(1)直角三角形的两锐角互余。
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（斜边是其外接圆直径，斜边上的中点是其外接圆圆心）。
(3)若三角形一边的中线等于这边的一半，那此三角形为直角三角形。
(4)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(5)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那它所对的角等于30°。
(6)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(7)勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
11.三角形全等：(1)性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2)判定：(3)①有三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；(4)②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；(5)③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；(6)④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；(7)⑤直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。
12.相似三角形的判定：(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比例叫做相似比（或相似系数）。
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形于原三角形相似。
(3)判定：(4)①两角对应相等，两三角形相似。
(5)②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
(6)③三边对应成比例，两三角形相似。
(7)引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
(8)直角三角形相似的判定：(9)①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，两三角形相似。
(10)②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么两三角形相似。
(11)③如果两个直角三角形的斜边和一条直角边于另一个三角形的斜边和一条直角边成比例，那么两三角形相似。
13.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
(2)相似三角形周长的比等于相似比。
(3)相似三角形面积比等于相似比的平方。
(4)相似三角形的外接圆、内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆、内切圆的面积比等于相似比的平方。
14.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它在斜边上的射影于斜边的比例中项。
15.也可表述为：直角三角形的直角顶点，到斜边端点和斜边上高的垂足三点中其中一点的距离（线段），是该点到其它两点的距离（线段）的比例中项。
16.三角形垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这点到三个顶点距离相等，这点为三角形外接圆的圆心（简称“外心”）。
17.三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线相交于一点，且这点到三边距离相等，这点为三角形内切圆的圆心（简称“内心”）。
18.三角形中线的性质：三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
19.三角形高的性质：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。
三、多边形20.四边形内角和定理：四边形内角和等于360°。
21.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。
22.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
23.如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分。
四、特殊四边形1.平行四边形的性质：(1)平行四边形的对角相等。
(2)平行四边形的对边相等。
(3)平行四边形的对角线互相平分。
2.平行四边形的判定：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(5)两组邻角分别互补的四边形是平行四边形。
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3.矩形的性质：(1)矩形的四个角都是直角。
(2)矩形的对角线相等。
4.矩形的判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形。
(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
(3)有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(4)对角线相等的平行四边形是矩形。
5.菱形的性质：(1)菱形的四条边相等。
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角。
6.菱形的判定：(1)四边都相等的四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(3)邻边相等的平行四边形是菱形。
(4)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(5)两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形。
(6)有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
7.正方形的性质：(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等(2)邻边相等且垂直的是正方形；对角线垂直且相等的平(3)正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
8.正方形的判定：(1)邻边相等的矩形是正方形。
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。
(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)对角线相等的菱形是正方形。
(5)邻边相等且垂直的是平行四边形正方形。
(6)对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
(7)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
9.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形在同一底上的两个角相等；(2)等腰梯形的两对角线相等；10.等腰梯形的判定：(1)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(2)对角线相等的梯形是等腰梯形。
11.梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半。
五、圆1.在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹（集合），是以定点为圆心，定长为半径的圆。
2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
3.有关圆周角、圆心角的定理和性质：(1)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
(3)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
(4)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
(5)统一推论：在同圆或等圆中，两个圆心角（圆周角）、两条弧、两条弦、两个弦的弦心距，只要有一组量相等，那么其余对应的各组量均相等。
(6)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。
4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
(1)推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。