2020-2021深圳市高二数学上期中试卷带答案
2020-2021深圳市高二数学上期中试卷带答案一、选择题1．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1936B ．1136C ．712D ．122．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e3．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?4．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．145．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（）A．2 3B．13C．12D．5126．统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m=；②800n=；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④7．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．158．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A．192181020C CCB．1921810202C CCC．1921910202C CCD．192191020C CC9．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683 231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A．14B．25C．710D．1510．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a=+$$$，其中ˆ 2.4b=，$a y bx=-$，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）广告费用x（万元）23456A ．17B ．18C ．19D ．2011．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为312．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________．15．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．16．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．17．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为:不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________． 18．以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.19．执行如图所示的流程图，则输出的x 值为______．20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果： 转速x （转/秒） 16 14 12 8 每小时生产有缺陷的零件数y （件）11985（1）画出散点图；（2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？22．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.23．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题： （1）79.589.5:这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均数?24．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 90 20 110 有私家车 70 40 110 合计16060220（1）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关； （2）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K 2＝()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -++++P （K 2≥k ） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k2.7063..8416.6357.87910.82825．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.共生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i i x y i =L ，如表所示： 试销单价x （元） 456789产品销量y （件）90 84 83 80 75 68已知611806i i y y ===∑，613050i i i x y ==∑.（1）已知变量,x y ，只有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回方程y bx a =+$$$；（2）用µi y 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 对应的差的绝对值µ||1i i y y -≤时，则将售数数(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6小销售数据中任取2个；求“好数据”至少有一个的概率.（参考公式：线性回归方程中,b a 的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$）26．高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果， 方程x 2+mx +n =0有实根要满足m 2−4n ⩾0， 当m =2，n =1 m =3，n =1，2 m =4，n =1，2，3，4 m =5，n =1，2，3，4，5，6， m =6，n =1，2，3，4，5，6 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ∴方程x 2+mx +n =0有实根的概率是1936； 本题选择A 选项.2．C解析：C 【解析】 【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==，利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.3．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.5．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->，以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.8．A解析：A 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C 种结果， 而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果，根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A. 【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数， 所求概率为41205=， 故选D ． 【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．10．C解析：C 【解析】 由题意4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y ba y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C.11．D解析：D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差12．C解析：C【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．【解析】【分析】设事件A表示第一张抽到奇数事件B表示第二张抽取偶数则P（A）P（AB）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依解析：1 2【解析】【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）35 ，P（AB）3235410=⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）35=，P（AB）3235410=⨯=，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）()()3P AB1103P A25===．【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答解析：1 4【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解.【详解】由题得总的基本事件个数为66=36⨯，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为33=9⨯，由古典概型的概率公式得91364 P==.故答案为：1 4【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：1 5若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 16．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．17．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．18．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．19．4【解析】循环依次为循环结束输出解析：4 【解析】循环依次为0120,21,1;1,22,2;2,24,3;x x k x x k x x k ============424,216,4;16,log 164,55;x x k x x k ========≥循环结束,输出4x =20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)三、解答题21．（1）见解析；（2）ˆ0.72860.8575yx =-；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下 【解析】 【分析】（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求ˆ,ba 即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：（2）4421112.5,8.25,438,660,i ii i i x y x yx ======∑∑41422214438412.58.250.7286660412.ˆ54i i i i i x y xy bx x ==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑，8.250.728612.50.857ˆˆ5ay bx =-≈-⨯=-. 故回归直线方程为0.72860.8575ˆyx =-. （3）要使100.72860.857510y x ≤-≤，则，14.9019x ≤.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题. 22．（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67． 【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X =k ）=34337C C C k k -⋅（k =0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127E X =． （ii ）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A 发生的概率为67． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C CC k k-⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)nN=样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．23．(1)见解析;(2)0.75;70.5.【解析】【分析】【详解】（1）利用频率分布直方图中，纵坐标与组距的乘积是相应的频率，而频数=频率⨯组距，可得结论，频率为：0.025⨯10=0.25，频数为：0.25⨯60=15.(2)纵坐标与组距的乘积是相应的频率，再求和，即可得到结论，（1）及格率为：0.015⨯10+0.03⨯10+0.025⨯10+0.005⨯10=0.15+0.3+0.25+0.05=0.75(2)平均数为：44.5⨯0.01⨯10+54.5⨯0.015⨯10+64.5⨯0.015⨯10+74.5⨯0.03⨯10+84.5⨯0.025⨯10+94.5⨯0.0 05⨯10=4.45+8.175+9.675+22.35+21.125+4.75=70.524．（1）有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；（2）3 5【解析】【分析】（1）根据列联表里的数据，计算出2K的值，然后进行判断；（2）根据分层抽样的要求得到没有私家车的应抽取2人有私家车的4人，再求出总的情况数和符合要求的情况数，由古典概型公式，得到答案.【详解】解：（1）根据列联表,计算()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2220(90402070)11011016060⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 559.167 6.6356=≈> 所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”； （2）从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人， 没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人. 随机抽出2人，总的情况数为26C ，至少有1名“没有私家车”人员的情况数为2264C C -， 所以根据古典概型的公式得：22642693155C C P C -===． 【点睛】本题考查列联表分析，分层抽样，古典概型，属于中档题. 25．（1）$4106y x =-+；（2）45． 【解析】 【分析】（1）根据所给数据计算回归方程中的系数，得回归方程；（2）由回归方程计算每个销量的估计值，确定“好数据”的个数，然后确定基本事件的个数后可求得概率． 【详解】 （1）由已知4567896.56x +++++==，1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$222222230506 6.5804(456789)6 6.5-⨯⨯==-+++++-⨯， $80(4) 6.5106a=--⨯=， ∴所求回归直线方程为$4106y x =-+．（2）由（1）4x =时，µ190y =，25x =时，µ286y =，36x =时，µ382y =，47x =时，µ478y =，58x =时，µ574y =，69x =时，µ670y =， 与销售数据比较，“好数据”有3个,(4,90),(6,82),(8,74),从6个数据中任取2个的所有可能结果共有652⨯=15种，其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有33312⨯+=种，所求概率为124155P==．【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查古典概型．解题时根据所给数据计算回归方程的系数，考查了学生的运算求解能力与数据处理能力．26．（1）0. 016；（2）3 ()5 P A=【解析】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，可得到参加校生物竞赛的人数，再根据分数在[80,90)之间的频率求频数，根据矩形高等于对应频率除以组距得高（2）先根据枚举法列出所有基本事件，再计数至少有1人分数在[90,100]之间基本试卷数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：(1)因为分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0. 008×10＝0. 08，所以高一(1)班参加校生物竞赛的人数为＝25．分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率为＝0. 16，所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为＝0. 016．(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A，将[80,90)之间的4人编号为1、2、3、4，[90,100]之间的2人编号为5、6．在[80,100]之间任取2人的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．其中，至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个，根据古典概型概率的计算公式，得P(A)＝＝．。
2020-2021学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．38．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若（a﹣b）a2＜0，则a≠0，∴a﹣b＜0，即a＜b成立，若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，即“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y＝4x2，则其标准方程为x2＝y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝，则其焦点坐标为（0，）；故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线的方程变形为标准方程．3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．【分析】可先求出，，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出μ．【解答】解：，；∵+与垂直；∴；解得．故选：C．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，利用cos＝，即可得出．【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨OA＝1，则A（1，0，0），S（0，0，1），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），E．＝（﹣1，0，1），＝．∴cos＝＝＝．∴BE与SA所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）【分析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，从而△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B ﹣x A）+2＝3+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，∴△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B﹣x A）+2＝3+x B，由抛物线y2＝4x及圆（x﹣1）2+y2＝16可得交点的横坐标为3，∴x B∈（5，7），∴3+x B∈（8，10），故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ【分析】A中，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；B中，根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法，能判断α∥β；C中，举例说明α∥β不一定成立；D中，α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能平行或相交．【解答】解：对于A，m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；对于B，m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，能判断α∥β；因为m∥β，所以在β内存在直线m1∥m，又m⊂α，所以m1∥α；又m，n是两条异面直线，所以直线m1与n是两条相交直线；又n∥α，所以α∥β；对于C，因为α内不共线的三点到β的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出，所以不能判断α∥β；对于D，因为α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能是平行或相交，所以不能判断α∥β．故选：B．【点评】本题考查了判断面面平行的应用问题，也考查了推理论证能力与空间想象能力，是基础题．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】利用正弦定理求出2A＝B，再对结论进行化简，利用基本不等式求出即可．【解答】解：c﹣a＝2a cos B，sin C﹣sin A＝2sin A cos B，化简sin A cos B+cos A sin B﹣sin A＝2sin A cos B，得sin（B﹣A）＝sin（A），得2A＝B，或者B＝180°（舍弃），由＝＝＝＝＝，①由A+B+C＝3A+C＝π，A∈（0，），所以①≥2＝2，当且仅当A＝，取等号，故选：C．【点评】题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．8．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y＝﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c＝2a．∴故选：B．【点评】本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为【分析】利用双曲线方程求出渐近线方程，离心率，焦点坐标，结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线的方程为：，可知a＝3，b＝，c＝4，所以双曲线的焦点坐标（±4，0），所以A不正确；渐近线方程：，所以B正确；离心率为：e＝，所以C正确；焦点到渐近线的距离为：＝，所以D不正确；故选：BC．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【分析】根据图象可知，求出周期，进而得到ω的值，然后利用最高点求出φ的值，然后根据解析式确定选项．【解答】解：由题意得，所以T＝π，故ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），将代入得，所以，结合，可知k＝0时，为所求，故f（x）＝＝．又因为f（）＝sinπ＝0，故（）是f（x）的对称中心．故选：AD．【点评】本题考查三角函数的据图求式问题，以及正余弦型三角函数图象与性质，属于中档题．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【分析】由平面QEF也就是平面A1B1CD，可判断A；由线面角的定义可判断B；由棱锥的体积公式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．【解答】解：对于A，∵平面QEF也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面A1B1CD的距离是定值，∴点P到平面QEF的距离为定值，故A正确；对于B，∵Q是动点，E，F也是动点，推不出定值的结论，∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值，故B错误；对于C，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵点P到平面QEF的距离，∴P到平面QEF的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值，故C正确；对于D，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP【分析】设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x，通过韦达定理，判断A；求出直线AC的方程，直线BD的方程，推出Q满足的方程，判断B；求出|PC|判断C；通过P A＝PB，但QA≠QB，判断D．【解答】解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x得：y2﹣2my﹣4＝0．则y1y2＝﹣4．故A正确；由题得A（2，2），B（2，﹣2），直线AC的方程为，直线BD的方程为，消去y得，将y1y2＝﹣4代入上式得x＝﹣2，故点Q在直线x＝﹣2上，故B正确；计算P A＝2，OP＝2，可知选项C错误；因为P A＝PB，但QA≠QB，所以D错误．故选：AB．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝﹣．【分析】由题意利用诱导公式求得cos（15°﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（30°﹣2α）的值．【解答】解：∵＝cos（15°﹣α），则cos（30°﹣2α）＝2cos2（15°﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝6．【分析】由已知可得数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵a1＝2，a n+1＝2a n，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，＝126，故k＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于基础试题．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为8π．【分析】利用体积公式推出AB•BC＝1，再利用余弦定理求出AC的最小值，再求出外接球半径R的最小值，代入求出即可．【解答】解：由三棱锥P﹣ABC的体积为，且P A＝2，得到V＝P A•BA•BC sin＝，∴AB•BC＝1，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，则由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos ＝AB2+BC2+AB•BC≥3AB•BC＝3，当且仅当AB＝BC＝1成立，故AC的最小值为，所以2r≥＝2，r的最小值为1，球的半径R＝的最小值为R＝＝．则球O的表面积的最小值是4πR2＝8π．故答案为：8π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是2；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为2．【分析】由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由F1Q⊥F2Q可得＝0可得Q 的纵坐标，进而求出△QF1F2的面积．【解答】解：由题意可得c＝2，2a＝2即a＝1，所以双曲线的离心率e＝＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，所以双曲线的方程为：y2﹣＝1，所以渐近线的方程为：y＝，设Q（﹣y，y）为一条渐近线的点，由F1Q⊥F2Q可得＝0，即（﹣y，y﹣2）（﹣y，y+2）＝0，可得3y2+y2﹣4＝0，所以|y|＝1，所以S＝|F1F2|•|y|＝•4•＝2，故答案分别为：2，2．【点评】本题考查双曲线的性质及直线的垂直与数量积的关系，和面积的求法，属于中档题．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．【分析】由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，，可得，可得B＝60°，选择①：利用正弦定理，余弦定理解得c，a的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择②：利用余弦定理可求得ac＝9，结合a+c＝6，可得a，c的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择③：利用余弦定理可求得a+c＝3，结合ac＝15，无解，可得△ABC不存在．【解答】解：由题设及正弦定理得，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝180°，可得，故．因为，故，因此B＝60°，选择①：sin A＝2sin C，即a＝2c，根据余弦定理有，＝，代入b＝3，解得c＝，a＝2，所以面积S＝＝，选择②：＝＝，代入a+c＝6，解得ac＝9，结合a+c＝6，所以a＝c＝3，所以面积S＝，选择③：＝＝，代入ac＝15，解得a+c＝3，结合ac＝15，无解，所以△ABC不存在．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等差数列的定义和（1）的结论，进一步进行证明．【解答】解：（1）当n＝1时，有，整理得：，解得：a1＝2又由，可得，两式相减得，即有a n+1＝2a n．故数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．．（2）由（1）知q≠1，所以．令，为使{b n}为等差数列，则b n是关于n的一次函数，所以λ＝﹣2，此时b n＝﹣2n﹣2，当n＝1时，b1＝﹣2×1﹣2＝﹣4．当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝﹣2n﹣2﹣[﹣2（n﹣1）﹣2]＝﹣2，所以是以﹣4为首项，﹣2为公差的等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【分析】（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D，再证明MD⊥AC即可．（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点，所以先看中点．取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1，⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．【分析】（1）通过离心率以及椭圆经过的点，求出a，b然后求解椭圆方程．（2）设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，利用韦达定理结合△OPQ的面积为，利用基本不等式转化求解最值即可．【解答】解：（1）由得a＝2c，所以b2＝3c2，由点在椭圆上得解得c＝1，，所求椭圆方程为．（2）F（0，1），设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2＝，y1y2＝，△OPQ的面积为，所以求ABC的最大值即求|y2﹣y1|的最大值．（y1﹣y2）2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝，令m2+1＝t≥1，上式可表示成，y＝9t+6+，t≥1时，函数是增函数，所以t＝1时，y取得最小值12，|y2﹣y1|的最大值的最大值为：，△OPQ的面积为＝．S△OPQ＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值【分析】（1）取EC的中点H，连结FH，GH，证明FH∥BC，FH∥平面ABCD，HG∥CD，HG∥平面ABCD，然后证明平面FHG∥平面ABCD，推出FG∥平面ABCD．（2）在△P AD中，求出P A＝2，说明P A⊥AD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCE与平面ADE所成角的余弦值即可．【解答】（1）证明：取EC的中点H，连结FH，GH，∵F为BE中点，∴FH∥BC，∵FH⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴FH∥平面ABCD，∵G为PD中点，EP∥CD，∴HG∥CD，∵HG⊄平面ABCD，∴HG∥平面ABCD，∵FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABCD，∵FG⊂平面FHG∴FG∥平面ABCD．（2）解：在△P AD中，P A2＝PD2+AD2﹣2PD•AD•cos∠PDA＝，∴P A＝2，∴P A2+AD2＝PD2，∴P A⊥AD又∵平面P AD⊥平面ABCD平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴P A⊥平面ABCD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，A为原点建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（0，﹣2，0），C（2，﹣2，0），D（4，0，0），P（0，0，2），设，∴，∴x＝﹣1，y＝﹣1，z＝2，∴点E的坐标为（﹣1，﹣1，2），设平面ADE的一个法向量：＝（（x，y，z）），，∴，∴，设平面BCE的一个法向量，，∴，∴，设平面BCE与平面ADE所成角为θ∴，∴平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【分析】（Ⅰ）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段ON的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2＝2px经过点M（2，2），得22＝4p，故p＝1，c的方程为y2＝2x…（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为y＝，则′＝，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2＝（x﹣2），令y＝0得x＝﹣2，所以点N的坐标为（﹣2，0），故线段ON的长为2 …（5分）（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x＝﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0由l2：x＝my+b，令x＝﹣2，得y＝﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b＝0则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2b…（7分）直线MA的斜率为＝＝，同理直线MB的斜率为，直线ME的斜率为因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以+＝2×＝1+，即＝1+＝1+，…（10分）整理得：，因为l2不经过点N，所以b≠﹣2所以2m﹣b+2＝2m，即b＝2故l2的方程为x＝my+2，即l2恒过定点（2，0）…（12分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键．。
2020-2021学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设a.b∈R.则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.（单选题.5分）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A.（0.1）B.（0.-1））C.（0. 116.0）D.（1163.（单选题.5分）已知向量a⃗ =（2.3）.向量b⃗⃗ =（-1.2）.若μa⃗ + b⃗⃗与a⃗−b⃗⃗垂直.则μ=（）A.-1B.1C. 19D. −124.（单选题.5分）正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长相等.E为SC的中点.则BE与SA所成角的余弦值为（）A. 13B. 12C. √33D. √325.（单选题.5分）如图所示.点F是抛物线y2=4x的焦点.点A.B分别在抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=16的实线部分上运动.且AB总是平行于x轴.则△FAB的周长的取值范围是（）A.（2.6）B.（5.8）C.（8.12）D.（8.10）6.（单选题.5分）已知α.β是两个不重合的平面.在下列条件中.可判断平面α.β平行的是（）A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || βB.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || αC.面α内不共线的三点到β的距离相等D.面α.β都垂直于平面γ7.（单选题.5分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若c-a=2acosB.则3a+cb的最小值为（）A. √2B. √3C. 2√2D.38.（单选题.5分）直线y=- √3x与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)交于A、B两点.以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点.则椭圆C的离心率为（）A. √32B. √3 -1C. √3−12D.4-2 √39.（多选题.5分）已知双曲线的方程为：x29−y27=1 .则下列说法正确的是（）A.焦点为(±√2，0)B.渐近线方程为√7x±3y=0C.离心率e为43D.焦点到渐近线的距离为√14410.（多选题.5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=cos(2x−π6)B. f(x)=sin(2x−π6)C. f(π3+x)=f(π3−x)D. f(π3+x)=−f(π3−x)11.（多选题.5分）如图.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.P为A1D1的中点.Q为A1B1上任意一点.E、F为CD上两点.且EF的长为定值.则下面四个值中是定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥P-QEF的体积D.△QEF的面积12.（多选题.5分）如图.过点P（2.0）作两条直线x=2和l：x=my+2（m＞0）分别交抛物线y2=2x于A.B和C.D（其中A.C位于x轴上方）.直线AC.BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A.C.D两点的纵坐标之积为-4B.点Q在定直线x=-2上C.|PC|最小值是2D.无论CD旋转到什么位置.始终有∠CQP=∠BQP13.（填空题.5分）若sin(75°+α)=√2.则cos（30°-2α）=___ ．314.（填空题.5分）数列{a n}中.a1=2.a n+1=2a n.n∈N*．若其前k项和为126.则k=___ ．15.（填空题.5分）体积为√3的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上.PA⊥平面6.AB=1.则球O的表面积为___ ．ABC.PA=2.∠ABC= 2π316.（填空题.5分）已知双曲线C的焦点为F1（0.2）.F2（0.-2）.实轴长为2.则双曲线C的离心率是___ ；若点Q是双曲线C的渐近线上一点.且F1Q⊥F2Q.则△QF1F2的面积为___ ．17.（问答题.10分）在① sinA=2sinC. ② a+c=6. ③ ac=15.这三个条件中任选一个.补充在下面问题的横线中.若问题中的△ABC存在.求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在.请说明理由．=bsinA .b=3．问题：是否存在△ABC.它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知asin A+C2S n−1=0(n∈N∗)．18.（问答题.12分）设数列{a n}的前项n和为S n.且满足a n−12（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在.求出λ的值；若不存在.请说明理由．19.（问答题.12分）如图所示.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.DB=BC.DB⊥AC.点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1 || 面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置.使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．20.（问答题.12分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 12 .点 (1，32) 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O 是坐标原点.过椭圆的右焦点F 的直线l 1交椭圆于P.Q 两点.求△OPQ 面积的最大值．21.（问答题.12分）在多面体ABCDPE 中.四边形ABCD 是直角梯形.AD || BC.AD⊥AB .平面PAD⊥平面ABCD.PE || CD.AB=BC=2.AD=4. PD =2√5 .∠PDA 的余弦值为 2√55. PE =12CD .F 为BE 中点.G 为PD 中点 （1）求证：FG || 平面ABCD（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值22.（问答题.12分）已知抛物线C：y2=2px经过点M（2.2）.C在点M处的切线交x轴于点N.直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B.交l1于点E.若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列.试问：l2是否过定点？请说明理由．2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设a.b∈R.则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：A【解析】：根据不等式的性质.结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】：解：若（a-b）a2＜0.则a≠0.∴a-b＜0.即a＜b成立.若a=0.b=1.满足a＜b.但（a-b）a2＜0不成立.即“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件.故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据不等式的关系是解决本题的关键．2.（单选题.5分）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A.（0.1）B.（0.-1））C.（0. 116.0）D.（116【正确答案】：C【解析】：根据题意.将抛物线的方程变形为标准方程.分析可得其焦点位置以及p的值.有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．y.【解答】：解：根据题意.抛物线的方程为y=4x2.则其标准方程为x2= 14.其焦点在y轴正半轴上.且p= 18则其焦点坐标为（0. 116 ）； 故选：C ．【点评】：本题考查抛物线的标准方程.注意先将抛物线的方程变形为标准方程．3.（单选题.5分）已知向量 a ⃗ =（2.3）.向量 b ⃗⃗ =（-1.2）.若 μa ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 垂直.则μ=（ ） A.-1 B.1 C. 19 D. −12【正确答案】：C【解析】：可先求出 μa ⃗+b ⃗⃗=(2μ−1，3μ+2) . a ⃗−b ⃗⃗=(3，1) .根据 μa ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 垂直即可得出 (μa ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)=0 .进行数量积的坐标运算即可求出μ．【解答】：解： μa ⃗+b ⃗⃗=(2μ−1，3μ+2) . a ⃗−b ⃗⃗=(3，1) ； ∵ μa ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 垂直； ∴ (μa ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)=3(2μ−1)+3μ+2=0 ； 解得 μ=19 ． 故选：C ．【点评】：考查向量垂直的充要条件.向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．4.（单选题.5分）正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长相等.E 为SC 的中点.则BE 与SA 所成角的余弦值为（ ） A. 13B. 12C. √33D. √32【正确答案】：C【解析】：建立空间直角坐标系.利用cos ＜AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞ = AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .即可得出．【解答】：解：如图所示建立空间直角坐标系.不OA=1.则A （1.0.0）.S （0.0.1）.B （0.1.0）.C （0.-1.0）. E (−12，0，12) ．AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0.1）. BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−12，−1，12) ． ∴cos ＜AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞ = AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|= 12+0+12√2×√14+1+14= √33 ．∴BE 与SA 所成角的余弦值为 √33 ． 故选：C ．【点评】：本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.5分）如图所示.点F 是抛物线y 2=4x 的焦点.点A.B 分别在抛物线y 2=4x 及圆（x-1）2+y 2=16的实线部分上运动.且AB 总是平行于x 轴.则△FAB 的周长的取值范围是（ ）A.（2.6）B.（5.8）C.（8.12）D.（8.10） 【正确答案】：D【解析】：由抛物线定义可得|AF|=x A +1.从而△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A +1+（x B -x A ）+4=5+x B .确定B 点横坐标的范围.即可得到结论．【解答】：解：抛物线的准线l：x=-1.焦点F（1.0）.由抛物线定义可得|AF|=x A+1.∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+1+（x B-x A）+4=5+x B.由抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=16可得交点的横坐标为3.∴x B∈（3.5）.∴5+x B∈（8.10）.故选：D．【点评】：本题考查抛物线的定义.考查抛物线与圆的位置关系.确定B点横坐标的范围是关键．6.（单选题.5分）已知α.β是两个不重合的平面.在下列条件中.可判断平面α.β平行的是（）A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || βB.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || αC.面α内不共线的三点到β的距离相等D.面α.β都垂直于平面γ【正确答案】：B【解析】：A中.没有m与n交于一点.不能判断α || β；B中.根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法.能判断α || β；C中.举例说明α || β不一定成立；D中.α.β都垂直于平面γ时.两平面α、β的位置关系可能平行或相交．【解答】：解：对于A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || β.没有m与n交于一点.不能判断α || β；对于B.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || α.能判断α || β；因为m || β.所以在β内存在直线m1 || m.又m⊂α.所以m1|| α；又m.n是两条异面直线.所以直线m1与n是两条相交直线；又n || α.所以α || β；对于C.因为α内不共线的三点到β的距离相等.此三点在两平面相交时也可以找出.所以不能判断α || β；对于D.因为α.β都垂直于平面γ时.两平面α、β的位置关系可能是平行或相交.所以不能判断α || β．故选：B．【点评】：本题考查了判断面面平行的应用问题.也考查了推理论证能力与空间想象能力.是基础题．7.（单选题.5分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若c-a=2acosB.则 3a+cb的最小值为（ ） A. √2 B. √3 C. 2√2 D.3【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理求出2A=B.再对结论进行化简.利用基本不等式求出即可．【解答】：解：c-a=2acosB.sinC-sinA=2sinAcosB.化简sinAcosB+cosAsinB-sinA=2sinAcosB.得sin （B-A ）=sin （A ）. 得2A=B.或者B=180°（舍弃）.由 3a+c b = 3sinA+sin3A 2sinAcosA = 6sinA−4sin 3A 2sinAcosA = 3−2sin 2A cosA = 1+2cos 2A cosA = 2cosA +1cosA. ①由A+B+C=3A+C=π.A∈（0. π3 ）.所以 ① ≥2 √2cosA •1cosA =2 √2 .当且仅当A= π4 .取等号. 故选：C ．【点评】：题考查三角形的解法.正弦定理以及余弦定理的应用.基本不等式的应用.考查计算能力．8.（单选题.5分）直线y=- √3x 与椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 交于A 、B 两点.以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点.则椭圆C 的离心率为（ ） A. √32B. √3 -1C.√3−12 D.4-2 √3 【正确答案】：B【解析】：以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点.也过左焦点.以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形.求出矩形宽与长.利用椭圆的定义.即可求得椭圆C 的离心率．【解答】：解：由题意.以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点.也过左焦点.以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形．直线y=- √3 x的倾斜角为120°.所以矩形宽为c.长为√3 c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a.即c+ √3 c=2a．∴ e=ca =21+√3=√3−1故选：B．【点评】：本题重点考查圆与椭圆的综合.考查椭圆的几何性质.解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．9.（多选题.5分）已知双曲线的方程为：x29−y27=1 .则下列说法正确的是（）A.焦点为(±√2，0)B.渐近线方程为√7x±3y=0C.离心率e为43D.焦点到渐近线的距离为√144【正确答案】：BC【解析】：利用双曲线方程求出渐近线方程.离心率.焦点坐标.结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】：解：双曲线的方程为：x 29−y27=1 .可知a=3.b= √7 .c=4.所以双曲线的焦点坐标（±4.0）.所以A不正确；渐近线方程：√7x±3y=0 .所以B正确；离心率为：e= 43.所以C正确；焦点到渐近线的距离为：4√7√9+7= √7 .所以D不正确；故选：BC．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用.是基本知识的考查．10.（多选题.5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=cos(2x−π6)B. f(x)=sin(2x−π6)C. f(π3+x)=f(π3−x)D. f(π3+x)=−f(π3−x)【正确答案】：AD【解析】：根据图象可知32T=5π6−π12.求出周期.进而得到ω的值.然后利用最高点求出φ的值.然后根据解析式确定选项．【解答】：解：由题意得3T4=5π6−π12=3π4.所以T=π.故ω=2.所以f（x）=sin（2x+φ）.将(π12，1)代入得sin(2×π12+φ)=1 .所以π6+φ=π2+kπ，k∈Z .结合|φ|＜π2.可知k=0时. φ=π3为所求.故f（x）= sin(2x+π3)=cos[π2−(2x+π3)] = cos(2x−π6)．又因为f（π3）=sinπ=0.故（π3，0）是f（x）的对称中心．故选：AD．【点评】：本题考查三角函数的据图求式问题.以及正余弦型三角函数图象与性质.属于中档题．11.（多选题.5分）如图.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.P为A1D1的中点.Q为A1B1上任意一点.E、F为CD上两点.且EF的长为定值.则下面四个值中是定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥P-QEF的体积D.△QEF的面积【正确答案】：ACD【解析】：由平面QEF也就是平面A1B1CD.可判断A；由线面角的定义可判断B；由棱锥的体积公式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．【解答】：解：对于A.∵平面QEF也就是平面A1B1CD.既然P和平面QEF都是固定的.∴P到平面A1B1CD的距离是定值.∴点P到平面QEF的距离为定值.故A正确；对于B.∵Q是动点.E.F也是动点.推不出定值的结论.∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值.故B错误；对于C.∵EF定长.Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长.即底和高都是定值.∴△QEF的面积是定值.∵点P到平面QEF的距离.∴P到平面QEF的距离也是定值.∴三棱锥的高也是定值.∴三棱锥P-QEF的体积是定值.故C正确；对于D.∵EF定长.Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长.即底和高都是定值.∴△QEF的面积是定值.故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识点是直线与平面所成的角.棱锥的体积及点到平面的距离.其中两线平行时.一条线的上的点到另一条直线的距离相等.线面平行时直线上到点到平面的距离相等.平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．12.（多选题.5分）如图.过点P（2.0）作两条直线x=2和l：x=my+2（m＞0）分别交抛物线y2=2x于A.B和C.D（其中A.C位于x轴上方）.直线AC.BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A.C.D两点的纵坐标之积为-4B.点Q在定直线x=-2上C.|PC|最小值是2D.无论CD旋转到什么位置.始终有∠CQP=∠BQP【正确答案】：AB【解析】：设点C（x1.y1）.D（x2.y2）.将直线l的方程x=my+2代入抛物线方程y2=2x.通过韦达定理.判断A；求出直线AC的方程.直线BD的方程.推出Q满足的方程.判断B；求出|PC|判断C；通过PA=PB.但QA≠QB.判断D．【解答】：解：设点C（x1.y1）.D（x2.y2）将直线l的方程x=my+2代入抛物线方程y2=2x得：y2-2my-4=0．则y1y2=-4．故A正确；由题得A（2.2）.B（2.-2）.直线AC的方程为y−2=2y1+2(x−2) .直线BD的方程为y+2=2y2−2(x−2) .消去y得x=2(y1y2−y1+y2)y1−y2+4.将y1y2=-4代入上式得x=-2.故点Q在直线x=-2上.故B正确；计算PA=2.OP=2.可知选项C错误；因为PA=PB.但QA≠QB.所以D错误．故选：AB．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用.直线与抛物线的位置关系的应用.是中档题．13.（填空题.5分）若sin(75°+α)=√23.则cos（30°-2α）=___ ．【正确答案】：[1]- 59【解析】：由题意利用诱导公式求得cos（15°-α）的值.再利用二倍角的余弦公式求得cos （30°-2α）的值．【解答】：解：∵ sin(75°+α)=√23=cos（15°-α）.则cos（30°-2α）=2cos2（15°-α）-1=2× 29 -1=- 59.故答案为：- 59．【点评】：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用.属于基础题．14.（填空题.5分）数列{a n}中.a1=2.a n+1=2a n.n∈N*．若其前k项和为126.则k=___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：由已知可得数列{a n}是以2为首项.以2为公比的等比数列.然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】：解：∵a1=2.a n+1=2a n.∴数列{a n}是以2为首项.以2为公比的等比数列.S k=2(1−2k)1−2=126.故k=6．故答案为：6．【点评】：本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用.属于基础试题．15.（填空题.5分）体积为√36的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上.PA⊥平面ABC.PA=2.∠ABC= 2π3.AB=1.则球O的表面积为___ ．【正确答案】：[1]8π【解析】：利用体积公式推出AB•BC=1.再利用余弦定理求出AC的最小值.再求出外接球半径R的最小值.代入求出即可．【解答】：解：由三棱锥P-ABC的体积为√36.且PA=2.得到V= 13PA• 12BA•BCsin 2π3= √36.∴AB•BC=1.设三角形ABC的外接圆的半径为r.则2r= ACsin2π3.则由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos 2π3=AB2+BC2+AB•BC≥3AB•BC=3.当且仅当AB=BC=1成立.故AC的最小值为√3 .所以2r≥ √3√32=2.r的最小值为1.球的半径R= √1+r2的最小值为R= √1+1 = √2．则球O的表面积的最小值是4πR2=8π．故答案为：8π．【点评】：本题考查三棱锥外接球的表面积的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．16.（填空题.5分）已知双曲线C 的焦点为F 1（0.2）.F 2（0.-2）.实轴长为2.则双曲线C 的离心率是___ ；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点.且F 1Q⊥F 2Q.则△QF 1F 2的面积为___ ． 【正确答案】：[1]2; [2]2 √3【解析】：由题意可得c.a 的值.进而求出双曲线的离心率.进而求出双曲线的方程.再求出渐近线的方程.设渐近线上的点的坐标Q.由F 1Q⊥F 2Q 可得 F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得Q 的纵坐标.进而求出△QF 1F 2的面积．【解答】：解：由题意可得c=2.2a=2即a=1.所以双曲线的离心率e= ca =2. 所以b 2=c 2-a 2=4-1=3.所以双曲线的方程为：y 2- x 23 =1. 所以渐近线的方程为：y= x√3 .设Q （- √3 y.y ）为一条渐近线的点.由F 1Q⊥F 2Q 可得 F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即（- √3 y.y-2）（- √3 y.y+2）=0.可得3y 2+y 2-4=0.所以|y|=1. 所以S QF 1F 2 = 12|F 1F 2|•| √3 y|= 12•4• √3 =2 √3 . 故答案分别为：2.2 √3 ．【点评】：本题考查双曲线的性质及直线的垂直与数量积的关系.和面积的求法.属于中档题． 17.（问答题.10分）在 ① sinA=2sinC . ② a+c=6. ③ ac=15.这三个条件中任选一个.补充在下面问题的横线中.若问题中的△ABC 存在.求出△ABC 的面积；若问题中的△ABC 不存在.请说明理由．问题：是否存在△ABC .它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知 asin A+C 2=bsinA .b=3．【正确答案】：【解析】：由题设及正弦定理.三角函数恒等变换的应用化简已知等式.结合sinA≠0. cos B2≠0 .可得sin B2=12.可得B=60°.选择① ：利用正弦定理.余弦定理解得c.a的值.根据三角形的面积公式即可求解；选择② ：利用余弦定理可求得ac=9.结合a+c=6.可得a.c的值.根据三角形的面积公式即可求解；选择③ ：利用余弦定理可求得a+c=3 √6 .结合ac=15.无解.可得△ABC不存在．【解答】：解：由题设及正弦定理得sinAsin A+C2=sinBsinA .因为sinA≠0.所以sin A+C2=sinB .由A+B+C=180°.可得sin A+C2=cos B2.故cos B2=2sin B2cos B2．因为cos B2≠0 .故sin B2=12.因此B=60°.选择① ：sinA=2sinC.即a=2c.根据余弦定理有. cosB=a 2+c2−b22ac= 12.代入b=3.解得c=√3 .a=2 √3 .所以面积S= acsinB2 = 3√32.选择② ：cosB=a 2+c2−b22ac= (a+c)2−2ac−92ac= 12.代入a+c=6.解得ac=9.结合a+c=6.所以a=c=3.所以面积S= acsinB2=9√34.选择③ ：cosB=a 2+c2−b22ac= (a+c)2−2ac−92ac= 12.代入ac=15.解得a+c=3 √6 .结合ac=15.无解.所以△ABC不存在．【点评】：本题主要考查了正弦定理.三角函数恒等变换的应用.余弦定理.三角形的面积公式在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．18.（问答题.12分）设数列{a n}的前项n和为S n.且满足a n−12S n−1=0(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在.求出λ的值；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等差数列的定义和（1）的结论.进一步进行证明．S n−1=0(n∈N∗) .【解答】：解：（1）当n=1时.有a n−12S1−1=0 .整理得：a1−12解得：a1=2S n−1=0(n∈N∗) .又由a n−12S n+1−1=0(n∈N∗) .可得a n+1−12a n+1−a n=0 .两式相减得12即有a n+1=2a n．故数列{a n}是以2为首项.2为公比的等比数列．a n=2n．（2）由（1）知q≠1.=2(2n−1)．所以S n=a1(1−q n)1−q令b n=S n+(n+2n)λ=(λ+2)2n+λn−2 .为使{b n}为等差数列.则b n是关于n的一次函数.所以λ=-2.此时b n=-2n-2.当n=1时.b1=-2×1-2=-4．当n≥2时.b n-b n-1=-2n-2-[-2（n-1）-2]=-2.所以{S n+(n+2n)λ}是以-4为首项.-2为公差的等差数列．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.数列的定义的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．19.（问答题.12分）如图所示.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.DB=BC.DB⊥AC.点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1 || 面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置.使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【正确答案】：【解析】：（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D.再证明MD⊥AC即可．（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点.所以先看中点．取DC的中点N.D1C1的中点N1.连接NN1交DC1于O.⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1.⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN || OM.所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】：解：（1）证明：由直四棱柱.得BB1 || DD1且BB1=DD1.所以BB1D1D是平行四边形. 所以B1D1 || BD．而BD⊂平面A1BD.B1D1⊄平面A1BD.所以B1D1 || 平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD.AC⊂面ABCD.所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC.且BD∩BB1=B.所以AC⊥面BB1D.而MD⊂面BB1D.所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时.平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N.D1C1的中点N1.连接NN1交DC1于O.连接OM．因为N是DC中点.BD=BC.所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线.而面ABCD⊥面DCC1D1.所以BN⊥面DCC1D1．又可证得.O是NN1的中点.所以BM || ON且BM=ON.即BMON是平行四边形.所以BN || OM.所以OM⊥平面CC1D1D.因为OM⊂面DMC1.所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．【点评】：本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时.其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．20.（问答题.12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12.点(1，32)在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点.过椭圆的右焦点F的直线l1交椭圆于P.Q两点.求△OPQ面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）通过离心率以及椭圆经过的点.求出a.b然后求解椭圆方程．（2）设直线l1：x=my+1.代入方程化简得（3m2+4）y2+6my-9=0.利用韦达定理结合△OPQ 的面积为12|OF||y1−y2| .利用基本不等式转化求解最值即可．【解答】：解：（1）由e=ca =12得a=2c.所以b2=3c2.由点(1，32)在椭圆上得14c2+943c2=1解得c=1.b=√a2−c2=√3 .所求椭圆方程为 x 24+y 23=1 ．（2）F （0.1）.设直线l 1：x=my+1. 代入方程化简得（3m 2+4）y 2+6my-9=0. 由韦达定理得y 1+y 2= −6m 3m 2+4 .y 1y 2= −93m 2+4 .△OPQ 的面积为 12|OF ||y 1−y 2| .所以求ABC 的最大值即求|y 2-y 1|的最大值． （y 1-y 2）2=（y 1+y 2）2-4y 1y 2=36(4m 2+4)(3m 2+4)2. 令m 2+1=t≥1.上式可表示成 144t(3t+1)2=1449t+6+1t.y=9t+6+ 1t .t≥1时.函数是增函数.所以t=1时.y 取得最小值16.|y 2-y 1|的最大值的最大值为：3. △OPQ 的面积的最大值为 12|OF ||y 1−y 2| =3． S △OPQ =3．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.直线与椭圆的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力.是中档题．21.（问答题.12分）在多面体ABCDPE 中.四边形ABCD 是直角梯形.AD || BC.AD⊥AB .平面PAD⊥平面ABCD.PE || CD.AB=BC=2.AD=4. PD =2√5 .∠PDA 的余弦值为 2√55. PE =12CD .F 为BE 中点.G 为PD 中点 （1）求证：FG || 平面ABCD（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值【正确答案】：【解析】：（1）取EC 的中点H.连结FH.GH.证明FH || BC.FH || 平面ABCD.HG || CD.HG || 平面ABCD.然后证明平面FHG || 平面ABCD.推出FG || 平面ABCD ．（2）在△PAD 中.求出PA=2.说明PA⊥AD .以AD 所在直线为X 轴.BA 所在直线为Y 轴.AP 为z 轴.建立空间直角坐标系．求出平面BCE 的一个法向量.利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面ADE 所成角的余弦值即可．【解答】：（1）证明：取EC 的中点H.连结FH.GH. ∵F 为BE 中点.∴FH || BC .∵FH⊄平面ABCD.BC⊂平面ABCD.∴FH || 平面ABCD. ∵G 为PD 中点.EP || CD.∴HG || CD .∵HG⊄平面ABCD. ∴HG || 平面ABCD.∵FH∩HG=H . ∴平面FHG || 平面ABCD.∵FG⊂平面FHG∴FG || 平面ABCD ．（2）解：在△PAD 中.PA 2=PD 2+AD 2-2PD•AD•cos∠PDA= 20+16−2×2√5×4×2√55=4 .∴PA=2.∴PA 2+AD 2=PD 2.∴PA⊥AD 又∵平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD∩平面ABCD=AD.∴PA⊥平面ABCD. 以AD 所在直线为X 轴.BA 所在直线为Y 轴.A 为原点 建立空间直角坐标系．A （0.0.0）.B （0.-2.0）.C （2.-2.0）. D （4.0.0）.P （0.0.2）.设 E (x ，y ，z) ∵PE =12CD ∴EP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ (−x ，−y ，2−z)=12(2，2，0) .∴x=-1.y=-1.z=2.∴点E 的坐标为（-1.-1.2）.设平面ADE 的一个法向量： n 1⃗⃗⃗⃗⃗ =（（x.y.z ））. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4，0，0) AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−1，2) ∴ {4x 1=0−x 1−y 1+2z 1=0 令z 1=1 ∴y 1=2 . ∴ n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2，1) .设平面BCE 的一个法向量 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2，y 2，z 2) ∴n 2⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， n 2⃗⃗⃗⃗⃗⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2，0，0) BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1，1，2) .∴ {2x 2=0−x 2+y 2+2z 2=0 令z 2=1 ∴y 2=−2 .∴ n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2，1) . 设平面BCE 与平面ADE 所成角为θ∴ cosθ=−2×2+1×1√5√5=−35 .∴平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值为 35 ．【点评】：本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法.直线与平面平行的判断定理的应用.考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力.是中档题．22.（问答题.12分）已知抛物线C ：y 2=2px 经过点M （2.2）.C 在点M 处的切线交x 轴于点N.直线l 1经过点N 且垂直于x 轴． （Ⅰ）求线段ON 的长；（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线l 2：x=my+b 交C 于点A 和B.交l 1于点E.若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列.试问：l 2是否过定点？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出p 的值.然后求出在第一象限的函数.结合函数的导数的几何意义求出N 的坐标即可求线段ON 的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元.转化为关于y 的一元二次方程.根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由抛物线y 2=2px 经过点M （2.2）.得22=4p. 故p=1.c 的方程为y 2=2x …（2分） C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y= √2x .则′=√2x. 故C 在点M 处的切线斜率为 12 .切线的方程为y-2= 12 （x-2）. 令y=0得x=-2.所以点N 的坐标为（-2.0）. 故线段ON 的长为2 …（5分） （Ⅱ）l 2恒过定点（2.0）.理由如下：由题意可知l 1的方程为x=-2.因为l 2与l 1相交.故m≠0 由l 2：x=my+b.令x=-2.得y=- b+2m.故E （-2.-b+2m） 设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）由 {x =my +b y 2=2x 消去x 得：y 2-2my-2b=0则y 1+y 2=2m.y 1y 2=-2b …（7分） 直线MA 的斜率为 y 1−2x 1−2 = y 1−2y 122−2= 2y1+2.同理直线MB 的斜率为 2y2+2. 直线ME 的斜率为2+b+2m4因为直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列.所以2y 1+2 + 2y 2+2 =2× 2+b+2m 4=1+b+22m. 即 2(y 1+y 2+4)2(y1+y 2)+y 1y 2+4=1+ 4−y 1y 22(y 1+y 2)+y 1y 2+4 =1+ b+22m .…（10分）整理得： b+22m−b+2=b+22m. 因为l 2不经过点N.所以b≠-2 所以2m-b+2=2m.即b=2故l 2的方程为x=my+2.即l 2恒过定点（2.0）…（12分）【点评】：本题主要考查直线和抛物线的位置关系.利用直线和抛物线方程.转化为一元二次方程.结合韦达定理.利用设而不求的思想是解决本题的关键．。
深圳市高二上学期期中数学试卷含答案
深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则A．B．C．D．2．已知平面向量，，且//，则＝A．B．C．D．3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在区间上为增函数的是A．B．C．D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A．B．C．D．7．已知椭圆+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l 交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为A．B．C．D．8．下列导数运算正确的是A．B．C．D．9．已知，则A．B．C．D．10．己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是A．B．C．D． 511．若，，则的最小值为A．B．C．D．f x xf x恒成立，则不等式的12．设是定义在上的奇函数,且,当时，有()()解集为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____．14．已知实数x，y满足条件的最小值为_____．15．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．16．若数列的首项，且，则=_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤０，q：2﹣m ≤ x ≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝10，S6＝72，b n＝a n－30，(1)求通项公式a n；(2)求数列{b n}的前n项和T n的最小值．19．（本小题满分12分）中，内角的对边分别为，的面积为，若．（1）求角；（2）若，，求角．20．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，抛物线y2= –x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．21．（本小题满分12分）设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.22．（本小题满分12分）已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A A A B B C D B C D13．14．15．16．17．【答案】（1）；（2）【解】（1）由x2﹣2x﹣8≤０得﹣2≤x≤４，即p：﹣2≤x≤４，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴，解得：m≥４．（2）∵“ｐ∨q”为真命题，“ｐ∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．18．【答案】(1)；（2）.【解】(1)由a3＝10，S6＝72，得解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.19．【答案】(1) ; (2) 或【解】(1) 中，(2) ，，由得且B>A或或20．【答案】（1）证明见解析；（2）.【证明与解答】（1）显然k≠０．联立，消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠０，x2≠０，由根与系数的关系可得y1+y2=–，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以=–x1，=–x2，·=x1x2．因为k OA·k OB=·=–1，所以OA⊥OB．（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=ON·|y1|+ON·|y2|=ON·|y1–y2|=×1×，所以，解得k=±．21．【解析】⑴，由已知，，故a= - 2，b= - 2.，当时，，当时，，故f(x)在单调递减，在单调递增；⑵，即，设，，所以g(x)在递增，在递减，所以max26()(2)1eg x g．当x≥０时，.22．【答案】（1）;（2）．【解】（1）解：∵点在椭圆上，∴，又∵离心率为，∴，∴，∴，解得，，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，得，设，，则，，∴，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，∴直线的方程为，，令得，∴直线经过定点，当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．。
广东省深圳市高级中学2021—2021学年度高二数学上学期期中试题 理(1)
高级中学2021-2021学年第一学期期中测试高二数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分，总分值150分．考试历时l20分钟．第Ⅰ卷 (选择题共40分)一．选择题：（本大题共8小题；每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的）1.若a ∈R ，那么“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( ) A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又没必要要条件2. 抛物线216y x =的核心为 （ ）A.（0，2）B.（4，0）C.)D.()3．假设{a ，b ，c }为空间的一组基底，那么以下各项中，能组成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －b D ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b4．假设点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，那么弦MN 所在的直线方程为 ( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝05.命题p ：不等式(1)0x x -<的解集为{x |0＜x ＜1}，命题q ：“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”成立的必要非充分条件，那么 ( ) A ．p 真q 假 B ．p 且q 为真 C ．p 或q 为假D ．p 假q 真6. 假设向量a ＝(1，λ，1)，b ＝(2，－1,1)且a 与b 的夹角的余弦值为16，那么λ等于 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或265 D ．2或2657.假设点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的核心，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ()0,0 B ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ()2,1 D ()2,2 8．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2，点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax ＋by ＋r 2＝0，那么( )A ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相离B ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相切C ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相交D ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相离第Ⅱ卷 (非选择题共110分)二．填空题：（本大题共6小题，每题5分，总分值30分）9.已知以下四个命题： ①“若xy ＝1，那么x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，那么方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，那么A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可).10.命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_________________________. 11.假设直线y ＝x －m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，那么实数m 的取值范围是____________．12. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，∠EAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝AE ＝EF ＝1，平面ABFE ⊥平面ABCD .那么点D 到平面BCF 的距离为_____________13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右核心别离为21,F F ，假设在双曲线的右支上存在一点P ，使得213PF PF =，那么双曲线的离心率e 的取值范围为 ______ ．14. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 别离是椭圆的左、右核心，假设21||||2121=⋅⋅PF PF PF PF ，那么△21PF F 的面积为____________.三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤）15.设p ：实数x 知足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，q ：实数x 知足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．如图，正方形AMDE 的边长为2，B 、C 别离为AM 、MD 的中点．在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD 、PC 别离交于点G 、H .(1)求证：AB ∥FG ；EDC F G H(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小． 17.在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆M 上． (1)求圆M 的方程；(2)假设圆M 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 18.已知动点P与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （1）试求动点P 的轨迹方程C.（2）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程. 19．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H＝5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值； 20．已知椭圆C 的中心在原点，一个核心为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是2：1.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 别离交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB 面积的最大值． 高级中学2021-2021学年第一学期期中考试 高二数学（理科）答题卷一、选择题（每题5分，8题共40分） 二、填空题（每题5分，6题共30分）9.10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题：(本大题6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤)15. （本小题总分值12分） 16. （本小题总分值12分） 17. （本小题总分值14分） 18. （本小题满分14分） 19. （本小题总分值14分） 20.（本小题总分值14分）高级中学2021-2021学年第一学期期中考试 高二数学（理科）答题卷16 .（本小题总分值12分）(1)在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，因此AB∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ，因此AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 因此AB ∥FG ………………………5分(2)因为PA ⊥底面ABCDE ，因此PA ⊥AB ，PA ⊥AE .如图成立空间直角坐标系A －xyz ，那么A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC →＝(1,1,0) (7)z yEDPCFG H分设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，那么y ＝－1，因此n ＝(0，－1,1)．……………………….9分 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，那么sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝|n ·BC→|n ||BC →||＝12…………………………………11分因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. ……………………..12分17. （本小题总分值14分）解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋2 2，0)，(3－22，0) 故可设M 的圆心为(3，t )，那么有32＋(t －1)2＝(2 2)2＋t 2，解得t ＝1.∴圆M 的半径为32＋(t －1)2＝3.∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9…………………………………..6分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标知足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，取得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，∴2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ②由①②，得a ＝－1，知足Δ>0，故a ＝－1……………………………………14分 18. （本小题总分值14分）（1）解：设点(,)P x y ，那么依题意有1222y y x x ⋅=-+-，…………………3分整理得.1222=+y x 由于2x ≠±，因此求得的曲线C的方程为221(2).2x y x +=≠±………………………………………6分 （Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去 解得x 1=0, x 2=212,(214x x k k+-别离为M ，N 的横坐标）.………………………10分由,234|214|1||1||22212=++=-+=kk k x x k MN .1:±=k 解得 ……………………………………………………………………12分因此直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0.………………………………………14分 19．（本小题总分值14分）得A (22，0,0)，如下图 ，成立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易患AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23. 因此异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (6)分(2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m 、AA 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．一样的，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)．………………………………………10分 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝27·7＝27， 从而sin 〈m ，n 〉＝357.因此二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.………………………………………14分20．（本小题总分值14分） 解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a :b ＝2:1，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.因此椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1. ………………………………………4分(2)由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知，P (1，2)，那么直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y 24＋x22＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. ……6分设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，那么x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2.则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k 2.因此k AB ＝y A －y B x A －x B＝2为定值．………………………………………9分(3)由(2)，设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 24＋x22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8.现在x A ＋x B ＝－2m 2，x A ·x B ＝m 2－44.点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3，|AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝－32m 2＋12. ∴S △PAB ＝12d ·|AB |＝12|m |3·24－3m 22＝12 m 2(8－m)22当且仅当m 2＝8－m 2即m 2＝4时，S max ＝ 2.…………………………………14分。
2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题一、单选题1．过点，的直线的倾斜角为（ ）(2,0)A (B -A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线AB 的斜率，再根据倾斜角的范围结合特殊角的三角函数值求解即得.【详解】经过，(20)A ，(B -AB k ==设该直线的倾斜角为，则，αtan α=0180α︒≤<︒所以.150α=︒故选：D 2．已知，，若，则实数的值为（ ）()2,1,3a =-()1,2,1b =-()a a bλ⊥-λA ．B ．C ．D ．22-143-145【答案】D 【分析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.()()a ab a a b λλ⊥-⇔⋅-= 【详解】解：因为，，()2,1,3a =-()1,2,1b =-所以，()2,12,3a b λλλλ-=-+--因为，()a ab λ⊥- 所以，即，解得，()0a a b λ⋅-= ()()()2212330λλλ--++-+-=2λ=故选：D.3．已知两平行直线与，则实数的值是（）1:0l x y -=2:220l x y b -+=bA ．B ．4C ．D ．±4±【答案】D 【分析】由题知，再根据平行线间的距离公式计算即可.2:02b l x y -+=【详解】解：将直线整理得，2:220l x y b -+=2:02b l x y -+=所以平行线间的距离公式得直线与1:0l x y -=2:02b l x y -+=解得4b =±故选：D4．四面体中，，，，点在线段上，且，为中OABC OA a = OB b = OC c = M OC 2OM MC =N BA 点，则为（ ）MNA ．B ．121232a b c -+ 211322a b c-++C ．D ．112223a b c +- 221332a b c ++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，.()2111232223MNMO ON OC OA OB a b c=+=-++=+-故选：C.5．经过点（1，-1）且一个方向向量为（2，-3）的直线L 的方程是（ ）A ．B ．3210x y +-=32+10x y +=C ．D ．23+10x y +=230x y --=【答案】A【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合点斜式即可得解.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，又因为直线过点（1，-1），由()2,3-32-点斜式可得直线的方程为.3210x y +-=故选：A.6．已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=a b c λ（ ）A ．B ．C ．D ．725292112-【答案】D【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解+b y x c a = 之可求得答案.【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=+b y x c a = ，()()()2,3,24,2,1+10,3,x y λ-=-所以，解得，24+1032+32+x y x y x y λ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩3412112x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选：D.7．已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实l 0x y m -+=224x y +=AB O 0OA OB ⋅=数为（ ）m A ．2B ．C ．D ．2±±【答案】C【分析】由题意，，故圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式即得=90AOB ∠(0,0)ld 解【详解】由题意，，由于圆半径为，=90AOB ∠ 2r =则圆心到直线的距离(0,0)l d 得，=2m 2m =±故选：C8．在正方体中，在正方形中有一动点P ，满足，则直线与1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD ⊥PB 平面所成角中最大角的正切值为（ ）11DD C CA ．1BCD 【答案】D【解析】根据题意,可知是平面内,以为直径的半圆上一点.由即为直线与平P 11DD C C 1DD BPC ∠PB 面所成的角可知当取得最小值时,与平面所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,11DD C C PC PB 11DD C C 与半圆的交点为P,此时取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得,进而求得.PC PC tan BPC ∠【详解】正方体中,正方形内的点P 满足1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD⊥可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:P 11DD C C 1DD当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E 与C 点连线上PB 11DD C C P 此时取得最小值.PC 则即为直线与平面所成的角BPC ∠PB 11DD C C设正方体的边长为2,则,1PC EC EP =-=2BC =所以tan BC BPC PC ∠===故选:D【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.二、多选题9．（多选）若直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ）A ．B ．430x y -=430x y +=C ．D ．10x y -+=10x y +-=【答案】BD【分析】分情况讨论，当直线过原点时直线方程；当直线不过原点时：设直线方程为430x y +=，代入点求出的值即可得到直线方程．x y a +=(3,4)-a 【详解】解：①当直线过原点时：直线方程为，化为一般式为，43y x=-430x y +=②当直线不过原点时：设直线在两坐标轴上的截距都为，则直线方程为，a x y a +=又直线过点，代入得，即，(3,4)-34a -+=1a =直线方程为：，化为一般式为，∴1x y +=10x y +-=综上所求，直线的方程为或.430x y +=10x y +-=故选：BD.10．已知两条不同的直线l ，m 与两个不重合的平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中不正确的是（ ）A ．若l ∥m ，则必有α∥βB ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】ABD【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案．【详解】解：对于A ：如图所示：设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故A 错误；对于B ：假设α∥β，l ′⊂β，l ′∥l ，l ′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故B 错误；对于C ：若l ⊂α，l ⊥β，根据线面垂直的判定定理可得α⊥β，故C 正确；对于D ：设α∩β＝c ，若l ∥c ，m ∥c ，虽然α⊥β，但是可有m ∥α，故D 错误，故选：ABD ．11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则（ ）A BD C --A ．⊥B ．是等边三角形AC BDACD C ．AB 与平面BCD 所成的角为60°D ．AB 与CD 所成的角为90°【答案】AB【分析】A 选项，作出辅助线，证明出线面垂直，进而得到线线垂直；B 选项，设出正方形边长为a ，由直二面角的条件得到，由勾股定理得到，从=90AOC ∠︒AC a =而得到，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD C 选项，证明线面垂直，得到AB 与平面BCD 所成角为，求出其度数即可；ABO ∠D 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直角的夹角.【详解】取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为，，AB AD =BC DC =所以，,OC BD OA BD ⊥⊥因为，平面OAC ，OC OA O ⋂=,OC OA ⊂所以BD ⊥平面AOC ，因为平面AOC ，AC ⊂所以BD ⊥AC ，A 正确；不妨设正方形边长为a ，则CD =AD =a ，则，AO CO ==因为二面角为直二面角，，A BD C --,OC BD OA BD ⊥⊥所以即为二面角的平面角，且，AOC ∠A BD C --=90AOC ∠︒由勾股定理得：，AC a ==故，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD 由AB 选项可知：，，，平面BCD ，AO OC ⊥AO BD ⊥OC BD O = ,OC BD ⊂所以AO ⊥平面BCD ，故AB 与平面BCD 所成角为，且，ABO ∠45ABO ∠=︒故AB 与平面BCD 所成的角为45°，C 错误；以O 为坐标原点，OA ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设，AB a =则，,0,0,0,,0,,,0A B C D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则，0,,0,0,0=,,0AB ⎛⎫⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，,0=,CD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则21,,0,02AB CD a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故AB 与CD 所成的角不为90°，D 错误.故选：AB 12．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线()40x y x +=<<4P O 224x y +=A B 与，轴分别交于点，，则（ ）AB x y M N A ．点恒在以线段为直径的圆上B ．四边形面积的最小值为4O AB PAOBC ．的最小值为D ．的最小值为4ABOM ON+【答案】BCD【分析】对于A ，由动点及圆的性质即可判断；对于B ，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求PO PO解；对于C ，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后A B OP AB 数形结合即可得解；对于D ，先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本AB M N 44OM ON a b +=+不等式即可求解．【详解】对于A ，在四边形中，不一定是直角，故A 错误；PAOB AOB ∠对于B ，连接，由题易知，所以四边形的面积PO Rt Rt PAO PBO ≌PAOB，又的最小值为点到直线的距离，即，1222S PA OA PA =⨯⋅==PO O 4x y +=所以四边形面积的最小值为，B 正确；PAOB 4=设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，(),P a b OP ()()0x x a y y b -+-=O 224x y +=得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则4ax by +=AB 4ax by +=P 4x y +=4a b +=，代入直线的方程，得，即，令，则4b a =-AB ()440a x y y -+-=()440a x y y -+-=x y =，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最440y -=1x =1y =AB ()1,1C OC =AB小值为，C 正确；=在中，分别令，得到点，，所以，因为点4a by +=0y =0x =4,0M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭40,N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭44OM ON a b +=+在直线上，所以且，，则(),P a b ()40x y x +=<<44a b +=04a <<04b <<，当且仅当时等号成立，所以()4411224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭2a b ==的最小值为4，D 正确．OM ON+故选：BCD.【点睛】结论点睛：与圆的切线有关的结论：（1）过圆上一点的切线方程为()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y ；()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，C ()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y C A ，则切点弦所在直线的方程为．B AB ()()()()200x a x a y b y b r --+--=三、填空题13．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是___________.()3,2A -()5,4B -AB 【答案】()()221125x y ++-=【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】因点，，则线段的中点，即所求圆的圆心为点，()3,2A -()5,4B -AB ()1,1C -()1,1C -圆的半径，5=所以以线段为直径的圆的方程是：.AB ()()221125x y ++-=故答案为：()()221125x y ++-=14．为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点P ABCD PA ⊥ABCD 3AB =4=AD 1PA =到的距离为__．P BD【答案】/135 2.6【分析】方法一：过作，交于，连结，则可得是点到的距离，然后A AE BD ⊥BD E PE PE P BD 求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形中，，，，ABCD 3AB =4=AD 5BD ∴==过作，交于，连结，A AE BD ⊥BD E PE平面，平面，PA ⊥ ABCD BD ⊂ABCD ，PA BD ∴⊥又 ，，AE BD ⊥PA AE A = 平面， BD ∴⊥PAE ∵平面，PE ⊂PAE ，即是点到的距离，PE BD ∴⊥PE P BD ，，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ 125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===点到的距离为．∴P BD 135方法二∵平面，平面，PA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ∴，,PA AB PA AD ⊥⊥∵AB AD⊥∴三线两两垂直，PA AB AD 、、∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，A ,,AB AD AP ,,x y z，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=-，，()340BD =- ，，，∴cos ,BP BD BP BD BP BD⋅===点到的距离为∴PBD 135d ==故答案为：13515．在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直xOy 224x y +=224440x y x y ++-+=l 线的方程为________.l 【答案】20x y -+=【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.l 【详解】若圆和圆关于直线对称，224x y +=224440x y x y ++-+=l 则直线为两个圆心的中垂线，l 的圆心为，224x y +=1(0,0)O 的圆心为.224440x y x y ++-+=2(2,2)O -，中点为121O O k =-(1,1)-可得直线为 ，整理得：.l 11y x -=+20x y -+=故答案为：.20x y -+=16．正四面体中，、分别为边、的中点，则异面直线、所成角的余弦ABCD M N BC AB DM CN 值为 _____．【答案】16【分析】根据点分别为棱、的中点，根据向量的运算得出，,M N BC AB ()1=22DM a b c+-，然后可设正四面体的棱长为2，从而进行数量积的运算可求得，并且根12CN a b=- 12DM CN ⋅=-，然后便可求出的值，从而可得出异面直线与所成cos ,DM CNDM CN 角的余弦值.【详解】为棱的中点，设， M BC ,,AB a AC b AD c === .()()()()111=+=+=2222DM DB DC AB AD AC AD a b c⎡⎤∴--+-⎣⎦ 又为棱的中点,N AB .∴1122CN CA AN AC AB a b=+=-+=-又的两两夹角都为，并设,,,a b c60︒===2a b c ∴()221111112224422DM CN a b c a b a a b b a c b c⎛⎫⋅=+-⋅-=-⋅--⋅+⋅ ⎪⎝⎭ .11121222=---+=-,1cos ,==6DM CN DM CN DM CN⋅∴-⋅异面直线与所成角的余弦值为.∴DM CN 16故答案为:.16四、解答题17．已知的三个顶点，，，求：ABC (4,6)A -(4,0)B -(1,4)C -(1)边上的高所在直线的方程；AC BD (2)的垂直平分线所在直线的方程．BC EF 【答案】(1)；240x y -+=(2).6810x y +-=【分析】(1)由斜率公式易知，由垂直关系可得直线的斜率，代入点斜式易得方程；ACk BD BD k (2)根据可得，再由中点坐标公式可得线段的中点，可得方程．BCk EFk BC 【详解】（1）由斜率公式易知，直线的斜率．2AC k =-∴BD 12BD k =又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．BD (4,0)B -BD 240x y -+=（2），．又线段的中点为，43BCk = 34EF k ∴=-BC 5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所在直线的方程为，EF ∴35242y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭整理得所求的直线方程为：．6810x y +-=18．如图，在长方体中，，，E 是CD 中点.1111ABCD A B CD -2AB =11BC CC ==（1）和所成角的大小；1BC 1D E（2）证明：.11B E AD ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析；3π【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的大小；（2）首先求出，，利用空间向量法证明即可；1B E1AD 【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，()1,2,0B ()10,2,1C ()10,0,1D ()0,1,0E ，，所以，，设和所成的角为，则()11,2,1B ()1,0,0A ()11,0,1BC =-()10,1,1D E =-1BC 1D Eθ，因为，所以，即和所成的角为；11111cos 2BC D E BC D Eθ⋅⋅=== 0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦3πθ=1BC 1D E 3π（2）由（1）可得，，所以，()11,1,1B E =---()11,0,1AD =-()()()()111101110B E AD ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=所以11B E AD ⊥19．已知圆过点，，且圆心在直线上．C ()0,1A ()2,1B C 10x y +-=(1)求圆的标准方程；C (2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．l ()2,2C l 【答案】(1)；()2212x y -+=(2)或.2x =3420x y +=-【分析】（1）易知圆的圆心在直线上，结合圆心在直线上，可求圆心坐标，C 1x =C 10x y +-=根据两点间的距离公式求出半径即可得圆的标准方程；C （2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设2x =的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线l ()22y k x -=-距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.【详解】（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，C ()0,1A ()2,1B C 1x =又圆心在直线上，令可得，C 10x y +-=1x =0y =所以圆的圆心为,C ()1,0=所以圆的标准方程为.C ()2212x y -+=（2）当l 斜率不存在时，l 的方程为，2x =易知此时被圆C 截得的弦长为2，符合题意，所以；2x =当l 斜率存在时，设l 的方程为，2(2)220y k x kx y k -=-⇒-+-=则．d =又直线l 被圆C 所截得的弦长为2，所以，则，2==1d =，解得，1=34k =所以直线l 的方程为．()32234204y x x y -=-⇒-+=综上：l 的方程为或.2x =3420x y +=-20．如图，正三棱柱的所有棱长都为2．111ABC A B C -(1)求点'到平面的距离．B 11A BC (2)求平面与平面夹角的余弦值．1AA B 11A BC【答案】【分析】（1）取的中点，的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面BC D 11B C E D的一个法向量和，结合距离公式，即可求解；11A BC n =1(0,2,0)BB =（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合平面的1AAB m =11A BC 一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.n =【详解】（1）解：如图所示，取的中点，的中点，连接与，BC D 11B C E AD DE 因为三棱柱为正三棱柱，可得且平面平面，111ABC A B C -AD BC ⊥ABC ⊥11BCC B 所以平面，AD ⊥11BCC B 由矩形中，因为分别为的中点，可得11BCC B ,D E 11,BC B C DE BC ⊥以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，D ,,DB DE DA x y z 因为正三棱柱的所有棱长都为，可得，111ABC A B C -2AD =则，111(1,0,0),(0,(1,2,0),(1,2,0)B A B C -所以，111(2,2,0),(1,(0,2,0)BC BA BB =-=-=设平面的法向量为，则，11A BC (,,)n x y z =1120220n BA x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，所以，x =1yz ==-1)n =-则到平面的距离为.1B 11ABC d （2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得，1(1,0,0),(0,AB A 可得，1(1,0,(0,2,0)AB AA ==设平面的法向量为，则，1AA B (,,)m a bc =1020m AB a m BC b ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩取，所以，a =0,1b c ==m =又由平面的一个法向量为，11ABC 1)n =-可得，cos ,m n m n m n ⋅===即平面与平面11A BC 1AA B21．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，，O 为AC 的中点．AB BC ==4PA PB PC AC ====(1)证明：PO ⊥平面ABC ．(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M ﹣PA ﹣C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面几何知识可证得，，再由线面垂直的判定可得证；PO OB ⊥OP AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，运用面面角、线面角的向量求解方法可求得答案.【详解】（1）以为，为的中点，所以，且.4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB因为，所以为等腰直角三角形，且.AB BC AC=ABC 1,22OB AC OB AC ⊥==由得.222OP OB PB +=PO OB ⊥由,平面,平面,得平面.,,OP OB OP AC OB AC O ⊥⊥⋂=OB ⊂ABC AC ⊂ABC PO ⊥ABC （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，O OBx Oxyz由题意得，.()()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,O B A C P-(0,2,AP ∴=取平面的一个法向量为.设，则.设平面PAC ()2,0,0OB = ()(),2,002M a a a -<≤(),4,0AM a a =- 的法向量为.PAM (),,n x y z =由，得可取，所以0,0⋅=⋅=AP n AMn ()20,40,y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩))4,n a a=--cos ,OB n =又，解得（舍去）或，cos ,OB=4a =-43a =所以，又，43n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(0,2,PC =- 设与平面所成角为，则.PC PAM θsin cos PC θ= 所以与平面PC PAM 22．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线相切．3480x y +-=（1）求圆C 的标准方程；（2）直线与圆C 交于A ，B 两点．:2l y kx =+①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.()2211x y -+=3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C 过原点，所以半径r =a ，(),0(0)C a a >又圆C 与直线相切，所以圆心C 到直线的距离（负值舍去），3480x y +-=|38|15a d a a -==⇒=所以圆 C 的标准方程为：.()2211x y -+=（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：，因为有两个交点，()()2214240kx k x ++-+=所以，即k 的取值范围是.()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（ⅱ）设，由根与系数的关系：，()()1122,,,A x y B x y 12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩所以.()1212121212122222OA OBx x y y kx kx k k kx x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+即直线OA ,OB 斜率之和为定值.。
2021-2022学年广东省深圳市龙岗区布吉中学高二(上)期中数学试卷
2021-2022学年广东省深圳市龙岗区布吉中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知a⃗ =（2，-3，1），则下列向量中与a⃗平行的是（）A.（1，1，1）B.（-2，-3，5）C.（2，-3，5）D.（-4，6，-2）2.（单选题，5分）已知点A（2，0），B (3，−√3)，则直线AB的倾斜角为（）A.30°B.45°C.120°D.135°3.（单选题，5分）已知向量a⃗=(1，0，1)，b⃗⃗=(2，0，−2)，若(ka⃗+b⃗⃗)•(a⃗+kb⃗⃗)= 2，则k等于（）A.1B. 35C. 25D. 154.（单选题，5分）若两平行直线x+2y+m=0（m＞0）与x-ny-3=0之间的距离是√5，则m+n=（）A.0B.1C.-1D.-2=1相交于A，B两点，F（0，-5.（单选题，5分）已知直线l：y=x+1与曲线C：x2+y221），则△ABF的周长是（）A.2B. 2√2C.4D. 4√26.（单选题，5分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，PF1垂直于x轴，|PF1|=1，∠F1F2P=30°，则C的方程为（）A. x29 + y23=1B. x29 + y26=1C. 4x29 + 2y23=1D. 4x29 + 4y23=17.（单选题，5分）点（1，1）在圆（x-a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A.-1＜a＜1B.0＜a＜1C.a＜-1或a＞1D.a=±18.（单选题，5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. 2√5B. √17−√2C. √17D. 3−√29.（多选题，5分）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆（如图所示）．已知它的近月点A（离月球表面最近的点）距离月球表面m千米，远月点B（离月球表面最远的点）距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有（）A. a=m+n2B. a=m+n2+RC. c=n−m2D. c=n−m2+R10.（多选题，5分）在三维空间中，定义向量的外积： a ⃗ × b ⃗⃗ 叫做向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① a ⃗ ⊥（ a ⃗ × b ⃗⃗ ）， b ⃗⃗ ⊥（ a ⃗ × b ⃗⃗ ），且 a ⃗ ， b ⃗⃗ 和 a ⃗ × b ⃗⃗ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；② a ⃗ × b ⃗⃗ 的模| a ⃗ × b ⃗⃗ |=| a ⃗ || b ⃗⃗ |sin ＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞（＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞表示向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角）． 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，有以下四个结论，正确的有（ ）A. |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗×DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗×A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同D. 6|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 与正方体表面积的数值相等 11.（多选题，5分）圆O 1：x 2+y 2-2x=0和圆O 2：x 2+y 2+2x-4y=0的交点为A ，B ，则有（ ）A.公共弦AB 所在直线方程为x-y=0B.线段AB 中垂线方程为x+y-1=0C.公共弦AB 的长为 √22D.P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为 √22 +112.（多选题，5分）在三棱锥P-ABC 中，PA⊥平面ABC ，AC⊥BC ，且PA=AC=BC=1，则下列说法中正确的有（ ） A.AC⊥PBB.平面PAB⊥平面ABCC.二面角C-PB-A 的大小为60°D.三棱锥P-ABC 外接球的表面积为3π13.（填空题，5分）直线l 1：x+my+1=0与直线l 2：y=2x-1垂直，则m=___ ．14.（填空题，5分）与圆（x-2）2+（y+3）2=6同圆心且过点P （-1，1）的圆的方程是 ___ ． 15.（填空题，5分）若三棱锥P-ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P 到平面ABC 的距离是 ___ ．16.（填空题，5分）已知椭圆： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，PF 2与椭圆交于Q ．若△PF 1Q 的内切圆与线段PF 1在其中点M 处相切，与PQ 切于F 2，则椭圆的离心率为 ___ ．17.（问答题，10分）已知向量 a ⃗ =（2，4，-2）， b ⃗⃗ =（-1，0，2）， c ⃗ =（x ，2，-1）． （1）若 a ⃗ || c ⃗ ，求| c ⃗ |；（2）若 b ⃗⃗ ⊥ c ⃗ ，求（ a ⃗ - c ⃗ ）•（2 b ⃗⃗ + c ⃗ ）的值．18.（问答题，12分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，∠A 1AD=∠A 1AB=60°，∠DAB=90°，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ．（1）用 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 表示 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求BM 的长；（3）求BM 与AC 所成角的余弦值．19.（问答题，12分）一动点到两定点距离的比值为非零常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点A 、B 的坐标分别为：A （4，0）、B （1，0），动点M 满足AM=2BM ．（1）求动点M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过P （2，3）作该圆的切线l ，求l 的方程．20.（问答题，12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB || CD ，2AB=2AD=CD ，AD⊥CD ，侧面PAD⊥面ABCD ，△PAD 为正三角形，E 为PD 中点． （1）求证：AE || 面PBC ；（2）求AE 与平面PAB 所成的角的大小．21.（问答题，12分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（1）证明：BC⊥BD；（2）求二面角F-CD-B的正弦值．22.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点（0，2），且e=√22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆C相切于点M，与直线x=x0相交于点N．已知点P（-2，0），且PM⊥PN，求此时x0的值．2021-2022学年广东省深圳市龙岗区布吉中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知a⃗ =（2，-3，1），则下列向量中与a⃗平行的是（）A.（1，1，1）B.（-2，-3，5）C.（2，-3，5）D.（-4，6，-2）【正确答案】：D【解析】：利用向量共线定理即可得出．【解答】：解：若b⃗⃗ =（-4，6，-2），则b⃗⃗ =-2（2，-3，1）=-2 a⃗，所以a⃗ || b⃗⃗．故选：D．【点评】：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．2.（单选题，5分）已知点A（2，0），B (3，−√3)，则直线AB的倾斜角为（）A.30°B.45°C.120°D.135°【正确答案】：C【解析】：通过直线的斜率公式，以及斜率和倾斜角的关系即可求出．=- √3，则直线的【解答】：解：点A（2，0），B (3，−√3)，则直线AB的斜率k= 0+√32−3倾斜角120°，故选：C．【点评】：本题考查直线的斜率的定义，斜率的求法，考查计算能力．3.（单选题，5分）已知向量a⃗=(1，0，1)，b⃗⃗=(2，0，−2)，若(ka⃗+b⃗⃗)•(a⃗+kb⃗⃗)= 2，则k等于（）A.1B. 35C. 25D. 15【正确答案】：D【解析】：根据空间向量的坐标运算，求出k a⃗ + b⃗⃗和a⃗ +k b⃗⃗，利用数量积的坐标运算列方程求出k的值．【解答】：解：向量a⃗=(1，0，1)，b⃗⃗=(2，0，−2)，所以k a⃗ + b⃗⃗ =（k+2，0，k-2），a⃗ +k b⃗⃗ =（2k+1，0，-2k+1），又(ka⃗+b⃗⃗)•(a⃗+kb⃗⃗)=2，所以（k+2）（2k+1）+（k-2）（-2k+1）=2，．解得k= 15故选：D．【点评】：本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，是基础题．4.（单选题，5分）若两平行直线x+2y+m=0（m＞0）与x-ny-3=0之间的距离是√5，则m+n=（）A.0B.1C.-1D.-2【正确答案】：A【解析】：两直线x+2y+m=0（m＞0）与x-ny-3=0平行，可得-n-2=0，解得n，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】：解：∵两直线x+2y+m=0（m＞0）与x-ny-3=0平行，∴-n-2=0，解得n=-2．又两平行直线x+2y+m=0（m＞0）与x-ny-3=0之间的距离是√5，= √5，解得m=2．∴√12+22∴m+n=0．故选：A．【点评】：本题考查了平行线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.（单选题，5分）已知直线l：y=x+1与曲线C：x2+y22=1相交于A，B两点，F（0，-1），则△ABF的周长是（）A.2B. 2√2C.4D. 4√2【正确答案】：D【解析】：判断直线经过椭圆的焦点，利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】：解：曲线C：x2+y22=1的焦点坐标（0，1）与（0，-1），直线l：y=x+1经过椭圆的焦点，所以直线l：y=x+1与曲线C：x2+y22=1相交于A，B两点，F（0，-1），则△ABF的周长是：4a=4 √2．故选：D．【点评】：本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义以及直线与椭圆的位置关系的应用，是基础题．6.（单选题，5分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，PF1垂直于x轴，|PF1|=1，∠F1F2P=30°，则C的方程为（）A. x29 + y23=1B. x29 + y26=1C. 4x29 + 2y23=1D. 4x29 + 4y23=1【正确答案】：C【解析】：由PF1垂直于x轴，|PF1|=1，∠F1F2P=30°，可得在Rt△PF1F2中，tan30°= |PF1||F1F2|=√3 3，|PF2|=2|PF1|=2，|F1F2|=√3，c= √32，再结合椭圆的定义和椭圆的性质，即可求解．【解答】：解：∵PF1垂直于x轴，|PF1|=1，∠F1F2P=30°，∴在Rt△PF1F2中，tan30°= |PF1||F1F2|=√33，|PF2|=2|PF1|=2，∴ |F1F2|=√3，即c= √32，∵|PF1|+|PF2|=2a，∴2a=1+2=3，即a= 32，∵ b2=a2−c2=94−34=32，∴椭圆C的方程为4x29+2y23=1．故选：C．【点评】：本题主要考查椭圆的定义，以及椭圆的性质，属于基础题．7.（单选题，5分）点（1，1）在圆（x-a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A.-1＜a＜1B.0＜a＜1C.a＜-1或a＞1D.a=±1【正确答案】：A【解析】：圆（x-a）2+（y+a）2=4表示平面上到圆心（a，-a）的距离为2的所有点的集合，如果点（1，1）在圆内，则得到圆心与该点的距离小于半径，列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．【解答】：解：因为点（1，1）在圆（x-a）2+（y+a）2=4的内部，所以表示点（1，1）到圆心（a，-a）的距离小于2，即√(1−a) 2+(1−(−a)) 2＜2两边平方得：（1-a）2+（a+1）2＜4，化简得a2＜1，解得-1＜a＜1，故选：A．【点评】：考查学生会利用点到圆心的距离与半径的大小判断点与圆的位置关系．会灵活运用两点间的距离公式化简求值，会求一元二次不等式的解集．8.（单选题，5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. 2√5B. √17−√2C. √17D. 3−√2【正确答案】：B【解析】：求出A关于x+y=4的对称点A'，根据题意，A'C- √2为最短距离，求出即可．【解答】：解：设点A关于直线x+y=4的对称点A'（a，b），设军营所在区域为的圆心为C，根据题意，A'C- √2为最短距离，先求出A'的坐标，AA'的中点为（a+32，b2），直线AA'的斜率为1，故直线AA'为y=x-3，由{a+32+b2=4b=a−3，联立得故a=4，b=1，所以A'C= √42+12=√17，故A'C- √2 = √17−√2，故选：B．【点评】：考查点关于直线的对称点的计算，点到点的距离最值问题，中档题．9.（多选题，5分）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆（如图所示）．已知它的近月点A（离月球表面最近的点）距离月球表面m千米，远月点B（离月球表面最远的点）距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有（）A. a=m+n2B. a =m+n2+R C. c =n−m2D. c =n−m2+R【正确答案】：BC【解析】：利用已知图象以及已知即可求出|AB|=2a=m+n+2R 和|AF|=m+R=a-c ，从而可以求解．【解答】：解：由题意可得：|AB|=2a=m+n+2R ， 所以a=m+n 2+R ，故B 正确，A 错误，又|AF|=m+R=a-c ， 所以c=a-m-R= m+n2+R −m −R =n−m2，故C 正确，D 错误，故选：BC ．【点评】：本题考查了椭圆的性质以及学生的读题能力和看图能力，属于基础题．10.（多选题，5分）在三维空间中，定义向量的外积： a ⃗ × b ⃗⃗ 叫做向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① a ⃗ ⊥（ a ⃗ × b ⃗⃗ ）， b ⃗⃗ ⊥（ a ⃗ × b ⃗⃗ ），且 a ⃗ ， b ⃗⃗ 和 a ⃗ × b ⃗⃗ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；② a ⃗ × b ⃗⃗ 的模| a ⃗ × b ⃗⃗ |=| a ⃗ || b ⃗⃗ |sin ＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞（＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞表示向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角）． 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，有以下四个结论，正确的有（ ）A. |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗×DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗×A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同D. 6|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 与正方体表面积的数值相等 【正确答案】：ACD【解析】：运用新定义及空间向量基本概念分别判断即可．【解答】：解：对于A ，由 a ⃗ × b⃗⃗ 模的定义知， | a ⃗ × b ⃗⃗ |=| a ⃗ || b ⃗⃗ |sin ＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞=| b ⃗⃗ || a ⃗ |sin ＜ b ⃗⃗ ， a ⃗ ＞=| b ⃗⃗ × a ⃗ |，所以A 对； 对于B ，由 a ⃗ ， b ⃗⃗ 和 a ⃗ × b ⃗⃗ 构成右手系知， a ⃗ × b ⃗⃗ 与 b ⃗⃗ × a ⃗ 方向相反， 再由A 知， a ⃗ × b ⃗⃗ =- b ⃗⃗ × a ⃗ ，所以B 错；对于C ，A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1⇒A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ， BD 1⊂平面BB 1D 1D⇒BD 1⊥A 1C 1，BD 1⊥A 1D ，再由右手系知， A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗×A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，所以C 对；对于D ，正方体棱长为a ， 6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•sin45° =6 √2 a•a• √22 =6a 2， 正方体表面积为6a 2，所以D 对． 故选：ACD ．【点评】：本题以命题的真假判断为载体，考查了空间向量的基本概念，理解新定义是解本题的关键，属中档题．11.（多选题，5分）圆O 1：x 2+y 2-2x=0和圆O 2：x 2+y 2+2x-4y=0的交点为A ，B ，则有（ ）A.公共弦AB 所在直线方程为x-y=0B.线段AB 中垂线方程为x+y-1=0C.公共弦AB 的长为 √22D.P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为 √22 +1 【正确答案】：ABD【解析】：两圆 的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A ；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB 的中垂线的方程，即可判断选项B ．求出圆心O 1到直线AB 的距离d ，d+r 即为圆O 1上的点到直线AB 的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD ．【解答】：解：∵圆O 1：x 2+y 2-2x=0和圆O 2：x 2+y 2+2x-4y=0的交点为A ，B ， ∴圆O 1与圆O 2公共弦AB 所在的直线方程为x-y=0，故A 正确； ∵O 1（1，0），O 2（-1，2），O 1O 2所在直线斜率为-1，∴线段AB 的中垂线的方程为y-0=-（x-1），即x+y-1=0，故B 正确； 圆O 1：x 2+y 2-2x=0的圆心为O 1（1，0），半径r 1=1， 圆心O 1（1，0）到直线x-y=0的距离d= √2 = √22 ．∴P 到直线AB 距离的最大值为 √22 +1，圆O 1与圆O 2公共弦AB 的长为2 √1−12 = √2 ，故C 错误，D 正确． 故选：ABD ．【点评】：本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．12.（多选题，5分）在三棱锥P-ABC 中，PA⊥平面ABC ，AC⊥BC ，且PA=AC=BC=1，则下列说法中正确的有（ ） A.AC⊥PBB.平面PAB⊥平面ABCC.二面角C-PB-A 的大小为60°D.三棱锥P-ABC 外接球的表面积为3π 【正确答案】：BCD【解析】：对于面面垂直可通过判定定理进行验证，二面角的大小可以通过向量法进行求解，空间球问题可以通过填补法进行求解．【解答】：A ．分析法：若AC⊥PB ，则有因为AC⊥BC ，PB∩BC=B ，则AC⊥平面PBC ， 由此可得AC⊥PC ，这个这个结论与PA⊥AC 相矛盾，故A 错误； B ．因为PA⊥平面ABC ，PA⊂平面PAB ，所以根据面面垂直的判定定理可得，平面PAB⊥平面ABC ，故B 正确； C ．过点C 作CC 1 || PA ，以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1点所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如下图）， 则有A （1，0，0），B （0，1，0），P （1，0，1），所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，1）， BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，−1，1)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，1，0) ， 设平面PAB 的一个法向量为 m ⃗⃗⃗=(a ，b ，c) ， 则有 {m ⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0m ⃗⃗⃗•BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ⇒ {c =0a −b +c =0 ⇒ m ⃗⃗⃗=(1，1，0) ，设平面CPB 的一个法向量为 n ⃗⃗=(r ，s ，t) ，则有 {n ⃗⃗•CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⃗⃗•BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⇒ {s =0r −s +t =0 ⇒ n ⃗⃗=(1，0，−1) ， 设二面角C-PB-A 的平面角为θ，则有cosθ=cos ＜ m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ ＞= 12 ，即得 θ=60°．故C 正确． D ．根据题意，可将三棱锥P-ABC 添补为底面为正方体，则可得其外接球的直径为正方体的体对角线，即2R= √3 ，因此可得R= √32， 所以外接球的表面积为S=4πR 2=3π（如下图）．故D 正确． 故选：BCD ．【点评】：本题属于立体几何综合问题，主要考查二面角的正余弦问题，以及外接球表面积问题，属于中档题．13.（填空题，5分）直线l 1：x+my+1=0与直线l 2：y=2x-1垂直，则m=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由直线l 1：x+my+1=0与直线l 2：y=2x-1垂直，知2×1+（-1）×m=0，由此能求出m 的值．【解答】：解：∵直线l 1：x+my+1=0与直线l 2：y=2x-1垂直， ∴2×1+（-1）×m=0， 解得m=2． 故答案为2．【点评】：本昰考查直线的一般式方程和直线的垂直关系的判断，解题时要认真审题，注意直线垂直条件的合理运用．14.（填空题，5分）与圆（x-2）2+（y+3）2=6同圆心且过点P（-1，1）的圆的方程是___ ．【正确答案】：[1]（x-2）2+（y+3）2=25【解析】：直接利用两点间的距离公式的应用求出圆的半径，进一步求出圆的方程．【解答】：解：圆（x-2）2+（y+3）2=6的圆心坐标为（2，-3），所以圆的半径为：R= √(2+1)2+(−3−1)2=5，故圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25．故答案为：（x-2）2+（y+3）2=25．【点评】：本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.（填空题，5分）若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是 ___ ．【正确答案】：[1] √33【解析】：要求点P到平面ABC的距离，可根据等体积求解，即V A-PBC=V P-ABC，根据正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a，即可求得．【解答】：解：设点P到平面ABC的距离为h，∵在三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直且侧棱长为1，∴三棱锥P-ABC是正三棱锥，∴AB=BC=AC= √2，∴S△ABC= √32，根据V A-PBC=V P-ABC，可得13×12×13=13×√32×ℎ，∴ ℎ=√33，即点P到平面ABC的距离为√33．【点评】：本题以正三棱锥为载体，考查点面距离，解题的关键根据等体积求解，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.（填空题，5分）已知椭圆：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，PF2与椭圆交于Q．若△PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点M处相切，与PQ切于F2，则椭圆的离心率为 ___ ．【正确答案】：[1] √33【解析】：根据已知条件，结合椭圆的定义，以及内切圆的性质，即可求得△PF1Q为等边三角形，再结合离心率公式，即可求解．【解答】：解：∵M为PF1的中点，∴|PM|=|MF1|= 12|PF1|，∵△PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点M处相切，与PQ切于F2，∴由内切圆的性质可得，|PM|=|PF2|，∵P为椭圆上的一点，∴|PF1|+|PF2|=2a，∴ |PM|=23a，|PF2|= 23a，|PF1|= 43a，设△PF1Q的内切圆与F1Q切于C，结合内切圆的性质可得，|F1C|=|F1M|= 23a，∵PF2与椭圆交于Q，∴|QF2|+|QF1|=2a，∵C，F2为切点，∴由内切圆的性质可得，|QC|=|QF2|，又∵|F 1C|== 23a ， ∴|QC|=|QF 2|= 23a ， ∴△PF 1Q 为等边三角形， ∴ 2c =√32•4a 3， ∴ e =c a =√33 ． 故答案为： √33 ．【点评】：本题主要考查椭圆与内切圆的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题． 17.（问答题，10分）已知向量 a ⃗ =（2，4，-2）， b ⃗⃗ =（-1，0，2）， c ⃗ =（x ，2，-1）． （1）若 a ⃗ || c ⃗ ，求| c ⃗ |；（2）若 b ⃗⃗ ⊥ c ⃗ ，求（ a ⃗ - c ⃗ ）•（2 b ⃗⃗ + c ⃗ ）的值．【正确答案】：【解析】：（1）由 a ⃗ || c ⃗ ，可得存在实数k 使得 c ⃗ =k a ⃗ ，可得： {x =2k2=4k −1=−2k ，解得x ；（2） b ⃗⃗ ⊥ c ⃗ ，可得 b ⃗⃗ • c ⃗ =-x+0-2=0，解得x ．可得 c ⃗ ，（ a ⃗ - c ⃗ ）•（2 b ⃗⃗ + c ⃗ ）．【解答】：解：（1）∵ a ⃗ || c ⃗ ，∴存在实数k 使得 c ⃗ =k a ⃗ ，可得： {x =2k 2=4k −1=−2k ，解得x=1．∴| c ⃗ |= √12+22+(−1)2 = √6 ；（2） b ⃗⃗ ⊥ c ⃗ ，∴ b ⃗⃗ • c ⃗ =-x+0-2=0，解得x=-2． ∴ c ⃗ =（-2，2，-1）．∴（ a ⃗ - c ⃗ ）•（2 b ⃗⃗ + c ⃗ ）=（4，2，-1）•（-4，2，3）=-16+4-3=-15．【点评】：本题考查了空间向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，∠A 1AD=∠A 1AB=60°，∠DAB=90°，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ．（1）用 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 表示 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求BM 的长；（3）求BM 与AC 所成角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用空间向量的加减与数乘运算求解； （2）求出 |BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2 ，即可求得BM 的长； （3）求出 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，再由数量积求夹角公式可得BM 与AC 所成角的余弦值．【解答】：解：（1） BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = c⃗+12(b ⃗⃗−a ⃗) ； （2）∵ |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=[c ⃗+12(b ⃗⃗−a ⃗)]2= c ⃗2+c ⃗•b ⃗⃗−c ⃗•a ⃗+14b ⃗⃗2+14a ⃗2−12b ⃗⃗•a ⃗ = 4+2×1×12−2×1×12+14×12+14×12−12×1×1×0 = 92 ， ∴ |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 3√22 ，即BM= 3√22； （3） AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗ ， |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+b ⃗⃗2+2a ⃗•b⃗⃗ =2，则 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2 ， 又 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a ⃗+b ⃗⃗)•[c ⃗+12(b ⃗⃗−a ⃗)] = a ⃗•c ⃗+b ⃗⃗•c ⃗+12b ⃗⃗•a ⃗−12a ⃗2+12b ⃗⃗2−12b ⃗⃗•a ⃗ = a ⃗•c ⃗+b ⃗⃗•c ⃗ = 1×2×12+1×2×12=2 ． ∴cos ＜BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞ = BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23√22×√2= 23 ．【点评】：本题考查空间中异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，12分）一动点到两定点距离的比值为非零常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点A 、B 的坐标分别为：A （4，0）、B （1，0），动点M 满足AM=2BM ．（1）求动点M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过P （2，3）作该圆的切线l ，求l 的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设M （x ，y ），根据动点M 满足AM=2BM ，列出方程，化简即可． （2）当切线的斜率不存在时，直线方程为x=2，满足题意；当切线的斜率存在时，则设切线方程为y=kx-2k+3，利用点到直线的距离等于半径求出斜率，得到直线方程．【解答】：解：（1）设动点M 坐标为（x ，y ），则AM= √(x −4)2+y 2 ，BM= √(x −1)2+y 2 ，又知AM=2BM ，则 √(x −4)2+y 2 =2 √(x −1)2+y 2 ，得x 2+y 2=4．（2）当直线l 的斜率存在为k 时，则直线l 的方程为y=kx-2k+3，l 与圆相切， 则d=|−2k+3|√k 2+1=2，得k= 512 ，此时l 的方程为5x-12y+26=0；当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为x=2， 综上：直线l 的方程为x=2与5x-12y+26=0．【点评】：本题考查了圆的标准方程及其性质，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB || CD ，2AB=2AD=CD ，AD⊥CD ，侧面PAD⊥面ABCD ，△PAD 为正三角形，E 为PD 中点． （1）求证：AE || 面PBC ；（2）求AE 与平面PAB 所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明AE平行于平面PBC内直线BF即可；（2）寻找到AE在平面PAB 内投影为PA即可．【解答】：（1）证明：取PC中点F，连接EF、BF，•CD，因为E为PD中点，所以EF || CD，EF= 12又因为AB || CD，2AB=CD，所以EF || AB，EF=AB，所以四边形ABFE为平行四边形，所以AE || BF，因为BF⊂平面PBC，AE⊄平面PBC，所以AE || 面PBC．（2）解：因为侧面PAD⊥面ABCD，侧面PAD∩面ABCD=AD，又因为AD⊥CD，AB || CD，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB，于是PA为AE在平面PAB内投影，所以AE与平面PAB所成的角为∠PAE，因为△PAD为正三角形，E为PD中点，所以∠PAE=30°，所以AE与平面PAB所成的角的大小为30°．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（1）证明：BC⊥BD；（2）求二面角F-CD-B的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）过点D 作DO⊥AC ，交AC 与点O ，连接OB ，由面面垂直的性质定理证明DO⊥平面ABC ，从而得到DO⊥BC ，结合BO⊥BC ，即可证明BC⊥平面BDO ，从而证明结论；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面FCOD 和平面BCD 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．【解答】：（1）证明：如图，过点D 作DO⊥AC ，交AC 与点O ，连接OB ，由∠ACD=45°，DO⊥AC ，所以CD= √2CO ，由平面ACFD⊥平面ABC ，平面ACFD∩平面ABC=AC ，DO⊂平面ACFD ，故DO⊥平面ABC ，又BC⊂平面ABC ，所以DO⊥BC ，由∠ACB=45°，BC= 12CD =√22CO ， 则BO⊥BC ，又DO∩BO=O ，DO ，BO⊂平面BDO ，所以BC⊥平面BDO ，又DB⊂平面BDO ，故BC⊥DB ；（2）解：以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设CD=2BC= 2√2 ，则O （0，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0），D （0，0，2），所以 OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1，1，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2，2) ， OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2，0) ， 设平面BCD 的法向量为 n ⃗⃗=(x ，y ，z) ，则 {n ⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⃗⃗•CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 {−x +y =0−2y +2z =0 ， 令x=1，则y=z=1，故 n ⃗⃗=(1，1，1) ，设平面FCOD 的法向量为 m ⃗⃗⃗=(a ，b ，c) ，则 {m ⃗⃗⃗•OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0m ⃗⃗⃗•OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {2c =02b =0 ， 令x=1，则 m ⃗⃗⃗=(1，0，0) ，所以 |cos ＜m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗＞|=|m ⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗| = 11×√3 = √33， 故二面角F-CD-B 的正弦值为 √1−(√33)2 = √63 ．【点评】：本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.（问答题，12分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 经过点（0，2），且 e =√22 ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m 与椭圆C 相切于点M ，与直线x=x 0相交于点N ．已知点P （-2，0），且PM⊥PN ，求此时x 0的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由椭圆过点（0，2），且 e =√22 ，列方程组，解得a ，b ，即可得出答案． （Ⅱ）设N （x 0，0），设直线方程为y=kx+m ，联立椭圆的方程，由Δ=0，得m 2=8k 2+4，解得M 点坐标，设N （x 0，y 0），则y 0=kx 0+m ，则N （x 0，kx 0+m ），若在x 轴存在P （-2，0）使MP⊥MQ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得答案．【解答】：解：（Ⅰ）由已知得， {e =c a =√22b =√a 2−c 2=2 ，解得 {a 2=8b 2=4 ， 椭圆E 的方程为 x 28+y 24=1 ．（Ⅱ）设N （x 0，0），设直线方程为y=kx+m ，代入 x 28+y 24=1 得x 2+2（kx+m ）2=8，化简得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2-8=0， 由Δ=（4km ）2-4（2k 2+1）（2m 2-8）=0， 得8k 2+4-m 2=0，m 2=8k 2+4， 方程的解为 x =−2km 2k 2+1=−8k m ，y=kx+m=k• −8k m +m= 4m ， 则 M (−8k m ，4m) ， 设N （x 0，y 0），则y 0=kx 0+m ，则N （x 0，kx 0+m ），所以在x 轴存在P （-2，0）使MP⊥MQ ． PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 0+2，kx 0+m) ， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−8k m +2，4m ) ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 0+2)(−8k m +2) +(kx 0+m )4m =0 ，-4kx 0-16k+2x 0m+8m=0， x 0=−(8m−16k )2m−4k =−4 ，所以x 0=-4．【点评】：本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
2020-2021学年广东省深圳外国语学校高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年广东省深圳外国语学校高二（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球.则命题￢p为（）A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球2.（单选题.5分）若命题“∃x0∈R.x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.则m的取值范围是（）A.-1≤m≤2B.-1＜m＜2C.m≤-1或m≥2D.m＜-1或m＞23.（单选题.5分）已知抛物线x2=4y上的一点P到此抛物线的焦点的距离为2.则点P的纵坐标是（）A.0B. 12C.1D.24.（单选题.5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则此双曲线离心率的取值范围是（）A.（1.2]B.（1.2）C.[2.+∞）D.（2.+∞）5.（单选题.5分）过点P（0.1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（）A.4条B.3条C.2条D.1条6.（单选题.5分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.直线l与椭圆C交于A.B两点.且线段AB的中点为M（-2.1）.则直线l的斜率为（）A. 13B. 32C. 12D.17.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的右焦点为F.O为坐标原点.以F为圆心、OF为半径的圆与x轴交于O.A两点.与双曲线C的一条渐近线交于点B．若AB=4a.则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±4x8.（单选题.5分）已知点P在以F1.F2为焦点的双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）上.过P作y轴的垂线.垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形.则该双曲线的离心率为（）A. 1+√22B. 1+√32C.1 +√2D.1+ √39.（多选题.5分）下列命题中.真命题是（）A.若x.y∈R且x+y＞2.则x.y至少有一个大于1B.∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x的最小值为2 √2C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.若∃x∈R.x2+m≤0.则m的取值范围是{m|m≤0}10.（多选题.5分）命题“∃x∈[1.2].x2-a≥0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≤1B.a≤2C.a≤4D.a≤511.（多选题.5分）已知双曲线C过点（3. √2）且渐近线为y=± √33x.则下列结论正确的是（）A.C的方程为x23-y2=1B.C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x- √2y -1=0与C有两个公共点12.（多选题.5分）设椭圆的方程为x22 + y24=1.斜率为k的直线不经过原点O.而且与椭圆相交于A.B两点.M为线段AB的中点．下列结论正确的是（）A.直线AB与OM垂直B.若点M（1.1）.则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1.则点M（13 . 34）D.若直线方程为y=x+2.则AB= 4√2313.（填空题.5分）抛物线y2=12x上到焦点的距离等于9的点的坐标是___ ．14.（填空题.5分）与椭圆x249+y224=1有公共焦点.且离心率e= 54的双曲线的方程___ ．15.（填空题.5分）已知椭圆C：x28 + y26=1的左、右顶点分别为A、B．点P为圆x2+y2=8上不同于A、B两点的动点.直线PB与椭圆C交于点Q.若直线PA斜率的取值范围是[1.2].则直线QA斜率的取值范围是___ ．16.（填空题.5分）已知命题p：“至少一个实数x∈{x|1≤x≤2}.使不等式x2+2ax+2-a＞0成立”则命题p的否定是___ ；若￢p是假命题.则a的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）已知抛物线的顶点为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上.椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点M(23，−2√63) .求抛物线方程与椭圆方程．18.（问答题.12分）已知椭圆的焦距为2.离心率e= 12．（1）求椭圆的方程；（2）设点P是椭圆上一点.且∠F1PF2=60°.求△PF1F2的面积．19.（问答题.12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1.F2.上顶点为M.且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A.B两点.以AB为直径的圆与y轴相切.求m的值．20.（问答题.12分）已知点A.B是抛物线C：y2=2px（p＞0）上关于x轴对称的两点.点E是抛物线C的准线与x轴的交点．（1）若△EAB是面积为4的直角三角形.求抛物线C的方程；（2）若直线BE与抛物线C交于另一点D.证明：直线AD过定点．21.（问答题.12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左.右焦点分别为F1(−√3，0) .F2(√3，0) .且经过点A(√3，12)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点B（4.0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P.Q两点.记点P关于x轴对称的点为P'．若直线P'Q与x轴相交于点D.求△DPQ面积的最大值．2020-2021学年广东省深圳外国语学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球.则命题￢p为（）A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球【正确答案】：B【解析】：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题.它的否定是一个特称命题.书写其否定时不光要否定结论还要改变量词.由此规律易得其否定．【解答】：解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题.它的否定是一个特称命题. 考察四个命题.（3）“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B．【点评】：本题考查命题的否定.要注意研究命题的类型.根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2.（单选题.5分）若命题“∃x0∈R.x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.则m的取值范围是（）A.-1≤m≤2B.-1＜m＜2C.m≤-1或m≥2D.m＜-1或m＞2【正确答案】：A【解析】：由于命题：“∃x0∈R.使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.可得命题的否定是：“∀x∈R.x2+2mx+m+2≥0”为真命题.通过△≤0.解出即可．【解答】：解：∵命题：“∃x0∈R.使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.∴命题的否定是：“∀x∈R.x2+2mx+m+2≥0”为真命题.∴△≤0.即4m2-4（m+2）≤0.解得-1≤m≤2．∴实数m的取值范围是[-1.2]．故选：A．【点评】：本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系.属于基础题．3.（单选题.5分）已知抛物线x2=4y上的一点P到此抛物线的焦点的距离为2.则点P的纵坐标是（）A.0B. 12C.1D.2【正确答案】：C【解析】：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程.进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等.进而推断出y p+1=2.求得y p．【解答】：解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0.1）.准线方程为y=-1.根据抛物线定义.∴y p+1=2.解得y p=1．故选：C．【点评】：本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等.常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．4.（单选题.5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则此双曲线离心率的取值范围是（）A.（1.2]B.（1.2）C.[2.+∞）D.（2.+∞）【正确答案】：C【解析】：若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】：解：已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的右焦点为F. 若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点. 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ba . ∴b a≥ √3 .离心率e 2= c 2a 2=a 2+b 2a 2≥4 .∴e≥2. 故选：C ．【点评】：本题考查双曲线的性质及其应用.解题时要注意挖掘隐含条件．5.（单选题.5分）过点P （0.1）与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有（ ） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条【正确答案】：B【解析】：过点P （0.1）的直线与抛物线y 2=x 只有一个交点.则方程组 {y =kx +1y 2=x 只有一解.分两种情况讨论即可：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时；【解答】：解：（1）当过点P （0.1）的直线存在斜率时.设其方程为：y=kx+1. 由 {y =kx +1y 2=x.消y 得k 2x 2+（2k-1）x+1=0.① 若k=0.方程为-x+1=0.解得x=1.此时直线与抛物线只有一个交点（1.1）； ② 若k≠0.令△=（2k-1）2-4k 2=0.解得k= 14.此时直线与抛物线相切.只有一个交点； （2）当过点P （0.1）的直线不存在斜率时. 该直线方程为x=0.与抛物线相切只有一个交点；综上.过点P （0.1）与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有3条． 故选：B ．【点评】：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想.解决基本方法是：（1）代数法.转化为方程组解的个数问题；（2）几何法.数形结合；6.（单选题.5分）已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .直线l 与椭圆C 交于A.B 两点.且线段AB 的中点为M （-2.1）.则直线l 的斜率为（ ）A. 13B. 32C. 12D.1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的离心率可得a.b的关系.得到椭圆方程为x2+4y2=4b2.设出A.B的坐标并代入椭圆方程.利用点差法求得直线l的斜率．【解答】：解：由e=ca =√32.得c2a2=a2−b2a2=34.∴a2=4b2.则椭圆方程为x2+4y2=4b2. 设A（x1.y1）.B（x2.y2）.则x1+x2=-4.y1+y2=2.把A.B的坐标代入椭圆方程得：{x12+4y12=4b2①x22+4y22=4b2②.① - ② 得：（x1-x2）（x1+x2）=-4（y1-y2）（y1+y2）.∴ y1−y2 x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−−44×2=12．∴直线l的斜率为12．故选：C．【点评】：本题考查椭圆的简单性质.训练了利用“点差法”求中点弦的斜率.是中档题．7.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的右焦点为F.O为坐标原点.以F为圆心、OF为半径的圆与x轴交于O.A两点.与双曲线C的一条渐近线交于点B．若AB=4a.则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±4x【正确答案】：B【解析】：利用已知条件推出渐近线的斜率关系.然后求解渐近线的斜率.得到渐近线方程．【解答】：解：由题意可得OB2+OA2=4c2.设渐近线的倾斜角为α.可得tanα= ADDF =√c2−4a2= ba.可得4a4=b4-2a2b2.解得ba=2．所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故选：B．【点评】：本题考查思想的简单性质的应用.是基本知识的考查．8.（单选题.5分）已知点P在以F1.F2为焦点的双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）上.过P作y轴的垂线.垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形.则该双曲线的离心率为（）A. 1+√22B. 1+√32C.1 +√2D.1+ √3【正确答案】：B【解析】：求出P的坐标.代入双曲线方程.得出e的方程.即可求出双曲线的离心率．【解答】：解：由题意.∠PF2x=60°.∴P（2c. √3 c）.代入x 2a2 - y2b2=1.可得4c2a2- 3c2b2=1.∴4e4-8e2+1=0. ∵e＞1.∴e= 1+√32．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的离心率.考查学生的计算能力.正确求出P的坐标是关键．9.（多选题.5分）下列命题中.真命题是（）A.若x.y∈R且x+y＞2.则x.y至少有一个大于1B.∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x的最小值为2 √2C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.若∃x∈R.x2+m≤0.则m的取值范围是{m|m≤0}【正确答案】：AD【解析】：直接利用反证法.基本不等式的应用.充分条件和必要条件.存在性问题的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：利用反证法.假设x≤1和y≤1.则x+y≤2.故与x+y＞2相矛盾.故A正确；对于B：对∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x ≥ 2√sin2x•2sin2x.当且仅当sinx=±√2 .等号成立.与函数y=sinx的值域相矛盾.故B错误；对于C：a+b=0的充要条件为a和b互为相反数.故C错误；对于D：若∃x∈R.x2+m≤0.则m≤（-x2）max=0.故m的取值范围为{m|m≤0}.故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查的知识要点：反证法.基本不等式的应用.充分条件和必要条件.存在性问题的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．10.（多选题.5分）命题“∃x∈[1.2].x2-a≥0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≤1B.a≤2C.a≤4D.a≤5【正确答案】：AB【解析】：本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≤4}.从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≤4}的真子集.由选择项不难得出答案．【解答】：解：命题“∃x∈[1.2].x 2-a≥0”是真命题. 即只需a≤（x 2）max =4.即命题“∃x∈[1.2].x 2-a≥0”是真命题的充要条件为a≤4.而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≤4}的真子集.由选择项可知AB 符合题意． 故选：AB ．【点评】：本题为找命题一个充分不必要条件.还涉及存在性问题.属于基础题．11.（多选题.5分）已知双曲线C 过点（3. √2 ）且渐近线为y=± √33x.则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为 x 23 -y 2=1 B.C 的离心率为 √3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线x- √2y -1=0与C 有两个公共点 【正确答案】：AC【解析】：根据条件可求出双曲线C 的方程.再逐一排除即可．【解答】：解：设双曲线C的方程为 x 2m +y 2n=1（mn ＜0）. 根据条件可得 9m + 2n =1.且- nm = 13 . 解得m=3.n=-1. 所以双曲线C 的方程为x 23−y 2=1 .故A 对；离心率e= c a = √a 2+b 2a 2 = √3+13 = 2√33.故B 错；双曲线C 的焦点为（2.0）.（-2.0）.将x=2代入得y=e 0-1=0.所以C 对；联立 {x 23−y 2=1x −√2y −1=0.整理得y 2-2 √2 y+2=0.则△=8-8=0.故只有一个公共点.故D 错.故选：AC ．【点评】：本题考查双曲线的性质.根据条件求出双曲线C 的方程是关键.属于中档题． 12.（多选题.5分）设椭圆的方程为 x 22 + y 24 =1.斜率为k 的直线不经过原点O.而且与椭圆相交于A.B 两点.M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是（ ） A.直线AB 与OM 垂直B.若点M （1.1）.则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1.则点M （ 13 . 34 ） D.若直线方程为y=x+2.则AB= 4√23 【正确答案】：BD【解析】：设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （m.n ）.将A.B 的坐标代入椭圆方程.两式相减.运用平方差公式和中点坐标公式、斜率公式.可判断A ；求得OM 的斜率.可得AB 的斜率.可判断B ；联立直线y=x+1与椭圆方程.运用韦达定理和中点坐标公式.可判断C ；联立直线方程和椭圆方程.运用弦长公式可判断D ．【解答】：解：设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （m.n ）.由 y 124 + x 122 =1. y 224 + x 222 =1.两式相减可得 (y 1−y 2)(y 1+y 2)4 + (x 1−x 2)(x 1+x 2)2 =0.由m=x 1+x 22 .n= y 1+y 22.代入上式可得k AB k OM =-2.故A 错误；由上面可得k AB k OM =-2.且k OM =1.可得k AB =-2.则直线方程为y-1=-2（x-1）.即2x+y-3=0.故B 正确；由 {y =x +12x 2+y 2=4可得3x 2+2x-3=0.可得x 1+x 2=- 23 .则中点M （- 13 . 23 ）.故C 错误； 由 {y =x +22x 2+y 2=4 可得3x 2+4x=0.解得x 1=0.x 2=- 43 .则|AB|= √1+1 •|0+ 43 |= 4√23 .故D 正确． 故选：BD ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质.以及直线和椭圆的位置关系.注意运用点差法和联立直线方程和椭圆方程.考查方程思想和运算能力.属于中档题．13.（填空题.5分）抛物线y 2=12x 上到焦点的距离等于9的点的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（6.±6 √2 ）【解析】：根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离.可得所求点的横坐标.即可求得结论．【解答】：解：抛物线y 2=12x 的准线方程为x=-3 ∵抛物线y 2=12x 上点到焦点的距离等于9∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离.可得所求点的横坐标为6 代入抛物线方程.可得y 2=72.∴y=±6 √2 即所求点的坐标为（6.±6 √2 ）故答案为：（6.±6 √2 ）．【点评】：本题考查抛物线的定义.考查学生的计算能力.属于基础题． 14.（填空题.5分）与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点.且离心率e= 54的双曲线的方程___ ．【正确答案】：[1] x 216 - y 29 =1【解析】：求出椭圆的焦点.可得c=5.由离心率公式可得a=4.由a.b.c 的关系可得b=3.即可得到双曲线的方程．【解答】：解：椭圆 x 249+y 224=1的焦点为（ ±√49−24 .0）即为（±5.0）.则双曲线的c=5.由离心率e= 54.则 c a= 54.则有a=4.b= √c 2−a 2 =3.则双曲线的方程为 x 216 - y 29=1.故答案为： x 216 - y 29 =1．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质.考查离心率公式的运用.考查运算能力.属于基础题和易错题．15.（填空题.5分）已知椭圆C ： x 28 + y 26 =1的左、右顶点分别为A 、B ．点P 为圆x 2+y 2=8上不同于A 、B 两点的动点.直线PB 与椭圆C 交于点Q.若直线PA 斜率的取值范围是[1.2].则直线QA 斜率的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][ 34，32]【解析】：由椭圆的第三定义可知.直线QA 与直线QB 的斜率之积为 −b 2a 2 .结合直线PA 与QB 的斜率之积为-1.即可将QA 的斜率用PA 的斜率表示出来.问题即可解决．【解答】：解：易知：AB 既是圆的直径.也是椭圆的长轴. 且a 2=8.b 2=6.由椭圆的第三定义可知： kQA •k QB =−b 2a2=−34① .又P 在圆上.所以PA⊥PB .所以k PA •k QB =-1． ② . 结合 ① ② 可知： k QA =34k PA .因为k PA ∈[1.2]. 故 k QA ∈[34，32] ．故答案为：[ 34，32 ]．【点评】：本题考查椭圆的性质、圆的性质的综合应用.以及函数思想在解题时的应用．属于中档题．16.（填空题.5分）已知命题p ：“至少一个实数x∈{x|1≤x≤2}.使不等式x 2+2ax+2-a ＞0成立”则命题p 的否定是___ ；若￢p 是假命题.则a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解; [2]（-3.+∞） 【解析】：根据特称命题的性质进行求解即可．【解答】：解：￢p ：∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解. ∵￢p 是假命题. 令f （x ）=x 2+2ax+2-a. 则 {f (1)≤0f (2)≤0.即 {1+2a +2−a ≤04+4a +2−a ≤0 .解得a≤-3．故命题p 中.a ＞-3．即参数a 的取值范围为（-3.+∞）． 故答案为：∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解. （-3.+∞）．【点评】：本题主要考查特称命题的应用.将条件转化为求不等式组的范围． 17.（问答题.10分）已知抛物线的顶点为椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上.椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点 M (23，−2√63) .求抛物线方程与椭圆方程．【正确答案】：【解析】：由题意可设抛物线的方程为y2=mx（m≠0）．把点代入M(23，−2√63)抛物线方程即可得到m．把点M(23，−2√63)代入椭圆的方程可得49a2+249b2=1 .又2a=4.联立即可解得．【解答】：解：∵椭圆的焦点在x轴上.且两曲线的焦点在同一坐标轴上. ∴抛物线的焦点也在x轴上.可设抛物线的方程为y2=mx（m≠0）．∵ M(23，−2√63)在抛物线上.∴ (−2√63)2=23m .解得m=4.∴抛物线的方程为y2=4x．∵ M(23，−2√63)在椭圆上.∴ 49a2+249b2=1①又2a=4 ②由① ② 可得a2=4.b2=3．∴椭圆的方程是x24+y23=1．【点评】：本题考查了抛物线与椭圆的焦点的标准方程及其性质.属于基础题．18.（问答题.12分）已知椭圆的焦距为2.离心率e= 12．（1）求椭圆的方程；（2）设点P是椭圆上一点.且∠F1PF2=60°.求△PF1F2的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由焦距和离心率及a.b.c之间的关系求出a.b的值.分椭圆的焦点在x.y轴可得椭圆的方程；（2）由椭圆的定义可得P到两个焦点的距离之和及焦距.在三角形中有余弦定理可得P到两个焦点的距离之积.由面积公式求出三角形的面积．【解答】：解：（1）由题意可得2c=2.e= ca = 12.所以可得a=2.而b2=a2-c2=22-12=3.当焦点在x轴上时.椭圆的方程为：x 24 + y23=1；当焦点在y轴上时.椭圆的方程为：y 24 + x23=1；（2）由（1）可得2c=2.设焦点F1.F2.则F1F2=2c=2.PF1+PF2=2a=4.在△PF1F2中有余弦定理可得：cos∠F1PF2= PF12+PF22−F1F222PF1•PF2= (PF1+PF2)2−2PF1•PF2−F1F222PF1•PF2.由题意可得12 = 42−2PF1•PF2−42PF1•PF2.解得：PF1•PF2=4.所以S △PF1F2 = 12PF1•PF2•sin∠F1PF2= 12× 4× √32= √3；所以△PF1F2的面积为√3．【点评】：本题考查求椭圆的方程.椭圆的性质及余弦定理的应用.属于中档题．19.（问答题.12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1.F2.上顶点为M.且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A.B两点.以AB为直径的圆与y轴相切.求m的值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得M.F1.F2的坐标.由等腰直角三角形得12a2=1.b=c.以及a.b.c的关系.解方程可得a.b.进而得到椭圆方程；（2）设A（x1.y1）B（x2.y2）.联立直线方程和椭圆方程.消去y.得到x的方程.运用判别式大于0和韦达定理.可得AB中点坐标.运用弦长公式可得|AB|.AB为直径的圆与y轴相切可得半径r= 12 |AB|= 23|m|.解方程即可得到m的值．【解答】：解：（1）由题意可得M（0.b）.F1（-c.0）.F2（c.0）. 由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得12a2=1.b=c.且a2-b2=c2.解得b=c=1，a=√2 .则椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设A（x1.y1）B（x2.y2）.联立 {x 22+y 2=1−x +m =y⇒3x 2−4mx +2m 2−2=0 . 即有△=16m 2-12（2m 2-2）＞0.即为- √3 ＜m ＜ √3 . x 1+x 2=4m 3 .x 1x 2= 2m 2−23. 可得AB 中点横坐标为2m3. |AB|= √1+1 • √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √2 • √16m 29−8m 2−83 = 43√3−m 2 .以AB 为直径的圆与y 轴相切. 可得半径r= 12 |AB|= 2|m|3. 即为 23√3−m 2 =2|m|3. 解得m=± √62 ∈（- √3 . √3 ）. 则m 的值为± √62 ．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.注意运用等腰直角三角形的定义和基本量的关系.考查直线方程和椭圆方程联立.运用判别式大于0和韦达定理.中点坐标公式和弦长公式.考查直线和圆相切的条件.考查化简整理的运算能力.属于中档题．20.（问答题.12分）已知点A.B 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上关于x 轴对称的两点.点E 是抛物线C 的准线与x 轴的交点．（1）若△EAB 是面积为4的直角三角形.求抛物线C 的方程； （2）若直线BE 与抛物线C 交于另一点D.证明：直线AD 过定点．【正确答案】：【解析】：（1）求得抛物线的准线方程.可得E 的坐标.由题意可得△EAB 为等腰直角三角形.且EA⊥EB .设出直线AE 的方程.联立抛物线方程.求得A 的坐标.再由三角形的面积公式.解方程可得p.进而可得所求抛物线方程；（2）设B （x 1.y 1）.A （x 1.-y 1）.D （x 2.y 2）.设EB 的方程为x=ny- p2 =0.联立抛物线方程.运用韦达定理.求得直线AD 的斜率和方程.结合点在抛物线上.满足抛物线方程.以及韦达定理.直线恒过定点的求法.可得定点．【解答】：解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（p2 .0）.准线方程为x=- p2.由△EAB是面积为4的直角三角形.且A.B两点关于x轴对称. 可得△EAB为等腰直角三角形.且EA⊥EB.可设AE的方程为y=x+ p2 .联立抛物线C：y2=2px.可得x= p2.y=p.则A（p2 .p）.B（p2.-p）.E（- p2.0）.可得S△EAB= 12p•2p=4.解得p=2.则抛物线的方程为y2=4x；（2）证明：设B（x1.y1）.A（x1.-y1）.D（x2.y2）. 设EB的方程为x=ny- p2=0.联立抛物线C：y2=2px.可得y2-2pny+p2=0.可得y1+y2=2pn.y1y2=p2.k AD= y2+y1x2−x1 = 2pnn(y2−y1)= 2py2−y1.直线AD的方程为y= 2py2−y1（x-x2）+y2.即有y= 2py2−y1 x- 2px2y2−y1+ y22−y1y2y2−y1.即为y= 2py2−y1 x- p2y2−y1.即y= 2py2−y1（x- p2）.可得直线AD恒过定点（p2.0）．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质.考查直线方程和抛物线方程联立.运用韦达定理.考查直线恒过定点的求法.考查化简运算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左.右焦点分别为F1(−√3，0) .F2(√3，0) .且经过点A(√3，12)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点B（4.0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P.Q两点.记点P关于x轴对称的点为P'．若直线P'Q与x轴相交于点D.求△DPQ面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据两点之间的距离公式及椭圆的定义即可求得a 和b 的值.求得椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 的方程.代入椭圆方程.根据韦达定理及直线的斜率公式求得直线P'Q 的方程.求得D 点坐标.利用三角形的面积公式表示出△DPQ 面积.换元利用基本不等式的性质.即可求得△DPQ 面积的最大值．【解答】：解：（I ）由椭圆的定义.可知2a=|AF 1|+|AF 2|= √(2√3)2+(12)+12=4 ．………1分 解得a=2．…………2分又 b 2=a 2−(√3)2=1 ．……3分 所以椭圆C的标准方程为 x 24+y 2=1 ． (4)（Ⅱ）由题意.设直线l 的方程为x=my+4.m≠0．设P （x 1.y 1）.Q （x 2.y 2）.则P'（x 1.-y 1）． 由 {x =my +4x 24+y 2=1.消去x.可得（m 2+4）y 2+8my+12=0．…………5分因为△=16（m 2-12）＞0.所以m 2＞12所以 y 1+y 2=−8m m 2+4 . y 1y 2=12m 2+4 ． (6)因为 k P′Q =y 2+y1x 2−x 1=y 2+y 1m (y2−y 1).所以直线P'Q 的方程为 y +y 1=y 2+y 1m (y2−y 1)(x −x 1) ．…………7分令y=0.可得 x =m (y 2−y 1)y 1y 1+y 2+my 1+4 ．………8分所以 x =2my 1y 2y 1+y 2+4 =2m•12m 2+4−8m m 2+4+4=24m−8m +4=1 .所以D （1.0）．…………9分所以 S △DPQ =|S △BDQ −S △BDP |=12|BD |•|y 1−y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 = 6√m 2−12m 2+4．……10分令 t =√m 2−12 .t∈（0.+∞）． 则 S △DPQ =6tt 2+16=6t+16t≤34.当且仅当t=4即 m =±2√7 时等号成立.．……12分所以△DPQ面积的最大值为34【点评】：本题考查椭圆的标准方程.直线与椭圆的位置关系.考查韦达定理.三角形的面积公式.考查基本不等式的应用.考查计算能力.属于中档题．。
广东省深圳市2020-2021学年高二上学期调研考试数学试题含答案
保密★启用前深圳市普通高中2019级调研考试数学2020.9本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，粘贴好条形码．如果是选择性考试科目，还须将已确定（意向）选考的科目的标识用2B 铅笔涂黑．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，交回答题卡，保留好试卷．一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{04}=≤<A x x ，集合{11}=-<<B x x ，则⋂=A B （）A ．{14}-<<x x B ．{01}≤<x x C ．{10}-<<x x D ．{14}≤<x x 2．函数2()log (3)=-f x x 的定义域为（）A ．(,3]-∞B ．(,3)-∞C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞3．在 ABC 中，若60∠=︒A ，45∠=︒B ，=BC ，则=AC （）A ．B ．CD ．24．某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（）A ．2600B ．2580C ．2540D ．25005．甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如下茎叶图表示，则A ．甲得分的均值高于乙得分的均值B ．甲得分的均值低于乙得分的均值C ．甲得分的方差高于乙得分的方差D ．甲得分的方差低于乙得分的方差6．已知0.430,43,0.4,log 3===a b c ，则（）A ．<<b c aB ．<<b a cC ．<<c a bD ．<<c b a7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．3πB ．6πC ．7πD ．8π8．在 ABC 中，2=AB ，3=AC ，4=B C ，若12=BD DC ，则⋅= AD BC （）A ．16-B ．16C ．56-D ．56二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线:10++=l mx y ，()1,0A ，()3,1B ，则下列结论正确的是（）A ．直线l 恒过定点()0,1B ．当0=m 时，直线l 的斜率不存在C ．当1=m 时，直线l 的倾斜角为34πD ．当2=m 时，直线l 与直线AB 垂直10．已知函数()sin 232=+f x x x ，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．()f x 的图象关于直线512π=-x 对称D ．()f x 的单调递增区间是5,()1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z 111．emoji （中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emoji 表情已经风靡全球，大有“无emoji ，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线221+=x y 勾勒脸庞，用曲线12=+y ，12=+y 近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（）A ．2111344⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭y x x B ．111644+⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭y x C ．411cos 2344π⎛⎫⎛⎫=--≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x D ．211cos 2344π⎛⎫⎛⎫=-+-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭yx x 12．如图，已知四棱锥-P ABCD 所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1=PM 时，截面的面积为52D ．当2=PM 时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(1,),(1,2)==-a mb ，若⊥ a b ，则=m _____．14．已知某设备的使用年限x （年）与维护费用y （万元）之间有如下数据，且x 与y 之间具有线性相关关系，由下表的统计数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.70.35=+y x ，则数据=t _____．使用年限x （年）3456维护费用y （万元）2.5t44.515．已知函数()f x 是奇函数，且满足()(3)=-f x f x ，若当30,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，()=f x x ，则(2020)=f _____．16．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2=+y k x ，曲线2C 的方程为22(1)4++=x y ，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2cos 22sin cos 2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-的值．18．（12分）某地为了解居民家庭的月均用电量，通过抽样获得了100户居民家庭在近一年内的月均用电量（单位：度）数据，将这些数据分成9组：[50,100),[100,150),[150,200),[200,250)，[250,300),[300,350)，[350,400),[400,450),[450,500)，并绘制成如下的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）请估计这100户居民家庭月均用电量的中位数；（3）若从样本中月均用电量在[400,500)的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，求恰有1户居民家庭的月均用电量在[400,500)的概率．19．（12分）如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，1⊥AA 底面111A B C ，1=AC AA ，90︒∠=BAC ，D 是BC 中点，求证：（1）1//A B 平面1AC D ；（2）平面11⊥A B C 平面1AC D ．20．（12分）已知函数()sin()(0,0,0)ωϕωϕπ=+>><<f x A x A的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式：（2）将函数()=y f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()=y g x 的图象，求()g x 在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．21．（12分）已知圆22:4+=O x y ，点P 在直线3=-y 上运动．（1）若点P 的横坐标为1-，且过点P 的直线l 被圆O截得的弦长为，求直线l 的方程；（2）若直线PA ，PB 与圆O 相切，且A ，B 为切点，证明：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标．22．（12分）已知定义在R 上的函数2()23=-+f x x mx 在(0,)+∞上是增函数．()g x 为偶函数，且当(,0]∈-∞x 时，1()2+=x mg x ．（1）求()g x 在(0,)+∞上的解析式；（2）若函数()f x 与()g x 的值域相同，求实数m 的值；（3）令(),0,()(),0,<⎧=⎨>⎩f x x F x g x x 讨论关于x 的方程()3=+F x m 的实数根的个数．深圳市普通高中2019级调硏考试数学参考答案一、单项选择题：题号12345678答案B D BC CD D A二、多项选择题：题号9101112答案CDBCDADBCD三、填空题13．1214．315．1-16．43-．四、解答题：17．【解答】（1）解法一：∵tan tan44tan tan 441tan tan44ππαππααππα⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⋅ ⎪⎝⎭，且1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1113tan 12113α-==-+⋅．5分解法二：∵tan 1tan 41tan πααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭且1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan 111tan 3αα+=-，解得1tan 2α=-．5分（2）222222cos 2sin 22sin cos 2tan 22sin cos22sin cos 2sin cos 2tan 1παααααααααααα⎛⎫+ ⎪---⎝⎭====-----．10分18．【解答】（1）易知500.0008500.0016500.003050500.0050500.0030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+a 500.0012500.0008500.00041⨯+⨯+⨯=，解得0.0042=a ．3分（2）设这100户居民家庭月均用电量的中位数为0x ，∵500.0008500.0016500.0030500.00420.48⨯+⨯+⨯+⨯=，4分∴()02500.00500.50.48-⨯=-x ，6分解得0254=x ，即这100户居民家庭月均用电量的中位数为254．7分（3）由频率分布直方图可知，样本中的月均用电量在[400,450)的居民家庭户数为4，月均用电量在[400,450)的居民家庭户数为2，8分不妨记“从样本中的月均用电量在[400,450)的居民家庭中随杋抽取2户家庭参与调研座谈，恰有1户家庭的月均用电量在[400,450)”为事件A ，且记月均用电量在[400,450)的居民家庭分别为1a ，2a ，3a ，4a 月均用电量在[450,500)的居民家庭分别为1b ，2b 9分从样本中的月均用电量在[400,500)的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，则有()12,a a ，()()()131411,,,,,a a a a a b ，()()()122324,,,,,a b a a a a ，()()()212234,,,,,a b a b a a ，()()3132,,,a b a b ()()()414212,,,,,a b a b b b 共15个基本事件，10分其中恰有1户居民家庭的月均用电量在[450,500)的基本事件有，()()()()11122122,,,,,,,a b a b a b a b ，()()()()31324142,,,,,,,a b a b a b a b 共8个基本事件，11分∴由古典概型的计算公式可知，事件A 的概率为8()15=P A ．12分19．【解答】（1）解法一：如图，记线段1AC 与线段1A C 相交于点O ，连接O D ，∵侧面11AA C C 为平行四边形，∴O 为线段1A C 的中点，1分∵D 为线段BC 的中点，则O D 为1 A BC 的一条中位线，∴1//OD A B ，3分又∵⊂OD 平面1AC D ，1⊄A B 平面1AC D ，∴1//A B 平面1AC D ．5分解法二：如图，取11B C 的中点1O ，连接1O B ，11O A ，1O D ，∵D 为线段BC 的中点，且四边形11BB C C 为平行四边形，∴111O DCC AA ，∴四边形11O DAA 为平行四边形，∴11//AD O A ，又∵⊂AD 平面1AC D ，11⊄O A 平面1AC D ，∴11//O A 平面1AC D ；2分又∵11BDO C ，∴四边形11BDC O 为平行四边形，∴11//O B C D ，又∵1⊂C D 平面1AC D ，1⊂/O B 平面1AC D ，∴1//O B 平面1AC D ；4分而1111⋂=O B O A O ，1O B ，1⊂O A 平面11O A B ，∴平面11//O A B 平面1AC D ，又∵1⊂A B 平面11O A B ，∴1//A B 平面1AC D ．5分（2）∵在三棱柱111-ABC A B C 中，1⊥AA 平面111A B C ，11⊂A B 平面111A B C ，∴111⊥A B AA ，6分又∵90︒∠=BAC ，∴1111⊥A B A C ，又∵1111⋂=AA AC A ，1AA ，11⊂AC 平面11AA C C ，∴11⊥A B 平面11AA C C ，8分∵1⊂AC 平面11AA C C ，∴111⊥AC A B ，9分又∵侧面11AA C C 为平行四边形，1=AC AA ，∴四边形11AA C C 为菱形，∴11⊥AC AC 10分又∵1111⋂=A B AC A ，11A B ，1⊂A C 平面11A B C ，∴1⊥AC 平面11A B C ，11分又∵1⊂AC 平面1AC D ，∴平面11⊥A B C 平面1AC D ．12分20．【解答】（1）由题设图象可知2=A ，1分∵周期11521212πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T，2||2πω==T 又0ω>，∴2ω=，3分∴()f x 过点11,212π⎛⎫⎪⎝⎭，∴112sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4分∴11262ππϕπ+=+k ，即42,3πϕπ=-∈k k Z ．∵0ϕπ<<，∴23πϕ=，5分故函数()f x 的解析式为2()2sin 23π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ．6分（2）由题意可知()2sin 6π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，9分∵,32ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，∴2,663πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x ，∴1sin ,162π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，故2sin [1,2]6π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，∴()g x 在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-．12分21．【解答】（1）∵点P 在3=-y 上，且横坐标为1-，∴(1,3)--P ，又∵l被圆截得的弦长为∴圆心O 到直线l 的距离1=d ，1分①当直线l 斜率不存在，即1=-x 时，满足题意；2分②当直线l 斜率存在时，设:(1)3=+-l y k x ，则1==d ，解得43=k ，4分∴4:(1)33=+-l y x ，即l 的方程为4350--=x y ；综上所述，直线l 的方程为1=-x 或4350--=x y 5分（2）解法一：设(,3)-P t ，则OP 的中点坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭t ，∴以OP，7分∴以OP 为直径的圆的方程为()222319224⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t x y t 整理得2230LL-++=x tx y y ①，9分又∵,A B 为切点，圆O 的方程224LL +=x y ②，由①-②可得直线AB 的方程为340--=tx y ，11分故直线AB 恒过定点40,3⎛⎫-⎪⎝⎭．12分解法二：设(,3)-P t ，()11,A x y ，()22,B x y ．则22114+=x y ，6分易知直线OA 的斜率存在，其斜率为()1110≠y x x ，当10≠y 时，由⊥PA O A ，由此可知直线PA 的斜率为11-x y ，7分∴直线PA 的方程可表示为()1111-=--x y y x x y ，整理得，直线PA 的方程为114+=x x y y ，当10=y 时，直线PA 的方程也满足上述方程，∴综上所述，直线PA 的方程为114+=x x y y ．8分又∵直线PA 过点P ，∴11340--=tx y ①9分同理可得，直线PB 的方程为224+=x x y y ，易得，22340--=tx y ②，10分由①②可知：直线AB 的方程为340--=tx y ，11分易知直线AB 恒过定点40,3⎛⎫-⎪⎝⎭．12分（注：若第二问设出P 点坐标后，直接写出直线AB 的方程，则该问最多给4分，总分不得超过9分）22．【解答】（1）∵()g x 为偶函数，∴当0>x 时，则0-<x ，∴1()()22--+=-==x m x mg x g x ．2分（2）∵函数2()23=-+f x x mx 在(0,)∞+上单调递增，∴0≤m ，且()f x 的值域为)23,⎡-+∞⎣m ．3分当(,0]∈-∞x 时，()2-≥mg x ，∵()g x 是偶函数，∴()g x 的值域为)2,-⎡+∞⎣m．4分由题232--=mm ．令2()32-=--mh m m ，易知()h m 在(,0]-∞上单调递增，且(1)0-=h ；∴1=-m ．5分（3）解法一：①当0=m 时，33+=m ，23,0,()2,⎧+<=⎨>⎩xx x F x x 此时()3=F x 仅有一个实数根2log 3=x ．6分②当1=-m 时，32+=m ，2123,0,()2,+⎧++<=⎨>⎩x x x x F x x 此时()2=F x 仅有一个实数根1=-x ．7分③当10-<<m 时，则2233,233,122-<+<<-<<<m m m ，而()2(3)3(1)0+--=+<m m m m ，∴2233-<+<-mm m ，∵函数()F x 在(,]-∞m 上单调递减，在[,0)m 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，故此时，方程()3=+F x m 仅有一个实数根0x ，且023-=+x mm ，02log (3)=++x m m ．9分④当1<-m 时，则32+<m ，232-<m ，22->m ，而()2(3)3(1)0+--=+>m mm m ，∴2332--<+<mm m ，∵函数()F x 在(,]-∞m 上单调递减，在[,0)m 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，故此时，方程()3=+F x m 有两个实数根，其根满足方程2233-+=+x mx m ，解之，得=±x m ．11分综上所述，当1<-m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根；当10-≤≤m 时，方程()3=+F x m 仅一个实数根．12分（3）解法二：①当1<-m 时，（i ）当0<x 时，2()320=+⇔--=F x m x mx m ．()240∆=+>m m ，方程220--=x mx m 有两个负的实数根=±x m （ii ）当0>x 时，令()23-=--mH m m ，易知()H m 单调递减，且(1)0-=H ．故此时()(1)0>-=H m H ，即23->+mm ．∴()23->>+mg x m ．即方程()3=+F x m 在当0>x 时无实数根．故当1<-m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根．7分②当10-<<m 时，当0<x 时，()240∆=+<m m ，方程220--=x mx m 无实数根．当0>x 时，由①可知，此时23-<+mm ．方程()323-=+⇔=+x mF x m m ．解得2log (3)=++x m m ．故当10-<<m 时，方程()3=+F x m 仅有一个实数根．9分③当0=m 时，33+=m ，23,0,()2,⎧+<=⎨>⎩xx x F x x 此时()3=F x 仅有一个实数根2log 3=x ．10分④当1=-m 时，32+=m ，2123,0,()2,0.+⎧++<=⎨>⎩x x x x F x x 此时()2=F x 仅有一个实数根1=-x ．11分综上所述，当1<-m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根；当10-≤≤m 时，方程()3=+F x m 仅一个实数根．12分。
人教版高二上册数学期中数学试卷带答案
2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1. 已知a>b，c>d>0，则（）A.1 a <1bB.a−c>b−dC.ac>bdD.dc<d+4c+42. 关于x的不等式x+1x−2≥0的解集为（）A.(−∞, −1]∪(2, +∞)B.[−1, 2)C.(−∞, −1]∪[2, +∞)D.[−1, 2]3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＝1，且S6−S2＝10，则a3+a4＝（）A.2B.3C.4D.54. 若不等式ax2+bx−1<0的解集为{x|−1<x<2}，则a+b的值为（）A.−14B.0 C.12D.15. 已知等比数列{a n}中，a2a3a4=1，a6a7a8＝64，则a5＝（）A.±2B.−2C.2D.46. 已知在数列{a n}中，a1=2,a n+1=nn+1a n，则a2020的值为（）A.1 2020B.12019C.11010D.110097. 已知a>0，b>0，a+b＝3，则y=4a +1b+1的最小值为（）A.9 8B.94C.92D.98. 已知数列{b n}满足b n=2λ(−12)n−1−n2，若数列{b n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A.(−1, 103) B.(−12, 103) C.(−1, 1) D.(−12, 1)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.)9. 下列说法正确的有（）A.“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件B.“1a >1b”是“a<b”的既不充分又不必要条件C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D.“a>b>0”是“a n>b n(n∈N, n≥2)”的充要条件10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，2a5+a11＝0，则（）A.a8<0B.当且仅当n＝7时，S n取得最大值C.S4＝S9D.满足S n>0的n的最大值为1211. 已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则（）A.a2+b2的最小值为12B.ab+1ab的最小值为2C.√a+√b的最大值为√2D.1a +1b的最大值为412. 对于数列{a n}，定义：b n=a n−1a n(n∈N∗)，称数列{b n}是{a n}的“倒差数列”．下列叙述正确的有（）A.若数列{a n}单调递增，则数列{b n}单调递增B.若数列{b n}是常数列，数列{a n}不是常数列，则数列{a n}是周期数列C.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}没有最小值D.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}有最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.)13. 命题“∃x∈R，x2−2x+m≤0”的否定是________．14. 在等比数列{a n }中，已知a 3⋅a 8=10，则a 53⋅a 7的值为________．15. 已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为________．16. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为________，此数列的通项公式a n ＝ {n 2−12(n)n 22(n)．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在①f(x +1)−f(x)＝2ax ，②f(x)的对称轴为x =12，③f(1)＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +1，若_____，且不等式f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，试求实数a 的取值范围．18. 已知数列{a n }是公比q >1的等比数列，若a 1+a 2+a 3＝14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，数列{1b n b n+1}的前n 项和为T n ，若T n <m 2−1对n ∈N ∗恒成立，求满足条件的自然数m 的最小值．19. 已知数列{a n }中，a 1＝2，且满足a n+1−2a n ＝2n+1(n ∈N ∗)．（1）求证：数列{a n2n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对于数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．20. 已知函数f(x)=a⋅2x +12x −1,a ∈R ．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>3的解集；（2）若不等式|f(2x)−f(x)|≤1对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数a的取值范围．21. 如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即△ABC的周长）为l．设EC＝x百米．（1）试用x表示线段BC的长度；（2）求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．22. 已知数列{a n}为等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）若a1＝0，d＝2，求S100的值；,8)内，求d的取值范围；（2）若a1＝−1，{a n}中恰有6项在区间(12（3）若a1＝1，S2＝3，集合A={a n|n∈N∗}，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{b n}，使得此新数列{b n}满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：叫作数a和数b的调和平均数）．数2aba+b参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】D【解析】由不等式的性质逐一判断即可．2.【答案】C【解析】根据题意，原不等式变形可得(x+1)(x−2)>0或x+1＝0，解可得x的取值范围，即可得答案．3.【答案】B【解析】先根据求和公式和等差数列的性质可得a5+a4＝5，即可求出a3+a4．4.【答案】B【解析】不等式ax2+bx−1<0的解集是{x|−1<x<2}，故−1，2是方程ax2+bx−1＝0的两个根，由根与系数的关系求出a，b．5.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4=1，a6a7a8＝64，可得(q4)3＝64，解得q2．又(a1q2)3=1，解得a1．利用通项公式即可得出．6.【答案】C【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．7.【答案】B【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．8.【答案】A【解析】)n−2n−1<0，分类讨论，根据数列的根据函数为递减数列可得b n+1−b n＝6λ(−12函数特征即可求出．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.9.【答案】A,B,C【解析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误．10.【答案】A,C,D【解析】2a5+a11＝0利用通项公式可得：a1＝−6d．根据a1>0，可得d<0，利用通项公式和求和公式进而判断出结论．11.【答案】A,C,D【解析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．12.【答案】B,D【解析】对于A，根据函数f(x)＝x−1在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，但在整个定义域上不x是单调递增，即可判断；=t，通过数列的递推关系可得数列{a n}是以2为周期的周期数对于B，设b n＝a n−1a n列，)n，分了n为奇数和偶数，利用数列的单调性即可判断．对于CD，若a n＝1−(−12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.13.【答案】∀x∈R，x2−2x+m>0【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．14.【答案】100【解析】根据等比数列的性质即可求出．15.【答案】6【解析】此题暂无解析16.【答案】180【解析】直接利用数据求出数列的关系式和通项公式．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】选①f(x+1)−f(x)＝2ax，∵f(x)＝ax2+bx+1，∴a(1+x)2+b(1+x)+1−ax2−bx−1＝2ax，整理可得，2ax+a+b＝2ax，∴a+b＝0，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选②：f(x)的对称轴为x=12，∴−b2a =12，∴b＝−a，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选③：f(1)＝2，∴a+b+1＝2即b＝1−a，∵f(x)＝ax2+(1−a)x+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，x+1≥0不恒成立，当a≠0时，{a>0(1−a)2−4a≤0，解得3−2√2≤a≤3+2√2，故3−2√2≤a≤3+2√2．【解析】选①：f(x+1)−f(x)＝2ax，结合已知二次函数代入可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选②：f(x)的对称轴为x=12，结合已知二次函的对称轴方程可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选③：f(1)＝2，直接代入可得b＝1−a，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求．18.【答案】数列{a n}是公比q>1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．所以{a1+a2+a3=142(a2+1)=a1+a3，整理得{a1+qa1+a1⋅q2=142(a1⋅q+1)=a1+a1⋅q2，解得{a1=2q=2，故a n=2n．由于b n＝log2a n＝n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1，若T n<m2−1对n∈N∗恒成立，只需满足m2−1≥1即可，故m≥4，即满足条件的自然数m的最小值为4．【解析】（1）直接利用已知条件和关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出数列的和及m的最小值．19.【答案】数列{a n}中，a1＝2，且满足a n+1−2a n＝2n+1(n∈N∗)．整理得a n+12n+1−a n2n=1（常数），所以数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n2n=1+(n−1)=n，所以a n=n⋅2n．证明：由于a n=n⋅2n，所以b1+2b2+...+nb n＝n⋅2n①，当n＝1时，b1＝2，当n≥2时，b1+2b2+⋯+(n−1)b n−1=(n−1)⋅2n−1②，①-②得：nb n=n⋅2n−(n−1)⋅2n2=(n+1)⋅2n2，所以b n=(n+1)2n−1n，（首项符合通项），所以b n=(n+1)2n−1n，即数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．【解析】（1）直接利用构造新数列的应用求出数列的通项公式； （2）利用数列的递推关系式的应用求出结果． 20. 【答案】当a ＝1时，f(x)=2x +12x −1，由f(x)>3，即2x +12x −1>3，化为2−2x2x −1>0， 即1<2x <2，可得0<x <1， 则解集为(0, 1)； f(x)=a⋅2x +12x −1=a +a+12x −1，则f(2x)−f(x)=a+122x −1−a+12x −1=(a +1)⋅−2x22x −1，令t ＝2x ，因为x ∈[1, 2]，可得t ∈[2, 4]， 由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x=t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t )min ，而g(t)＝t −1t 在[2, 4]递增，可得g(t)min ＝g(2)=32， 则|a +1|≤32，解得−52≤a ≤12， 则a 的取值范围是[−52, 12]． 【解析】（1）由题意可得f(x)=2x +12x −1，由指数不等式的解法和指数函数的单调性，可得所求解集；（2）计算f(2x)−f(x)，令t ＝2x ，t ∈[2, 4]，由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x =t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t)min ，运用g(t)＝t −1t在[2, 4]的单调性，可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围． 21.【答案】∵ AB ⊥AC ，∴ ∠EAC +∠BAD ＝90∘，在Rt △ABD 中，∠ABD +∠BAD ＝90∘，∴ ∠EAC ＝∠ABD ，则Rt △CAE ∽Rt △ABD ， ∴ ACAB =ECAD ．∵ EC ＝x ，AC =√AE 2+EC 2=√1+x 2，AD ＝1，∴AB=1×√1+x2x =√1+x2x，则BC=√AB2+AC2=√1+x2+1+x2x2=√x2+2+1x2=x+1x；f(x)=√1+x2+√1+x2x +x+1x，x>0．∵x>0，∴f(x)≥2√√1+x2⋅√1+x2x +2√x⋅1x=2√1x+x+2≥2√2+2．当且仅当√1+x2=√1+x2x ，且1x=x，即x＝1时取“＝”．∴f(x)min=2√2+2，故景观桥总长的最小值为(2√2+2)百米．【解析】（1）由已知证明Rt△CAE∽Rt△ABD，得ACAB =ECAD，由EC＝x，得AC=√AE2+EC2=√1+x2，AD＝1，再由勾股定理求BC；（2）写出f(x)的表达式，然后利用基本不等式求最值．22.【答案】因为a1＝0，d＝2，又因为S n＝na1+n(n−1)2⋅d，所以S100＝100×0+12×100×99×2＝9900；设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，则{a m>12 a m−1≤12a m+5<8 a m+6≥8，即有{−1+(m−1)d>12−1+(m−2)d≤12−1+(m+4)d<8−1+(m+5)d≥8，解得{32(m−1)<d≤32(m−2)9m+5≤d<9m+4，所以{32(m−1)<9m+49 m+5≤32(m−2)，解得m∈(2, 175]，所以m＝3，所以d∈[98, 97 )；因为a1＝1，S2＝a1+a2＝3，所以a2＝2，d＝a2−a1＝1，所以a n＝n，①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m，若a n=2a m a ma m+a m=a m，矛盾；若a m=2a n a ma n+a m，解得a m＝a n，所以a n，a m是两个不同项，且a m≥1，a n≥1，所以a n≠a m，所以新数列{b n}中有两个相同和一个不同项是不成立的；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，设m＝a m，n＝a n，r＝a r，且m<n<r，b1＝m，b2＝n，则a n=2a m a ra m+a r ，即n=2mrm+r，解得r=mn2m−n ，设第四项为p，则r=2npn+p，即p=nr2n−r =mn22m−n2n−mn2m−n=mn3m−2n，设第五项为t，则p=2rtr+t ，即t=rp2r−p=mn2m−n⋅mn3m−2n2mn2m−n−mn3m−2n=mn4m−3n，由数学归纳法可得b n=b1b2(n−1)b1−(n−2)b2，即(n−1)b1>(n−2)b2，b1b2>n−2n−1，当n非常大时，n−2n−1趋向于1，则b1b2≥1，即b1≥b2（与假设矛盾），故三项不同的数列{b n}也不存在．综上可得，{b n}不存在．【解析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得所求和；（2）设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，运用等差数列的通项公式可得m，d的不等式组，解不等式可得所求范围；（3）分别讨论①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，推理论证即可判断存在性．试卷第11页，总11页。
2020学年广东省深圳市深圳外国语学校高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
B．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若 x2﹣3x＝2＝0，则 x＝1”的逆否命题为：“若 x≠1，则 x2﹣3x
＝2≠0”
D．对于命题 p：∃ x≥0，2x＝3，则￢P：∀ x＜0，2x≠3
【答案】D
【解析】根据含有逻辑联结词命题真假性、充分和必要条件、逆否命题和全
称命题与特称命题的知识对选项逐一分析，由此确定说法错误的选项.
2 故答案为： 7
2
金戈铁骑
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【点睛】
本小题主要考查空间向量坐标的线性运算，考查空间两个向量垂直的坐标表
示，属于基础题. 14．若抛物线 y＝4x2 上的点 A 到焦点的距离为 33 ，则 A 到 x 轴的距离是
16 _____．
【答案】 2
点对称，F1, F 关于原点对称，由于 AF BF ，所以四边形 AFBF1 为矩形，对
角线相互平分.由于 ABF
π 6
，故 AF1F
π 6
，故可设
AF n, AF1 3n, F1F2 2n ，根据双曲线的定义可知
e 2c 2c 2a AF1 AF
2n 3n n