0主定理求递归公式
递归计算方法
递归计算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊递归计算方法。
这玩意儿啊，就像是一个神奇的魔法盒子，打开之后能让你看到一连串奇妙的数字变化。
递归，听着是不是有点玄乎？其实啊，你可以把它想象成俄罗斯套娃。
一个套一个，不断地重复相同的模式。
比如说，你计算一个问题，然后这个问题又会引发一系列类似的小问题，这些小问题又用同样的方法去解决，一层一层，就这么不断深入下去。
举个例子吧，就好像你要爬一座很高很高的山。
你先迈出第一步，到了一个小平台，然后从这个小平台出发，又可以迈出下一步，到达另一个稍高一点的平台。
就这样，不断地重复这个过程，你就慢慢爬到山顶啦！递归计算方法不也是这样嘛，从一个简单的情况开始，然后不断深入，解决一个又一个相关的小问题。
你说这递归计算方法难不难？嘿，这可不好说！有时候就像解开一个复杂的谜题，需要你仔细琢磨，找到那个关键的线索。
但一旦你找到了那个点，哇塞，就像打通了任督二脉一样，一切都变得清晰起来。
咱再想想啊，生活中不也有很多类似递归的情况嘛。
就好比你学一项新技能，从最基础的开始，学会了之后再去攻克更难的部分，这不就是一种递归嘛。
还有啊，做一件大事，不也是把它分成一个个小步骤，一个一个地去完成嘛。
递归计算方法就像是一个隐藏在数字世界里的秘密通道，带你走向那些意想不到的奇妙之处。
它可以让看似复杂无比的问题，通过不断地分解和重复，变得简单易懂。
你可别小瞧了它哟！在很多领域，递归计算方法都发挥着巨大的作用呢。
比如在计算机科学里，它能帮助程序员们写出高效简洁的代码；在数学领域，它能解开很多复杂的难题。
所以啊，朋友们，当你们遇到一个看似很难的计算问题时，不妨想想递归计算方法呀。
说不定，它就能像一把神奇的钥匙，打开那扇通往答案的大门呢！总之，递归计算方法是个很有趣也很有用的东西。
它就像数字世界里的小精灵，蹦蹦跳跳地给我们带来惊喜和启发。
大家可得好好去了解了解它，感受感受它的魅力呀！。
递归算法详解完整版
递归算法详解完整版递归算法是一种重要的算法思想，在问题解决中起到了很大的作用。
它通过将一个大问题划分为相同或类似的小问题，并将小问题的解合并起来从而得到大问题的解。
下面我们将详细介绍递归算法的定义、基本原理以及其应用。
首先，我们来定义递归算法。
递归算法是一种通过调用自身解决问题的算法。
它通常包括两个部分：基础案例和递归步骤。
基础案例是指问题可以被直接解决的边界情况，而递归步骤是指将大问题划分为较小问题并通过递归调用自身解决。
递归算法的基本原理是"自顶向下"的思维方式。
即从大问题出发，不断将问题划分为较小的子问题，并解决子问题，直到达到基础案例。
然后将子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的最大特点是简洁而优雅。
通过将复杂问题分解为简单问题的解决方式，可以大大减少代码的复杂程度，提高程序的效率和可读性。
但是递归算法也有一些缺点，包括递归深度的限制和复杂度的不确定性。
过深的递归调用可能导致栈溢出，而不合理的递归步骤可能导致复杂度过高。
递归算法有许多应用场景，我们来介绍其中一些典型的应用。
1.阶乘问题：计算一个数的阶乘。
递归算法可以通过将问题划分为更小的子问题来解决。
例如，n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘。
当n 等于1时，我们可以直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int factorial(int n)if (n == 1)return 1;}return n * factorial(n - 1);```2.斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n个数的值。
斐波那契数列的定义是前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
递归算法可以通过将问题划分为两个子问题来解决。
当n等于1或2时，直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int fibonacci(int n)if (n == 1 ， n == 2)return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);```3.二叉树问题：对于给定的二叉树，递归算法可以通过递归调用左子树和右子树的解来解决。
递归时间复杂度计算公式
递归时间复杂度计算公式
摘要：
1.递归时间复杂度计算的基本概念
2.递归时间复杂度的分类
3.递归时间复杂度计算的具体方法
4.递归时间复杂度在实际问题中的应用
正文：
一、递归时间复杂度计算的基本概念
在计算机科学中，递归是一种函数调用自身的技术。
递归时间复杂度是指在计算过程中所需要的基本运算次数，通常用来衡量算法的效率。
递归时间复杂度与递归深度有关，递归深度是指函数调用自身的层数。
二、递归时间复杂度的分类
递归时间复杂度可以分为两类：一类是递归的时间复杂度为O(f(n))，另一类是递归的时间复杂度为O(g(n))。
其中，O(f(n)) 表示随着n 的增大，时间复杂度会无限增大；O(g(n)) 表示时间复杂度是一个常数，与n 无关。
三、递归时间复杂度计算的具体方法
递归时间复杂度计算的具体方法通常采用主定理。
主定理的内容是：若递归函数的时间复杂度为O(f(n))，则递归函数的时间复杂度为O(f(n))。
若递归函数的时间复杂度为O(g(n))，则递归函数的时间复杂度为O(g(n))。
四、递归时间复杂度在实际问题中的应用
递归时间复杂度在实际问题中的应用非常广泛，例如在计算阶乘、汉诺塔
等问题中都会涉及到递归时间复杂度的计算。
通过计算递归时间复杂度，我们可以更好地了解算法的效率，为选择合适的算法提供依据。
主定理求解递归式
主定理求解递归式主定理（Master Theorem）是一种用于求解具有特定形式的递归式的方法，它可以给出递归式的渐进复杂度的一个准确界限。
主定理通常用于分析分治算法的复杂度，例如在排序、搜索和图算法等领域中。
主定理的一般形式为：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，a ≥ 1，b > 1，f(n)是一个给定的函数，对于足够大的n，f(n) > 0。
T(n)表示问题规模为n的递归算法的运行时间。
根据主定理，我们可以将问题分为三种不同的情况：1. 如果 f(n) = O(n^c) ，其中 c < logb(a) ，那么 T(n) =Θ(n^logb(a))。
2. 如果f(n) = Θ(n^c log^k n) ，其中 c = logb(a) ，那么 T(n) =Θ(n^c log^(k+1) n)。
3. 如果f(n) = Ω(n^c) ，其中 c > logb(a) ，并且对于某个常数ε > 0和足够大的n，有af(n/b) ≤ kf(n)，其中 k < 1 ，那么 T(n) =Θ(f(n))。
这三种情况涵盖了大多数分治算法的复杂度分析。
我们可以根据给定的递归式直接套用主定理的公式来得到递归算法的复杂度的界限。
但需要注意的是，主定理对于所有递归式都成立是不一定的，因此在使用主定理之前，需要确保递归式满足主定理的条件。
在某些情况下，可能需要对递归式进行适当的转换或使用其他的方法来求解复杂度。
除了主定理，还有一些其他的方法可以用来求解递归式的复杂度，例如递归树、代入法、迭代法等。
这些方法可以作为主定理的补充，用于求解一些特殊的递归式或不满足主定理条件的递归式。
在算法分析领域，主定理是一个重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和分析分治算法的性能。
通过正确应用主定理，我们可以快速且准确地得到递归算法的渐进复杂度，从而更好地评估算法的效率和可行性。
尽管主定理是一个有力的工具，但在实际应用中，我们还需要考虑算法的具体实现细节、边界条件、问题规模的分布情况等因素，来综合评估算法的性能。
递归式的三种求解方式
递归式的三种求解⽅式求解递归式对于分冶算法的重要性不⾔⽽喻以下介绍了三种求解递归式的⽅法1，代换法：缺点：代换法主要的缺点在于，对于任何递归式，我们先得去猜其解，对于猜错了同学，如果不幸猜出的结果和正确结果相差太⼤，虽然可以推导，但是意义不⼤；优点：代换法相较于递归树法更为严谨，相较于主定理应⽤范围更⼴，主定理只能求解类似于T(n) = aT(n/b)+n/c这种形式的递归式；下⾯给出⼀个递归表达式T(n) = 2T(n/2)+n，求其解；⾸先猜⼀下其解为O(nlgn);那么我们只需要证明T(n)<cnlgn即可先假设T(n)<cnlgn对于n/2也成⽴，那么T(n/2)<=c(n/2)lg(n/2)也成⽴那么必然的T(n)<=2(c(n/2)(lgn/2))+n-=cnlgn-cnlg2+n<=cnlgn-cn+n以上表达式，在c>=1时永远成⽴，得证递归式T(n) = 2T(n/2)+n的解为O(nlgn)其他递归式的求解⽅式和上⾯的⼤体相似；2,递归树法递归树⽅法利⽤了将递归式分解为⼀棵递归树的形式来更加直观的求解递归式；缺点：递归树⽅法求解递归式因为丢弃了很多低阶项，所以不够严谨；优点：递归树⽅法求解递归式从视觉上更为直观，简单。
⼀般可以先运⽤递归树求解，然后利⽤代换法更加严谨得证明⽤递归树求解的解的数学上的正确性；下⾯求T(n) = 2T(n/2)+n的解⾸先将上述递归表达式⽤递归树表达出来，不会画图，⽐较丑。
以上递归式的深度为lgn,每层的代价为n,⾃然推导出T(n) = T(n/2)的解为O(nlgn)以上递归式的求解⽐较简单更为复杂的求解参考算法导论；3,主定理主定理是最为简单求解递归式的解的⽅法，也是我最为喜欢的⼀种分析⽅法主定理给出如下的如下形式的通⽤的递归式:T(n) = aT(n/b)+f(n)主定理套公式分为以下三种情况符号打得⼼累直接截图：以上为三种递归式的求解⽅法。
递归
江苏省金湖中学信息学奥赛组 function search(x,top,bot:integer):Integer; var mid: integer; begin if top<=bot then begin mid:=(top+bot) div 2; if x=a[mid] then search:=mid else if x<a[mid] then search:=search(x,top,mid-1) search:=search(x,top,midelse search:=search(x,mid+1,bot) search:=search(x,mid+1,bot) end else search:=-1; search:=end;
江苏省金湖中学信息学奥赛组 语句： 语句： Hanoi(3 A’， B’， Hanoi(3，‘A’，‘B’，‘C’) 在执行过程中， 在执行过程中 ， 递归工作栈要为每一层的递归保 留数据，由于递归过程hanoi只含有四个值参数， hanoi只含有四个值参数 留数据，由于递归过程hanoi只含有四个值参数， 也无其它局部变量， 也无其它局部变量 ， 因而每一层递归需记录五个 数据项： 返回地址和四个值参。 数据项 ： 返回地址和四个值参 。 ( 栈中内容为返 回的程序行号，参数n 参数x 参数y 参数z) 回的程序行号，参数n，参数x，参数y，参数z)
江苏省金湖中学信息学奥赛组 例1、递归计算 ！ 、递归计算N！ N!可以由下列公式表示： N!可以由下列公式表示 可以由下列公式表示：
江苏省金湖中学信息学奥赛组 program p1(input，output)； ， ； var n：integer；s： longint； a=0 {fac(0)} ： ；： ； 1 function fac(a：integer)：longint； ： ： ； a=1 {fac(1)} 1 begin 2 a=2 {fac(2)} if a=0 then fac:=1 else fac:=a*fac(a-1)； ； 6 a=3 {fac(3)} end； ； a=4 24 {fac(4)} begin readln(n)； ； a=5120 {fac(5)} s:=fac(n)； ； 栈用于存放递归 栈用于存放递归 writeln(n，‘!=’，s) ， ， 调用中不断产生 end． ． 的新的局部变量
离散数学递归逻辑表达式应用举例
离散数学递归逻辑表达式应用举例离散数学是一门基础学科，它在计算机科学、数学、逻辑学等领域中起着重要的作用。
在离散数学中，递归和逻辑表达式是两个常见的概念。
本文将通过一些实例来说明离散数学中递归逻辑表达式的应用。
1. 递归的定义递归是指在函数或程序中调用自身的过程。
在离散数学中，递归是通过基础情况和递推关系来定义的。
基础情况是递归停止的条件，而递推关系是指通过已知的递归结果来计算下一步的递归结果。
例如，斐波那契数列是一个经典的递归序列。
它的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)在斐波那契数列中，基础情况是F(0)和F(1)，递推关系是F(n) =F(n-1) + F(n-2)。
通过这个递推关系，我们可以计算出任意位置的斐波那契数列的值。
2. 递归的应用递归在编程中有着广泛的应用。
它可以有效地解决一些问题，并且代码简洁明了。
以下是几个使用递归的经典问题：2.1 阶乘阶乘是指给定一个正整数n，计算n的阶乘的值。
阶乘的定义如下：n! = 1 (n = 0)n! = n * (n-1)! (n > 0)通过递归的方式，可以很容易地计算阶乘。
下面是一个递归函数的示例：def factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)2.2 数组求和给定一个整数数组，求所有元素的和。
可以通过递归的方式来解决这个问题。
递归的思路是将数组分为两部分，然后分别求出两部分的和，最后将两部分的和相加。
下面是一个递归函数的示例：def sum_array(arr):if len(arr) == 0:return 0else:return arr[0] + sum_array(arr[1:])3. 逻辑表达式的应用逻辑表达式在离散数学中起着重要的作用。
它可以用来描述条件和关系，以及进行逻辑推理和证明。
数学中递归的定义
数学中递归的定义
递归是指一个问题可以被分解为相同或类似的子问题，并且这些子问题可以被递归地解决。
在数学中，递归可以定义为一种函数或序列的计算方法，其中该函数或序列的值依赖于它自己的前一项或前几项。
例如，斐波那契数列就是一个递归的数列，其中每一项等于前两项之和。
递归函数可以如下定义：
fibonacci(n) = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2), n > 1 fibonacci(n) = n, n <= 1
递归函数必须包含一个终止条件，否则它将无限循环下去。
在斐波那契数列中，终止条件是n<=1，因为当n=0或n=1时，斐波那契数列的值就已经确定了。
递归在数学中有很多应用，比如解决一些复杂的问题。
然而，由于递归需要反复调用函数或计算序列的前一项，会导致计算机资源的浪费和程序的运行速度变慢。
因此，在使用递归解决问题时，需要考虑到效率和优化。
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c n 1 c n 1 T ( n) T (n) n 2T c n 1 n 2 aT cn n 1 b
3
求解方法
置换法
置换法（Substitution）
Make a guess and verify it(假设-论证). Allows us to arrive at a guess(帮助猜想). The guess can then be verified using the substitution method(置换法论证).
i
i 1
n
0 n
n 1 2
23
24
4
2013/4/14
0 n0 s ( n) n s ( n 1) n 0
So far for n >= k we have
i n k 1
c n 1 T (n) 2T n c n 1 2
So far for n >= k we have
s(n) = ck + s(n-k) s(n) = cn + s(0) = cn
What if k = n?
பைடு நூலகம்
So
n0 0 s ( n) c s(n 1) n 0 Thus in general
s(n) = n + s(n-1) = n + n-1 + s(n-2) = n + n-1 + n-2 + s(n-3) = n + n-1 + n-2 + n-3 + s(n-4) =… = n + n-1 + n-2 + n-3 + … + n-(k-1) + s(n-k)
1.
Expand the recurrence(展开) Work some algebra to express as a summation(代数运算) Evaluate the summation(求和)
2.
3.
15
16
0 n0 s ( n) c s (n 1) n 0
2013/4/14
递归关系（Recurrence Relations）
算法设计与分析 Algorithms Design & Analysis
第三讲：递归关系
Recurrence relations describe functions over the natural numbers.(递归关系描述 的是自然数上的函数关系) They express the value of a function for a given integer n>0 as functions of the values of the function for arguments less than n.(对于某个n>0 的 函数值，通过小于n的函数值表示出来)
The three steps of the substitution method: (置换法的三步骤) 1. Make a good guess(猜想)
递归树（Recursion Tree）
2. Verify the guess, assuming that it can be verified for some base case n = n0 (验证猜想对于n = n0的正确性) 3. Choose an n0 for which the guess works and such that Step 2 for any n > n0 does not depend on the claim for some n' < n0 (验证猜想对于n > n0的正确性)
1
递归实例(Recurrence Examples)
0 n0 0 n0 s ( n) s ( n) c s ( n 1 ) n 0 n s ( n 1 ) n0
为什么要分析递归关系？
The running times of many algorithms (especially recursive algorithms) are easily expressed using recurrence relations。(许多算法，特别是递归算法，时间开 销函数都可以用递归关系来描述） We need to solve them, that is, derive closed expressions of the functions expressed by recurrences using O-, Ω-, and Θ-notation.（分析开销函 数并表示出来） Example: (Merge Sort)
What if k = lg n?
T(n) = aT(n/b) + cn a(aT(n/b/b) + cn/b) + cn a2T(n/b2) + cna/b + cn a2T(n/b2) + cn(a/b + 1) a2(aT(n/b2/b) + cn/b2) + cn(a/b + 1) a3T(n/b3) + cn(a2/b2) + cn(a/b + 1) a3T(n/b3) + cn(a2/b2 + a/b + 1) … akT(n/bk) + cn(ak-1/bk-1 + ak-2/bk-2 + … + a2/b2 + a/b + 1)
迭代法（Iteration） 主方式（Master Theorem）
Provides solutions to recurrences of a quite restricted, but very common, nature(定理化).
1
2013/4/14
如何获得好的猜想?(How To Make a Good Guess)
例
Determine an upper bound on the recurrence (求以下迭代关系的上界)： T(n) = 2T(n/2) + n
Experience helps(经验) Variable substitution（更换变元） Prove loose upper and lower bounds and tighten them step by step(先松后紧)
12
11
2
2013/4/14
递归树（Recursion Tree）
The recursion tree method expands the recurrence and visualizes this expansion. (展开使之可视化) Example:
14
迭代法（Iteration）
So far for n >= k we have
i n k 1
i
n
So far for n >= k we have
i n k 1
s (n k )
i
n
s (n k )
What if k = n?
What if k = n?
i
i 1
n
s ( 0)
i n k 1
21
So far for n >= k we have
i n k 1
i
n
s (n k )
=
i
n
s (n k )
22
0 n0 s ( n) n s ( n 1 ) n0
0 n0 s ( n) n s ( n 1) n 0
8
例（续）
假设在n≥2时对于n/2成立, 即T(n/2 )≤c n/2 lg(n/2)
例（续）
Examples:
T(n)= 2T(n/2) + n ≤2(c n/2 lg(n/2))+n ≤cn lg(n/2)+n =cn lgn-cn lg2+n =cn lgn-cn+n ≤cn lgn 对于c>1
i
n
s (n k )
What if k = n?
i
i 1
n
s ( 0)
i
i 1
n
0 n
Thus in general
n 1 2
s ( n) n
n 1 2
25
T(n) = 2T(n/2) + c =2(2T(n/2/2) + c) + c =22T(n/22) + 3c =22(2T(n/22/2) + c) + 3c =23T(n/23) + 4c + 3c =23T(n/23) + 7c =23(2T(n/23/2) + c) + 7c =24T(n/24) + 15c … =2kT(n/2k) + (2k - 1)c
T(n) = 2T(n/2) + (n) T(n) = (n lg n) T(n) = 2T(n/2) + n T(n) = (n lg n) T(n) = 2T(n/2 )+ 17) + n ???
9