【步步高】2015届高考数学总复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值课件 理 新人教B版
当 a＝1 时，f(x)没有极值；
当 a>1 时，f(x)的极大值是 1 1 2 －2，极小值是－2a ＋aln a.
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ (1)导函数的零点并不一定就 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 是函数的极值点．所以在求 2
函数 f(x)单调递增． 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 此时 x＝1 是 f(x)的极大值
若 x∈(a，＋∞)，f′(x)>0，
点， x＝a 是 f(x)的极小值点， 函数 f(x)的极大值是 f(1) 1 ＝－2， 1 2 极小值是 f(a)＝－2a ＋aln a.
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
范围可以转化为不等式恒成立 问题； (3)f(x) 为增函数的充要条件是
对 任 意 的 x∈(a ， b) 都 有 f′(x)≥0 且在(a， b)内的任一非 空子区间上 f′(x)≠0.应注意此 时式子中的等号不能省略，否 则漏解．
( － 2,3) 上为减函数，若存 在，求出 a 的取值范围， 若不存在，请说明理由．
所以 g(x)min＝－1，则 b 的取值范围是(－∞，－1]．
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
4．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值 与最小值． (2)若函数 f(x)在[a， b]上单调递增， 则 f(a)为函数的最小值， f(b) 为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则
f(a) 为函数的最大值， f(b) 为函数的最小值．
题型分类·深度剖析
1 2 (2)若 f(x)＝－ x ＋bln(x＋2)在(－1， ＋∞)上是减函数， 2
(－∞，－1] ． 则 b 的取值范围是____________
b 解析 转化为 f′(x)＝－x＋ ≤0 在[－1，＋∞)上 x＋2 恒成立，
即 b≤x(x＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令 g(x)＝x(x＋ 2)＝(x＋1)2－1，
x >0，
所以函数 f(x)在定义域(0， ＋∞)内单调递增， 此时 f(x)没有极值点，故无 极值． ③当 a>1 时，若 x∈(0,1)，
f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增；
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ 若 x∈(1，a)，f′(x)<0，函 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 数 f(x)单调递减； 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的＝e －ax－1. (1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在
思维启迪
解析
思维升华
f′(x)＝ex－a， (1) 若 a≤0 ，则 f′(x) ＝ ex －a≥0， 即 f(x)在 R 上单调递增， 若 a>0， ex－a≥0， ∴ex≥a，
题型分类·深度剖析
1 3 跟踪训练 1 (1) 设函数 f(x) ＝ x － (1 ＋ a)x2 ＋ 4ax ＋ 3 24a，其中常数 a>1，则 f(x)的单调减区间为________．
解析 f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，
由 a>1 知，当 x<2 时，f′(x)>0， 故 f(x)在区间(－∞，2)上是增函数； 当 2<x<2a 时，f′(x)<0， 故 f(x)在区间(2,2a)上是减函数； 当 x>2a 时，f′(x)>0， 故 f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．
所以 f′(2)＝1，即 2－(a＋ a 1)＋2＝1， 所以 a＝0，此时 f(2)＝2－2 ＝0，
故所求的切线方程为 y＝x－2.
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ a (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋x 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 2 x2－a＋1x＋a ＝ x (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
故存在实数 a≥e3，使 f(x) 在(－2,3)上为减函数．
题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x
【例 1】 已知函数 f(x)＝e －ax－1. (1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在
思维启迪
解析
思维升华
(1) 利用导数的符号来判断函 数的单调性； (2) 已知函数的单调 性求函数
x≥ln a. 因此当 a≤0 时， f(x)的单调 增区间为 R， 当 a>0 时，f(x)的单调增区
( － 2,3) 上为减函数，若存 在，求出 a 的取值范围， 若不存在，请说明理由．
间是[ln a，＋∞)．
题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x
【例 1】 已知函数 f(x)＝e －ax－1. (1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在
思维启迪
解析
思维升华
(2)∵f′(x)＝ex－a≤0 在 (－2,3)上恒成立． ∴a≥ex 在 x∈( － 2,3) 上恒 成立． 又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3， 只需 a≥e3. 当 a＝e3 时，f′(x)＝ex－e3 在 x∈(－2,3)上，
( － 2,3) 上为减函数，若存 在，求出 a 的取值范围， 若不存在，请说明理由．
(2)解 f′(x)＝0，然后要讨 论两个零点的大小确定函 数的极值．
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ (1)由已知，得 x>0，f′(x) 1 2 a x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． ＝x－(a＋1)＋x， 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) y＝f(x)在(2，f(2))处切线的 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 斜率为 1， 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ 综上，当 0<a<1 时，f(x)的 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 极大值是－1a2＋aln a， 2 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
有 f(x)>f(x0) ，则称函数 f(x)在点 x0 处取极小值，记 作 y 极小＝f(x0) ， 并把 x0 称为函数 f(x)的一个 极小值点 ．
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3．求可导函数极值的步骤 (1)求导数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根； (3)考察在每个根 x0 附近，从左到右，导函数 f′(x)的符号 如何变化． 如果 f′(x)的符号由正变负， 则 f(x0)是 极大值 ； 如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是 极小值 ． 如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0 的左、右侧，f′(x)符号不变， 则 f(x0) 不是极值 ．
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
2．函数的极值 已知函数 y＝f(x)，设 x0 是定义域(a，b)内任一点，如 果对 x0 附近所有点 x， 都有 f(x)<f(x0) ， 则称函数 f(x)
在点 x0 处取极大值，记作 y 极大＝f(x0) ，并把 x0 称为 函 数 f(x) 的 一 个 极大值点 ； 如 果 在 x0 附 近 都
数学
R B（理）
§3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值
第三章 导数及其应用
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．函数的单调性 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果在(a，b) 内， f′(x)>0 ，则 f(x)在此区间是增函数；如果在 (a，b)内， f′(x)<0 ，则 f(x)在此区间是减函数．
x－1x－a ＝ . x
①当 0<a<1 时，若 x∈(0， a)，f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增；
若 x∈(a,1)， f′(x)<0，函 数 f(x)单调递减；
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ 若 x∈(1，＋∞)，f′(x)>0， 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 2 函数 f(x)单调递增． (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 此时 x＝a 是 f(x)的极大值 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 点， x＝1 是 f(x)的极小值点， 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x
高三数学,理科一轮复习,课标通用 3-2,导数与函数的单调性,、极值、最值 ,课件
a －2<2<－1， 由Δ>0， g′－2>0， g′－1>0，
－4<a<－2， a2－8>0， 得 6＋2a>0， 3＋a>0，
－4<a<－2， 即a>2 2或a<－2 2， a>－3
解得－3<a<－2 2，
即实数a的取值范围为(－3，－2 2)．
考点1
利用导数研究函数的单调性
函数的单调性与导数 在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0.
增函数 ． f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________
减函数 ． f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________
(1)[教材习题改2，＋∞) ． ___________
(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cos x， x∈R的单调区间．
解：f′(x)＝1－sin x≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．
导数符号与单调性． 已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值 [0,3] 范围为__________ ．
[题点发散1] －1)，如何求解？
在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(－2，
解：∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)， ∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.
[题点发散2]
在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上存在
单调递减区间，如何求解？
第三章
导数及其应用
§3.2 导数与函数的单调性、极值、最 值
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值 文
第二节 函数的单调性与最大小值知识梳理一、函数单调性的定义基础自测1．(2013·珠海二模)下列函数在其定义域上是增函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝－3x C ．y ＝3xD ．y ＝ln |x |1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.会求一些简单函数的值域.4.理解函数的最大值、最小值及其几何意义.解析：y ＝tan x 只在其周期内单调递增，y ＝－3x 在R 上单调递减，y ＝3x 在R 上单调递增，y ＝ln |x |在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．答案：C2．(2013·海淀区一模)已知a ＞0，下列函数中，在区间(0，a )上一定是减函数的是( ) A ．f (x )＝ax ＋b B ．f (x )＝x 2－2ax ＋1 C ．f (x )＝a x D ．f (x )＝log a x解析：a ＞0时，函数f (x )＝ax ＋b ，为增函数；对于函数f (x )＝a x ，当0＜a ＜1时，在R 上为减函数，当a ＞1时，在R 上为增函数；对于f (x )＝log a x,0＜a ＜1时，在(0，＋∞)上为减函数；当a ＞1时在(0，＋∞)上为增函数；对于函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝a ，所以该函数在区间(0，a )上一定是减函数，所以选项B 对. 故选B.答案：B3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为_________________________________________．解析：∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2. 答案：－24．(2012·温州市第一次适应性测试)一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出：①(4，1)，②(8,6)，③(10,8)，④⎝⎛⎭⎫3，12.其中可作为(l ，S )取得的实数对的序号是__________．解析：设矩形一边长为x ，则S ＝(l －2x )x 2＝－x 2＋l2x ＝－⎝⎛⎭⎫x －l 42＋l216⎝⎛⎭⎫0<x <l 2， 检验知，①④满足． 答案：①④二、证明函数单调性的一般方法1．定义法．用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1，x2________________，且x1<x2；(2)作差______________；(3)将差式变形(要注意变形的程度，一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负能清楚地判断出)；(4)判断______________(要注意说理的充分性)；(5)根据f(x1)－f(x2)的符号确定其增减性，即下结论．概括为：取值—作差—变形—定号—下结论．2．导数法．设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．三、求函数单调区间的方法定义法、导数法、图象法．四、函数的最大值、最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果∃M∈R，满足：(1)对∀x∈A，恒有f(x)≤M[或f(x)≥M]；(2)∃x0∈A，使得f(x0)＝M，则称M是函数y＝f(x)的___________________________．五、求函数值域(最值)的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，故其类型依解析式的特点可分为三类：(1)求常见函数的值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．无论用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑函数的定义域．具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决)．1．(2013·重庆卷)y ＝(3－a )(a ＋6) (－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92C ．3D.322解析：因为y ＝(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814，所以当a ＝－32时，y ＝(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92. 答案：B2．(2013·大纲全国卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)解析： f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 答案：D一、f (x 1)＜f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 逐渐上升 逐渐下降 二、1.(1)是给定区间内的任意两个值(2)f (x 1)－f (x 2) (4)f (x 1)－f (x 2)的正负 四、1.复合函数 y ＝f (g (x )) 五、最大值(或最小值)1．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围是() A．[1,7] B．[1,6] C．[－1,1] D．[0,6]解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴f(2)＝4.又由f(x)＝－5，得x＝－1或5.由f(x)的图象知：－1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m＋n≤7.答案：A2．(2012·宁波期末)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝() A．{x|x≤0或1≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：由题，结合函数性质可得x＞1时，f(x)＞0；x＜0时，f(x)＜0；x＜0或x＞4时，g(x)＜0；0＜x＜4时，g(x)＞0，故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}．故选A.答案：A。
高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数与函数的单调性、极值、最值课件文北师大版
3 2
������2
+
2������
ex+
1 2
������3
+
������2
ex
=
1 2
������3
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
1234
3.实际问题中导数的意义 中学物理中,速度是路程 关于时间的导数,线密度是质量关于 长度 的导数,功率是功关于时间 的导数.
-6-
知识梳理 双基自测 自测点评
1234
4.函数的最值与导数 (1)最大值点:函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数 在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数的最小值点也有 类似的意义. (2)函数的最大值:最大值或者在极大值点 取得,或者在区间的 端点取得. (3)最值:函数的最大值 和最小值 统称为最值. (4)求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
-9-
)
f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2. 易得f(x)在(-2,2)上是减少的,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增加的, 故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D. D
解析
关闭
关闭
答案
-10-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
-3-
知识梳理 双基自测 自测点评
1234
2.函数的极值与导数
(1)函数的极大值点和极大值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数 y=f(x)的极大值点 ,其函数值f(x0)为函数的极大值 .
2015届高三数学一轮课件：3.2 导数的应用(一) 单调性、极值、最值问题
解得 a≤ 1.综上,可知 a=1.
方法二:由题意知,x=0 为函数 f(x)的极小值点,
于是 f'(0)=0,即 e0-a=0.故 a=1.
题型一
题型二
题型三
解题策略
第十四页，编辑于星期五：八点 三十七分。
第2讲 导数的应用（一）
单调性、极值、最值问题
题型二 利用导数研究函数的极值
解得 a=0,b=-3.
(2)由(1)知 f(x)=x3-3x.
2
因为 f(x)+2=(x-1) (x+2),所以 g'(x)=0 的根为 x1=x2=1,x3=-2,
于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2.
当 x<-2 时,g'(x)<0;
当-2<x<1 时,g'(x)>0,
故-2 是 g(x)的极值点.
自我检测
1
2-3
考纲考向
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
4
4.(2013·山东烟台模拟)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有
极值,则 ab 的最大值等于(
A.2
答案:D
B.3
)
C.6
D.,
∵函数 f(x)在 x=1 处有极值,∴f'(1)=0,即 12-2a-2b=0,化简得 a+b=6.
的必要不充分条件.特别地,函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点.
(2)极值反映了函数在某一点附近函数值的大小情况,刻画的是函数的局部
性质.
(3)函数在极值点附近有定义;端点绝对不是极值点.
【步步高】高考数学大一轮复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值课件 理 苏教版
2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么 f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么 f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤：
数学
苏（理）
第三章
导数及其应用
§3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x) > 0，那么函数y＝
f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) < 0，那么函
数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
解析
思维升华
题型一
例1
利用导数研究函数的 单调性
解 f′(x)＝ex－a， (1) 若 a≤0 ， 则 f′(x) ＝ ex －a≥0， 即f(x)在R上单调递增，
已知函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
若 a>0 ，令 ex － a≥0 ，则
ex≥a，x≥ln a.
思维点拨
①求f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根附近的左右两侧导数值 的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 极大值 ；
如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 极小值 .
3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值 与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值，
2015高考数学一轮精品课件：3.2 导数在函数单调性、极值中的应用
考点一
考点二
考点三
第十一页，编辑于星期五：十三点 五分。
第三章
3.2
导数在函数单调性、极值中的应用
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
解:(1)由函数 f(x)的图象过点(-1,-6),得 m-n=-3.①
由 f(x)=x3+mx2+nx-2,得 f'(x)=3x2+2mx+n,则 g(x)=f'(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
导数在函数单调性、极值中的应用
考纲要求
梳理自测
梳理自测
探究突破
巩固提升
基础自测
1.函数 y=xsin x+cos x 在(π,3π)内的单调增区间为(
A. π,
C.
3π
2
5π
,3π
2
B.
)
3π 5π
,
2 2
D.(π,2π)
关闭
∵y=xsin x+cos x,
∴y'=xcos x.
当 x∈(π,3π)时,要使 y'=xcos x>0,只要 cos x>0,
+1
递增,且 f'(0)=0,因此当 x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以 f(x)在
(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
考点一
考点二
考点三
第十七页，编辑于星期五：十三点 五分。
第三章
3.2
导数在函数单调性、极值中的应用
考纲要求
2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件：1-1-3第3讲 导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题
忽视了定义域的限制．
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
归纳总结· 思维升华
专题训练· 对接高考
【训练 1】 (2014· 湖南卷节选)已知常数 a>0，函数 f(x)＝ln (1＋ 2x ax)－ .试讨论 f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性． x＋2
解 2x＋2－2x ax2＋4a－1 a f′(x)＝ － ＝ .(*) 1＋ax x＋22 1＋axx＋22
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归纳总结· 思维升华
专题训练· 对接高考
②当a＞0时，令f′(x)＝0，
得ex＝a，x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大 值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
归纳总结· 思维升华
专题训练· 对接高考
因为f(x1)－f(k)＝x－kx＋x1－k＝(x1－k)(x＋1)＞0，
1 1 1， －1上单调递增，在 －1，＋∞上单调递减． a a
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规律方法 讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的
情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一
元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式 对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式 分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨 论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要
2015高考数学一轮配套课件：3-2利用导数研究函数的单调性、极值与最值
诊断·基础知识
突破·高频考第二点十页，编辑于星培期养五：·解十四题点能三分力。
• (2)由(1)知，f(x)＝x3－3x，g′(x)＝x3－3x＋2.
• 由g′(x)＝0，得(x－1)2(x＋2)＝0，
• ∴g′(x)＝0的根为x＝－2或1.
下：
f(a)，f(b)
• ①求f(x)在(a，b)内的极值；
• ②将f(x)的各极值与
比较，其中最大
的一个是最大值，最小的一个是最小值．
诊断·基础知识
突破·高频考第五点页，编辑于星期培五养：十·解四点题三能分。力
辨析感悟
1．对函数的单调性与导数关系的理解
(1)若函数 f(x)在(a，b)内恒有 f′(x)＞0，那么 f(x)在(a，b)上
；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值
，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值
点．
诊断·基础知识
突破·高频考第四点页，编辑于星期培五养：十·解四点题三能分。力
• 3．函数的最值与导数
• 设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导
，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如
间内
．
诊断·基础知识
突破·高频考第二点页，编辑于星期培五养：十·解四点题三能分。力
• 2．函数的极值
• (1)判断f(x0)是极值的方法
• 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
• ①如果在x0附近的f′左(x)＜侧0 f′(x)＞f′(0x)，＞0右侧f′(x) ＜0，那么f(x0)是极大值；
诊断·基础知识
突破·高频考第十点九页，编辑于星培期养五：·解十四题点能三分力。
2015届高考数学总复习配套课件：2-2 函数的单调性与最值
金 太
阳
和(0， k)上单调递减．
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十三页，编辑于星期五：十点 十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题
反思总结
能力
提升
判断或证明函数的单调性的两种方法
提素能 高效 训练
(1)利用定义的基本步骤是：
取值 ⇨ 作差商变形 ⇨ 确定符号 ⇨ 得出结论
减．
东 金
综上，函数 f(x)在(－∞，－
k)和(
k，＋∞)上单调递增，在(－
k，
太 阳
书
0)和(0， k)上单调递减．
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十二页，编辑于星期五：十点 十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力 提升
解法二 f′(x)＝1－xk2.
提素能
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
反思总结
悟典题 能力
求函数的单调性或单调区间的方法
提升
提素能
(1)利用已知函数的单调性；
高效
训练
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求；
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，
山 东
可由图象的直观性写出它的单调区间；
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向
要点
探究
当 x1，x2∈(0， k)时，f(x1)>f(x2)，
2015年高考数学总复习精品课件：第2章 第4讲 函数的单调性与最值
3．已知函数 f(x)的值域是[－2,3]，则函数 f(x－2)的值域为
(D) A．[－4,1]
B．[0,5]
C．[－4,1]∪[0,5]
D．[－2,3]
解析：f(x－2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位．因
此 f(x－2)的值域不变．
第六页，编辑于星期五：十一点 二十六分。
4．(2013 年北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，
当 x<－ 2a和 x> 2a时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当－ 2a<x< 2a时，f(x)单调递减，
第十三页，编辑于星期五：十一点 二十六分。
∴f(x)的单调减区间为(－ 2a， 2a)， 则区间(－2,2)是区间(－ 2a， 2a)的子集， 故－2a2≥a≤2，－2， 解得 a≥2.故选 D. 答案：D 【方法与技巧】fx的单调递减区间是－2，2和fx在－2， 2上单调递减是不同的，应加以区分.1题是求方程f′x＝3x2 －6a＝0 的两根解得a＝2，2题是解不等式，根据子集求范围.
性、最大值、最小 点，结合函数的奇偶性、图象、导数等求一些简
值及其几何意义. 单函数的值域或最值；或以最值为载体求参数的 范围，并能解决实际生活中的一些优化问题．应
特别注意数形结合、分类讨论思想方法的渗透.
第二页，编辑于星期五：十一点 二十六分。
1．函数的单调性
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有_____f_(x_1_)_<_f(_x_2)，那么 就 说 y ＝ f(x) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 函 数 ， I 称 为y＝ f(x)的 ___单__调__增__区__间___；如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有____f_(_x_1)_>_f_(_x_2)，那么就说 y＝f(x)在区间 I 上是单