2018-2019年上海市实验学校高三上第一次月考数学试卷
2018-2019学年上海市实验学校高三上学期数学第一次月考试卷
一、填空题：本大题共12个小题,每小题5分,共54分.
1.设全集U R =，集合{}|01M x x =<≤，{}|0N x x =≤，则()U M N =
． 2.偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=
． 3.设集合{}225,log (36)A a a =-+，集合{}1,,B a b =，若{}2A
B =，则集合A B 的真子集的个数
是 ． 4.设集合41(,)|3,,27x y M x y x y R -⎧
⎫==∈⎨⎬⎩⎭
，{}
(,)|)2,,N x y x y x y R =-=∈，则M N = ．
5.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
则2z x y =+的最大值为
． 6.若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51|33x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = ．
7.已知0x >，0y >，若不等式22x y k xy x y +≥+恒成立，则实数k 的最大值为 ．
8.已知全集{}1234,,,U a a a a =，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若1a A ∈，则2a A ∈；②若3a A ∉，则2a A ∉；③若3a A ∈，则4a A ∉.则集合A =
． 9.关于x 的不等式201x px q ≤++≤的解集为[]3,4，则p q += ．
10.已知R λ∈，函数24,,()43,,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨
-+<⎩若函数()f x 恰有两个零点，则实数λ的范围
是 ． 11.已知函数4()1f x x x =+-，若存在实数1x ，2x ，…，1,44n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得121()()()()n n f x f x f x f x -+++=…，则正整数n 的最大值为
． 12.存在实数a ，对任意(0,]x m ∈，不等式21(2)ln
0a x x a x
---⋅≤恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
二、选择题（每题4分，满分20分）
13.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则
U A =（ ）A ．∅ B ．{}2C ．{}5D ．{}
2,514.已知命题甲是“2|01x x x x ⎧⎫+≥⎨⎬-⎩⎭
”，命题乙是“{}3|log (21)0x x +≤”，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
15.设函数2,0,()1,0,
x x f x x -⎧≤=⎨>⎩则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（ ）
A ．(,1]-∞-
B ．(0,)+∞
C ．(1,0)-
D ．(,0)-∞
16.已知函数()f x 满足1(1)4f =
，4()()()()f x f y f x y f x y =++-(,)x y R ∈，则(2019)f =（ ） A ．1
2B ．12-C ．14D ．14
-三、解答题 （本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.若奇函数()f x 在定义域(1,1)-上是减函数.
（1）求满足2(1)(1)0f a f a -+-<的集合M ；
（2）对（1）中的a ，求函数21()log 1()x x a F x a -⎡
⎤=-⎢⎥⎣⎦
的定义域. 18.（1）解关于x 的不等式：22
(1)(1)2a a x a x a +->++-（a R ∈）.
（2）如果24x a =-，在上述不等式的解集中，求实数a 的取值范围.
19.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成整个电商行业的大型集体促销盛宴，为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所受产品进行促销.经调查，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231
p x =-+（其中0x a ≤≤，a 为正常数）.已知生产该产品还需投入成本102p +万元（不含促销费用）.每一件产品的促销价格定为204p
+
元，假定厂家的生产能力完全满足市场的销售需求.
（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时厂家的利润最大？并求出最大利润的值. 20.已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.
（1）若a 、b R ∈且0a ≠，证明：函数2
()f x ax bx a =+-必有局部对称点；
（2）若函数()2x f x c =+在区间[]1,2-内有局部对称点，求实数c 的取值范围； （3）若函数12()423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.
21.设函数()|f x ax b =-，a ，b R ∈.
（1）当0a =，1b =时，写出函数()f x 的单调区间；
（2）当12
a =时，记函数()f x 在[]0,4上的最大值为()g
b ，在b 变化时，求()g b 的最小值；（3）若对任意实数a ，b ，总存在实数[]00,4x ∈，使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1、}{01x x <≤
2、3
3、15
4、()}
{5,25、7
6、3-
7、9
8、}
{23,a a 9、6
10、(]
()1,34,+∞11、6
12、⎡⎢⎣
⎦ 13-16、BBDB
17、（1）}{01M a a =<<；（2）}{01x x <<
18、（1）当1a >时，解集为}{2x x a >+；
当1a =时，解集为∅；
当1a <时，解集为}{2x x a <+。
（2）()
()2,13,-+∞19、（1）()41601y x x a x =--≤≤+；（2）当1a ≥时，最大值为13万元；当1a <时，最大值为4151a ⎛⎫- ⎪+⎝
⎭
20、（1）证明略；（2）17,18⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
；（3）1⎡⎣ 21、（1）()1,+∞；（2）14；（3）1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦。
杨浦区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
杨浦区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数f （x ﹣）=x 2+，则f （3）=（ ）A ．8B ．9C ．11D ．102． （理）已知tan α=2，则=（）A ．B ．C ．D ．3． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对4． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除5． 已知直线a ，b 都与平面α相交，则a ，b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能6． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）A ．4B ．2C ．D ．27． 有下列四个命题：①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④8． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k）的是（）A ．B ．C ．D ．9． 复数满足＝i z ，则z 等于（ ）2＋2z 1－iA ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i10．已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．为直角三角形B ．为锐角三角形C ．为钝角三角形D ．前三种形状都有可能11．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（ ）A ．[﹣9，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣9，1）D ．[﹣9，1）二、填空题13．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．14．（﹣）0+[（﹣2）3]= ．15．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ．16．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x ，y ），且∥，则x ﹣y= ．17．已知函数f （x ）=x m 过点（2，），则m= ． 18．已知向量、满足，则|+|= ．三、解答题19．（本小题满分12分）已知在中，角所对的边分别为且ABC ∆C B A ，，，，，c b a .)3(sin ))(sin (sin c b C a b B A -=-+（Ⅰ）求角的大小；A（Ⅱ） 若，，求.2a =ABC ∆c b ,20．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的中，角、、的对边分别为、、，且ABC ∆A B C a b c ．C b B c A a cos cos cos 2+=（1）的值；A cos （2）若，求的面积．422=+c b ABC ∆21．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.111]（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}nna b 的前项和n S .22．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足=+1（n ≥2）．（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（n ∈N *），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞成立的最小正整数n ．23．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m ﹣n|＞10”概率．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．杨浦区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．故选C．2．【答案】D【解析】解：∵tanα=2，∴===．故选D．3．【答案】B【解析】解：∵a=3，，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===1，∴B=90°，即满足条件的三角形个数为1个．故选：B．【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．4．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．5．【答案】D【解析】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∩平面ABCD=A，BB1∩平面ABCD=B，AA1∥BB1；AA1∩平面ABCD=A，AB1∩平面ABCD=A，AA1与AB1相交；AA1∩平面ABCD=A，CD1∩平面ABCD=C，AA1与CD1异面．∴直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面．故选：D．6．【答案】A【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），∴AB是正方体的体对角线，AB=，设正方体的棱长为x，则，解得x=4．∴正方体的棱长为4，故选：A．【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．7．【答案】B【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B．【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．8．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f （﹣x ）﹣f （x ）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键． 9． 【答案】【解析】解析：选D.法一：由＝i z 得2＋2z1－i2＋2z ＝i z ＋z ，即（1－i ）z ＝－2，∴z ＝＝＝－1－i.－21－i－2（1＋i ）2法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ），即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，∴，{2＋2a ＝a －b 2b ＝a ＋b)∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i.10．【答案】A【解析】解：设A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），将直线与抛物线方程联立得，消去y 得：x 2﹣mx ﹣1=0，根据韦达定理得：x 1x 2=﹣1，由=（x 1，x 12），=（x 2，x 22），得到=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB 为直角三角形．故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直． 11．【答案】D【解析】解：双曲线（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x联立方程组，解得A （，），B （，﹣），设直线x=与x轴交于点D∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA∴c﹣＜，b＜a，c2﹣a2＜a2∴c2＜2a2，e2＜2，e＜又∵e＞1∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．12．【答案】D【解析】解：函数f（x）=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上递减，由于函数的值域为（﹣∞，1]，则lg（1﹣x）≤1，则有0＜1﹣x≤10，解得，﹣9≤x＜1．则定义域为[﹣9，1），故选D．【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题． 二、填空题13．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，故只需要令x=0有5y2=5m得到y2=m要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是y2≥1得到m≥1∵椭圆方程中，m≠5m的范围是[1，5）∪（5，+∞）故答案为[1，5）∪（5，+∞）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．14．【答案】 ．【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．15．【答案】 {a|或} ．【解析】解：∵二次函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为x=a﹣，f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或a≤，故答案为：{a|a≥，或a≤}．【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．16．【答案】 ﹣12 ．【解析】解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，∴==，解得x=﹣6，y=6，x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．17．【答案】 ﹣1 ．【解析】解：将（2，）代入函数f（x）得：=2m，解得：m=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．18．【答案】 5 ．【解析】解：∵=（1，0）+（2，4）=（3，4）．∴==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题． 三、解答题19．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有， 即. 3分2223c bc a b -=-bc a c b 3222=-+ 由余弦定理得：，又，故. 6分232cos 222=-+=bc a c b A ),0(π∈A 6π=A（Ⅱ） ，，①， 8分ABC ∆3sin 21=∴A bc 34=∴bc 又由（Ⅰ）及得，② 10分2223c bc a b -=-,2=a 1622=+c b 由 ①②解得或. 12分32,2==c b 2,32==c b 20．【答案】【解析】（1）∵，2cos cos cos a A c B b C =+∴，2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+∴，2sin cos sin()A A B C ⋅=+∵，∴，A B C π++=sin()sin B C A +=∴．2sin cos sin A A A ⋅=∵，∴，0A π<<sin 0A ≠∴，∴．2cos 1A =1cos 2A =（2）由，得，1cos 2A =sin A =由，得．2sin aA =2sin a A ==∵，2222cos a b c bc A =+-∴，222431bc b c a =+-=-=∴11sin 22ABC S bc A ∆===21．【答案】（1）2,2==q d ；（2）12326-+-=n n n S .【解析】（2）1212--=n n n n b a ，………………6分122121223225231---+-++++=n n n n n S ，①n n n n n S 212232252321211321-+-++++=- .②……………8分①-②得n n n n n S 2122222222212`1221--+++++=-- 23112222211222222n n n n S --=++++-L ，…………10分所以12326-+-=n n n S .………………12分考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列}a {nn b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S .22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n ≥2），所以是首项为1，公差为1的等差数列，…则=1+（n ﹣1）1=n ，…从而S n =n 2．…当n=1时，a 1=S 1=1，当n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1．因为a 1=1也符合上式，所以a n =2n ﹣1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n ===，…所以b1+b2+…+b n===，…由，解得n＞12．…所以使不等式成立的最小正整数为13．…【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想23．【答案】【解析】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x、y成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有a b cx xa xb xcy ya yb yc共有6种情况，所以基本事件总数为10种，事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种∴．【点评】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是，所以有：×组距=频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数．24．【答案】【解析】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，令x=5，解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分则直线AM的中垂线方程为y﹣6=2（x﹣17），令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为（14，0），又圆弧C2所在圆的半径为29﹣14=15，所以圆弧C2的方程为（x﹣14）2+y2=225（5≤x≤29）…5分（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x﹣29=0 …8分由，解得x=﹣70 （舍去）9分由，解得x=0（舍去），综上知，这样的点P不存在…10分【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强． 。
上海市奉贤中学2018—2019学年高三上学期第一次月考数学试题
绝密★启用前上海市奉贤中学2018—2019学年高三上学期第一次月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列命题为真命题的是（ ）A ．若 ，则B ．若 ，则C ．若，则 D ．若 ，则2．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定3．某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是 （ ） A.()()3,8B.()()4,11C.()()1,3D.()()1,44．已知()i ai y f x x == ，1,22019i =⋅⋅⋅为2019个不同的幂函数，有下列命题：① 函数()()()122019y f x f x f x =++⋅⋅⋅+ 必过定点()1,2019； ② 函数()()()122019y f x f x f x =++⋅⋅⋅+可能过点()1,2018-；③ 若1220192a a a ++⋅⋅⋅+= ，则函数()()()122019y f x f x f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅为偶函数； ④ 对于任意的一组数1a 、2a 、…、2019a ，一定存在各不相同的1009个数1i 、2i 、…、{}2019122019i ∈⋅⋅⋅、、使得()()()122019i i i y f f f x =⋅⋅⋅在()0,∞+上为增函数.其中真命题的个数为（ ） A.1个 B.2个C.3个D.4个第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知集合{}02A x x=<<，()(){}110B x x x=-+>，则A B=______；6．不等式23xx-≥+的解集为______；7．方程14230x x+--=的解是 .8．已知实数x、y，命题“若0x>且0y>，则0x y+>”的逆否命题是______；9．函数()20.3log32y x x=-+的单调增区间是______10．已知()0,aπ∈，1sin cos5αα+=，则cos2=α______；11．若不等式23x t-<的解集为（m，n），则m n+=______；12．设()f x是定义在R上的奇函数，若当0x>时()2sin1f x x x=-+，则()f x的解析式为______；13．函数1()2sin(),[2,4]1f x x xxπ=-∈--的所有零点之和为．14．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、ab ∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是．（填上你认为正确的命题的序号）15．已知x、y、z R+∈，230x y z-+=，且20y txz-≥恒成立，则实数t最大值是______；16．当x、y∈（0，1）时，{}1min8,8,8x x y y---的最大值是______.三、解答题17．设集合{}2320A x x x=++=，(){}210B x x m x m=+++=，{}21C x a x a =-≤≤（1）若B A ⊆，求实数m 的值；（2）若C A ⋂为空集，求实数a 的取值范围。
浦东新区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
浦东新区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），若线段AF 的中点B 在抛物线上，则|BF|=（ ） A．B．C．D．2． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 4． 某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）A ．20+2πB ．20+3πC ．24+3πD ．24+3π5． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．6． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+ B．sin 3αα+C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+7． 函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f ′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.9．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（）A．3 B．C．2D．610．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．211．拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（）A．4 B．6C．8 D．1012．如果向量满足，且，则的夹角大小为（）A．30°B．45°C．75°D．135°二、填空题13．直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为 ．14．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .15．设函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数．若方程f （x ）=ax 有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．16．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．17．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.18．已知向量、满足，则|+|= ．三、解答题19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：//AB EF ；（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余 弦值．【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.20． 坐标系与参数方程线l ：3x+4y ﹣12=0与圆C ：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数．21．（选做题）已知f （x ）=|x+1|+|x ﹣1|，不等式f （x ）＜4的解集为M ． （1）求M ；（2）当a ，b ∈M 时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．22．（本题满分12分）已知向量(sin ,(sin cos ))2a x x x =+，)cos sin ,(cos x x xb -=，R x ∈，记函数 x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且满足C a c b cos 22=-，求)(B f 的取值范围.【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.23．某公司对新研发的一种产品进行合理定价，且销量与单价具有相关关系，将该产品按事先拟定的价格进行（1）现有三条y对x的回归直线方程：=﹣10x+170；=﹣20x+250；=﹣15x+210；根据所学的统计学知识，选择一条合理的回归直线，并说明理由．（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中选出的回归直线方程，且该产品的成本是每件5元，为使公司获得最大利润，该产品的单价应定多少元？（利润=销售收入﹣成本）24．已知函数f（x）=lg（x2﹣5x+6）和的定义域分别是集合A、B，（1）求集合A，B；（2）求集合A∪B，A∩B．浦东新区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D【解析】解：依题意可知F 坐标为（，0）∴B 的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，∴抛物线准线方程为x=﹣，所以点B 到抛物线准线的距离为=，则B 到该抛物线焦点的距离为．故选D ．2． 【答案】A【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6， ∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，∴2﹣在方向上的投影为=．故选：A ．【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．3． 【答案】D 【解析】试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，11252722n n n n n n a a ++--∴-=- ()11252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，2111=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为3243532259211=+．故选D.考点：数列的函数特性. 4． 【答案】B【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），其底面面积S=2×2+=4+，底面周长C=2×3+=6+π，高为2，故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π，故柱体的全面积为：12+2π+2（4+）=20+3π，故选：B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．5． 【答案】B【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性 【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A 、D ；对C ：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C 错； 故答案为：B 6． 【答案】A 【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积ααsin 2sin 112142=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式ααsin 21sin 1121=⨯⨯⨯=S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到答案.7． 【答案】C【解析】解：函数f （x ）=x 3的导数为f'（x ）=3x 2，由f ′（x 0）=0，得x 0=0，但此时函数f （x ）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x 0是f （x ）的极值点，则f ′（x 0）=0成立，即必要性成立， 故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件， 故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．8． 【答案】A【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n =10，i =1；n =5，i =2；n =16，i =3；n =8，i =4；n =4，i =5；n =2，i =6；n =1，i =7，到此循环终止，故选 A. 9． 【答案】C【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，∴c=2，a=3，∴b=∴2b=2．故选：C ．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．10．【答案】D【解析】解：由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；故选D ．【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．11．【答案】【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p2＝2，∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝±x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.12．【答案】B【解析】解：由题意故，即故两向量夹角的余弦值为=故两向量夹角的取值范围是45°故选B【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．二、填空题13．【答案】．【解析】解：∵△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，即d==，整理得a 2+2b 2=2，则点P （a ，b ）与点Q （1，0）之间距离d==≥，∴点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．14．【答案】 6,12,2,n n a n n n n *=⎧⎪=+⎨≥∈⎪⎩N【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11:6n a ==；()()()123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅故22:n n n a n+≥=15．【答案】 （﹣1，﹣]∪[，） ．【解析】解：当﹣2≤x ＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f （x ）=x ﹣[x]=x+2． 当﹣1≤x ＜0时，[x]=﹣1，此时f （x ）=x ﹣[x]=x+1．当0≤x ＜1时，﹣1≤x ﹣1＜0，此时f （x ）=f （x ﹣1）=x ﹣1+1=x ． 当1≤x ＜2时，0≤x ﹣1＜1，此时f （x ）=f （x ﹣1）=x ﹣1．当2≤x ＜3时，1≤x ﹣1＜2，此时f （x ）=f （x ﹣1）=x ﹣1﹣1=x ﹣2． 当3≤x ＜4时，2≤x ﹣1＜3，此时f （x ）=f （x ﹣1）=x ﹣1﹣2=x ﹣3． 设g （x ）=ax ，则g （x ）过定点（0，0），坐标系中作出函数y=f （x ）和g （x ）的图象如图：当g （x ）经过点A （﹣2，1），D （4，1）时有3个不同的交点，当经过点B （﹣1，1），C （3，1）时，有2个不同的交点，则OA 的斜率k=，OB 的斜率k=﹣1，OC 的斜率k=，OD 的斜率k=，故满足条件的斜率k的取值范围是或，故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．16．【答案】34 5【解析】考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.17．【答案】64 9【解析】111]考点：球的体积和表面积.【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.18．【答案】5．【解析】解：∵=（1，0）+（2，4）=（3，4）．∴==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】∵BG ⊥平面PAD ，∴)0,3,0(=GB 是平面PAF 的一个法向量，20．【答案】【解析】解：圆C：的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4由于圆心C（﹣1，2）到直线l：3x+4y﹣12=0的距离d==＜2故直线与圆相交故他们的公共点有两个．【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．21．【答案】【解析】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M ，即﹣2＜a ，b ＜2，∵4（a+b ）2﹣（4+ab ）2=4（a 2+2ab+b 2）﹣（16+8ab+a 2b 2）=（a 2﹣4）（4﹣b 2）＜0，∴4（a+b ）2＜（4+ab ）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．22．【答案】【解析】（1）由题意知，)cos )(sin cos (sin 23cos sin )(x x x x x x x f +-+=⋅= )32sin(2cos 232sin 21π-=-=x x x ……………………………………3分 令223222πππππ+≤-≤-k x k ，Z k ∈，则可得12512ππππ+≤≤-k x k ，Z k ∈. ∴)(x f 的单调递增区间为]125,12[ππππ+-k k （Z k ∈）.…………………………5分23．【答案】【解析】（1）=（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5， =（90+84+83+80+75+68）=80；∵（，）在回归直线上，∴选择=﹣20x+250；（2）利润w=（x ﹣5）（﹣20x+250）=﹣20x 2+350x ﹣1250=﹣20（x ﹣8.75）2+281.25，∴当x=8.75元时，利润W 最大为281.25（万元），∴当单价定8.75元时，利润最大281.25（万元）．24．【答案】【解析】解：（1）由x2﹣5x+6＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0，解得：x＞3或x＜2，即A={x|x＞3或x＜2}，由g（x）=，得到﹣1≥0，当x＞0时，整理得：4﹣x≥0，即x≤4；当x＜0时，整理得：4﹣x≤0，无解，综上，不等式的解集为0＜x≤4，即B={x|0＜x≤4}；（2）∵A={x|x＞3或x＜2}，B={x|0＜x≤4}，∴A∪B=R，A∩B={x|0＜x＜2或3＜x≤4}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．。
2018——2019年上海各区高中数学高三数学一模试卷试题汇总
第一学期教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________.()12,2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.()10, 3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4(,)+∞4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________. 225. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y fx 的图像一定经过定点____.()13,6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.127. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A ___.56π 8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．π3 9.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.358x 10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.(,-∞11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ， 且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________. 100912. 已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. [)2,6∈-a解：当[)12,∈+∞x 时，1211041616x x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，.当()2,2∈-∞x 时，（1）若2a ≥，则()11=22x aa xf x --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在(),2-∞上是单调递增函数，所以()2210,2a f x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若满足题目要求，则21100,162a -⎛⎫⎛⎤⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭⎝⎭，，所以24111,24,62162a a a -⎛⎫⎛⎫>=∴-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.又2a ≥，所以[)2,6a ∈. （2）若2a <，则()1,,21=21, 2.2a xx ax ax a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(),a -∞上是单调递增函数，此时()()0,1f x ∈；()f x 在[),2a 上是单调递减函数，此时()21,12a f x -⎛⎤⎛⎫∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.若满足题目要求，则211,2162aa -⎛⎫≤∴≥- ⎪⎝⎭，又2a <，所以[)2,2a ∈-.综上，[)2,6a ∈-.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ A ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ D ）（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 （C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ B ）种.（A ）72 （B ）36 （ （D ）81 16. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P ⋅AP AB 的取值范围为（ A ）（A ）[]1,7 （B ）[]1,7- （C）1,3⎡+⎣ （D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB .（1）求异面直线B A 1与11C B 所成角； （2）求点1B 到平面BC A 1的距离．解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分 在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分 （2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ， 由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分 因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ． 所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分 或者用空间向量：（1） 设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,A ，()01111,,C B -=，…………4分A1C CB1B 1A因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分 （2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u n =，则B A n ,BC n 1⊥⊥． 又()011,,-=，()1011-=,,A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u A ，得()111,,n =．…………12分所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值； （2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域.解：（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，∴43sin =,cos =55αα ……2分2243432()cos 2sin 2()55525αααα=-=⨯-⨯=f …4分（2）2()cos 2sin f x x x x =-2cos21x x =+- …………………6分2sin(2)16x π=+- …………………………8分由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+又[,]63x ππ∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-； ………………10分∵[,]63x ππ∈-，∴52666x πππ-≤+≤…………………………12分 ∴1sin(2)126x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-. ………………14分19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分）（2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分） 综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是 1F 、2F ，左、右两顶点分别是 1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）．（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若1PA =，5PB = ，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：即0bx ay ±=，所以3b a =，…………2分 从而3tan2θ=22tan 2tan 431tan2θθθ==-， 所以arctan 3θ=………………………………………………..4分（2）设 (,)P P P x y ，则由条件知：11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=，11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分所以(2,1)A ，(3,3)C ，………………………………………………………..…………7分代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x ………………………………………………………………….. 10分 （3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，3b =Γ的方程为: 22143x y -=， 令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,2y N x --， …………12分故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-， 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-，即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，…………………………………………….14分 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y 所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………………………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （*n N ∈），使得1k k kA B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）； （2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)mm内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：11,2n b b +==数列{}n c 满足：111,n nc c +==求证：1()2n n n b f c π+<<.解：（1）(1)1f =，(2)2f = （2分） 猜想()f n n = （2分） （2）98n a n =- （5分）由21218899899999m mm m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n （6分）21199m m m t --∴=- （7分） 352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- 352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- （9分） 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S （10分）.（3）1sin,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+== *1()2n n n N πθ+⇒=∈ （12分） 1tan ,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈ （14分） 11sin,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知： 1111sin()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<= （18分）杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.12.18一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1——6题每题4分，第7—12题每题5分） 1、设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则____u=2、已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为_____ 3、已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为_____ 4、若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则____n = 5、若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是_____6、若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于_______7、在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是____8、若函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围__9、在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是____10、已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期______ 11、当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为______ 12、设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112nn n n T b n N *+=-∈， 且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为_____二、选题题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13、下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x=-（D ）()cos f x x =14、某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315、已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos sin ,,2sin cos a f b f c f θθθθθ+⎛⎫⎛⎫===⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16、已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R ==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） （ A ）[]0,4 （B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2小题满分8分）如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。
2019届上海市浦东实验学校高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019届上海市浦东实验学校高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1． 设全集U ＝{x ∈N|x ≥2}，集合A ＝{x ∈N|x 2≥5}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2，5} 【答案】B 【解析】试题分析：,故选B ．【考点】1、二次不等式；2、集合的基本运算． 2．已知命题甲是“”，命题乙是“”，则（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由已知命题甲：，命题乙：；显然甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件，选B 【考点】充要条件3．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 4．已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-(),x y R ∈，则()2019f =（ ）. A ．12B ．-12C ．14D ．-14【答案】B 【解析】【详解】 取x=1，y=0，得()102f =； 取x=1，y=1，得()()()24120ff f =+，故()124f =-；取x=2，y=1，得()()()()41231f f f f =+，故()132f =-； 取x=n ，y=1，有()()()11f n f n f n =++- 同理，()()()12f n f n f n +=++.联立得()()21f n f n +=--，故()()6f n f n +=. 所以周期为6，故()()()120193366332f f f =⨯+==-. 故答案为：B二、填空题5．设全集U R =，集合{|01}M x x =<≤，{|0}N x x =≤，则()U MC N = ．【答案】{|01}x x <≤ 【解析】试题分析：{|0},{|0},(){|01}U U N x x C N x x MC N M x x =≤∴=>∴==<≤【考点】集合的运算6．偶函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (-1) = （_______） 【答案】3【解析】由偶函数可得f(-1)=f(1),由f(x)关于x=2对称可得f(1)=f(3)，即可得解. 【详解】由偶函数可得f(-1)=f(1),由f(x)关于x=2对称可得f(1)=f(3) 则f(-1)=f(3)=3. 故答案为3 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．设集合22{5,log (36)}A a a =-+，集合{1,,}B a b =，若{2}AB =，则集合A B 的真子集的个数是 ． 【答案】15【解析】试题分析：：因为集合22{5,log (36)}A a a =-+，集合{1,,}B a b =，{2}A B =所以22log (36)2a a -+=，即2364a a -+=，解得12a a ==或．因为1a =时，B 中有相同元素，不满足互异性，故舍；2a ∴=所以12}5{A B b ⋃=，，，，有四个元素，所以它的真子集的个数是15个 【考点】交集及其运算，子集与子集真子集 8．设集合41{(,)|3,,}27x y M x y x y R -==∈，{(,)|)2,,}N x y x y x y R =-=∈，则MN = ．【答案】(){}5,2【解析】试题分析：4431{(,)|3,,},3327x y x y M x y x y R ---==∈∴=，即43x y -=-，又2{(,)|log )2,,},0x y N x yx y x y R x y ⎧-=⎪=-=∈∴⎨->⎪⎩，联立可解得52x y =⎧⎨=⎩，即(){}5,2MN =【考点】集合的运算9．设x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,则z ＝x ＋2y 的最大值为_______．【答案】7【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线10,10,330x y x y x y +-=--=-+=围成的三角形区域，三个顶点分别为()()()0,1,1,0,3,2，当直线2z x y =+过点()3,2时取得最大值10【考点】线性规划问题10．若关于x 的不等式23ax -<的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________. 【答案】3-【解析】试题分析：因为等式23ax -<的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根,即3a ⇒=-,故填3-.【考点】绝对值不等式 绝对值方程11．已知0,0x y >>，若不等式22x y kxy x y+≥+恒成立，则实数k 的最大值为 ． 【答案】9k ≤． 【解析】试题分析：0,0x y >>则不等式22x y kxy x y+≥+恒成立等价于()()22225x y x y x y k xy y x ++≤=++恒成立．22559x y y x ++≥+=．当且仅当22x y y x =，即x y =时“=”成立． 9k ∴≤．【考点】函数恒成立问题12．已知全集{}1234,,,U a a a a =，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若1a A ∈，则2a A ∈； ②若3a A ∉，则2a A ∉； ③若3a A ∈，则4a A ∉.则集合A =___________.（用列举法表示） 【答案】{}23,a a【解析】试题分析：集合U 的恰含有两个元素的子集有{}{}{}{}{}{}121314232434,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a 共6个,其中符合题意的有{}{}{}122324,,,,,a a a a a a .任选其一作答即可.【考点】集合的子集.13．关于x 的不等式201x px q ≤++≤的解集为[3,4]，则p q += ． 【答案】6p q +=【解析】试题分析：由题意，方程20x px q ++=无实数根，且当3,4x =时，2x px q ++的值为1，所以，93176164113p q p p q p q q ++==-⎧⎧∴∴+=⎨⎨++==⎩⎩【考点】一元二次函数的性质 14．已知R λ∈，函数()2443x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，，，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是_________. 【答案】(]1,3(4,)⋃+∞【解析】作出函数()f x 的图像，根据函数()f x 恰有2个零点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】由40x -=得4x =；由2430x x -+=得1x =或3x =；作出函数()2443x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，，的大致图像如下：因为函数()f x 恰有2个零点， 所以由图像可得：13λ<≤或4λ>. 故答案为：(]1,3(4,)⋃+∞ 【点睛】本题主要考查由函数零点求参数的问题，作出函数图像，由数形结合的方法即可求解，属于常考题型.15．已知函数()41f x x x =+-，若存在121,,,44n x x x ⎡⎤⋯∈⎢⎥⎣⎦，，使得()()()()121n n f x f x f x f x -++⋯+=，则正整数n 的最大值是________.【答案】6 【解析】【详解】 由题意得()4113,154f x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦.故n 尽可能大时的情形为11333331544++++=，此时6n =.16．存在实数a ，对任意(0,]x m ∈，不等式21(2)ln0ax x a x---⋅≤恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】3(0,2【解析】先化简不等式，转化为两个不等式组，结合二次函数图象与一次函数图象分析确定满足条件的解. 【详解】因为(0,]x m ∈，所以101aa x->⇒< 22201(2)ln 01ln 0x x a a x x a a x x ⎧--≥-⎪--⋅≤⇔⎨-≤⎪⎩或2201ln0x x a ax ⎧--≤⎪⎨-≥⎪⎩， 即2201x x a x a ⎧--≥⎨≥-⎩或2201x x a x a⎧--≤⎨≤-⎩， 当0a ≤时，则(0,1)x ∈时，220,1x x a x a --≥≤-，即此时不等式21(2)ln0ax x a x---⋅≤不成立， 当0a >时，设0x 为满足220x x a --=较小的根，则110(0,],min{,1}x x x x a ∈=-时，满足2201x x a x a⎧--≤⎨≤-⎩，即此时不等式21(2)ln 0a x x a x ---⋅≤恒成立当01x a =-时，即222(1)(1)01001a a a a a a a ----=∴+-=<<∴=因此01m <≤-=故答案为：3(0,]2- 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数图象性质，考查综合分析求解能力，属难题.三、解答题17．若奇函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数． （1）求满足2(1)(1)0f a f a -+-<的集合M ； （2）对（1）中的a ，求函数21()log [1()]xxa F x a-=-的定义域．【答案】（1）{|01}M a a =<<；（2）()F x 的定义域为{|01}x x <<．【解析】试题分析：（1）由f(x)是奇函数，且2(1)(1)0f a f a -+-<，可得2(1)(1)f a f a -<-，结合f(x)在(-1,1)是减函数得21111a a -<-<-<，解不等式可求M ；（2）由题意可得211()0xxa-->，结合01a <<，可知，21()x x u a-=是增函数可得20x x -<，可求定义域．试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，又2(1)(1)0f a f a -+-<，∴2(1)(1)f a f a -<- 又()f x 是减函数，∴211a a ->-，再由(1,1)x ∈-，得21111a a -<-<-<， 解得：{|01}M a a =<<． （2）为使21()log [1()]x xa F x a-=-有意义，必须211()0xxa-->，即21()1xxa-<∵01a <<，∴11a>，21()x x u a -=是增函数，∴20x x -<解得01x <<，∴()F x 的定义域为{|01}x x <<． 【考点】抽象函数，复合函数的定义域18．（1）解关于x 的不等式：22(1)(1)2()a a x a x a a R +->++-∈．（2）如果24x a =-在上述表达式的解集中，求实数a 的取值范围．【答案】（1）φ；（2）(2,1)(3,)a ∈-+∞【解析】试题分析：（1）把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并，同时右边的式子分解因式，然后根据1a >1a =，1a <三种情况，根据不等式的基本性质把x 的系数化为1，分别求出原不等式相应的解集即可；（2）分两种情况：1a >时，根据相应的解集列出关于a 的不等式组；同理1a <时列出相应的不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到a 的范围；试题解析：（1）原不等式2(1)2a x a a ->+-，当1a >时，解集为2x a >+；当1a <时，解集为2x a <+；当1a =时，解集为φ．（2）由题意，2124a a a >⎧⎨+<-⎩或2124a a a <⎧⎨+>-⎩，得(2,1)(3,)a ∈-+∞（或将24x a =-代入原不等式求解）【考点】不等式的解法19．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231p x =-+（其中0x a ≤≤，a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本102p+万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫+⎪⎝⎭元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【答案】（1）4161y x x =--+（0x a ≤≤）；（2）当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为41611311--=+万元；当1a <时，促销费用投入a 万元,厂家的利润最大，为4161a a --+万元. 【解析】（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；（2）利用导数可求出该函数的最值． 【详解】（1）由题意知，()204102y p x p p ⎛⎫⎪⎝⎭=+--+， 将231p x =-+代入化简得：4161y x x =--+（0x a ≤≤）； （2）()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++， （ⅰ）当1a ≥时，①当()0,1x ∈时，0y '>，所以函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增，②当()1,x a ∈时，0y '<，所以函数4161y x x =--+在()1,a 上单调递减， 从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； （ⅱ）当1a <时，因为函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增， 所以在[]0,a 上单调递增，故当x a =时，函数有最大值， 即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大.综上，当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为41611311--=+万元；当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大，为4161a a --+万元. 【点睛】本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题. 20．已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.（1）若a 、b R ∈且0a ≠，证明：函数2()f x ax bx a =+-必有局部对称点；（2）若函数()2xf x c =+在区间[]1,2-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数12()423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）17[,1]8--（3）1m ≤【解析】（1）根据定义转化为方程，根据证明方程有解得结果；（2）根据定义转化为方程，利用变量分离转化为求对应函数值域，即得结果； （3）根据定义转化为方程，利用换元转化为对应一元二次方程有解问题，再根据实根分布求结果. 【详解】（1）由题意得222()()22001a x bx a ax bx a ax a a x ---=-+-∴-=≠∴=±根据定义可得函数2()f x ax bx a =+-必有局部对称点；（2）因为函数()2xf x c =+在区间[]1,2-内有局部对称点，所以2(2)xx c c -+=-+，即1(22)2x x c -=-+在区间[]1,2-内有解，设12,[,4]2xt t =∈，则111(22)()22x x c t t -=-+=-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在(1,4]上单调递减，所以51717[,1][,1)[,1]488c ∈----=--（3）因为函数12()423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，所以1212423(423)x x x x m m m m --++-⋅+-=--⋅+-在R 上有解，2(442(22)2(3))0x x x x m m ---++-=+设22,[2,)x x t t -=+∈+∞，则22(222(3)0)t mt m --+-=，即222280t mt m -+-=在[2,)+∞上有解，所以222244(28)0224280m m m m m ⎧∆=--≥⎪<⎨⎪-+-≤⎩或2244(28)02m m m ⎧∆=--≥⎨≥⎩，211m m m ⎧-≤≤⎪<⎨⎪≤≤+⎩或2m m ⎧-≤≤⎪⎨≥⎪⎩1m ≤【点睛】本题考查函数新定义、函数值域以及一元二次方程实根分布，考查综合分析求解能力，属难题.21．设函数()||f x ax b =-，a ，b R ∈.（1）当0a =，1b =时，写出函数()f x 的单调区间；（2）当12a =时，记函数()f x 在[]0,4上的最大值为()g b ，在b 变化时，求()g b 的最小值；（3）若对任意实数a ，b ，总存在实数[]00,4x ∈，使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为[0,1)，（2）14（3）14m ≤ 【解析】（1）先根据绝对值定义化简函数解析式，再直接写出单调区间；（2）先根据二次函数性质确定最大值取法，再比较大小确定()g b ，最后根据分段函数性质求()g b 最小值；（3）根据题意先分类讨论求出()f x 最大值，再求()f x 最大值的最小值，即得实数m 的取值范围.【详解】（1）当0a =，1b =时，1,1()111x f x ax b x ⎧≥⎪=-=⎨≤<⎪⎩ 所以函数()f x 的单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为[0,1)， （2）2111()|||||1)|222f x ax b x b b =-=-=+- 所以{}1,41()max (0),(1),(4)max ,112,24b bg b f f f b b b b ⎧≥⎪⎧⎫⎪==-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪-<⎪⎩因此min 11()()44g b g == （3）当0a =时{}max max min ,1()max ,2[()]12,1b b f x b b f x b b ⎧≥⎪=-=∴=⎨-<⎪⎩，令t =，则2[0,2],()||t f x at t b ∈=-+- 当0,a ≠时根据二次函数图象对称性可得当1(0)(2)()2f f f a==时()f x 最大值取最小值 1111||||224b b b a ∴=∴=-∴=，因此此时max min 1[()]4f x = 综上，max min 1[()]4f x =，从而14m ≤ 【点睛】本题考查函数单调性以及函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.。
2019届上海市上大附中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019届上海市上大附中高三上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．设x ∈R ，则“327x >”是“3x >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】由327x >有3x >,再分析与3x >的包含关系即可.【详解】因为3y x =为增函数,故327x >解得3x >,又因为33x x >⇒>,但3x >包含,33x x <->,故“327x >”是“3x >”的充分非必要条件故选：A 【点睛】本题主要考查三次函数与幂函数的不等式解法以及充分与必要条件的判断等.属于基础题型.2．数列{}n a 中,115a =-,且12n n a a +=+,则当前n 项和n S 最小时,n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】由115a =-,且12n n a a +=+可知{}n a 是首项为负,公差为正数的等差数列,故要前n 项和n S 最小,则10n n a a +≤⎧⎨≥⎩ ,再求得通项公式代入即可. 【详解】由115a =-,且12n n a a +=+知{}n a 是以-15为首项,2为公差的等差数列, 故152(1)217n a n n =-+-=-,所以当n S 最小时11702170202(1)170152n n n a n a n n +⎧≤⎪≤-≤⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≥+-≥⎩⎩⎪≥⎪⎩,又*n N ∈,所以8n = 故选：C 【点睛】本题主要考查首项为负,公差为正数的等差数列的前n 项和n S 最小值的问题,只需列出10n n a a +≤⎧⎨≥⎩求解即可.属于基础题型. 3．若(2)0()()0ax x x f x bx a x x +≥⎧=⎨-<⎩为奇函数，且实数t 满足()2(23)0f t f t -+<，则a tb ⋅+的取值范围是（ ）A ．(2,2)-B ．()3,3-C ．(4,4)-D ．以上答案都不对 【答案】C【解析】由()f x 为奇函数可以算得2a =,2b =,再画图得出()f x 单调性,进行解不等式即可. 【详解】()f x 为奇函数,当0x ≥时有()(2)f x ax x =+,故当0x <时2()()()(2)(2)2f x f x a x x ax x ax ax =--=---+=--=-+ 又当0x <时2()()f x bx a x bx abx =-=-+,所以2a ba ab -=-⎧⎨=⎩,当0a b ==时0a t b ⋅+=当0b ≠时得：2a =,2b =；所以2(2)0()2(2)0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩,画出图像得易得整体单调递增, 故()()222(23)(23)2331f t f tf t f t t tt -<-⇔-<-⇔-<-⇒-<<,那么：22(4,4)a t b t ⋅+=+∈- 故选：C【点睛】本题主要考查根据奇偶性求分段函数表达式的问题,同时也考查了根据函数性质解不等式的方法,属于中等题型. 4．已知当12x <时，有21124(2)12n x x x x=-+-+-++，根据以上信息，若对任意12x <都有()201231(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+，则10a =（ ） A ．444- B ．455-C ．466-D ．以上答案都不对 【答案】B【解析】()()331(12)1(12)11x x x x x x ⋅⋅=+-+-,分别根据 21124(2)12n x x x x=-+-+-++展开311x -与112x+, 再根据二项式定理的方法求解即可. 【详解】()31(12)x x x x =-+()()369122311248x x x x x xx +++++-+-+⋯①②,要得出10x 的系数10a ,可取(1)①式中的1乘以②式中的99(2)x -； (2)①式中的3x 乘以②式中的66(2)x -； (3)①式中的6x 乘以②式中的33(2)x -； (4)①式中的9x 乘以②式中的1； 那么96310(2)(2)(2)1455a =-+-+-+=-故选：B 【点睛】本题主要考查知识迁移的能力,根据21124(2)12n x x x x=-+-+-++能够推导出311x -的展开式,并能够利用二项式定理的方法进行满足条件的系数查找,属于难题.二、填空题5．行列式2102333=__________. 【答案】646【解析】由行列式运算法则运算即可. 【详解】21023332106462333=⨯-⨯=故答案为：646 【点睛】本题主要考查二阶行列式的运算,属于简单题型.6．双曲线2211625x y -=的渐近线方程是______________.【答案】540x y ±=【解析】根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为by x a=±化简即可. 【详解】由2211625x y -=得渐近线方程为54y x =±,化简得540x y ±= 故答案为：540x y ±= 【点睛】本题主要考查渐近线的方程,属于简单题型. 7．不等式10x x+≤的解集是________． 【答案】[-1,0）【解析】根据不等式的性质得到关于x 的不等式组，解出即可 【详解】不等式10x x +≤，即()010x x x ≠⎧⎨+≤⎩解得10x -≤<即不等式的解集为)10⎡-⎣， 故答案为)10⎡-⎣，【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题。
2017-2018学年上海市实验学校高三(上)第一次月考数学试卷
2017-2018学年上海市实验学校高三(上)第一次月考数学试卷一、填空题(1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.(4分)设全集U＝R,集合M＝{x|0＜x≤1},N＝{x|x≤0},则M∩(∁U N)＝.2.(4分)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称,f(3)＝3,则f(﹣1)＝.3.(4分)设集合＝＋,集合B＝{1,a,b},若A∩B＝{2},则集合A ∪B的真子集的个数是.4.(4分)设集合M＝{(x,y)|3x﹣4y＝,x,y∈R},N＝{(x,y)|log(x﹣y)＝2,x,y∈R},则M∩N＝.5.(4分)设x,y满足的约束条件＋＋,则z＝x＋2y的最大值为.6.(4分)若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜},则a＝.7.(5分)已知x＞0,y＞0,若不等式＋≥＋恒成立,则实数k的最大值为.8.(5分)已知全集U＝{a1,a2,a3,a4},集合A是集合U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件：①若a1∈A,则a2∈A；②若a3∈A,则a2∈A；③若a3∈A,则a4∉A,则集合A＝.9.(5分)关于x的不等式0≤x2＋px＋q≤1的解集为[3,4],则p＋q＝.10.(5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)＝|x2﹣2x＋|,若函数y＝f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.11.(5分)方程(a2＋1)x2﹣2ax﹣3＝0的两根x1,x2满足|x2|＜x1(1﹣x1),且0＜x1＜1,则实数a的取值范围为.12.(5分)设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)＝2x,若对任意的x∈[a,a ＋2],不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立,则实数a的取值范围是.二、选择题(每题5分)13.(5分)设全集U＝{x∈N|x≥2},集合A＝{x∈N|x2≥5},则∁U A＝()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}14.(5分)已知命题甲是“{x|＋≥0}”,命题乙是“{x|log3(2x＋1)≤0}”,则()A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件15.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x).当﹣3≤x＜﹣1时,f(x)＝﹣(x＋2)2,当﹣1≤x＜3时,f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝()A.333B.336C.1678D.201516.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0＜f(﹣1)＝f(﹣2)＝f(﹣3)≤3,则()A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞9三、解答题(本大题有5题,满分76分)17.(14分)若奇函数f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数(1)求满足f(1﹣a)＋f(1﹣a2)＜0的集合M(2)对(1)中的a,求函数F(x)＝log a[1﹣]的定义域.18.(14分)(1)解关于x的不等式：(a2＋a﹣1)x＞a2(1＋x)＋a﹣2,(a∈R).(2)如果x＝a2﹣4在上述不等式的解集中,求实数a的取值范围.19.(14分)为配合上海迪斯尼游园工作,某单位设计人数的数学模型(n∈N＋)：以f(n)＝＋＋表示第n时进入人数,以g(n)＝表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位,上午9点15分作为第1个计算人数单位,即n＝1：9点30分作为第2个计算单位,即n＝2；依此类推,把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：(最后结果四舍五入,精确到整数).(1)试计算当天14点到15点这一个小时内,进入园区的游客人数f(21)＋f(22)＋f(23)＋f(24)、离开园区的游客人数g(21)＋g(22)＋g(23)＋g(24)各为多少？(2)从13点45分(即n＝19)开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻,并说明理由：20.(16分)已知函数y＝f(x),若在定义域内存在x0,使得f(﹣x0)＝﹣f(x0)成立,则称x0为函数f(x)的局部对称点.(1)若a∈R且a≠0,证明：函数f(x)＝ax2＋x﹣a必有局部对称点；(2)若函数f(x)＝2x＋b在区间[﹣1,2]内有局部对称点,求实数b的取值范围；(3)若函数f(x)＝4x﹣m•2x＋1＋m2﹣3在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.21.(18分)设a∈R,函数f(x)＝x|x﹣a|﹣a.(1)若f(x)为奇函数,求a的值；(2)若对任意的x∈[2,3],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围；(3)当a＞4时,求函数y＝f(f(x)＋a)零点的个数.2017-2018学年上海市实验学校高三(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.(4分)设全集U＝R,集合M＝{x|0＜x≤1},N＝{x|x≤0},则M∩(∁U N)＝{x|0＜x ≤1} .【分析】由题意和补集的运算求出∁U N,由交集的运算求出M∩(∁U N).【解答】解：由N＝{x|x≤0}得,∁U N＝{x|x＞0},因集合M＝{x|0＜x≤1},所以M∩(∁U N)＝{x|0＜x≤1},故答案为：{x|0＜x≤1}.【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,属于基础题.2.(4分)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称,f(3)＝3,则f(﹣1)＝3.【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质,得到f(x＋4)＝f(x),即可得到结论,运用周期性可得f(﹣1)＝f(﹣1＋4)＝f(3)＝3.【解答】解：因为偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称,所以f(4﹣x)＝f(x),﹣x代入式子的x得出：f(4＋x)＝f(﹣x)＝f(x)即f(x＋4)＝f(x),周期为4,则f(﹣1)＝f(﹣1＋4)＝f(3)＝3,故答案为：3.【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f(x＋4)＝f(x)是解决本题的关键,比较基础.3.(4分)设集合＝＋,集合B＝{1,a,b},若A∩B＝{2},则集合A ∪B的真子集的个数是15.【分析】由题意可得出＋＝,从中解出a的值,即可得出两个集合的所有元素,求出两集合的并集,即可得出并集的真子集个数【解答】解：因为集合＝＋,集合B＝{1,a,b},A∩B＝{2},所以＋＝,即a2﹣3a＋6＝4,解得a＝1或a＝2因为a＝1时,B中有相同元素,不满足互异性,故舍∴a＝2所以A∪B＝{1,2,5,b},有四个元素,所以它的真子集的个数是15个故答案为15【点评】本题考查子集与真子集,集合的交集,解题的关键是理解交集的定义,得出关于参数a的方程,解出并集含有的元素个数4.(4分)设集合M＝{(x,y)|3x﹣4y＝,x,y∈R},N＝{(x,y)|log(x﹣y)＝2,x,y∈R},则M∩N＝{(5,2)} .【分析】根据M与N,确定出方程组,求出方程组的解得到x与y的值,即可求出M 与N的交集.【解答】解：由M中3x﹣4y＝＝3﹣3,x,y∈R,得到x﹣4y＝﹣3,由N中log(x﹣y)＝2＝log3,得到x﹣y＝3,联立解得：x＝5,y＝2,则M∩N＝{(5,2)},故答案为：{(5,2)}【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.＋,则z＝x＋2y的最大值为7. 5.(4分)设x,y满足的约束条件＋【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【解答】解：作出不等式对应的平面区域,由z＝x＋2y,得y＝﹣＋,平移直线y＝﹣＋,由图象可知当直线y＝﹣＋经过点B时,直线y＝﹣＋的截距最大,此时z最大.由＝＋＝,得＝＝,即B(3,2),此时z的最大值为z＝1＋2×3＝1＋6＝7,故答案为：7.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.6.(4分)若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜},则a＝﹣3.【分析】由题意可得﹣和是|ax﹣2|＝3的两个根,故有＝＝,由此求得a的值.【解答】解：∵关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜},∴﹣和是|ax﹣2|＝3的两个根,∴＝＝,∴a＝﹣3,故答案为：﹣3.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.7.(5分)已知x＞0,y＞0,若不等式＋≥＋恒成立,则实数k的最大值为9.【分析】由已知不等式分离变量k,得k≤＋＋＝5＋＋,然后利用基本不等式求得k的最大值.【解答】解：∵x＞0,y＞0,不等式＋≥＋恒成立等价于k≤＋＋＝5＋＋,5＋＋≥5＋2＝9,当且仅当＝,即x＝y时“＝”成立.∴k≤9.故答案为：9【点评】本题考查了恒成立问题,体现了分离变量法,涉及了利用基本不等式求最值,是中档题.8.(5分)已知全集U＝{a1,a2,a3,a4},集合A是集合U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件：①若a1∈A,则a2∈A；②若a3∈A,则a2∈A；③若a3∈A,则a4∉A,则集合A＝{a2,a3} .【分析】若a1∈A,则a2∈A,则由若a3∉A,则a2∉A可知,a3∈A,则不成立；同理讨论若a4∈A.从而得到集合A.【解答】解：∵全集U＝{a1,a2,a3,a4},集合A是集合U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件：①若a1∈A,则a2∈A；②若a3∈A,则a2∈A；③若a3∈A,则a4∉A,∴若a1∈A,则a2∈A,则由若a3∉A,则a2∉A可知,a3∈A,则a1∈A不成立；若a4∈A,则a3∉A,则a2∉A,a1∉A,则a4∈A不成立；∴集合A＝{a2,a3}.故答案为：{a2,a3}.【点评】本题考查满足条件的集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用.9.(5分)关于x的不等式0≤x2＋px＋q≤1的解集为[3,4],则p＋q＝6.【分析】由题意,得到方程x2＋px＋q＝0无实数根,并且x＝3,4时x2＋px＋q的值为1,列方程组解出p,q.【解答】解：由题意,方程x2＋px＋q＝0无实数根,并且x＝3,4时x2＋px＋q的值为1,所以＋＋＝＋＋＝解得＝＝,所以p＋q＝6；故答案为：6.【点评】本题考查了已知一元二次不等式的解集求不等式中的参数的问题；关键是由已知判断出对应方程根的情况.10.(5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)＝|x2﹣2x＋|,若函数y＝f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是(0,).【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y＝a的图象,利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)＝|x2﹣2x＋|,若函数y＝f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝a的图象如图：由图象可知.故答案为：(0,).【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用.11.(5分)方程(a2＋1)x2﹣2ax﹣3＝0的两根x1,x2满足|x2|＜x1(1﹣x1),且0＜x1＜1,则实数a的取值范围为＋＋.【分析】根据方程根的个数与判别式之间的关系证明△＞0恒成立,由题意判断出另一个根的范围,再由f(1)＞0求出a的范围,利用f(0)＜0进一步确定两个根的关系,再由韦达定理求出a范围,再取交集.【解答】解：∵|x2|＜x1(1﹣x2),∴x1(1﹣x2)＞0,又∵0＜x1＜1,∴x2＜1设f(x)＝(a2＋1)x2﹣2ax﹣3,∵方程有两根,∴△＝4a2＋12(a2＋1)＞0恒成立,则f(1)＝a2﹣2a﹣2＞0,解得a＞1＋或a＜1﹣；∵f(0)＝﹣3,∴x2＜0＜x1＜1,则|x2|＜x1(1﹣x2)可化简为：x1＋x2＞x1x2,利用韦达定理得＋＞﹣＋,解得a＞﹣.∴实数a的取值范围是：(﹣,1﹣)∪(1＋,＋∞)故答案为：＋＋【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.12.(5分)设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)＝2x,若对任意的x∈[a,a ＋2],不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立,则实数a的取值范围是(﹣∞,﹣] .【分析】根据函数为偶函数,求出函数f(x)的表达式,然后将不等式f(x＋a)≥f2(x)化简,对a进行讨论,将x解出来,做到参数分离,由恒成立思想,即可求出a的范围.【解答】解：由题意,f(x)＝＜(4分)(1)当a≥0时,即有2x＋a≥22x,x≤a,不合；(6分)(2)当a＋2≤0时,即有()x＋a≥()2x,x≥a,恒成立,a≤﹣2符合；(8分)(3)当﹣2＜a＜0时,若x＋a＞0,则a＋2≥﹣a,a≥﹣1由(1)得不合若x＜0由(2)得成立,则x＋a＜0,x＞0时恒成立,即()x＋a≥22x,x≤﹣,∴a＋2≤﹣,a≤﹣,∴﹣2＜a≤﹣(14分)综上,实数a的取值范围a≤﹣,故答案为：(﹣∞,﹣](15分).【点评】本题主要考查函数的奇偶性及运用,求出函数在定义域上的解析式是解题的关键,考查解决恒成立问题的常用方法：参数分离,必须掌握.二、选择题(每题5分)13.(5分)设全集U＝{x∈N|x≥2},集合A＝{x∈N|x2≥5},则∁U A＝()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}【分析】先化简集合A,结合全集,求得∁U A.【解答】解：∵全集U＝{x∈N|x≥2},集合A＝{x∈N|x2≥5}＝{x∈N|x≥3},则∁U A＝{2},故选：B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义,求集合的补集,属于基础题.14.(5分)已知命题甲是“{x|＋≥0}”,命题乙是“{x|log3(2x＋1)≤0}”,则()A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【分析】分别化简解出甲乙的不等式,即可判断出结论.【解答】解：＋≥0,⇔x(x＋1)(x﹣1)≥0,且x≠1,解得：﹣1≤x≤0,或x＞1.由log3(2x＋1)≤0,∴0＜2x＋1≤1,解得：＜.∴甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.故选：B.【点评】本题考查了不等式的解法、对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x).当﹣3≤x＜﹣1时,f(x)＝﹣(x＋2)2,当﹣1≤x＜3时,f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝()A.333B.336C.1678D.2015【分析】由已知得到函数的周期为6,找到与2015函数值相等的(﹣3,3)的自变量,按照周期求值.【解答】解：由已知函数周期为6,并且2015＝6×335＋5,并且f(1)＝1,f(2)＝2,f(3)＝f(﹣3＋6)＝f(﹣3)＝﹣(﹣3＋2)2＝﹣1,f(4)＝f(﹣2＋6)＝f(﹣2)＝0,f(5)＝f(﹣1＋6)＝f(﹣1)＝﹣1,f(6)＝f(0)＝0,所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1,所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝1×335＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝335＋1＝336；故选B.【点评】本题考查了函数的周期性的运用；关键是由已知明确所求是几个周期的函数值另外加上前几个自变量的函数值.16.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0＜f(﹣1)＝f(﹣2)＝f(﹣3)≤3,则()A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞9【分析】由f(﹣1)＝f(﹣2)＝f(﹣3)列出方程组求出a,b,代入0＜f(﹣1)≤3,即可求出c的范围.【解答】解：由f(﹣1)＝f(﹣2)＝f(﹣3)得＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋,解得＝＝,则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c,由0＜f(﹣1)≤3,得0＜﹣1＋6﹣11＋c≤3,即6＜c≤9,故选C.【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题.三、解答题(本大题有5题,满分76分)17.(14分)若奇函数f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数(1)求满足f(1﹣a)＋f(1﹣a2)＜0的集合M(2)对(1)中的a,求函数F(x)＝log a[1﹣]的定义域.【分析】(1)由f(x)是奇函数,且f(1﹣a)＋f(1﹣a2)＜0,可得f(1﹣a)＜﹣f(1﹣a2)＝f(a2﹣1),结合f(x)在x∈(﹣1,1)是减函数得﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1,解不等式可求M (2)由题意可得＞0,结合0＜a＜1,可知,u＝是增函数可得x2﹣x ＜0,可求【解答】解：(1)∵f(x)是奇函数,又f(1﹣a)＋f(1﹣a2)＜0,∴f(1﹣a)＜﹣f(1﹣a2)＝f(a2﹣1)又∵f(x)是减函数,∴1﹣a＞a2﹣1再由x∈(﹣1,1)得﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1即＜＜＜＜＜即＜＜＜＜＋＜解得M＝{a|0＜a＜1}(2)为使F(x)＝log a[1﹣()x2﹣x]有意义,则＞0即＜∵0＜a＜1,∴＞,u＝是增函数∴x2﹣x＜0,解得0＜x＜1,∴F(x)的定义域为{x|0＜x＜1}【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及函数的单调性解不等式,对数函数定义域的求解及知识函数单调性的应用,属于函数知识的综合应用.18.(14分)(1)解关于x的不等式：(a2＋a﹣1)x＞a2(1＋x)＋a﹣2,(a∈R).(2)如果x＝a2﹣4在上述不等式的解集中,求实数a的取值范围.【分析】(1)把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并,同时右边的式子分解因式,然后根据a﹣1大于0,a﹣1等于0及a﹣1小于0三种情况,根据不等式的基本性质把x的系数化为1,分别求出原不等式相应的解集即可；(2)解法一：分两种情况：a大于1时,根据相应的解集列出关于a的不等式组；同理a小于1时列出相应的不等式组,求出两不等式组解集的并集即可得到a的范围；解法二：把x＝a2﹣4代入原不等式中化简,得到关于a的不等式,画出相应的图形,根据图形即可得到满足题意的a的取值范围.【解答】解：(1)(a2＋a﹣1)x＞a2(1＋x)＋a﹣2,(a2＋a﹣1)x﹣a2x＞a2＋a﹣2,(a﹣1)x＞a2＋a﹣2,(a﹣1)x＞(a﹣1)(a＋2),当a＞1时,解集为{x|x＞a＋2}；当a ＝1时,解集为∅；当a ＜1时,解集为{x |x ＜a ＋2}；(2)解法一：由题意, ＞ ＋ ＜ 或 ＜＋ ＞, 分别化为：＞＋ ＞ 或 ＜＋ ＜,解得：a ＞3或﹣2＜a ＜1,则实数a 的取值范围为(﹣2,1)∪(3,＋∞)； 解法二：将x ＝a 2﹣4代入原不等式, 并整理得：(a ＋2)(a ﹣1)(a ﹣3)＞0, 根据题意画出图形,如图所示：根据图形得：实数a 的取值范围为(﹣2,1)∪(3,＋∞).【点评】此题考查了其他不等式的解法,利用了分类讨论及数形结合的思想,第二小题有两种解法：一种是利用转化的思想,讨论a 大于1和a 小于1,根据第一问求出的解集列出相应的不等式组；另一种是直接把x 的值代入原不等式,借助图形来求解.19.(14分)为配合上海迪斯尼游园工作,某单位设计人数的数学模型(n ∈N ＋)：以f(n)＝＋＋ 表示第n时进入人数,以g(n)＝表示第n 个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位,上午9点15分作为第1个计算人数单位,即n ＝1：9点30分作为第2个计算单位,即n ＝2；依此类推,把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：(最后结果四舍五入,精确到整数).(1)试计算当天14点到15点这一个小时内,进入园区的游客人数f(21)＋f(22)＋f(23)＋f(24)、离开园区的游客人数g(21)＋g(22)＋g(23)＋g(24)各为多少？(2)从13点45分(即n＝19)开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻,并说明理由：【分析】(1)根据条件利用代入法即可得f(21)＋f(22)＋f(23)＋f(24)和g(21)＋g(22)＋g(23)＋g(24)的值,(2)根据分段函数的表达式,结合函数的单调性进行求解即可.【解答】解：(1)当天14点至15点这一小时内进入园区人数为f(21)＋f(22)＋f(23)＋f(24)＝360×[3＋3＋3＋3]＋3000×4≈17460(人)…3分离开园区的人数g(21)＋g(22)＋g(23)＋g(24)＝9000 (人) …6分(2)当f(n)﹣g(n)≥0 时,园内游客人数递增；当f(n)﹣g(n)＜0时,园内游客人数递减.…7分①当19≤n≤32 时,由f(n)﹣g(n)＝360•3﹣500n＋12000≥0,可得：当19≤n≤28 时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多；…9分当29≤n≤32 时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少； (11)分( f(28)﹣g(28)＝246.49＞0；f(29)﹣g(29)＝﹣38.13＜0 )②当33≤n≤45 时,由f(n)﹣g(n)＝﹣720n＋23600 递减,且其值恒为负数.进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少. …13分综上,当天下午16点时(n＝28)园区内的游客人数最多,此时计算可知园区大约共有77264人.…14分【点评】本题主要考查函数的应用问题,分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题,并能解释其实际意义是解决本题的关键.20.(16分)已知函数y＝f(x),若在定义域内存在x0,使得f(﹣x0)＝﹣f(x0)成立,则称x0为函数f(x)的局部对称点.(1)若a∈R且a≠0,证明：函数f(x)＝ax2＋x﹣a必有局部对称点；(2)若函数f(x)＝2x＋b在区间[﹣1,2]内有局部对称点,求实数b的取值范围；(3)若函数f(x)＝4x﹣m•2x＋1＋m2﹣3在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.【分析】(1)根据定义构造方程ax2＋x﹣a＝0,再利用判别式得到方程有解,问题得以解决.(2)根据定义构造方程2x＋2﹣x＋2b＝0在区间[﹣1,2]上有解,再利用换元法,设t＝2x,求出b的范围,问题得以解决.(3)根据定义构造方程4x＋4﹣x﹣2m(2x＋2﹣x)＋2(m2﹣3)＝0…(*)在R上有解,再利用换元法,设t＝2x＋2﹣x,方程变形为t2﹣2mt＋2m2﹣8＝0 在区间[2,＋∞)内有解,再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：(1)由f(x)＝ax2＋x﹣a得f(﹣x)＝ax2﹣x﹣a,代入f(﹣x)＝﹣f(x) 得ax2＋x﹣a＋ax2﹣x﹣a＝0得到关于x的方程ax2﹣a＝0(a≠0),其中△＝4a2,由于a∈R且a≠0,所以△＞0恒成立,所以函数f(x)＝ax2＋x﹣a必有局部对称点；(2)f(x)＝2x＋b在区间[﹣1,2]内有局部对称点,∴方程2x＋2﹣x＋2b＝0在区间[﹣1,2]上有解,于是﹣2b＝2x＋2﹣x,设t＝2x,≤t≤4,∴﹣2b＝t＋,其中2≤t＋≤,所以﹣≤b≤﹣1(3)∵f(﹣x)＝4﹣x﹣m•2﹣x＋1＋m2﹣3,由f(﹣x)＝﹣f(x),∴4﹣x﹣m•2﹣x＋1＋m2﹣3＝﹣(4x﹣m•2x＋1＋m2﹣3),于是4x＋4﹣x﹣2m(2x＋2﹣x)＋2(m2﹣3)＝0…(*)在R上有解,令t＝2x＋2﹣x(t≥2),则4x＋4﹣x＝t2﹣2,∴方程(*)变为t2﹣2mt＋2m2﹣8＝0 在区间[2,＋∞)内有解,需满足条件：＝＋即,化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义,考查了方程的解得问题以及参数的取值范围,以及换元的思想,转化思想,属于难题21.(18分)设a∈R,函数f(x)＝x|x﹣a|﹣a.(1)若f(x)为奇函数,求a的值；(2)若对任意的x∈[2,3],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围；(3)当a＞4时,求函数y＝f(f(x)＋a)零点的个数.【分析】(1)根据f(0)＝0即可求出a；(2)讨论a的取值：a＜2,2≤a≤3,a＞3,三种情况,求出每种情况下的f(x)的最小值,让最小值大于等于0从而求出a的取值范围；(3)代入f(x),原函数变成y＝f(x|x﹣a|),这时候换元t＝x|x﹣a|,y＝t|t﹣a|﹣a.然后画出函数t＝x|x﹣a|和函数y＝t|t﹣a|﹣a的图象,通过图象找出有几个t使得y ＝t|t﹣a|﹣a＝0,并找出对应的x的个数,从而找到原函数的零点个数.【解答】解：(1)∵f(x)在原点有定义,f(x)为奇函数；∴f(0)＝﹣a＝0；∴a＝0；(2)f(x)＝x|x﹣a|﹣a；∴①若a＜2,则x＝2时,f(x)在[2,3]上取得最小值f(2)＝2(2﹣a)﹣a＝4﹣3a；∴4﹣3a≥0,a≤；∴；②若2≤a≤3,则x＝a时,f(x)取得最小值f(a)＝﹣a；﹣a＜0,不满足f(x)≥0；即这种情况不存在；③若a＞3,则x＝3时,f(x)取得最小值f(3)＝3(a﹣3)﹣a＝2a﹣9；∴2a﹣9≥0,a；∴；∴综上得a的取值范围为(﹣∞,]∪[,＋∞)；(3)f(x)＋a＝x|x﹣a|,令x|x﹣a|＝t；∴y＝t|t﹣a|﹣a；下面作出函数t＝x|x﹣a|＝＋＜和函数y＝t|t﹣a|﹣a＝＋＜的图象：函数y＝t|t﹣a|﹣a的图象可以认为由函数y＝t|t﹣a|的图象向下平移a个单位得到；显然函数y＝t|t﹣a|﹣a的左边两个零点t＝t1,t＝t2都在(0,a)区间上,而通过t＝x|x﹣a|的图象可看出：∵＞＝＞,∴＜；∴t1,t2分别有三个x和它对应；∴这时原函数有6个零点；由t(t﹣a)﹣a＝t2﹣ta﹣a＝0可以解出＝＋＋；∴＋＋＝＋＋＋；显然＋＋＞；而(a2﹣2a)2﹣4(a2＋4a)＝a[a2(a﹣4)﹣16]；显然a2(a﹣4)﹣16可能大于0,可能等于0,可能小于0；∴t3可能和它对应的x个数为3,2,1；∴此时原函数零点个数为3,2,或1；∴原函数的零点个数为9个,8个,或7个.【点评】考查奇函数的定义,奇函数在原点有定义时f(0)＝0,函数零点的定义,含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法,以及画出分段函数的图象,以及根据图象求函数零点个数的方法.。
上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题
绝密★启用前 上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知直线a ，若直线b 同时满足下列条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ；则这样的直线b （ ） A.唯一确定 B.有两条 C.有四条 D.有无数条 2．已知函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=⋅并且(1)1f =，那么2222((1))((2))((3))((1010))(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅的值为（ ） A.2019 B.1010 C.4038 D.3030 3．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”，判断下列函数：①()21f x x =+；②2(1)2f x x x =++；③()2x f x =；④3()sin(4f x x π=+中是“位差奇函数”的有（ ）A.1B.2C.3D.4 4．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )…………○…………线…………○……答※※题※※ …………○…………线…………○……A. B.C.D.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．设集合{2,0,1,9}A=，{|2,}B x x a a A==∈，则A B的所有元素之和为________6．已知sin()45πα-=，35(,)44ππα∈，则sinα=________7．若2(1)(2)3lim42na nb nn→∞-++-=+，则a b+=________8．已知()2n1(2x)n N*x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是______.(结果用数值表示)9．已知x,y满足约束条件10xx yx y m-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1yx+的最大值为2，则m的值为__________．10．已知函数()|21|xf x a=--，若存在实数1x、2x（12x x≠），使得12()()1f x f x==-，则实数a的取值范围为________.11．已知复数z满足i1iz z+=-，则220181z z z+++⋅⋅⋅+=________12．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，(3,1)n=是l的一个法向量，已知数列{}n a满足：对任意的正整数n，点1,()n na a+均在l上，若26a=，则12345a a a a a的值为____13．将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a，b，c，d，e，f，则abc def+是偶数的概率为______14．在菱形ABCD中，||4AB AD-=，||2AB AD+=，13AF AD=，12DE EC=，则BF AE⋅=________15．已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>），F为椭圆的右焦点，AB为过椭圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为_____外…………○………○…………※※※※装※※订※※线※※内…………○………○…………()1f π=，()22f π=，则不等式组()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩的解集为______． 三、解答题 17．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC∆面积的最大值.18．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，1AD =，AB BC ==3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值.19．如图，两条相交线段AB 、PQ 的四个端点都在椭圆22143x y +=上，其中直线AB 的方程为0x m =>，直线PQ 的方程为12y x n =+.（1）若0n =，BAP BAQ ∠=∠，求m 的值；（2）探究：是否存在常数m ，当n 变化时，恒有BAP BAQ ∠=∠？20．已知函数2()ax bx cf x x d ++=+（其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x d ≠-）.（1）若0a =，函数()f x 的图象关于点(1,3)-成中心对称，求b ，d 的值； （2）若函数()f x 满足条件（1），且对任意0[3,10]x ∈，总有0()[3,10]f x ∈，求c 的取值范围； （3）若0b =，函数()f x 是奇函数，(1)0f =，3(2)2f -=-，且对任意[1,)x ∈+∞时，不等式()()0f mx mf x +<恒成立，求负实数m 的取值范围． 21．对于无穷数列{}n a ，若对任意*n N ∈，满足212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数），则称数列{}n a 为T 数列. （1）若1(2n n a =-（*n N ∈），判断数列{}n a 是否为T 数列，说明理由； （2）设350()2n n b n =-，求证：数列{}n b 是T 数列，并求常数M 的取值范围； （3）设数列|1|n p c n =-（*n N ∈，1p >），问数列{}n c 是否为T 数列？说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出如图所示的图形，其中//,,a b αβαβ⊂⊂，且,a b 异面，则平面β与b 平行的线都满足要求，所以这样的直线由无数条.故选D.【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，以及异面直线的定义、夹角、距离等概念是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，求得()()()()123f f f f n ====，即可求解.【详解】 由题意，函数满足()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，即()()()()123f f f f n ====，所以2222222((1))((2))((3))((1010))(1)(2)(1010)1010(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅=+++=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了抽象函数，以及数列的求和的应用，解答中合理赋值，得到()()1f n f n +=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．B【解析】【分析】根据题意，结合“位差奇函数”的定义依次分析四个选项中的函数是否是“位差奇函数”，即可求解，得到答案.【详解】对于①中，函数()21f x x =+，则()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=，则对任意的实数m ，函数()()f x m f m +-是奇函数，即函数()f x 是位差值为任意实数m 的“位差奇函数”；对于②中，函数22()21(1)f x x x x =++=+，则()()22(1)f x m f m x m x +-=++， 设()22(1)h x x m x =++不会是奇函数，所以函数2(1)2f x x x =++不是“位差奇函数”； 对于③中，函数()2x f x =，则()()222(21)x m m m x f x m f m ++-=-=-，对任意实数m ，函数()()f x m f m +-都不是奇函数，所以()2x f x =不是“位差奇函数”；对于④中，函数3()sin()4f x x π=+，则()()33sin()sin()44f x m f m x m m ππ+-=++-+， 取4m π=时，可得()()sin()sin sin f x m f m x x ππ+-=+-=-是奇函数， 所以函数3()sin()4f x x π=+是“位差奇函数”. 故选：B.【点睛】 本题主要考查了函数的新定义，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中正确理解函数的新定义，逐项准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．A【解析】【详解】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的 倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点。
上海杨浦高级中学2018届高三上学期第一次月考数学试题-学习文档
2019-2019学年杨浦高级高三数学10月月考试卷一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 设5543mP =⨯⨯，则正整数m =____________.2. 已知扇形的半径为R ，周长为3R ，则其面积为____________.3. 方程33log 1log (2)x x =-+的解集为____________.4. 在ABC 中，三边之比分别为2:3:4，则该三角形最大角的正弦值为____________.5. 函数()f x =____________.6. 从一排8盏灯中关掉2盏，则这2盏灯互不相邻的概率为____________.7. 二项式(22)nb +的展开式中仅有第六项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是第____________项8. 设log log 1,2a b x y a b ==-+=，则2x y +的最小值是____________. 9. 已知3123,cos(),sin()24135ππβααβαβ<<<-=+=-，则sin α=____________. 10. 设平面点集1(,)|()()0,,A x y y x y x y R x⎧⎫=--≥∈⎨⎬⎩⎭，{}22(,)|(1)(1)1,,B x y x y x y R =-+-≤∈，则AB 所表示的平面图形的面积为____________.11. 设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()2()f x x g x =-在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[1,3]-上的值域为____________.12. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()()2f x f x +-=成立，则称0x 为函数()f x 的局部0-1对称点。
若函数()2xg x c =+在[1,3]-上有局部0-1对称点，则实数c 的取值范围是____________. 二、选择题（共4题，每题5分）13. 若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A. (0,1)B. (1,1.25)C. (1.25,1.75)D. (1.75,2)14. “0a ≤”是“函数()|1|f x ax =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 6016. 已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21()|2|2f x x x =-+，若方程()f x a =在区间[3,4]-上10个互不相同的解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 17,22⎛⎤⎥⎝⎦D. 17,22⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题（共5题）17. （本题14分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点，2,1,1AB AC PA ===（1）求二面角A BC P --的大小；（2）求点A 到平面PCB 的距离18. （本题14分）在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知：（1）若cos23cos()1A B C -+=，求角A 的大小； （2）若ABC 还满足tan tan a ba b A B+=+，求角C 19. （本题14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题的奖励方案，奖金y （单位：万元）随投资 收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的 20%（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，分析函数2150xy =+是否符合公司要求的 奖励函数模型，并说明原因； （2）若该公司采用模型函数1032x ay x -=+作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值20. （本题16分）已知函数()log ||xa f x a x =+（其中常数1a >）（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）试求关于x 的不等式2(1)f ax x a ++>的解集A ； （3）在（2）的条件下，若任意的1a >，总有区间,t t a a a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ÜA ，求实数t 的取值范围 21. （本题18分）A 是定义在区间[1,2]上且同时满足如下条件的函数()x ϕ所组成的集合： ①对任意的[1,2]x ∈，都有()(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)c c <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|()()|||x x c x x ϕϕ-≤- （1）设21()1,[1,2]5x x x ϕ=+∈，试判断()x ϕ是否属于集合A ； （2）若()x A ϕ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00()x x ϕ=，求证：满足条件的0x 是唯一的；（3）设()[1,2]x x ϕ=∈，且()x A ϕ∈，试求参数b 的取值范围 参考答案一、填空题1. 32.212R 3. {1} 4.5. ⎝⎭6.347. 8 8.32 9. 10. 2π11. [4,9]-12. 49,016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、选择题13-16 DBBA 三、解答题17. （1）4π； （2）218. （1）3A π=； （2）2C π=19. （1）不满足； （2）32820. （1）非奇非偶函数； （2）1(,)(0,)A a=-∞-+∞； （3）01t <≤21. （1）是A 的元素； （2）证明略； （3）352(,)363b ∈--。
上海市格致中学2018-2019学年高三上10月月考数学试题
格致中学2018-2019学年度第一学期高三10月月考数学试卷一、填空题1.设集合{}{}，，，，，，A a a x x B A ∈===2|9102则B A Y 的所有元素之和为________. 2.已知，π，π，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4543554sin αα则=αsin _______.3.若()()，42321lim 2n =+-++-∞→n n b n a 则=+b a ______. 4.已知()*212N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中各项二项式系数之和为128,则其展开式中含x 1项的系数是_______.5.已知y x 、满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2,则=m ________. 6.已知函数()a x f x --=2,若存在实数()，、2121x x x x ≠使得()()，121-==x f x f 则实数a 的取值范围是____________.7.已知复数z 满足zi i z -=+1,则=+⋯+++201821z z z ________.8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原点,()13，是l 的一个法向量,已知数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,点()n n a a ，1+均在l 上,若62=a ,则54321a a a a a 的值为_________. 9.将1,2,3,4,5,6随机排成一列,记为，，，，，，f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为___. 10.在菱形ABCD 中，，213124====则=•AE BF _____.11.已知椭圆()，＞＞012222b a by a x =+F 为椭圆的右焦点,AB 为过橢圆中心O 的弦,则ΔABF 面积的最大值为___________.12.设()x f 是定义在R 上的以2为最小正周期的偶函数,在区间[]10，上单调递减,且满足()()，π，π221==f f 则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为______. 二、选择题13.已知直线a ,若直线b 同时满足下列条件:①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ,则这样的直线b （ ）A.唯一确定B.有两条C.有四条D.有无数条 14.已知函数()x f 满足:()()()y f x f y x f •=+并且()11=f ,那么：()()()()()()()()()()()()201910105332112222f f f f f f f f +⋯+++的值为（ ）A.2019B.1010C.4038D.303015.对于函数()x f ,若存在实数m ,使得()()m f m x f -+为R 上的奇函数,则称()x f 是位差值为m 的“位差奇函数”。