最大公因数与最小公倍数的比较约分和通分的比较
分数的基本性质 分数的大小比较
学生姓名教师姓名授课日期授课时段课题分数的基本性质和分数的大小比较教学目标理解与掌握分数的基本性质，掌握最大公因数与最小公倍数从而掌握分数的约分和通分；掌握分数的大小比较（6种分数间的比较）；理解与计算分数应用题；教学步骤及教学内容一、批改作业,检查知识掌握情况；二、复习分数的意义，分数与除法，真分数、假分数与带分数；三、最大公因数与最小公倍数；四、分数的基本性质，约分和通分；五、分数的大小比较（6种比较方法）；六、分数与小数的相互转换；七、相应例题讲解与练习；八、拓展题以及分数应用题的讲解与做题方法；九、课后作业。
教学过程中学生易错点归类作业布置学习过程评价一、学生对于本次课的评价O 特别满意 O 满意 O 一般 O 差二、教师评定1、学生上次作业评价O好 O较好 O 一般 O差2、学生本次上课情况评价O 好 O 较好 O 一般 O 差家长意见家长签名：分数的基本性质和分数的大小比较一、复习分数的意义、分数与除法、真分数与假分数、带分数的相关知识点。
过关练习：1、在括号里填上适当的分数。
0 1 （ ） （ ） （ ）2、用直线上的点表示下面各数。
310 710 910 52 543、178的意义是把（ ）平均分成（ ）份，表示这样（）份的数；的分数单位是（ ）。
也可以表示把( )平均分成( )份，取其中的（ ）份的数。
4、715 米表示把（ ）平均分成( )份，取其中的( )份的数；也可以表示把( )平均分成( )份，取其中的（ ）份的数。
5、把2米的绳子平均分成5份，每份是这条绳子的（ ） ，每份长（ ） 米。
二、 最大公因数与最小公倍数。
（1）、最大公因数：1、2、4是16和12公有的因数，叫做它们的公因数。
其中，4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
求两个数的最大公因数两种特殊情况：0121.当两数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。
2.当两数只有公因数1时，它们的最大公因数是1。
约分与通分的方法
约分与通分的方法在数学中，我们经常会遇到需要进行分数的运算和比较的情况。
而为了简化分数的表达和计算，约分与通分成为了必备的数学技巧之一。
本文将介绍约分与通分的方法。
一、约分的方法约分，即将一个分数化简为与之相等但分子与分母不能再有公因数的分数。
约分的方法有以下几种：1. 求最大公因数法最大公因数是指两个或多个数的公共因数中最大的那个数。
要约分一个分数，我们需要找到其分子与分母的最大公因数，然后将分子和分母同时除以最大公因数。
如：对于分数8/16，最大公因数为8，我们将分子和分母都除以8得到1/2，即化简完成。
2. 分解质因数法分解质因数是将一个数分解为几个素数的乘积。
对于要约分的分数，我们可以分别对分子和分母进行分解质因数，然后约去相同的因数。
如：对于分数12/24，我们可以将12和24分别分解为2^2 × 3与2^3 ×3，然后约去其中相同的因数2^2 × 3，得到1/2，即化简完成。
3. 试除法试除法是对于一个数，我们从2开始逐个试除，直到无法再整除为止。
对于要约分的分数，我们可以同时对分子和分母进行试除操作，直到无法再整除为止。
如：对于分数16/32，我们可以从2开始试除，分别试除得到16/32、8/16、4/8、2/4，直到无法再整除为止，得到1/2，即化简完成。
二、通分的方法通分，即将两个或多个分数的分母变为相同的数。
通分的方法有以下几种：1. 公倍数法要通分，我们需要找到两个或多个分数的分母的最小公倍数，然后将分数的分母都变为最小公倍数，分子按照相应比例进行扩大。
如：对于分数1/2和1/3，最小公倍数为6，我们将分母都变为6，得到3/6和2/6，即通分完成。
2. 原数法对于两个分数的分母，我们可以先将其化为原数，再进行通分操作。
如：对于分数1/2和2/3，我们可以将分母分别化为2和3的乘积，得到分数3/6和4/6，即通分完成。
3. 分母乘积法如果分数的分母已经是两个或多个数的乘积，我们可以直接将分数的分母变为这些数的乘积。
约分和通分的概念
约分和通分的概念①互质数： 最大公因数是11.最大公因数的几种情况 ②存在倍数关系：最大公因数是较小数 ③一般情况： 短除法2.把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫约分。
约分的理论依据是分数的基本性质（除法）； 约分的最后结果是最简分数。
3.分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫最简分数。
也就是分子和分母是互质数的分数是最简分数。
4.约分的方法：①逐次约分（用分子和分母的公因数去约，可能约两次也可能约三次）②一次约分（用分子和分母的最大公因数去一次性约分）5.几个数公有的倍数，叫它们的公倍数，其中最小的倍数叫它们的最小公倍数。
公倍数的个数是无限的因此没有最大公倍数。
公倍数和最小公倍数的关系：公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
6. 求最小公倍数的方法：①列举法 ②筛选法 ③集合圈 ④分解质因数 ⑤短除法①互质数： 最小公倍数是它们的乘积7.最小公倍数的几种情况 ②存在倍数关系： 最小公倍数是较大数③一般情况： 短除法8.比较大小：①分母相同（即分数单位相同），分子大则分数就大。
②分子相同（即取的份数相同，不同分数单位的个数相同）分母小则分数反而大。
9.把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫通分。
通分的理论依据是分数的基本性质（乘法） 通分的关键：找出几个分母的公分母（最小公倍数）；求最小公分母的方法和求最小公倍数的方法相同。
10.小数化成分数的方法：①一位小数写成10几 ②两位小数写成100几③三位小数写成1000几…… 再约分化简，结果必须是最简分数。
11. 分数化小数的方法 ①一般情况：分子÷分母（除不尽的保留两位小数）②特殊情况：分母是2、5、20、25、50等（同时乘一个数）化为分母是10、100、1000再化为相应的小数。
12.怎么样的最简分数能化为有限小数？ 能：分母中除了含有2和5以外，不含有其他质因数不能 ：分母中含有2和5以外的质因数，不能化为有限小数。
六年级同步第6讲：分数的约分、通分和大小比较
本讲主要讲解利用分数的基本性质对分数进行约分和通分．本讲的重点在于通过约分化简分数并理解最简分数的概念，利用通分的方法将异分母的分数化为同分母的分数,从而进行大小比较，为分数加减法的学习做好准备．而分数的大小比较并不仅仅可以通过通分的方式进行，还有一些其他的方法和技巧,这也是本讲的难点所在．1、约分把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分．2、最简分数分子和分母互素的分数，叫做最简分数．将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断的约分,直到分子、分母互素为止．分数的约分、通分和大小比较内容分析知识结构模块一：分数的约分知识精讲【例1】将分数1624、105180约分，并化为最简分数．【例2】指出以下分数中，哪些是最简分数,把不是最简分数的分数化为最简分数：5 6，410，1213，2133，2334,2191，5012，8118．【例3】把以下分数化为最简分数：36 45，2255，2035,4270，3952，1995，2736．【例4】若1528ab，则a、b的值分别是（）A．a = 15，b = 28 B．a = 28,b = 15C．a =1528，b = 1 D．无法确定【例5】下列说法中，不正确的个数为( )错误!分子和分母都是奇数的分数，一定是最简分数；错误!分子和分母都是素数的分数,一定是最简分数；错误!最简分数一定比1小;○，4约分后的分数比原来的分数小;○5分子和分母除了1以外没有其他的公因数，这个分数是最简分数．A．2个B．3个C．4个D．5个【例6】一个分数,它的分母是72，化成最简分数是34，这个分数原来是______;一个分数，它的分子是45,化成最简分数是56，这个分数原来是______．例题解析人数厘米135 145 155 16569 12【例7】 一个分数，它的分子与分母的最大公因数是17，化成最简分数是23，这个分数原来是______．【例8】 用最简分数表示下列单位换算的结果:（1）36分钟是1小时的______； (2）320克是1千克的______．【例9】 一学校五月份用水150吨，比四月份节约了30吨，则五月份用水是四月份的______（几分之几)．【例10】 (1）把5克糖溶解在水中形成40克糖水,那么糖占糖水的几分之几？水占糖水的几分之几?（2）把5克糖溶解在40克水中形成糖水，那么糖占糖水的几分之几？水占糖水的几分之几?【例11】 六年级（3）班全体男生的身高统计图如图所示．仔细观察后，回答下列问题：（1)身高在135厘米～145厘米之间的男生人数是全体男生人数的几分之几？ （2)身高在155厘米～165厘米之间的男生人数是全体男生人数的几分之几？【例12】品牌 A B C 售价（元/支） 1 2 6 销售量(支)10205B 中品牌的销售量占全天销售量的几分之几？C中品牌的销售额占全天销售额的几分之几?1、公分母两个异分母的分数ba、dc（a、c为常数,且a c≠、0a≠、0c≠)要化成同分母的分数，分母必须是a和c的公倍数，这个分母叫做公分母．其中a和c的最小公倍数，称为最小公分母．2、通分将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数,这个过程叫做通分．【例13】写出三个23和34的公分母______、______和______;2 3和34的最小公分母是______．【例14】将下列各组分数通分:（1）35和23；(2)57和710;（3）724和916．【例15】写出三个34、25和16的公分母______、______和______；3 4、25和16的最简公分母是______．模块二：分数的通分知识精讲例题解析【例16】 将下列各组分数通分：（1）23，34，712；（2）14，35,512；(3）58，2325，910．【例17】 对于两个异分母的分数b a 和dc(a 、c 为常数，且a c ≠、0a ≠、0c ≠），以下说法正确的是（ ）A ．b a 和dc 的最简公分母为acB ．b a 和dc 的公分母为ac C ．b a 和dc 的公分母只有一个 D ．b a 和dc的最简公分母只有一个1、 分母相同而分子不同的分数分母相同的分数，分子大的分数较大． 2、 分子相同而分母不同的分数分子相同的分数,分母小的分数较大． 3、 分母不同且分子也不同的分数（1）利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小; (2）应用分数的基本性质,将各个分数的分子化为相同的，再比较大小．模块三：分数的大小比较知识精讲例题解析【例18】比较下列分数的大小:7 9____89；67____57；135____1312；56____57．【例19】已知71616m>，试写出一个符合条件的整数m，则m可以是______;已知9917n>，试写出一个符合条件的整数n,则n可以是______．【例20】把下列每组中的分数通分，并比较大小：（1)514，716;（2）617,1651；（3）34，420，58；（4）712，1318，1924．【例21】数轴上表示67的点在表示78的点的______边(选填“左"或“右”)．【例22】写出所有分母为16且比34小的最简分数．【例23】比较分数4123和5213的大小．【例24】（1)写出一个大于15且小于13的分数；(2）满足上述条件的分数只有一个吗?如果不止一个，请再写出两个满足条件的分数．【例25】填空：()77 24918<<．【例26】在分数512、1219、1023、47、1522中,最大的分数是______．【例27】甲、乙两人加工同一批零件，甲9小时加工15个零件，乙12小时加工20个零件，甲、乙两人谁的工作效率高？为什么？【习题1】写出在19和89之间且分母为9的所有最简分数_____________________．【习题2】以下说法正确的是（）A．分子、分母都是偶数的分数不一定是最简分数B．分母、分子中有一个是素数的分数一定是最简分数C．分子、分母只有1是公因数的分数一定是最简分数D．自然数都能写成最简分数【习题3】把下列结果用最简分数表示：（1）24分钟是1.2小时的几分之几？（2）750毫升是1升的几分之几？（3）800克是1千克的几分之几？（4)10小时是一昼夜的几分之几？【习题4】100克清水中加入15克糖,那么糖是糖水的______（几分之几)．【习题5】图书馆的存书情况如下：社会科学类占112，自然科学类占18，文学艺术类占13，其他占1124．（1)把这些分数按从小到大排列;（2）哪一类书最少?随堂检测【习题6】已知3455x<<，则x可以是______,x的取值可以有______个．【习题7】写出所有介于34和1011之间的分母为44的最简分数．【习题8】在913、3648、4550、4570中，最小的一个分数是______．【作业1】分母分别是27、60和72的最简分数，它们的最小公分母是（) A．180 B．108 C．1080 D．18【作业2】与分数3648大小相等，且分母小于48的分数有____个【作业3】在空格中填入适当的分数，完成对话：小智说：“如果分数的分子和分母中一个是奇数，另一个是偶数，那么这个分数一定是最简分数！”小方说:“你说得不对，比如，_________和________就不是最简分数”．【作业4】猴年的春节，小李收到的压岁钱一共600元，他计划今年去两次欢乐谷花费360元，而剩下的钱准备全部用来购买文具和书籍,那么她将用压岁钱的______购买文具和书籍．【作业5】写出一个大于14且小于13的分数:______．【作业6】完成相同的数学作业,小明用了47小时，小智用了45分钟,小方用了512小时,他们三人做作业的速度谁最快？谁最慢?【作业7】四个分数1017、1219、1523、2033哪个分数最大?哪个分数最小？【作业8】ab是最简分数，且210a<<，819b<<．写出满足条件的最大和最小的分数．课后作业。
【求最大公因数和最小公倍数的方法】
浅谈最小公倍数和最大公因数的教学明光市桥头镇司巷中心小学黄海燕摘要: 准确快速地求出两个数的最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。
通过观察比较不难发现，当两数成倍数关系或互质关系时可直接写出它们的最大公因数和最小公倍数。
当既要求最大公因数又要求最小公倍数时，用短除法或分解质因数法比较简便；当只求最大公因数时，用除法算式法或小数缩小法比较简便；当只求最小公倍数时用大数翻倍法比较简便。
当这两个数比较大，比较复杂时用短除法比较简便。
看清之间关系，看清数据特征，看清条件与要求，用好最佳方法，认真细心计算。
一、教材分析苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。
准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。
对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。
而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。
而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。
它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。
只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。
最大公因数 最小公倍数 通分 约分
找最大公因数1、几个数相同的因数叫作这个数的公因数；其中最大的一个叫作它们的最大公因数。
2、列举法求两个数的公因数和最大公因数的方法：先分别找出两个数各自所有的因数，再从中找出两个数的公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数。
3、短除法求两个数的最大公因数：如用短除法求18和27的最大公因数，用18和27的最小质因数3去除这两个数，看这两个数的商是不是互质；若不是互质，再接着往下除，一直除到商是互质为止，然后把所有的除数相乘，所得的积就是18和27的最大公因数。
18和27的最大公因数是3×3=9。
一、约分1、把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫作约分。
2、分子、分母只含有公因数1的分数，叫作最简分数。
3、约分的方法：（1）逐次约分法：用分子和分母的公因数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最简分数；（2）一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。
二、最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。
其中最小的一个，叫作它们的最小公倍数。
2、求两个数的最小公倍数的方法：（1）列举法：先分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数；（2）试除法：先写出两个数中较大数的倍数，再用这些数按从小到大的顺序依次除以较小数，第一个能被较小数整除的数就是它们的最小公倍数。
短除法求最小公倍数：如用短除法求18和27的最小公倍数，用18和27的最小质因数3去除这两个数，看这两个数的商是不是互质；若不是互质，再接着往下除，一直除到商是互质为止，然后把所有的除数和商相乘，所得的积就是18和27的最小公倍数。
18和27的最小公倍数是3×3×2×3=54。
三、分数的大小1、比较分数大小的方法：画图比较法，通分比较法。
2、通分的含义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫做通分。
3、通分的方法：用原来几个分数分母的公倍数作公分母，为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母，再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数。
因数与倍数的应用
因数与倍数的应用什么是因数和倍数？首先，让我们解释一下因数和倍数的概念。
一个数是另一个数的因数，如果可以被第二个数整除。
例如，9是36的因数，因为36÷9=4。
另一方面，倍数是一个数的倍数，如果这个数可以被该数整除。
例如，72是9的倍数，因为72÷9=8。
因数和倍数有什么应用？1. 最大公因数和最小公倍数在数学中，我们经常需要找到两个或多个数的最大公因数和最小公倍数。
因数和倍数可以帮助我们计算这些值。
例如，我们需要找到36和54的最大公因数。
首先，我们列出每个数字的因数，如下所示：- 36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36- 54的因数：1，2，3，6，9，18，27，54然后，我们找到它们公共的因数，即1,2,3,6,9和18。
这些数字中最大的数为18，因此36和54的最大公因数为18。
使用相同的方法，我们可以找到它们的最小公倍数，即108。
2. 约分和通分因数和倍数也可以用于简化（约分）和比较分数（通分）。
例如，我们需要将分数2/3和4/6通分。
首先，我们列出每个数字的倍数，如下所示：- 2/3：2/3，4/6，6/9，8/12…- 4/6：4/6，8/12，12/18，16/24…然后，我们找到最小公倍数，即6。
现在，我们使用最小公倍数将这两个分数转换为6的分数，如下所示：- 2/3 = 4/6- 4/6 = 4/6由于它们现在具有相同的分母，我们可以比较它们的分子并找出它们的大小关系。
在这种情况下，我们发现这两个分数相等。
总结因数和倍数可以用于许多与数学相关的问题。
我们可以使用它们找到最大公因数和最小公倍数，简化和比较分数等。
因此，我们应该严格掌握它们的概念和用途。
最大公因数与最小公倍数问题探讨
最大公因数与最小公倍数问题探讨漳县三岔镇寺崖头明天小学 崔志平 邮编748301关键词：最大公因数、最小公倍数、约分、通分、省工节约、互质、倍数、摘要：复杂型分数比较大小，先求出分子或分母的最小公倍数，再用化分子相同法（分母大的值小）或分子相同法（分子大的值大）来比较。
在新编九年义务教材中，最大公因数和最小公倍数的问题十分广泛，它不但在学生校内学习的约分、通分中重点应用，而且在现实生活中，美化环境，建设家园的省工节约方面，具有实用价值，本文做递进式探讨：一.最大公因数和最小公倍数的定义.1. 最大公因数：常作最大公约数，指几个数的公因数中，最大的一个因数；如：27=1×27=3×9；36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6；45=1×45=3×15=5×9；因此，27的因数有1、3、9、27；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；45的因数有1、3、5、9、15、45；其中1、3、9是27、36和45的公因数，在分数约分4536中，也是公约数，9是它们的最大公约数，也是最大公因数。
2. 最小公倍数：指几个数的公倍数中，最小的一个倍数；如：27的倍数有27、54、81、108、135、162、216......；36的倍数有36、72、108、144、180、216......；其中，108、216 (27)36 的公倍数，，108是27和36的最小公倍数。
又如：27、36、45的公倍数有540、1080、1620、2160、2700……，其中，540是27、36和54的最小公倍数。
二.最大公因数与最小公倍数的求法归类.1.互质型.例1.求3与13的最大公因数和最小公倍数.解：由于3和13是互质数，它们的公因数只有1，所以，3与13的最大公因数是1，最小公倍数是13×3=39.结论：互质型的几个数的最大公约数或公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
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把下面的分数化成最简分数。
16 2 24 = 3
15 5 36 = 12
28 2 42 = 3
15 1 45 = 3
10 2 25 = 5
48 4 60 = 5
33 = 3 22 2
16 28 34 2 24 = 42 = 51 = 3
34 51 =
2 3
什么是通分？怎么通分？
通分：把异分母分数化成和原来相等的同分母 分数，这个过程叫通分。
3和6
3 最大公因数： 6 最小公倍数：
10和8
2 40
9和4
1 36
两数是 倍数关系
两数互质
最大公因数
较小的数
1
短除法：
一般情况
除数相乘
最小公倍数较大的数Fra bibliotek两个数的乘积
短除法： 除数、商相
乘
很快地说出每组数的最大公因数和最小公倍数。
2和8
7 和8
24 和 12
28
12 和 9
3 36
1 56
4 和5
1 20
12 24
3 和8
1 24
两数的积与它们的最大公因数、最 小公倍数的关系：
两数的积=它们的最大公因数×最小公倍数
什么是约分？
什么是最简分母？
怎样约分？
约分：把分数的分子和分母同时除以它们的公 因数，分数值不变，这个过程叫约分。 最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫 最简分数。 约分方法：分子和分母同时除以最大公因数
找“最大公因数”找“最小公倍数”
分子、分母都比 分子、分母一般
原来小
都比原来大
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
11
通分关键：以“最小公倍数”做为公分母。
2 3
和
3 5
公分母：15
2 10 3 = 15
39 5 = 15
5和7
6
8
公分母：24
5 20 6 = 24
7 21 8 = 24
11 24
和
5 8
公分母：24
11 11 24 = 24
5 = 15 8 24
约分
通分
相同 根据分数的基本性质，分数的大小不变
不同 把一个分数约分 把几个分数通分