等差数列的判断与证明-前n项和公式法
等差数列的前n项和公式推导与例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3即＝＋ n N 213 () N-若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n －1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件． 说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725d d=29817162∴a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
高考数学复习知识点讲解教案第35讲 等差数列及其前n项和
2
2
二次函数
于的常数项为0的____________，它的图象是抛物线
=
孤立
标为正整数的均匀分布的一群_______的点.
2
2
+ 1 −
2
上横坐
常用结论
1.已知数列{ }的通项公式是 = + （其中，为常数），则数列{ }一定
是等差数列，且公差为.
2 + 9 = 1 + + 1 + 8 = 29,
[解析] 设等差数列{ }的公差为，由已知得ቊ
5 = 51 + 10 = 35,
1 = 1,
解得ቊ
∴ 8 = 81 + 28 = 8 + 28 × 3 = 92.故选B.
= 3,
（2） [2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16= ( C )
−10
7.已知等差数列{ }的通项公式为 = 10 − ,则1 + 2 + ⋯ + 20 =______，
100
1 + 2 + ⋯ + 20 =______.
[解析] 设数列{ }的前项和为 ，
则20 = 1 + 2 + ⋯ + 20 =
20×[9+ 10−20 ]
◆ 知识聚焦 ◆
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{ }的首项为1 ，公差是，前项和为 ，则
等差数列定义式
+1 − =
_________________（为常数）
等差中项
+
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。
它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。
二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。
三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。
2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。
3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。
4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。
5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。
等差数列前n项和公式的推导及简单应用
§2.3 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列前n 项和公式的推导及简单应用学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用a n 与S n 的关系求a n .知识点一 等差数列前n 项和公式思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？ 答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题： 设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)2.梳理 等差数列的前n 项和公式知识点二 a 1，d ，n ，a n ，S n 知三求二思考 在等差数列{a n }中，若已知d ，n ，a n ，如何求a 1和S n?答案 利用a n ＝a 1＋(n －1)d 代入d ，n ，a n ，可求a 1，利用S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d可求S n .梳理 (1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和.(2)依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.知识点三 数列中a n 与S n 的关系思考 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n ? 答案 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又当n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *. 梳理 对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，则有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中令n ＝2求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)也适合n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示.若由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中令n ＝2求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1，n ∈N *.(×)2.等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍.(√)类型一 等差数列前n 项和公式的应用 命题角度1 等差数列基本量的计算例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？ 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 方法一 由题意知S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n ×4＋n (n －1)2×6＝3n 2＋n .方法二 ∵S 10＝10(a 1＋a 10)2＝310，∴a 1＋a 10＝62，①∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝1 220，∴a 1＋a 20＝122，②②－①，得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60，∴d ＝6，a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n 2＋n .反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.(2)构成等差数列前n 项和公式的元素有a 1，d ，n ，a n ，S n ，知其三能求其二. 跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题解由⎩⎨⎧a n＝a 1＋(n －1)d ，S n＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎨⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20， 则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5， 即第10个月应付款55.5元.由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255.反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题解 (1)设n 分钟后第1次相遇，由题意，得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解得n ＝7，n ＝－20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设n 分钟后第2次相遇，由题意， 得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解得n ＝15，n ＝－28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟. 类型二 由S n 与a n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)， 当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1) ＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－12－⎝⎛⎭⎫2n －12＝2， 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列.引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＋1 ＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式.∴a n＝⎩⎨⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.反思与感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示. 跟踪训练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1. 当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2，n ∈N *.1.已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a m ＝99，d ＝2，则其前m 项和S m 等于( ) A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 D解析 由a m ＝a 1＋(m －1)d ，得99＝1＋(m －1)×2， 解得m ＝50，所以S 50＝50×1＋50×492×2＝2 500.2.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6 D.7 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 答案 B解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二 由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10 ＝19×10＝190.4.已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n 答案 3(n ＋1)解析 由a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，① 得a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)n (n ＋1)，② ①－②，得na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1) ＝n (n ＋1)[(n ＋2)－(n －1)]＝3n (n ＋1)， ∴a n ＝3(n ＋1)(n ≥2).又当n ＝1时，a 1＝1×2×3＝6也适合上式， ∴a n ＝3(n ＋1)，n ∈N *. 5.已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 (1)∵S n ＝n ×32＋⎝⎛⎭⎫－12×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4.∴n ＝12，a n ＝a 12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用： 若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3.由S n 与a n 的关系求a n 主要使用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前9项和等于( )A.27B.632 C.45 D.－9考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列前n 项和 答案 A解析 由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.2.在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( ) A.10 000 B.8 000 C.9 000D.11 000考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和答案 A解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.3.在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200 B.100 C.90 D.70 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 B解析 S 10＝10×(－20＋40)2＝100.4.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.5.在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12B.2C.14D.4 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 两等差数列和之比与项之比问题 答案 A解析 由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.7.在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A.－9B.－11C.－13D.－15 考点 等差数列前n 项和 题点 求等差数列的前n 项和 答案 D解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34 D.33 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n 答案 C解析 方法一 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1， a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33. ∴a 2＋a 18＝34.方法二 a 2＋a 18＝a 1＋a 19，S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192－2×19，∴a 1＋a 19＝34，即a 2＋a 18＝34.二、填空题9.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________.考点 等差数列的前n 项和应用题 题点 等差数列前n 项和应用题 答案 10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.10.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 答案 15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.11.在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，则a －b ＋c ＝________.考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题答案 －3解析 因为a n ＝2n ＋3，所以a 1＝5，S n ＝(5＋2n ＋3)n 2＝n 2＋4n ，与S n ＝an 2＋bn ＋c 比较，得a ＝1，b ＝4，c ＝0，所以a －b ＋c ＝－3.三、解答题12.已知等差数列{a n }的前三项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 设等差数列{a n }的公差为d ， 则由题意得⎩⎨⎧ a ＋3a ＝2×4，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝2，k ＝50，(k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.13.已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34. (1)证明：{a n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点 a n 与S n 关系题点 由S n 和a n 递推式求通项(1)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去).当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n ＋2a n －3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3). 所以4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2(n ≥2).所以数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列.(2)解 由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.四、探究与拓展14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.考点 等差数列的前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题答案 100解 因为A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，所以a 1＋a 200＝1，所以S 200＝200(a 1＋a 200)2＝100. 15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和综合问题 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根. 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c . ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去). 经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。
等差、等比数列的前n项和知识梳理
等差、等比数列的前n 项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 3．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式。
【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前n 项和n S 的相关公式 1.等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数） 当0d ≠时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 2.等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--3.任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典型例题】类型一：等差数列的前n 项和公式及其性质例1.等差数列{}n a 的前30项之和为50，前50项之和为30，求80S 。
【思路分析】根据等差数列前n 项公式1(1)2n n n S na d -=+，整体代入，或者应用公式2n S An Bn =+。
【解析】法一: ∵{}n a 为等差数列， ∴1(1)2n n n S na d -=+, 等差、等比数列的前n 项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=)2......(302505050)1......(50230303021502130d a S d a S(2)-(1)有22150303050202022a d d --++=-， 即 27911da +=- ∴ 80)279(802)180(80801180-=+=-+=da d a S 。
等差数列及其前n项和Word版含答案
等差数列及其前n 项和【课前回顾】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．4．与等差数列各项的和有关的性质(1)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (2)若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (4)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n＝S 2n －1T 2n －1.【课前快练】1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.3．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54C.413D.134解析：选A 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由题意可知，1a 4＝1a 1＋3d ＝14，解得d ＝－14，所以1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，所以a 10＝－45. 4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8，若a n ＝0，则n ＝________. 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )， 解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ， 令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：55．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 7＝12a 4＋4，得a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，即a 1＋9d ＝8，所以a 10＝8，因此S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19×a 10＝19×8＝152. 答案：152考点一 等差数列的基本运算1．等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．[易错提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．2．等差数列前n 项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ；若已知通项公式，则使用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，同时注意与性质“a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…”的结合使用．【典型例题】1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝5(a 2＋a 4)2，得5(3＋a 4)2＝25，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.3．(2018·福州质检)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9，或k ＝0(舍去)，故选C.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－72考点二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足a n －a n －1＝1(n ≥3)的数列{a n }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a 2－a 1是否等于1.【典型例题】(2018·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[思维路径](1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n ＝1,2可解得．(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其关键应推出a n ＋1n ＋1－a n n 为常数，对所给条件进行必要的变形即可．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .【针对训练】1．(2018·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三 等差数列的性质及前n 项和的最值1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．理清等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，即为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．【典型例题】1．在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为() A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴S n＝29n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，S n取得最大值．2．已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{a n}的前100项的和为() A．－200 B．－100C．－50 D．0[学审题]①由函数的对称性及单调性知f(x)在(－∞，－1)上也单调；②结合函数的性质知a50＋a51＝－2.解析：选B因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{a n}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝100(a1＋a100)2＝50(a50＋a51)＝－100.【针对训练】1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝() A．95B．100C．135 D．80解析：选B由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为()A．6 B．7C．12 D．13解析：选C因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足S n>0的最大自然数n的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18【课后演练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72. 2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *，∴k ＝23.4．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7×(－2－14)＝－112，又a 1＝3，所以a 8＝－109.5．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( ) A.34 B ．1 C.43D.32解析：选A 依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 59．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝________.解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3. 根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11， 所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3. 答案：310．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：1011．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92. 12．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日解析：选B 设n 日相逢，则依题意得103n ＋n (n －1)2×13＋97n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝1125×2，整理得n 2＋31n －360＝0， 解得n ＝9(负值舍去)，故选B.13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，则下列命题错误的是( ) A ．若a n >0，则S n >0 B ．若S n >0，则a n >0C ．若a n >0，则{S n }是单调递增数列D ．若{S n }是单调递增数列，则a n >0解析：选D 由等差数列的性质可得：∀n ∈N *，a n >0，则S n >0，反之也成立．a n >0，d >0，则{S n }是单调递增数列．因此A 、B 、C 正确．对于D ，{S n }是单调递增数列，则d >0，而a n >0不一定成立．14．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0， 解得m ＝5.答案：516．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12， 则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， ∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n 4. 17．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式以及S n 的表达式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，S 4＝4a 1＋6d ＝16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，n ∈N *. (2)由(1)知，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b n －b 1＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1(n ≥2)，∴b n ＝3n －22n －1. 当n ＝1时，b 1＝1也符合上式， ∴b n ＝3n －22n －1(n ∈N *)． 18.已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2. 综上，S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.。
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① ②
②÷ ①得 1＋q3＝9，∴q＝2. 1 可求得 a1＝2，因此 an＝a1qn－1＝2n－2.
小结 涉及等比数列前 n 项和时， 要先判断 q＝1 是否成立， 防 止因漏掉 q＝1 而出错．
研一研·问题探究、课堂更高效
例2
解
已知等比数列的首项为 1， 项数为偶数， 其奇数项的和为 85，
设此等比数列共 2n 项，公比为 q.
等差数列的判断与证明-前n项和公式法
填一填·知识要点、记下疑难点
1．等比数列前 n 项和公式： a1－anq a11－qn ＝ q≠1 (1)公式：Sn＝ 1－q 1－q na 1 q＝1 .
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略 q＝1 的情况． a1 2．若{an}是等比数列，且公比 q≠1，则前 n 项和 Sn＝ (1 1－q a1 n n －q )＝A(q －1)．其中 A＝ q－1 .
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋„＋(n－1)xn＋nxn＋1，
x1－xn ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋„＋xn－nxn＋1＝ －nxn＋1. 1－x x1－xn nxn＋1 ∴Sn＝ － . 1－x2 1－x
nn＋1 2 综上可得 Sn＝ ＋ x 1 － xn nxn 1 2 － 1－x 1－x
小结
x＝1 . x≠1且x≠0
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数
列{anbn}的前 n 项和时，可采用错位相减法．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
(n－1)· 2 ＋2 4．求和：1×21＋2×22＋3×23＋„＋n· 2n＝______________.
n＋1
解析
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1． 在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中， 共涉及五个量： a1，an，n，q，Sn， 其中首项 a1 和公比 q 为基本量， 且“知 三求二”． 2．前 n 项和公式的应用中，注意前 n 项和公式要分类讨论， 即 q≠1 和 q＝1 时是不同的公式形式，不可忽略 q＝1 的 情况． 3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比 为 q，求数列{an· bn}的前 n 项和时，可采用错位相减的方 法求和．
奇
偶数项的和为 170，求这个数列的公比与项数．
由于 S ≠S ，∴q≠1.
偶
由于奇数项依次组成以 a1 为首项，以 q2 为公比的等比数列，故 a11－q2n 所有奇数项之和为 S 奇＝ ＝85 ① 1－q2 2n a21－q 同理可得所有偶数项之和为 S 偶＝ ＝170 ② 1－q2
②÷ ①，得 q＝2，代入①得 22n＝256，
解得 2n＝8，所以这个数列共 8 项，公比为 2.源自研一研·问题探究、课堂更高效
例3
解
求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋„＋nxn (x≠0)．
分 x＝1 和 x≠1 两种情况．
nn＋1 当 x＝1 时，Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ . 2 2 3 n 当 x≠1 时，Sn＝x＋2x ＋3x ＋„＋nx ，
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【典型例题】 例1 7 63 在等比数列{an}中，S3＝ ，S6＝ ，求 an. 2 2 7 63 解 由已知 S6≠2S3，则 q≠1，又 S3＝2，S6＝ 2 ，
3 a11－q ＝7， 2 1－q 即 6 a11－q 63 ＝2. 1－q
设 Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋„＋n· 2n
则 2Sn＝1×22＋2×23＋„＋(n－1)×2n＋n· 2n＋1
21－2n ∴－Sn＝21＋22＋23＋„＋2n－n· 2n＋1＝ －n· 2n＋1 1－2 ＝2n＋1－2－n· 2n＋1＝(1－n)· 2n＋1－2
∴Sn＝(n－1)· 2n＋1＋2.