专题06比较大小(解析版)

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专题06 一元二次方程及其解法(二)-配方法(解析版)

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题06 一元二次方程-配方法典例解读【典例1】解方程：x2+4x﹣1=0．【点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【总结】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【典例2】用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0．【点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】解：2x2﹣12x﹣2=0，系数化为1得：x2﹣6x﹣1=0，移项得：x2﹣6x=1，配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，开方得：x﹣3=±10，则x 1=3+10，x 2=3﹣10．【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．【典例3】若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【总结】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【典例4】用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭，即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【总结】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．【典例5】用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣， ∵（x ﹣）2≥0， ∴﹣8（x ﹣）2≤0， ∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【总结】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．【典例6】若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是．【答案】417；【解析】解：x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4 =（x+b ）2﹣b 2+4； ∴m=﹣b ，k=﹣b 2+4，则k ﹣m=﹣（b ﹣21）2+417． ∵﹣（b ﹣21）2≤0， ∴当b=21时，k ﹣m 的最大值是417．故答案为：417．【总结】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形．【典例7】已知223730216b a a b -+-+=，求4a b - 【点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 31314422422a b -=-=-=-．【总结】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．【教材知识必背】一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；教材知识链接④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【变式1】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．精准变式题利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1， ∴ x=-2或x=-4．【变式2】用配方法解方程（1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244p p q p p qx x -+----==②当240p q -＜时，此方程无实数解.【变式3】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1 ∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.【变式4】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238．【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．【变式5】（1）的最小值是；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.1. 用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（） A ．（x+2）2=1 B ．（x+2）2=7 C ．（x+2）2=13 D ．（x+2）2=19 【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x+4=7，（x+2）2=7． 2．下列各式是完全平方式的是（）A ．277x x ++B ．244m m -- C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x += D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．4．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（） A ．8 B ．6 C ．3 D ．2 【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5， ∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．5．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数【答案】D ；【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．综合提升变式练6．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对【答案】C ；【解析】若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±； 7．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ； 8．把方程x 2+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1. 9．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2．-2．．【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-210．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2. 【答案】（1）4；2；（2）9；3；（3）16；4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.11．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x+m ）2=n 的形式为．【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x+9=﹣7+9，（x ﹣3）2=2．12．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.13．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338，14．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 15. 用配方法解方程（1）（2）221233x x += 【解析】（1）x 2-4x-1=0 x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5(2)221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744 x+=±13 2x=22x=-16. 用配方法解方程.（1）解方程：x2﹣2x=4．（2）解方程：x2﹣6x﹣4=0．【解析】解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．解方程：x2﹣6x﹣4=0．（2）解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．17．当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【解析】解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．18. 已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．【解析】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0，∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．19．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。

专题06 整式中规律探索的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)

专题06整式中规律探索的三种考法类型一、单项式规律性问题例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（）A．5B．3C．2D．1【答案】C【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1成一个循环，再用解循环问题的方法求解．【详解】解：按照题意，第一次在1这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1这个点，发现这是一个循环，3、5、2、1是一个循环，÷ ，20154=5033∴最后到2这个点．故选：C．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循环问题的方法求解．【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8080B．6066C．6061D．6060【答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（）A．69B．73C．77D．83【答案】B【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，……【答案】57【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可．【详解】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案为：57．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．课后训练20192020)a a -。

2020年高考数学(理)高频考点函数与导数专题06 幂函数(解析版)

函数与导数06 函数幂函数一、具体目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象,了解它们的变化情况.二、知识概述： 1.幂函数的概念(1)一般地，形如ny x =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，n 是常数．(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象的比较如下．2.幂函数的性质：（1）恒过点(1,1)；（2）在第一象限当0n >时ny x =是增函数，当0n <时ny x =是减函数；（3）幂函数的图象不经过第四项限. 3.判数函数是幂函数的依据：【考点讲解】幂函数错误!未找到引用源。

，其中错误!未找到引用源。

为常数，其本质特征是以幂的底错误!未找到引用源。

为自变量，指数错误!未找到引用源。

为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 4.在错误!未找到引用源。

上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴 (简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．5.幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．1. 【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【解析】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性问题，由题意可知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增.故选A.【答案】A【真题分析】2.【2018优选题】函数()()952411＝－－-+m m f x m m x是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【解析】由题意可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增．∵()()952411＝－－-+m m f x m m x是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，4m 9－m 5＋1＝4×29－25＋1＝2017， f (x )＝x 2017 在(0，＋∞)上为增函数，符合题意；当m ＝－1时，4m 9－m 5＋1＝4×(－1)9－(－1)5＋1＝－2, f (x )＝x -2在 (0，＋∞)上为减函数，不符合题意．∴f (x )＝x 2017，该函数为R 上的奇函数，且为R 上的增函数．∵a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.故选A. 【答案】A3.【2018优选题】在同一平面直角坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图像可能是( )【解析】当a ＞0时，函数y ＝x a 在第一象限单调递增，直线y ＝ax ＋1a 经过第一、二、三象限，无选项符合题意；当a ＜0时，函数y ＝x a 在第一象限单调递减，直线y ＝ax ＋1a 经过第二、三、四象限，选项B 符合题意．故选B. 【答案】B4.【2016全国Ⅲ】已知a ＝432，b ＝233，c ＝1325，则( )A ．b <a <cB ．a 2>3，∴)435>432>433，∴b <a <c .故选A.【答案】A5.【2019优选题】幂函数f (x )的图像经过点(4，2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a ) < f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1a < f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a < f ⎝⎛⎭⎫1b < f (b ) < f (a )C ．f (a ) < f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a < f (a ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f (b ) 【解析】设幂函数的解析式为f (x )＝x α，由f (x )的图像经过点(4，2)，得4α＝2，解得α＝12，即f (x )＝12x .∵f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数，且0 < a < b < 1，∴0 < a < b < 1b < 1a ，∴f (a )< f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f ⎝⎛⎭⎫1a . 【答案】C6.【2018上海卷7】已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2α，若幂函数αx x f =)(为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【解析】本题考点是幂函数与奇函数的综合应用，由题意可知幂函数要满足两个条件，一个条件就是奇函数，此时3,1,1-=α，另一个条件是在区间0+∞（，）上递减，此时1-=α，所以答案是-1. 【答案】1-7.【2014上海,理9】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .【解析】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1). 【答案】(0,1)8.【2019优选题】幂函数1222)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【解析】若幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则由2331m m -+=，解得：2m =或1m =，2m =时，()f x x =，是增函数，1m =时，()1f x =，是常函数，故答案为2．【答案】29.【2017优选题】幂函数错误!未找到引用源。

部编数学七年级上册专题06整式的加减(11个题型)章末重难点题型(解析版)含答案

专题06 整式的加减（11个题型）章末重难点题型一、经典基础题题型1. 代数式的书写规范问题题型2. 根据要求列代数式题型3.整式的相关概念题型4.利用整式的相关概念求字母的取值题型5.利用同类项的概念求值题型6 . 添括号与去括号题型7. 整式“缺项”及与字母取值无关的问题题型8.整式的加减混合运算题型9.整式的化简求值题型10. 求代数式的值与整体思想题型11.整式的实际应用二、优选提升题题型1. 代数式的书写规范问题【解题技巧】代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.例1．（2022·河北保定·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：（1）a×5，应写成_______ ；（2）S÷t应写成_________；（3）123a a b´´-´，应写成______；（4）413x, 应写成______.变式1．（2022·河南信阳·七年级期末）下列各式书写符合要求的是（）A ．1a b-¸-B ．132xy C ．ab ×5D ．22x y -变式2．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列各式符合代数式书写规范的是（）A ．a8B ．s tC ．m ﹣1元D ．125x 【答案】B【分析】本题根据书写规则，数字应在字母前面，分数不能为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进题型2. 根据要求列代数式【解题技巧】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例1．（2022·山西临汾·七年级期末）某商品的售价为每件a元，为了参与市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，此时该商品的售价为___________元．a-【答案】(0.940)【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】商品的售价为每件a元，商店按售价的九折再让利40元销售，a-元．现在的售价：(0.940)a-．故答案为：(0.940)【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意以及掌握代数式的书写规则是本题的关键．变式1．（2022·山东烟台·期末）阿宜跟同学到西餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为12份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐？（）A．12-x-y B．12-y C．12-x+y D．12-x【答案】D【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，根据题意可得点A餐12−x．【详解】解：x 杯饮料则在B 和C 餐中点了x 份意大利面，∴点A 餐为12−x ，故选D ．【点睛】本题考查列代数式；能够根据题意，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键．变式2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）一辆快递货运车，运送快递到山上的菜鸟驿站，上山的速度是km/h m ，沿原路下山，下山的速度是km/h n ，则这辆快递货运车上山、下山的平均速度是_________km/h ．题型3.整式的相关概念（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式。

《高考真题》专题06 指数函数与对数函数-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅱ专版(解析版)

专题06 指数函数与对数函数【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确．故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．【命题意图】1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．5．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．6．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 7．知道对数函数是一类重要的函数模型．8．了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数0,1()a a >≠且．【命题规律】指数函数与对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：比较幂、对数式的大小，解指数、对数方程或不等式．【答题模板】 1．比较幂的大小①对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； ②对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； ③对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 3．比较对数式的大小①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． 4．解对数不等式①形如log log a a x b >的不等式，借助log a y x =的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况讨论；②形如log a x b >的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解．【方法总结】1．不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论．2．指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象与性质指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c <d <1<a <b ．①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．对数函数的图象和性质一般地，对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象与性质如下表所示：在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”． 4．对数函数与指数函数的关系指数函数xy a =(0a >且1a ≠）与对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）互为反函数，其图象关于直线y x =对称．5．与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似．研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解，此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值． 6．换底公式的变形及推广：（1）log log 01,0()且m na a nb b a a b m=>≠>；（2）(1log 01;01log )且且a b b a a b b a=>≠>≠；（3）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 7．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：（1）log ()log log a a a M N =M +N ⋅；（2）log log log -aa a M=M N N；（3）log log ()na a M =n M n ∈R ．1．【内蒙古2019届高三高考一模】已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <，43336a <<<，3464()3327c <=<， ∴c a b <<．故选B ．2．【甘、青、宁2019届高三5月联考】若31log 2m =，0.17n -=，4log 25p =，则m ，n ，p 的大小关系为 A ．m p n >> B ．p n m >> C ．p m n >>D ．n p m >>【答案】B【分析】分别出,,m n p 的取值范围，由此比较出三者的大小．【解析】31log (1,0)2∈-，0.17(0,1)-∈，42log 25log 5(2,3)=∈，故p n m >>．故选B ． 3．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系．【解析】因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1，∴c a b <<．故选A ．4．【吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测三】若252log a =，30.4b =，ln3c =，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B【解析】因为322log (,0),0.4(0,1),ln3(1,)5a b c =∈-∞=∈=∈+∞，所以a b c <<，故选B ． 5．【重庆市2019年普通高等学校招生全国统一考试11月调研】设，，，则，，的大小关系为 A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】不难发现，，，从而可得．【解析】，，，，故选B ．6．【重庆市第一中学校2019届高三下学期第三次月考】若0.22.1a =，0.40.6b =；lg 0.6c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别确定a ，b ，c 的范围，即可得出结果. 【解析】因为0.202.1 2.11a =>=，0.4000.60.61b <=<=，lg 0.6lg10c =<=，所以c b a >>．故选A ．【名师点睛】本题主要考查对数与指数比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型．7．【陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测二】已知，，分别是方程，，的实数解，则 A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】将函数，，，画在同一坐标系中，可知图象的交点就是方程的根．【解析】根据题干要求得到，在同一坐标系中画出函数，，，四个函数图象，如下图：方程的根就是两个图象的交点，根据图象可得到：．故选B ． 8．【陕西省渭南市2019届高三二模】设0.20.321(),log 3,22a b c -===，则A ．b c a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可．【解析】由题意可得：0.21()(0,1)2a =∈，2log 31b =>，0.30.312()(0,1)2c -==∈，指数函数1()2x y =单调递减，故0.20.311()()22>，综上可得b a c >>．故选C ．【名师点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9．【黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟】已知，，，则，，的大小关系为A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先利用对数的运算性质，将，化成同底的对数，再根据其单调性求得，的大小，之后再利用中介值1，得到，，的大小，从而求得结果．【解析】因为，，所以，所以，故选C ．【名师点睛】本题考查的是有关对数值与指数幂的大小比较的问题，涉及到的知识点有对数式的运算性质，利用对数函数的单调性比较对数值的大小，利用中介值比较对数值与指数幂的大小，属于简单题目．10．【重庆市西南大学附属中学校2019届高三第九次月考】已知0.42a =，0.29b =，3c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【分析】利用指数函数和幂函数的单调性即可判断出a ，b ，c 的大小关系．【解析】0.42a =，0.20.493b ==，330.75433c ===，幂函数0.4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，则0.40.423a b =<=，指数函数()3xg x =在(0,)+∞上单调递增，则0.40.7533b c =<=，可得a b c <<，故选A ．11．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】设3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，则A ．a b c <>，c b a ∴<<，故选D ．【名师点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式．12．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则 A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+【答案】A【解析】0.30.3log 0.6log 10,m =>= 2211log 0.6log 10,22n =<= 0mn <， 0.60.611log 0.3log 4m n +=+ 0.60.6log 1.2log 0.61=<=，即1m n mn +<，故m n mn +>．又()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+．故m n m n mn ->+>，故选A ．【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题．13．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞- C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A【解析】函数22()log (34)f x x x =--，则2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，故函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，由2log y x =是单调递增函数，可知函数()f x 的单调减区间即234y x x =--的单调减区间，当3(,)2x ∈-∞时，函数234y x x =--单调递减，结合()f x 的定义域，可得函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为(,1)-∞-．故选A ．【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间．。

专题06《数的应用—典型应用题(一)》(解析板)2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练(通用版)

2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练（通用版）专题06 数的应用—典型应用题（一）典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。

（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。

解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。

数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。

差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

例：一辆汽车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。

求这辆车的平均速度。

分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。

此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为 2 ÷ =75 （千米）（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。

根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。

一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。

又称“单归一。

”两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。

又称“双归一。

”正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。

小升初数学专题突破测试卷—专题06《四则运算与运算律》(解析版)

专题06《四则运算与运算律》一、选择，在（）填写正确答案的序号1.（2020·鞍山）下面得数不相等的一组是（）A. B. C. D.2.（2020·广州）下列叙述正确的是（）。

A. 零除以任何数都得零B. 如果，那么x与y成反比例C. 圆锥的体积等于圆柱的体积的D. 不相交的两条直线叫平行线3.（2020·房山）小慧把3（x+5）错写成3x+5，这两个式子相比较，计算结果（）。

A. 相差15B. 相差10C. 相差2D. 相等4.（2020·盘龙）在计算10.2×9.9时，错误的是（）A. （10+0.2）×9.9B. 10.2×（9+0.9）C. 10.2×9×0.9D. 10.2×（10-0.1）5.（2020·涵江）要计算4.8×9.9，正确的方法是（）。

①4.8×10-4.8×0.1 ②9.9×5-0.2③4.8×9+4.8×0.9 ④9.9×6×0.8A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①③④6.（2020·涵江）下列图形中，能说明“6×3+4×3”与“（6+4）×3”相等的是（）。

①②③④A. ①②B. ②③C. ③④D. ①②③7.（2015·深圳）已知M=4322×1233，N=4321×1234，下面结论正确的是（）A. M>NB. M=NC. M<ND. 无法判断二、判断，对的打“√”，错误的打“×”8.（2018·南昌）200÷25×4＝200÷100＝2.（）9.（2020·北京）甲、乙两个不等于0的数，如果甲数的与乙数的相等，那么甲数>乙数。

2020年高考数学【真题母题解密】比较大小（天津卷）（解析版）

『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <b<a<c 【详解】解：因为0.50.50.50log 1a log 0.8log 0.51=<=<=所以故选A1.1 1.1b log 0.8log 10=<=0.80c 1.1 1.11=>=b<a<c 【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>b c a>>【答案】D 【解析】【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在()'f x '2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x ()'f x ()f x 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇()0,π13log 32ππ、、()f x 偶性与单调性可得结果.【详解】，，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()''cos 2f x f xx ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2cos f x xx π=-当时，；当时，，2x π≤<π()2cos 0,'0x f x ≤>02x π<<()2,2cos 2,'0x f x x π><∴>即在上递增，的图象关于对称，()f x ()0,π()2y f x =+ 2x =-向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，()2y f x ∴=+()y f x =y 即为偶函数，，，()y f x =()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0log 1log 3log 1ππππ=<<=，即，，1103212πππ=<<<130log 32πππ<<<<()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭即.故选D.b c a >>【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，()1f x ()2f x ()n f x ()f x ()1f x ，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．()2f x ()n f x 4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f （x ）在R 上是减函数，∵log 34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a ＝﹣f （1og 3）＝f （log 34），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8）＝f （），则a ＜c ＜b ，故选：B ．5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（）A B. C. D. a b c >>b c a>>c b a >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.10a b c <-<<<【详解】由题意，，，331log 0.3log 13<=-0.30.30.3log log 2lo 1013g 10=<<-=0.20331>=所以.10a b c <-<<<故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c >>a c b >>C. D. b a c >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调()3log 13a f =性得到的大小关系.,,a b c 【详解】；，3332log 9log 13log 273=<<=1221log log 838==0.610222<<=即：为偶函数 0.6312102log 13log 8<<<()f x ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又在上单调递增，即()f x [)0,+∞()()0.61321log log 1328f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭b a c>>本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c <<c b a<<b a c<<b c a<<【答案】C【解析】【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x ()()g x xf x =R [0,)+∞，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又，则，所以即，0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<所以，故选C ．b ac <<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c a b<=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（）A. B. C. D. c a b >>c b a>>b a c>>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为，，11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==1111033eb ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=所以a ，b ，c 的大小关系为.c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（）A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C 【解析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log 3log 37，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log 3log 37，则有c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（）,,a b c A. B. C. D. a c b <=>b c a >>【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数单调性得到，，，得到答案.01a <<l b >0c <【详解】，，，111333110log 1log log 123a =<=<=112211log log 132b =>=332log log 310c =<=故.b a c >>故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c >>a c b>>c a b>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判13310log log 12<<<0.261>断出结果.【详解】因为，，113333310log 1log log log lo 2g 312=<=<<=0.261>函数与都是增函数，所以也是增函数，2xy =5y x =()25x f x x =+因此，即.故选：D.(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭c b a >>【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.,,a b c 【详解】由题得，2ln ln ln 2e a e π<=<=所以.12a <<,2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭所以.b a c >>故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（）A. B. C. D. a c b<=∴< 331031,13log log b >=∴> ,,故选：A ．1410,01lg lg lg c <<∴<< a c b ∴<<【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c <><<据此：，结合函数的单调性有：，0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>即.本题选择C 选项.,a b c c b a >><<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数()f x (2)()f x f x +=-()f x [1,0]-性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．()f x [0,1][1,1]-[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]∴，而，，∴，即12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-规解法，确定出上单调性，转化比较大小[1,1]-19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c >>b a c>>c b a>>a c b>>【答案】C 【解析】【分析】把看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比,,a b c 较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c ab c ===作出函数的图象，它们与函数图象的交点的横坐标分别为，232,log ,log xy y x y x ===1y x =,,a b c 如图所示，易得.故选C.c b a >>【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b >>b a c>>a c b>>c b a>>【答案】A 【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.0x >0x >()f x 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，R ()1f x -1x =()f x ∵，∴，∴，，0.50.5log 3log 10<=()()0.52log 3log 3f f =2221log 2log 3log 42=<<= 1.31.30.522-=>．∵当时，单调递减，∴，故选A ．600.71<<0x >()f x c a b >>【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小。

七年级数学专题06 平方根、立方根知识讲解(解析版)

专题06 平方根、立方根知识讲解知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（）A 3=-B ．2=C 8=D 3=【答案】D.3， ∴选项A 错误；∵±2， ∴选项B 错误；4， ∴选项C 错误；3，∴选项D 正确．故答案为：D ．【例1－2】（2021·河北邯郸期末）） A ．0.2的平方根 B ．0.2-的算术平方根 C ．0.2的负的平方根 D ．0.2-的平方根【答案】C.【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为：，其中为0.2的负的平方根故答案为：C ．【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（） A ．9的平方根是3 B ．25-的平方根是5-C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数【答案】D.【解析】解：A 、9的平方根是±3，错误； B 、−25的没有平方根，错误；C 、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；D 、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确．故答案为：D ．【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________．【答案】5.【解析】解：∵b 的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16=a 3-109 ∴a =5．故答案为：5．【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（） A ．非负数才有平方根B ．非负数的算术平方根是非负数C ．任何数都有两个平方根D ．负数没有平方根【答案】C.【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确； B. 非负数的算术平方根是非负数，正确； C. 0只有1个平方根，错误； D. 负数没有平方根，正确．故答案为：C ．【变式1－2】（2020·山东济南期中）若30a ++=，则+a b 的立方根是______．【答案】－1.【解析】解：∵30a ++=， ∴3+a=0， 2-b=0， ∴a=-3，b=2 ∴a+b=-1∴a+b 的立方根-1．故答案为：-1．【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为364m ，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m ，则它的棱长需要增加__________m ．【答案】1.【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a ， ∵体积为64m 3，∴=4m ；设体积达到125m 3的棱长为b ，则=5m ， ∴b-a=5-4=1（m ）．故答案为：1．【变式1－4】对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2与的值互为相反数，求1- 【答案】见解析.【解析】解：（1）答案不唯一.0=， 8与﹣8互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x ）+（x +5）＝0，解得x ＝8，∴1=1﹣4＝﹣3．【变式1－5】（2020·________，2________．【答案】32．，9的算术平方根为33.22，故答案为：32．【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知a 的整数，31a b +-的平方根是4±， (1)求,a b 的值； (2)求2+a b 的平方根．【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.<<，且a 的整数， ∴a=5∵3a+b-1的平方根是±4， ∴3a+b-1=16 ∴b=2（2）当a=5，b=2时，a+2b=9 ∴a+2b 的平方根为：±3．知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x 的两个不同的平方根是23a +与15a -，则x 的值是（） A ．11 B ．121C ．4D ．11±【答案】B.【解析】解：由题意得：2a+3+a-15=0 解得：a=4当a=4时，2a+3=11 则x=112=121. 故答案为：B ．【变式2－1】已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ．（1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？【答案】（1）121；（2）2.【解析】解：（1）由正数m 的平方根互为相反数，得： 2n +1+4﹣3n ＝0， ∴n ＝5， ∴2n +1＝11， ∴m ＝112＝121；（2）∵|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0， ∴a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5， ∴a +b +c ＝3+0+5＝8， ∴a +b +c 的立方根是2．【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数a 的两个不同平方根分别是22x -和63x -，则a =______．【答案】36.【解析】解：由题意得： 2x-2+6-3x=0，解得x=4，a=62=36 故答案为：36.【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x ，y 为实数，且20x +=，则2021x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B.【解析】解：由题意得： x+2=0，y-2=0 ∴x=-2，y=2∴2021202122x y ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-1故答案为：B.【例2－3】﹣2x ﹣1＝0，则x ＝_____．【答案】0或﹣1或﹣12.﹣2x ﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12．故答案为：0或﹣1或﹣12．知识点三：综合题型【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x 的值（1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16， x+1=4或x+1=-4（2）（2x-1）3=-27 2x-1=-3 x=-1【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x ． (1)24120x -= (2)()216281x -= 【答案】见解析. 【解析】解：(1)4x 2=12 x 2=3(2)（x-2）2=8116 x-2=94或x-2=-94x=174或x=-14【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m 3=8，n 2=9，且mn ＜0，求m 2-2mn+n 2的值．（2）已知a =5，b 2=9，（c-1）2=4，且ab ＞0，bc ＜0，求式子ab-bc-ca 的值．【答案】（1）25；（2）23或39. 【解析】解：（1）由m 3=8，得m=2，由n 2=9，得n=±3，由mn ＜0，得：m=2，n=-3 当m=2，n=-3时， m 2-2mn+n 2=4+12+9=25 （2）由题意知a=±5，由b 2=9得：b=±3，由（c-1）2=4，得：c=3或-1 ∵ab ＞0，bc ＜0 ∴a 、b 同号，b 、c 异号当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23 当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39．【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -+=，求d +c 的平方根．【答案】（1）x =5，169或x=-21，1521；（2）±3. 【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x-18=0，解得：x=5这个数是（2×5+3）2=169. ②2x+3=x-18，解得x=-21 这个数是（-21-18）2=1521；（2）由题意得：2c -d =0，d 2-36=0，解得：d=±6，c=±3．当d =-6，c =-3时，d +c =-9（没有平方根），当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3．【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A ，B ，C ，D 的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B ，C ，A ，D 的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a 经过D ，C ，A ，B 的顺序运算后，结果是55，a 是多少？【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11．【解析】解：（1）①()23256-⨯--+⎡⎤⎣⎦ =(-6+5)2+6=1+7 =7②()25526--⨯+⎡⎤⎣⎦， =(5+5)2×2+6 =100×2+6 =206（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55，整理得：（a+6）2=25， a+6=5或a+6=-5 ∴a=-1或a=-11.【变式4－1】已知2x +1的算术平方根是0=4，z 是﹣27的立方根，求2x +y +z 的值．【答案】12.【解析】解：∵2x +1的算术平方根是0， ∴2x +1＝0， ∴2x ＝﹣1，=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根， ∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12.【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x 值为64时，输出的y 值是（）A ．4BC ．2D 【答案】B.，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2 故答案为：B ．【例5－1】（2020·浙江期中），（） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3【答案】C.1.3331013.33==≈⨯=．故答案为：C ．【例5－2】（2020· 2.449≈7.746≈≈______．【答案】0.07746.7.746=0.0774*******≈ 故答案为：0.07746．【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①31000100==，又1000593191000000<<，10100∴<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．==，1000＜195112＜1000000【解析】解：（1100∴<100，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，83=512，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<，<<，∴56<<，可得5060由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.===，则【变式5－1】（2020·0.5325______________________．【答案】11.47【解析】解：=1.147，===⨯=1.1471011.47故答案为: 11.47．【变式5－2】（2019· 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A．B．10）C．D【答案】B.1之后，扩大10倍即可实现，故答案为：B.【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：（1）表格中x=_________________，y=_________________；（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；（3）根据你发现的规律填空：≈≈≈，2.714=_________________；②58.48≈，则a=_________________．【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；∴x=0.1，y=10；故答案为：0.1；10．（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；==≈；（30.2714≈，0.5848∴1001000.584858.48≈⨯=，≈，58.48≈=100∴a=200000；故答案为：①0.2714；②200000．【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[＝﹣2，按此规定，[1﹣＝_____．【答案】-4．∴4＜5，∴﹣4＞﹣5，∴﹣3＞1﹣4，故，[1﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【例6－2】（2020·x的所有整数x的和是_____．【答案】2.【解析】解：∵﹣21，2＜3，x的所有整数有﹣1，0，1，2，∴﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小______0.5 ．（填“>”，“<”或“= ”）【答案】＞.1>1故答案为：＞．【例6－4】对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，如==-=-，现对85进行如下操作：[5]5,1,[ 3.5]4第1次第2次第3次，这样对85只需3次操作后−−−→=−−−→=−−−→=85931就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．【答案】255.=，x为正整数，则1≤，【解析】解：设1∴1≤y<4，即最大正整数是3；=，y为正整数，则3≤，设3∴9≤y<16，即最大正整数是15；=，z为正整数，则15≤，设15∴225≤z<256，即最大正整数是255．∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以-1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =_________，若点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =_________；（2）在（1）的条件下，求代数式x -4y 算术平方根．【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.【解析】解：(1) 设P 点表示的数为x ，P′表示的数为-x+2，点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =-1+2=1，点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =4×(-1)+2=-4+2=-2，故答案为：x=1；y=-2，(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x －4y 的值为=1-4×（-2）=9，代数式x －4y 算术平方根为3．【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）.【解析】解：(1)14−141+=1120，=1120(2)=1+1 n−1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x 为16时，y 值为_____；(2)是否存在输入有意义的x 值后，却始终输不出y 值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；(3)如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况；(4)当输出的y x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【解析】解：（1）当x=16，则（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系2t=0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）【答案】1.3.【解析】解：把l=0.4m代入关系式2t=得，∴12=0.45tπππ=⨯≈1.3（秒）．【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)【答案】能躲开．【解析】解：足球下落的时间：，学生的声音传播到楼下的时间：t=19.6340=0.06s由2>0.06所以楼下的学生能躲开．【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a为阴影正方形边长的小数部分，b的整数部分，求+a b的值．【答案】（1）13（2）1，2，3；（3【解析】解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=，∵阴影部分是一个正方形，故答案为：13（21，2，3．（3）∵34<，∴3a =，∵34<< ∴b=3∴33+=【例9－1】（2020·四川月考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简a b a ++-的结果为（）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b【答案】A.【解析】解：由图可知：a<0<b ，a+b<0，原式=-a-b+（-a ）+b =-2a故答案为：A ．【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c |-|a c【答案】2a-c.【解析】解：由数轴得a<b<0<c ， ∴a-c<0，a+b<0，原式=-b-（c-a ）+(a+b) =-b-c+a+a+b =2a-c.。

专题06 幂的乘方与积的乘方(知识点串讲)(解析版)

专题06 幂的乘方与积的乘方知识网络重难突破知识点一幂的乘方1、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()nm mn a a =（m ，n 都是正整数）．推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，注意：①a 可以表示数，也可以表示单项式或多项式；②多重乘方也具备上述性质：()()pnpm m nmnp a a a ⋅⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（m ，n ，p 都是正整数）③不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．2、幂的乘方法则的逆用()()=nmmn mna a a =（m ，n 都是正整数）．即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算．典例1（2021•鼓楼区校级模拟）计算223()a a -⋅的结果是( )()mn a n mm nm m m m m mmna a a a a a +++=⋅⋅⋅==个个A ．8aB ．8a -C ．7aD ．7a -【解答】解：223268()a a a a a -⋅=-⋅=-．故选：B ．典例2（2021春•邗江区月考）下列计算正确的是( ) A ．2323a a a +=B ．224a a a +=C ．326a a a ⋅=D ．326()a a =【解答】解：A 、a 与22a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B 、2222a a a +=，故本选项不合题意；C 、325a a a ⋅=，故本选项不合题意；D 、326()a a =，故本选项符合题意．故选：D ．典例3（2021春•邗江区月考）已知552a =，443b =，335c =，那么a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：因为55511112(2)32a ==，44411113(3)81b ===，33311115(5)125c ===， 554433235∴<<，即a b c <<．故选：D ．知识点二积的乘方1、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn n ab a b =（n 为正整数）推导过程：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，注意：①三个或三个以上的数的积的乘方，也具有这一性质，如()nn n n abc a b c =②进行积的乘方运算时，不要漏掉数字因数的乘方，如()323622ab a b -≠-()()()()n abn n an bn nab ab ab ab a a a b b ba b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个个③表达式中的a ，b 可以表示一个数或一个单项式或一个多项式； ④底数的系数是-1时，首先应确定结果的符号，一般有：()222nn n ab a b -=，()2+12121n n n ab a b ++-=-（n 为正整数）2、积的乘方法则逆用()=nn n a b ab （n 为正整数）即几个因式的乘方（指数相同）的积，等于它们积的乘方．典例1（2020春•盐城月考）下列计算正确的是( ) A ．22a a -=B ．224a a a +=C ．222()ab a b =D ．235()a a =【解答】解：A 、2a a a -=，故原题计算错误；B 、2222a a a +=，故原题计算错误；C 、222()ab a b =，故原题计算正确；D 、236()a a =，故原题计算错误；故选：C ．典例2（2020秋•澄海区期末）计算：20202020(0.25)4(⨯= ) A ．0.25B ．4C ．1D ．2020【解答】解：202020202020(0.25)4(0.254)⨯=⨯ 20201=1=．故选：C ．典例3（2019春•丹阳市期中）已知10x a =，5x b =，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）【解答】解：（1）50105x x x ab =⨯=；（2）10102()55x xx x a b ===；（3）2101020(10)1055x x x xx a b=⨯=⨯=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2020•盐城模拟）计算23()xy -的结果是( ) A ．36x y -B ．36x yC ．35x y -D ．35x y【解答】解：2336()xy x y -=-．故选：A ．2．（2020•北京模拟）下列运算中，正确的是( ) A ．22456x x x +=B ．326x x x =C ．236()x x =D ．33()xy xy =【解答】解：A 、22256x x x +=，错误；B 、325x x x =，错误；C 、236()x x =，正确；D 、333()xy x y =，错误；故选：C ．3．（2020春•锡山区期中）下列计算正确的是( )A ．6612a a a +=B ．22144m m -=C ．778222+=D ．3339(3)9xy x y =【解答】解：A 、原式62a =，错误；B 、原式2244m m -==，错误； C 、原式78222=⨯=，正确；D 、原式3927x y =，错误，故选：C ．4．（2020•玄武区二模）计算323()a a -结果是( ) A ．8a -B ．9aC ．9a -D ．8a【解答】解：原式332639()a a a a ⨯+=-=-=-．故选：C ．5．（2020春•淮阴区期中）比较552、443、334的大小( ) A ．554433234<<B ．334455432<<C ．553344243<<D ．443355342<<【解答】解：55511112(2)32==，44411113(3)81==， 33311114(4)64==，326481<<，553344243∴<<．故选：C ．6．（2020春•张家港市校级月考）已知2n a =，3n b =，24n c =，那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是( )A ．c ab =B ．3c ab =C ．3c a b =D ．2c a b =【解答】解：2n a =，3n b =，24n c =，333324(83)(23)(2)3(2)3n n n n n n n c a b ∴==⨯=⨯===，即3c a b =．故选：C ．二、填空题（共5小题）7．（2020春•江都区月考）计算：42()()p p -⋅-= ．【解答】解：42426()()()p p p p p -⋅-=⋅-=-．故答案为：6p -．8．（2020春•灌云县校级月考）2020201912()2⨯= ．【解答】解：2020201912()2⨯2019201912()22=⨯⨯20191(2)22=⨯⨯201912=⨯12=⨯ 2=．故答案为：2．9．（2020春•天宁区期中）计算：23x x ⋅= ；231()2a b -= ．【解答】解：23235x x x x +⋅==； 23323363111()()()228a b a b a b -=-⋅⋅=-．故答案为：5x ；6318a b -．10．（2020春•南京期末）已知23a =，45b =，则22a b +的值是．【解答】解：23a =，45b =， 22222243515a b a b a b +∴===⨯=．故答案为：15．11．（2020春•姜堰区期末）已知92781m n ⨯=，则646m n --的值为．【解答】解：92781m n ⨯=， 234333m n ∴=，234m n ∴+=， 646m n ∴--62(23)m n =-+624=-⨯68=-2=-．故答案为：2-．三、解答题（共2小题）12．（2021春•东台市月考）计算：（1）32()x x x ⋅⋅-；（2）323()a a ⋅-；（3）20111()2021()32----÷；（4）2018201931()(1)43-⨯．【解答】解：（1）32()x x x ⋅⋅- 32x x x =⋅⋅ 312x ++= 6x =；（2）323()a a ⋅-36()a a =⋅-9a =-；（3）20111()2021()32----÷912=-÷192=- 172=；（4）2018201931()(1)43-⨯2018344()()433=-⨯⨯20184(1)()3=-⨯41()3=⨯43=． 13．（2021春•宝应县月考）若(0m n a a a =>，1a ≠，m 、n 都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果32232x ⋅=，求x 的值；（2）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（3）若52m x =-，325m y =-，用含x 的代数式表示y ．【解答】解：（1）32232x ⋅=， 3522x +∴=，35x ∴+=， 2x ∴=；（2）528162x x ÷⋅=， 3452222x x ∴÷⋅=， 134522x x -+∴=，15x ∴+=，4x ∴=；（3）52m x =-，52m x ∴=+，325m y =-， 23(5)m y ∴=-， 23(2)y x ∴=-+．。

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专题06比较大小（解析版）
在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分. 比较大小易错点
易错点1：比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。

常用的指对数变换公式：
（1）n
m m
n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N
-= （3）()log log 0,1,0n
a a N n N a a N =>≠>
（4）换底公式：log log log c a c b
b a
=
进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m n
a a n N N m
= 易错点2：混淆对数的符号
如何快速判断对数的符号---八字真言“同区间正，异区间负”
（1）如果底数和真数均在（0，1）中，或者均在（1，+∞）中，那么对数的值为正数；（2）如果底数和真数一个在（0，1）中，一个在（1，+∞）中，那么对数的值为负数. 易错点3：没有选中合适的中间量
利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 题组一
1.(2016全国III)已知432a =，344b =，13
25c =，则（） A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<
【解析】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，且幂函数13
y x =在R 上单调递增，
指数函数16x
y =在R 上单调递增，所以b a c <<，故选A ．
2.（2013新课标）设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（）
A. a b c >>
B.b c a >>
C.a c b >>
D.c b a >>
【解析】法1：33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+，
由下图可知D 正确．
法2： 332
1
log 61log 21log 3
a ==+=+
， 5521
log 101log 21log 5b ==+=+， 7721
log 141log 21log 7
c ==+=+
，由222log 3log 5log 7<<，可得答案D 正确．题组二
3.（2019全国Ⅰ理3）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 【解析】依题意
22log 0.2log 10
a ==＜， 0.20
221b ==＞，
因为0.3000.20.21=＜＜，所以0.3
0.201c =∈（，），
所以a c b ＜＜.故选B ．
4.已知,,a b c 均为正数，且a a
2
1log 2=1122211,log ,log 22b c
a a
b
c ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A.a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<
【解析】如图，在平面直角坐标系中画出函数
122
12,log ,,log 2x
x y y x y y x ⎛⎫
==== ⎪⎝⎭的图像，
可得a b c << 题组三
★5．若a b >，则( ) A ．()0ln a b -> B ．33a
b < C ．330a b -> D ．||||a b >
y
x
1
c
b a x =2
O
【解析】取0,1,a b ==-()ln ln10,a b A -==则排除
011
33133,,3
a b B -==>==排除
()3
333011,a b C =>-=-=故对，
01,a b D =<=排除,故选C
6.(2016全国I) 若101a b c >><<，，则（） A.c c a b < B.c c ab ba < C.log log b a a c b c
<
D.log log a b c c
<
【解析】选项A ，考虑幂函数c
y x =，因为0c >，所以c
y x =为增函数，又1a b >>，所
以c
c
a b >，A 错．对于选项B ，c
c
ab ba <()c
b
b a
a ⇔<
，又()x
b y a
=是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．
7．（2017新课标Ⅰ）设x y z ，，为正数，且235x
y
z
==，则（） A ．235x y z <，
则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以
22lg lg 3lg 9
13lg 23lg lg8
x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32
x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ．
★8．(2018全国卷Ⅲ)设3.0log 3.0log 22.0==b a ，，则( ) A ．0<<+ab b a B ．0<+，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．
题组四
9．（2019全国Ⅲ理11）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( )
A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>
B ．233
231(log )(2)(2)4f f f -->>
C ．23
3
2
31(2)(2)(log )4f f f -
-
>> D ．23
3
231(2)(2)(log )4
f f f -->>
【解析】 ()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4
f f =，
因为33log 4log 31>=，2303
2
02
2
21--<<<=，所以233
2
302
2
log 4-
-
<<<，
又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233
2
31(2)(2)(log )4
f f f -->>. 故选C ． 10.（20152）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，0)1(=-f ，当0x >时，
'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）
A.(,1)(0,1)-∞-U
B.(1,0)(1,)-+∞U
C.(,1)(1,0)-∞--U
D.(0,1)(1,)+∞U 【解析】令()
()f x h x x
=
，因为()f x 为奇函数，所以()h x 为偶函数，由于 2
()()
()xf x f x h x x
'-'=
，当0x >时，'()()xf x f x - 0<，所以()h x 在(0,)+∞ 上单调递减，根据对称性()h x 在(,0)-∞上单调递增，又(1)0f -=，(1)0f =，数形结合可知，使得()0f x >成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-U ．。