矩阵的秩
矩阵的秩计算
矩阵的秩计算矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述矩阵的线性相关性和线性无关性。
在计算机科学、工程学和物理学等领域中，矩阵的秩也有着广泛的应用。
本文将从基本概念、计算方法和应用三个方面介绍矩阵的秩。
一、基本概念矩阵的秩指的是矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
具体来说，对于一个m行n列的矩阵A，如果它的秩为r，那么就意味着存在r 个线性无关的行或列，且没有更多的线性无关行或列。
同时，矩阵的秩也等于它的列空间或行空间的维度。
二、计算方法对于一个矩阵A，可以通过进行初等行变换或初等列变换来求解其秩。
初等行变换包括交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的k倍。
初等列变换与之类似。
通过这些变换，可以将矩阵A转化为行简化阶梯形或列简化阶梯形，从而求得其秩。
可以通过矩阵的特征值来计算矩阵的秩。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，如果它有n个非零的特征值，那么它的秩为n。
反之，如果它只有k个非零特征值，那么它的秩就是n-k。
三、应用1. 线性方程组的解：对于一个m行n列的矩阵A和n行1列的矩阵X，可以通过求解AX=0来得到线性方程组的解。
如果矩阵A的秩等于n，那么线性方程组有唯一解；如果矩阵A的秩小于n，那么线性方程组有无穷多解；如果矩阵A的秩小于m，那么线性方程组无解。
2. 矩阵的相似性：矩阵的秩还可以用于判断两个矩阵是否相似。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩相等。
3. 矩阵的逆：对于一个n阶矩阵A，如果它的秩等于n，那么它是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
反之，如果矩阵A的秩小于n，那么它是不可逆的。
4. 图像处理：在图像处理中，可以使用矩阵的秩来判断图像的信息量。
如果一个图像的秩较高，那么它包含了更多的信息；反之，如果一个图像的秩较低，那么它的信息量较少。
总结起来，矩阵的秩是描述矩阵线性相关性和线性无关性的重要指标。
它可以通过初等行变换、初等列变换或特征值来计算。
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯kn k m cc ()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果 求 a .解或 例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果求 a . 解或 例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
第四节 矩 阵 的 秩
例如，在矩阵
1 1 3 1
A
0 0
2 0
1 0
4
5
0
0
0
0
中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素
所成的 2就是一个 2 级子式. 又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4
列，相应的 3 级子式就是
求向量组的极大线性无关组的方法是：把向量 组中的每一个向量作为矩 阵的一列构成一个矩阵, 然后用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵， 在阶梯形矩阵中，每个阶梯中的第一个非零元所在 的列所对应的向量即为极大线性无关组中的向量.
若要用极大线性无关组来表示其余向量，则需进一 步把阶梯形矩阵化成行最简形，这时，不在极大线 性无关组中的列中的元素即为用极大线性无关组表 示该列所对应的向量的表示系数.
2 3
,
3
3 5
,
4
7
;
1
1
1
4
1
本若请本若请本若请本若请本本若若请请本若节想请单节想本单若节想请单节想本单若节节想想请单单节想内结本单若击内请结节击想内结本单若击内请结节击想内 内结 结本单若击击内请结容束节击想返本容单若束内请返结容束节击想返本容单若束内请返结容 容束 束节击想返返本容单若束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已 已本 本内请返结回回节已击想本结本堂容单若回束按内结请返结本堂若节已击想按本结请本 本堂容单若 若回束按内结请 请返结本堂若节已击想按本结 结请本堂 堂容单若回束按按内结请返结堂束节课已击想按本钮容束单回束节课想内结返结钮堂束单节 节课已击想 想按本钮容束单单回束节课想内结返结钮堂束 束单节课 课已击想按本钮钮容束单回束课内,结返结钮堂.已击按本内,!结容束回束课.击内 内,结!返结 结钮堂.已击击按本内,!结容束回束课.击内,,结!返结钮堂..已击按本,!!容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容束回束 束课.结!返返钮堂容束已按本,返容束回束课.结!返钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已按本 本,束回回课.已本结!钮堂回已按本,束回课.结!钮堂按,结堂束课.按结 结!钮堂堂按按,结堂束课.按结!钮堂按,束课.!钮束课,钮束束课课.!钮钮束课,钮束课.!钮,.,!.,,!..,!!.,!.!
2.7 矩阵的秩
注：若n阶方阵A可逆的充要条件为A为满秩.
1 2 3 0 0 1 0 1 r ( A) 3; A 0 0 1 0
1 2 0 1 r ( B ) 2; B 0 0
1 1 2 C 0 1 1 r (C ) 3 0 0 2
§2.7 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式.
k k m n 矩阵共有 CmCn 个 k 阶子式.
设A为一个mn矩阵, 当A=O时, 它的任何子式都 为零; 当AO时, 它至少有一个元素不为零, 即它 至少有一个一阶子式不为零. 这时再考察二阶子式 如果A中有二阶子式不为零, 则往下考察三阶子式, 依此类推, 最后必达到A中有r阶子式不为零, 而再 没有比r更高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式 的最高阶数r, 反映了矩阵A内在的重要特性, 在矩阵 的理论与应用中都有重要意义.
A,B,C都是满秩矩阵
定理 矩阵经初等变换后, 其秩不变.
证: 仅考察经一次初等变换的情形. 设矩阵 Amn 经初等变换变为 Bmn , 且 r ( A) r , r ( A) r2 1
当对A施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变换时, 矩阵B中任何r 1 阶子式等于某一非零数c与A的某个r 1 1 1 阶子式的乘积, 其中c=1或其它非零数. 因为A的任何 r1 1 阶子式皆为零, 因此B的任何 r1 1阶子式也都为零.
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵 可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用 伴随矩阵求逆矩阵.
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩的定义矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它描述了矩阵中线性无关的行或列的个数。
矩阵秩的定义可以通过矩阵的行阶梯形式来描述，即将矩阵化简为上三角形式时，非零行的个数就是矩阵的秩。
矩阵的秩在很多应用中都扮演着重要的角色。
首先，在线性方程组的求解中，矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
当矩阵的秩等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组有无穷多解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组无解。
在线性映射和线性变换中，矩阵的秩也起着重要的作用。
对于一个线性映射或线性变换，矩阵的秩等于其定义域的维数和值域的维数中的较小值。
这个结论可以用来判断线性映射或线性变换是否是一一对应的。
在求解矩阵的逆和矩阵的特征值等问题中，矩阵的秩也是一个重要的参考指标。
矩阵的逆存在的充分必要条件是矩阵的秩等于其行（或列）的个数；而矩阵的特征值的个数等于矩阵的秩。
矩阵的秩还与矩阵的行列式有密切的关系。
对于一个n阶矩阵，它的秩r等于其非零行列式的最高次数。
这个结论可以用来求解矩阵的秩，特别是对于较大的矩阵，可以利用行列式的性质来简化计算。
总结来说，矩阵的秩是一个非常重要的概念，它在线性代数中有着广泛的应用。
通过矩阵的秩，我们可以判断线性方程组的解的情况，判断线性映射或线性变换是否是一一对应的，求解矩阵的逆和矩阵的特征值等等。
了解和掌握矩阵的秩的定义和性质，对于深入理解线性代数的基本概念和方法是非常重要的。
希望通过这篇文章的阐述，读者能够对矩阵的秩有一个清晰的认识，并在实际问题中能够灵活运用矩阵的秩来解决各种线性代数相关的问题。
通过深入理解矩阵的秩的定义和性质，读者可以更好地理解线性代数的基本概念和方法，从而提高数学思维能力和问题解决能力。
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B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, 4
R( B ) 3.
行阶梯形矩阵的秩 = 非零行的行数
例3
1 3 2 2 已知 A 0 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 2 0 1 5
解
1 3 0 2
2 0, 计算A的3阶子式，
0 1 1 2 3 2 1 6 4 1 . A 3 2 a 7 1 1 1 6 1 b
当a =-8, b=-2, r(A) =2; 当a = - 8,b≠-2,r(A)=3； 当a≠-8, b= -2, r(Ａ)=3; 当a≠ -8,b≠ -2, r (Ａ)= 4.
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 B 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( B ) 3,
R( A) R( B ) 3.
求 A 的一个最高阶非零子式 .
R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例5 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
~ ~ ~ 分析： 设 B 的行阶梯形矩阵为B ( A, b ), ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B ( A, b ) 中可同时看出R( A) 及 R( B).
解
在 A 中，
1 2 2 3
0.
又 A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A 0，
R( A) 2.
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 例2 求矩阵 B 的秩. 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，
R( A) 2,
R( B ) 3.
以B ( A, b)为增广矩阵的线性方程组无解.
?
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 寻找矩阵的最高非零子式，其阶数即为秩. (2)初等变换法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 .
3 3 A 的 3 阶子式共有 C4 C5 40 个 .
考察A的行阶梯形矩阵，
记A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), 则矩阵A1 (a1 , a2 , a4 )的行 阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
1 0 ( 2) A 0 0
3 1 3 2 1 4 . 0 0 3 5 0 0 0 0 2 1
解 (1) A的2阶子式
1 1 2 1
1 0, 所有3阶子式
1 1 2 1 1 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 0, 2 1 3 0, 2 1 3 0, 1 1 3 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0
解：
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 2 2 1 4 2 0 0 0 0 2 1 0 0 6 3
1 2 3 4 A) n, 故 A的标准形为单位阵 , A ~ E . E
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
例3 求矩阵 A的秩
0 2 3 0 1 1 2 3 1 1 解 2 1 6 4 1 r2 2 r1 0 1 2 2 1 r3 3 r1 A 3 2 a 7 1 r4 r1 0 1 a 6 2 1 1 1 6 1 b 0 2 4 4 b 2 3 0 1 1 r3 r2 0 1 2 2 1 r4 2 r21 0 0 a8 0 0 0 0 b 2 0 0
练习 题
求矩阵A的秩 : 2 5 A 3 3 2 5 2 5 ~ 1 8 0 21 0 42 ~ 1 8 0 21
2 1 0 1 0 5 0 0 ~ 1 8 1 0 2 5 1 0 1 0 1 0 0 42 6 0 1 0 ~ 1 8 1 0 3 0 0 21 3 0 6 0 1 8 1 0 1 0 ~ 0 42 6 0 R( A) 2. 3 0 0 0 0 0
1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 0 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5 1 3 2
0.
R A 2.
1 1 2 3 练习1 求矩阵的秩 (1) A 2 1 1 3 1 0 1 0
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
？
二、求矩阵秩的初等变换法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：初等变换前后，两个矩阵的秩之间的关系？
定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
§9
矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k m , k n），位于这些行列交叉 处的 k 2 个元素, 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得 k阶行列式， 的 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
定义 m n 矩阵 A 中不等于零的最高阶非 零子式
所以r(A)=2. (2)由于矩阵A的最后一行元素均为零, 因此A的所 有4阶子式均为零，而容易看出A的一个3阶子式
1 2 3 0 3 1 9 0, 所以r(A)=3. 0 0 3
阶梯形矩阵的秩等 于其非零行的个数.
1 3 2 2 另解 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5 1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0
的阶数称为矩阵 的秩, 记作R( A). A 注意
1. 当A O时，规定 ( A) 0. r
2. 0 r ( A) min( , n) m
r ( A) min(m, n)
A为满秩矩阵
3. r ( I n ) n
4. r ( A) r ( AT )
1 2 3 例1 求矩阵 A 1 2 3 的秩. 2 3 1
r4 3r1
r2 2r1 1 2 2 1 4 2 r3 2r1 0 0 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
1 2 0 0 0 0 0 0
2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
A1 (a1 , a2 , a4 ) 0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
2
6 11 2 5
16 0.
这个子式也是 A 的一个最高阶非零子式.
对 n 阶可逆矩阵 A，
A 0, A的最高阶非零子式为 A ,
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 A~ 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
R( A1 ) 3,
A1 中必有 3 阶非零子式. 计算A1的前三行构成的子式
3
2
5
6
0
11 6 5
3 2 6 3 2 2 0 5 2 0
作业：
P 154 D 2