18学年高中数学阶段质量检测(三)数学归纳法与贝努利不等式新人教B版选修4-5

18学年高中数学阶段质量检测(三)数学归纳法与贝努利不等式新人教B版选修4-5

D

C ．S (n )共有n 2

－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14

D ．S (n )共有n 2

－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14

2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0

的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值

n 0应取( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

3．已知a 1＝2，a n ＋1＝2＋a n ，n ∈N ＋，则

a n 的取值范围是( )

A ．(2，2)

B ．[2，2)

C ．(0，2)

D ．[0，2]

4．用数学归纳法证明对一切大于1的自然

数n ，不等式⎝

⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋

12n －1>2n ＋1

2成立时，当n ＝2时验证的不等式是( )

A ．1＋13>5

2

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15>52

C.⎝

⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15≥52

D ．以上都不对

5．用数学归纳法证明“S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋

1n ＋3＋…＋13n ＋1

>1(n ∈N ＋)”时，S 1等于( ) A.1

2 B.14 C.12＋13

D.12＋13＋14

6．已知f (x )是定义在正整数集上的函数，

且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )

A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

B．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)

C．若f(7)≥49成立，则当k<7时，均有f(k)

D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )

A．56·3(4k＋1)＋25(34k＋1＋52k＋1)

B．34·34k＋1＋52·52k

C．34k＋1＋52k＋1

D．25(34k＋1＋52k＋1)

8．若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱对角面的个数为( )

A．2f(k) B．k－1＋f(k)

C．f(k)＋k D．f(k)＋2

9．下列代数式，n∈N＋，可能被13整除的是( )

A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1

C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2

10．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n ＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从k 到k＋1，左边需要增加的代数式为( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1)

C.2k＋1

k＋1

D.

2k＋3

k＋1

二、填空题(本大题共有4小题，每小题5

分，共20分)

11．设a，b均为正实数，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝a n＋na n－1b，则M，N的大小关系为

________(提示：利用贝努利不等式，令x＝b

a )．

12．若数列{a n}的通项公式a n＝

1

n＋12

，

记c n＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－a n)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测c n＝________.

13．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出：1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝__________________.

14．设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝2a n＋2，用数学归纳法证明a n＝4×2n－1－2的第二步中，设n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即a k＝4×2k －1－2，那么当n＝k＋1时，需证明a

k

＋1＝

________________.

三、解答题(本大题共有4小题，共50分)

15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：

12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝1

3

n(4n2－1)．

16．(本小题满分12分)求证：

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

3n

>

5

6

，(n≥2，n∈N＋)．

17．(本小题满分12分)利用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1(n∈N＋)能被9整除．

18．(本小题满分14分){a n}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，a n＋1a n＝(a n－1

＋2)(a n－2＋2)，n＝3,4,5，….

(1)求a3；

(2)证明：a n＝a n－2＋2(n≥3，且n∈N＋)．

答案

1．选D S(n)共有n2－n＋1项，S(2)＝1

2＋

1 3＋

1

4

.

2．选C 取n0＝1,2,3,4,5验证，可知n0

＝5.

3．选B ①n＝1时，a2＝2＋a1＝2＋2 >2，排除C，D.②a n＋1>a n为递增数列．③可用数学归纳法证明a n<2，故选B.