2021年八年级数学下册专题精讲-轴对称(3)
初二数学考点精讲轴对称与轴对称图形
初二数学考点精讲轴对称与轴对称图形初二数学考点精讲：轴对称与轴对称图形在初二数学的学习中，轴对称与轴对称图形是一个重要的知识点。
这部分内容不仅在数学学科中有着广泛的应用，还与我们的日常生活密切相关。
接下来，让我们深入探讨这一考点。
一、轴对称的概念轴对称，简单来说，就是如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
例如，等腰三角形就是一个轴对称图形，它沿着底边的高对折后，左右两部分能够完全重合。
生活中常见的轴对称图形还有风筝、窗户、蝴蝶等等。
二、轴对称图形的性质1、对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
比如在一个轴对称图形中，点 A 和点 A'是对应点，那么连接 A 和A'的线段就会被对称轴垂直平分。
2、对应线段相等，对应角相等。
还是以等腰三角形为例，等腰三角形的两腰（即两条相等的边）就是对应线段，它们长度相等；等腰三角形的两个底角就是对应角，它们的大小相等。
三、常见的轴对称图形1、线段线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线。
2、角角也是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。
3、等腰三角形等腰三角形有一条对称轴，就是底边的高（或顶角平分线或底边的中线）所在的直线。
4、等边三角形等边三角形有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线。
5、矩形矩形有两条对称轴，分别是对边中点的连线所在的直线。
6、菱形菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。
7、正方形正方形有四条对称轴，分别是两条对边中点的连线和两条对角线所在的直线。
8、圆圆有无数条对称轴，因为任意一条通过圆心的直线都是它的对称轴。
四、如何作轴对称图形的对称轴1、如果图形是线段，那么作线段的垂直平分线就是它的对称轴。
我们可以分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，就是线段的垂直平分线，也就是对称轴。
2、如果图形是角，作角平分线就是它的对称轴。
2021年中考数学专题复习：轴对称与中心对称(含答案)
2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()2. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．∠ADC＝45°B．∠DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC4. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()A.2个B.3个C.4个D.5个5. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心，CA长为半径画弧①;步骤2:以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D;步骤3:连接AD，交BC的延长线于点H.则下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD6. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()A．点E B．点FC．点G D．点H7. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A.对应点所连线段与对称轴垂直B.对应点所连线段被对称轴平分C.对应点所连线段都相等D.对应点所连线段互相平行8. 把一张长方形纸片按图2①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是图3中的()二、填空题9. 若点A(x＋3，2y＋1)与点A′(y－5，1)关于原点对称，则点A的坐标是________．10. 如图，在△ABC中，已知AC=3，BC=4，点D为边AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE'的位置.若CE'∥AB，则CE'=.11. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为.12. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．13. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．15. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).16. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.三、解答题17. 已知:如图，AB=AC，DB=DC，点E在直线AD上.求证:EB=EC.18. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.19. 如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数;(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.20. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.21. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．22. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，故选B.2. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.3. 【答案】D[解析] ∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，故C正确；∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝22.5°.∴∠ADC＝45°，故A正确；∠DAC＝90°－∠ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.4. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B.5. 【答案】A[解析] 如图，连接CD，BD.∵CA=CD，BA=BD，∴点C，B都在线段AD的垂直平分线上.∴BH垂直平分线段AD.故选A.6. 【答案】D[解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.7. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O，过点B作BM⊥对称轴，垂足为M，过点B'作B'N⊥对称轴，垂足为N，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.8. 【答案】C二、填空题9. 【答案】(6，－1) [解析] 依题意，得⎩⎨⎧x ＋3＝－（y －5），2y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.∴点A 的坐标为(6，－1)．10. 【答案】[解析]如图，作CH ⊥AB 于H.由翻折可知:∠AE'C=∠AEC=90°，∠ACE=∠ACE'， ∵CE'∥AB ，∴∠ACE'=∠CAD ，∴∠ACD=∠CAD ，∴DC=DA.∵AD=DB ，∴DC=DA=DB ，∴∠ACB=90°，∴AB==5，∵·AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=， ∴AH==，∵CE'∥AB ，∴∠E'CH +∠AHC=180°， ∵∠AHC=90°，∴∠E'CH=90°， ∴四边形AHCE'是矩形， ∴CE'=AH=，故答案为.11. 【答案】[解析]设CE=x ，则BE=6-x.由折叠的性质可知，EF=CE=x ，DF=CD=AB=10，在Rt △DAF 中，AD=6，DF=10，∴AF=8， ∴BF=AB -AF=10-8=2，在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2=EF 2，即(6-x )2+22=x 2，解得x=，故答案为.12. 【答案】6[解析] 如图，过点A ′作A ′B ′⊥a ，垂足为B ′，由题意可知，①与②关于点O 中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A ′B ′OD 的面积．又A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.13. 【答案】(－2，2)[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.∴对称点P′的坐标为(－2，2)．14. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.15. 【答案】③16. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.三、解答题17. 【答案】证明:连接BC.∵AB=AC，DB=DC，∴直线AD是线段BC的垂直平分线.又∵点E在直线AD上，∴EB=EC.18. 【答案】解：(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示．(2)平移后的△A2B2C2如图所示，其中点B2的坐标为(0，－2)，点C2的坐标为(－2，－1)．(3)△A1B1C1(1，－1)19. 【答案】解:(1)∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC=25°.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°.∴∠EDA=90°-25°=65°.(2)证明:∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC.又∵AD=AD ，∴△AED ≌△ACD.∴AE=AC ，DE=DC.∴点A ，D 都在线段CE 的垂直平分线上.∴直线AD 是线段CE 的垂直平分线.20. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC.∵△BEG 的周长为16，∴EB+GB+GE=16.∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16.∴AC+2GE=16.∵GE=3，∴AC=10.21. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S ，∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM 22EM EC -＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.22. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时 S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+． (2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形． 作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7。
专题5.1-4轴对称图形及其性质精讲(解析版)
B．角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；
C．高的交点为垂心，而到各顶点相等的只能是垂直平分线的交点，不符合题意；
D．△ABC 三边垂直平分线的交点上，符合题意．
故选 D．
2．（2020·湖北宜昌）如图，点 E，F，G，Q，H 在一条直线上，且 EF GH ，我们知道按如图所作的直
【答案】1：3 【解析】解：∵DE 垂直平分 AB， ∴AD＝BD， ∴S△ADE＝S△BDE， ∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE， ∴△BDE≌△BCE（AAS）， ∴S△BDE＝S△BCE， ∴S△AED：S△ABC＝1：3， 故答案为：1：3． 4．（2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AB 的垂直平分线交 AC 于点 N，△BCN 的周长是 8 cm，则线段 BC 的长为________ cm.
二、考点点拨与训练
考点 1：轴对称图形的识别 典例：（2020·江苏新沂初三一模）剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视 觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】 解：A 选项能够关于一条直线对称，是轴对称图形，故 A 正确； B 选项不是轴对称图形，故 B 错误； C 选项不是轴对称图形，故 C 错误；
D．
【答案】C 【解析】解：A、B、D 中的图形不是轴对称图形， C 中的图形是轴对称图形， 故选：C． 6．（2020·全国初二课时练习）我们理应对我们所得的一切心怀感恩，这是我们强大的基础.少年强则国强， 中国强则中国少年更强，中国强就是因为少年强.为了庆祝祖国生日小强做了以下几幅剪纸作品，其中是轴 对称图形的是（ ）
八年级数学学案图形平移与旋转知识点考点
第三讲：图形的平移与旋转【知识精讲】知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系（1）区别。
①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。
如果它能够与另一个图形重合，则这两个图形成轴对称。
②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。
旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。
③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。
轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。
旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。
④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。
（2）联系。
①它们都在平面内进行图形变换②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。
③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。
知识点2 组合图案的形成（1）确定图案中的“基本图案”。
（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。
（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。
要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。
运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。
整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。
初中数学【轴对称的基本性质】教案教学设计
年级八年级科目数学主备教师备课时间年月日课题轴对称的基本性质总 1 课时第 1 课时教学目标1.了解轴对称的基本性质,能画出与已知图形关于某条直线对称的图形；2.在直角坐标系中，会求已知点关于坐标轴的对称点坐标，知道对称点坐标之间的关系。
教学重点轴对称的基本性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征。
教学难点轴对称的基本性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征。
课前准备三角尺，直尺，课本，自主预习教学过程（一）先学环节1.自学，互学：利用8分钟，阅读课本34—38页，按要求完成下列任务，小组展示疑难问题。
预学核心问题⑴轴对称的基本性质：⑵画成轴对称的图形：⑶关于坐标轴对称的点的坐标特征：2.预学检测问题一：轴对称的基本性质：问题二：画成轴对称的图形问题三：关于坐标轴对称的点的坐标特征：(1)如图2-12，在直角坐标系中，已知点Q的坐标为(4,3)，画出点Q关于y轴的对称点Q′，写出点Q′的坐标，你发现点Q 与Q′的坐标有什么关系？利用轴对称的基本性质，说明你的理由.(2)画出点Q关于x轴的对称点Q′′，写出点Q关于x轴的对称点Q′′的坐标，你发现点Q与点Q′′的坐标有什么关系？(3)你能分别写出点(-1,0)关于y轴和x轴对称点的坐标吗？点(0，-1)呢？(4)一般地，已知点P的坐标是(a，b)，按照上面发现的规律，你能分别写出点P关于y轴的对称点P′和关于x轴对称的对称点P′′的坐标吗？解决问题评价：你在解决问题时遇到了哪些困难，此类问题今后如何处理？预学评价质疑：小组交流后，提出不能解决和有质疑的问题。
（二）展示环节3.反馈：以小组为单位，交流问题答案，并把小组内解决不了的问题写在题板上展示。
4.展讲：将各小组没有解决的疑问，讨论展讲。
（三）释疑环节5.点拨：对每一个小组的讲评给予适当的评价并做重点的点拨。
6.精讲:总结文字语言与符号语言的转换不能改变原有的意义。
例1：如图，画出△ABC关于直线l成轴对称的图形.例2：如图，在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(-2，1) ，B(1.5，-4)，C(0，3).(1)分别写出与△ABC关于y轴成轴对称的△A′B′C′的顶点坐标(2)分别写出与△ABC关于x轴成轴对称的△A′′B′′C′′的顶点坐标(3)分别画出△A′B′C′与△A′′B′′C′′.（四）训练环节7.精炼练习1.作一条线段AB关于直线MN的轴对称的图形。
2.5 等腰三角形的轴对称性(3)
东山莫厘中学2015-2016八年级第一学期教学案【教学目标】：（一）知识目标：根据等腰三角形的轴对称性得出并掌握等边三角形的性质：（1）“等边对等角”和“三线合一”的性质；（2）掌握等边三角形本身所具有的特殊的性质；（3）掌握等边三角形识别的方法。
（二）能力目标：能够熟练的运用等边三角形的相关性质和判定解决问题.（三）情感与价值观目标：经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，感受分类、转化等数学思想方法，不断积累数学活动的经验重点：等边三角形相关性质和识别的应用；难点：等边三角形性质和识别的运用.新课讲解一、课前导学1等边三角形_____（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴有_____条，是_______．4.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则对△ADE的形状的判断是_________．5.师生互动推导出以下性质：讨论：（师生互动）3二、 例题精讲例1、 如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作 等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．例2 、如图，等边△ABC 的两条中线BD 、CE 相交于点O ， (1)求∠BOE 的度数；(2)说明：△AED 是等边三角形，△BED 是等腰三角形．OABCDE例3、用等边三角形的性质探索结论：直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，试说明：AC ＝12AB ．三、课堂练习1．如图，D、E是△ABC的边BC上的两点，BD＝DE＝EC＝AD＝AE，则∠BAC的度数为_______．2．在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D，则AD与DC的大小关系为________．3．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F．(1)试说明△ABE≌△CA D．(2)求∠BFD的度数．4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，以AD为一边向右作等边△ADE．请判断AC、DE的位置关系，并说明理由．四、课堂小结：五、课后作业：1．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．试说明：BD＝DE．2．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3．求PP'的长．3．已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA上任意一点．且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点．(1)请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．六、板书设计：七、教学反思：。
专题133关于坐标轴对称的点的坐标特征-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【人教版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题13.3关于坐标轴对称的点的坐标特征姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•拱墅区期末）若点A的坐标为（﹣3，4），则点A关于y轴的对称点的坐标为（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解析】∵点A的坐标为（﹣3，4），∴点A关于y轴的对称点的坐标为（3，4）．故选：A．2．（2020秋•芝罘区期末）已知点A（m，2）与点B（4，n）关于x轴对称，则m，n的值分别是（）A．4，﹣2B．0，4C．4，2D．4，0【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值．【解析】∵点A（m，2）与点B（4，n）关于x轴对称，∴m＝4，n＝﹣2，∴m，n的值分别是：4，﹣2．故选：A．3．（2021•萧山区二模）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则（）A．m＝3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝3，n＝2D．m＝﹣2，n＝3【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．【解析】∵点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，∴m＝3，n＝﹣2，故选：A．4．（2021•下城区模拟）在平面直角坐标系中，点A（m﹣1，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣2，n＝3C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝2【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案．【解析】∵点A（m﹣1，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m﹣1＝﹣3，n＝2，解得：m＝﹣2，故选：D．5．（2021春•东湖区期中）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，﹣3）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标为（）A．（0，﹣3）B．（2，﹣3）C．（4，﹣3）D．（0，3）【分析】直接利用平移的性质得出B点坐标，再利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标．【解析】∵将点A（﹣2，﹣3）向右平移2个单位长度得到点B，∴B（0，﹣3）则点B关于x轴的对称点C的坐标为（0，3）．故选：D．6．（2020秋•太原期末）已知点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）关于某条直线对称，则这条直线是（）A．x轴B．y轴C．过点（4，0）且垂直于x轴的直线D．过点（0，﹣4）且平行于x轴的直线【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．【解析】点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝4对称，故选：C．7．（2020•巨野县模拟）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【分析】首先根据题意建立坐标系，然后再确定根据轴对称图形的定义确定位置．【解析】如图：小莹放的位置所表示的点的坐标是（﹣1，1）．故选：B．8．（2020秋•郑州期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．【解析】点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．故选：C．9．（2019秋•赣县区期末）在平面直角坐标系中，若点E关于M的对称点为F，则点M是线段EF的中点．如图，已知A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，P3关于A的对称点为P4，…，则点P2019的坐标是（）A．（4，0）B．（﹣2，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）【分析】根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2019÷6＝336…3，进而可得点P2019的坐标．【解析】∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1，∴1=0+x2，﹣1=2+y2，解得x＝2，y＝﹣4，所以点P1（2，﹣4）；同理：P1关于点B的对称点P2，所以P2（﹣4，2）P2关于点C的对称点P3，所以P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），…，发现规律：每6个点一组为一个循环，∴2019÷6＝336…3，所以P2019与P3重合，所以点P2019的坐标是（4，0）．故选：A．二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）请把答案直接填写在横线上10．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知点M （a ，﹣4）与点N （6，b ）关于x 轴对称，那么a ﹣b 等于 2 ．【分析】关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此可得a ，b 的值，进而得出a ﹣b 的值．【解析】∵点M （a ，﹣4）与点N （6，b ）关于x 轴对称，∴a ＝6，b ＝4，∴a ﹣b ＝6﹣4＝2，故答案为：2．11．（2020秋•沂南县期末）点P （﹣1，2021）关于y 轴对称的点的坐标为 （1，2021） ．【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质得出答案．【解析】点P （﹣1，2021）关于y 轴对称的点的坐标为（1，2021）．故答案为：（1，2021）．12．（2021•东莞市二模）已知点P （3，1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ，﹣1﹣b ），则ab 的值为 6 ．【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．【解析】∵点P （3，1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ，﹣1﹣b ），∴a ＝﹣3，﹣1﹣b ＝1，解得：b ＝﹣2，则ab 的值为：﹣3×（﹣2）＝6．故答案为：6．13．（2021春•南岗区校级月考）已知点A （3x ﹣6，4y +15），点B （5y ，x ）关于x 轴对称，则xy 的值是 9 ．【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质得出关于x ，y 的方程组，进而得出答案．【解析】∵点A （3x ﹣6，4y +15），点B （5y ，x ）关于x 轴对称，∴{3x −6=5y 4y +15+x =0， 解得：{x =−3y =−3， 故xy ＝9．故答案为：9．14．（2020秋•平舆县期中）在平面直角坐标系中，点P （4，2）关于直线y ＝﹣1的对称点的坐标是 （4，﹣4） ．【分析】利用图象法求解即可．【解析】如图，观察图象可知，点P关于直线y＝﹣1的对称点Q的坐标为（4，﹣4），故答案为（4，﹣4）．15．（2020秋•未央区期中）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣1）和B（1，1）关于x轴对称．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可对称结论．【解析】点A（1，﹣1）和B（1，1）关于x轴对称，故答案为x．16．（2020秋•即墨区期末）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x 轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2021次，点A落在A2021处，则A2021的坐标为（3034，2）．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解析】由题意A1（3，2），A2（A3）（5，0），A4（6，1），•，发现4次一个循环，∵2021÷4＝505.....1，∴A2021的纵坐标与A1相同，横坐标＝505×6+4＝3034，∴A2021（3034，2），故答案为：（3034，2）．17．（2020秋•双流区校级期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用（﹣1，1）表示，右下角的圆形棋子用（0，0）表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是（﹣1，2）．【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题．【解析】平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为（﹣1，2），故答案为（﹣1，2）．18．（2020•黄冈模拟）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是．A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【分析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．【解析】棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．故答案为：B．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•昌图县期末）已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．【分析】（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．【解析】（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，﹣3），若点A在第二象限或第四象限，则a﹣5+1﹣2a＝0，解得a＝﹣4，则a﹣5＝﹣9，1﹣2a＝9，∴点A的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a），又∵点A向右平移若干个单位后与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，∴1﹣2a+（﹣3）＝0，a＝﹣1，a﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A的坐标为（﹣6，3）．20．（2020秋•兰州期中）已知点A （a ﹣1，5）和B （2，b ﹣1），试根据下列条件求出a ，b 的值．（1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）A ，B 两点关于x 轴对称；（3）AB ∥x 轴．【分析】（1）关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此可得a ，b 的值．（2）关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此可得a ，b 的值．（3）AB ∥x 轴，即两点的纵坐标相同，横坐标不相同，据此可得a ，b 的值．【解析】（1）A 、B 两点关于y 轴对称，则a ﹣1＝﹣2，b ﹣1＝5，∴a ＝﹣1，b ＝6；（2）A 、B 两点关于x 轴对称，则a ﹣1＝2，b ﹣1＝﹣5，∴a ＝3，b ＝﹣4；（3）AB ∥x 轴，则b ﹣1＝5，a ﹣1≠2，∴b ＝6，a ≠3．21．（2020秋•麻城市期中）已知点A （2a ﹣b ，5+a ），B （2b ﹣1，﹣a +b ）．（1）若点A ，B 关于x 轴对称，求a ，b 的值；（2）若点A ，B 关于y 轴对称，求（4a +b ）2019的值．【分析】（1）根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；（2）根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；”列方程组求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解析】（1）∵点A ，B 关于x 轴对称，∴{2a −b =2b −15+a =−(−a +b)， 解得{a =−8b =−5． （2）∵点A ，B 关于y 轴对称，∴{2a −b =−(2b −1)5+a =−a +b， 解得{a =−1b =3，∴（4a+b）2019＝[4×（﹣1）+3]2019＝﹣1．22．（2019秋•苍南县期末）在4×4的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是（0，1），（﹣1，﹣1）．（1）请图1中添加一个格点C，使得△ABC是轴对称图形，且对称轴经过点（0，﹣1）．（2）请图2中添加一个格点D，使得△ABD也是轴对称图形，且对称轴经过点（1，1）．【分析】（1）根据题意画出满足条件的点C即可．（2）根据题意画出满足条件的点C即可．【解析】（1）如图，点C即为所求．（2）如图，点D即为所求．23．（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．【分析】（1）根据关于y 轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A 1B 1C 1各点坐标，又关于直线l 的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A 2B 2C 1的三个顶点的坐标；（2）P 与P 1关于y 轴对称，利用关于y 轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P 1的坐标，再由直线l 的方程为直线x ＝3，利用对称的性质求出P 2的坐标，即可得出PP 2的长．【解析】（1）△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标分别是A 2（4，0），B 2（5，0），C 2（5，2）；（2）如图1，当0＜a ＜3时，∵P 与P 1关于y 轴对称，P （﹣a ，0），∴P 1（a ，0），又∵P 1与P 2关于l ：直线x ＝3对称，设P 2（x ，0），可得：x+a 2=3，即x ＝6﹣a ，∴P 2（6﹣a ，0），则PP 2＝6﹣a ﹣（﹣a ）＝6﹣a +a ＝6．24．（2020秋•武汉期中）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）将△ABC向右平移五个单位，再向下平移四个单位，则平移后点A的对应点的坐标是（3，﹣1）．（2）将△ABC沿x轴翻折，则翻折后点A的对应点的坐标是（﹣2，﹣3）．（3）求点A关于直线y＝x（即第一、第三象限的角平分线）的对称点D的坐标；请画图并说明理由．【分析】（1）让横坐标加5，纵坐标减4即可得到所求点的坐标；（2）让横坐标不变，纵坐标互为相反数可得所求点的坐标；（3）画出相关图形，可得点D的坐标．【解析】（1）平移后点A的对应点的横坐标为﹣2+5＝3，纵坐标为3﹣4＝﹣1，故答案为（3，﹣1）；（2）翻折后点A的对应点的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3，故答案为（﹣2，﹣3）；（3）由图中可以看出点D的坐标为（3，﹣2）．。
2021年中考数学复习《中考压轴题：轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习(三)
2021年中考数学复习《中考压轴题：轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习（三）1．如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P点出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）2．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．3．如图，在矩形ABCD中，E是对角线BD上一点（不与点B、D重合），过点E作EF∥AB，且EF＝AB，连接AE、BF、CF．（1）若DE＝DC，求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝，BC＝3，当四边形ABFE周长最小时，四边形CDEF的周长为．4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使P A+PE的值最小；（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使P A+PE的值最小，并直接写出其最小值．5．如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？6．如图，在7×7网格中，每个小正方形边长都为1．建立适当的平面直角坐标系，使点A （3，4）、C（4，2）．（1）判断△ABC的形状，并求图中格点△ABC的面积；（2）在x轴上有一点P，使得P A+PC最小，则P A+PC的最小值为．7．如图，平面直角坐标系内，A（﹣5，4），B（3，0），C（2，3）按下列要求解答．（1）如图1，在x轴上标出点D的位置，使AD＝BD，直接写出点D的坐标．（2）如图2，在x轴上标出点E的位置，使AE+CE最短，直接写出点E的坐标．8．如图，一牧童的家在点A处，他和哥哥一起在点C处放马，点A，C到河岸的距离分别是AB＝500m，CD＝700m，且B，D两地间的距离为600m．夕阳西下，弟兄俩准备从C 点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．（1）他们应该将马赶到河边的什么地点？请在图中画出来．（2）请求出他们至少要走的路程．9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？10．如图，在▱ABCD中，AD的垂直平分线经过点B，与CD的延长线交于点E，AD与BE 相交于点O，连接AE，BD．（1）求证：四边形ABDE为菱形；（2）若AD＝8，问在BC上是否存在点P，使得PE+PD最小？若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：如图，作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″与OA、OB交于点M、N，则蚂蚁爬行的最短路径为：PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．2．解：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°；②如图1∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∵四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；∵AB＝AC，∴BD＝BC＝1；（2）∠BCE+∠BAC＝180°；理由如下：如图2，AD与CE交于F点，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD，∵∠BAC＝∠F AE，∠BCE+∠ECD＝180°，∴∠BCE+∠BAC＝180°；3．解：（1）∵矩形ABCD中，∴AB∥CD，AB＝CD，∵EF∥AB，EF＝AB，∴EF∥CD，EF＝CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DE＝DC，∴四边形CDEF是菱形；（2 ）∵AB＝CD，AB∥CD∥EF，EF＝AB，∴AB∥EF，AB＝EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵四边形ABFE周长＝2（BF+EF）＝2（AB+BF），∴当BF⊥BD时，四边形ABFE周长最小；∵AB＝，BC＝3，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∵∠AEB＝∠FBE＝90°，∴∠DAE＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AE＝，∴BF＝，∵AE＝，AD＝3，∠ADE＝30°，∴DE＝，∴四边形CDEF的周长＝2（CD+DE）＝2（+）＝5．故答案为：5．4．解：（1）如图，作点E关于CD的对称点F连接AF交CD于点P，则此时，P A+PE的值最小；点P即为所求；（2）如图，过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，则此时，P A+PE的值最小；P A+PE的最小值＝EF，∵CD是角平分线，∠BAC＝90°，∴DA＝DF，即点A与点F关于CD对称，∴CF＝AC＝10，∵∠ACB＝30°，∴EF＝CF＝5．5．解：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．理由如下：在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E，∵A、A′关于直线l对称，∴AP＝A′P，同理AE＝A′E，∵AP+BP＝A′P+BP＝A′B，AE+BE＝A′E+BE＞A′B，∴AP+BP＜A′E+BE，∵E是任意取的一点，∴AP+BP最短．6．解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AC2+BC2＝25，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；△ABC的面积＝××＝5；（2）如图所示，作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'交x轴于P，连接CP，则CP＝C'P，∴P A+PC的最小值为AC'的长，∵AC'＝＝，∴P A+PC的最小值为，故答案为：．7．解：（1）如图1所示，点D即为所求，D（﹣2，0）；（2）如图2所示，点E即为所求，E（﹣1，0）．故答案为：（﹣2，0）；（﹣1，0）．8．解：（1）作A点关于河岸的对称点A′，连接CA′交河岸与P，则PC+P A＝PC+P A′＝CA′最短，故牧童应将马牵到河边的P地点．（2）作DB′＝BA′，且DB′⊥BD，∵DB′＝BA′，DB′⊥BD，CB′∥A′A，∴四边形A′B′CA是矩形，∴B'A'＝BD，在Rt△CB′A′中，连接A′B′，则CB′＝CD+DB′＝1200（m），∴CA′＝＝600（m）．9．解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30°．10．（1）证明：∵BE垂直平分AD，.∴AO＝DO，AD⊥BE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠ABE＝∠BED．∵∠AOB＝∠DOE，又AO＝DO，∴△AOB≌△DOE（AAS），∴BO＝EO．又AO＝DO，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AD⊥BE，∴四边形ABDE是菱形；（2）解：如图所示：作点D关于BC的对称点D'，DD′交BC于点G，延长EB，过D'作DM⊥BE于点M，连接ED'交BC于点P，此时PD+PE最小；∵∠B0D＝∠OBC＝∠BGD＝90°，∴四边形ODGB是矩形．∴BO＝DG．同理BM＝GD．∴MD'＝DO＝AD＝4．又BO＝EO，∴BO＝EO＝BM．∵∠EBP＝∠M＝90°，∠BEP＝∠MED'，∴△BEP∽△MED′，∴＝＝，∴＝，即BP＝．。
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2. 学高为师，身正为范。不但要有崇高的师德，还要有深厚而扎实的专业知识。要 做一名让学生崇拜的师者，就要不断的更新知识结构，拓宽知识视野，自己不断的钻研 学习，加强对教材的驾御能力才能提高自己的教学方法，才能在学生心目中树立起较高 的威信。因此，必须树立起终身学习的观念，不断的更新知识、总结经验，取他人之长 来补己之短，才能使自己更加有竞争力和教育教学的能力，才能以己为范，引导学生保 持对知识的惊异与敏锐。
AD＋BD＝AB. （4）由（2）－（1）得BC＝10cm.
2.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
B A
【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的 交点即是要建的公共汽车站.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
【幸遇•书屋】
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你 等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你 忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你 念你袅娜身姿 羡你悠然书气
人生若只如初见 任你方便时来 随你心性而去 却为何，有人 为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
只要我们找到一对对应 点，作出连结它们的线段的垂 直平分线，就可以得到这两个 图形的对称轴了．
如何作出线段的垂直平分线？ 由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知， 只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可．
作线段的垂直平分线.
C
已知：线段AB，
求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：（1）分别以点A、B为圆心，
【八年级数学上册】
13.1 轴对称
第3课时
1.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称 图形的对称轴. 2.作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺 规作图.
有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证 呢？不折叠图形,你能比较准确地作出轴对称图形的 对称轴吗？
大家想想，既然轴对称图形的对称轴是任何 一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称 图形的对称轴如何来作呢？
以大于—21 AB的长为半径作弧，
D
两弧交于C、D两点；
（2）作直线CD.
结论：对于轴对称图形，只要 找到任意一组对应点，作出对
CD即为所求.
应点所连线段的垂直平分线，
就得到此图形的对称轴.
L 1.下图中的五角星有几条对称轴？作出
这些对称轴． A
B
作法：1．找出五角星的一对
对应点A和B，连结AB．
2．作出线段AB的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五 条对称轴．
2.如图，△ABБайду номын сангаас中，边AB、BC的垂直
A
平分线交于点P.
（1）求证：PA=PB=PC. （2）点P是否也在边AC的垂直平分线 上呢？由此你能得出什么结论？ B
P C
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点
晨起凭栏眺 但见云卷云舒 风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷 和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
不舍你的过往 和过往的你 记挂你的现今 和现今的你 遐想你的将来 和将来的你 难了难了 相思可以这一世
到三角形三个顶点的距离相等.
1.如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的周
长为28cm， DE是BC的垂直平分线,根据这些条
A
件，你可以求出哪条线段的长? 【解析】 （1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝18cm；
D BE C
（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm；
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝
3. 爱岗敬业，教书育人。为师者，一言一行都会对学生产生深远的影响，特别是师 范类学生，自己的形象会对他们日后的教学方式、工作态度产生潜移默化的影响。所 以，作为师范要时刻谨记我们面对不是眼前的这一名学生，而是他们背后的几代人。所 以对于自己的爱岗敬业提出了更高的要求，应该以近乎完美的苛刻标准来要求自己，评 判自己的工作，塑造自己形象，要做一个甘于物质清贫而精神富足的人。
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名师心得
1.用尺规作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴 对称图形的一条对称轴的方法； 2.找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点， 作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图 形的一条对称轴．
---------------------------------- 赠予 ----------------------------------