浙江理工大学 概率论与数理统计 复习题 第2章
概率论与数理统计浙大第四版答案 第二章
概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。
解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。
概率论与数理统计(浙大版)第二章
二、伯努利（Bernoulli）试验及二项分布 1、伯努利（Bernoulli）试验 (1)n次独立重复试验
将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互 不影响,则称这n次试验是相互独立的. (2)n重伯努利试验 满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验: ①每次试验都在相同的条件下重复进行；
令X=“正面出现的次数”，则X是一个随着试 验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：
基本结果(e) 正面出现的次数X(e)
e1=（正，正）
2
e2=（正，反）
1
e3=（反，正)
1
e4=（反，反）
0
由上可知，对每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)
与之对应。我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。
P ( X x k ) p k k 1 ,2 ,3 , ( 1 )
称 (1) 式为离散型随机变量X的分布律. 注:离散型随机变量X的分布律可用公式法和表格 法描述。
1)公式法: P (X x k ) p k k 1 ,2 ,3 ,
2) 表格法:
X x1 x2 L pk p1 p2 L
例1：将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次 数X ”的分布律。
及 时 维 修 ” ， 则 知 80台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 的 概 率 为 ：
P A 1 A 2 A 3 A 4 P A 1 P X 2
而 Xb20,0.01,故 有 ：
1
1
PX21PXk1 C 2 k00.01k0.9920k0.0169
k0
k0
即 有 ： P A 1 A 2 A 3 A 4 0 .0 1 6 9
text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),'FontSize',21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),'FontSize',21);
概率论第二章复习题
概率论与数理统计第二章 随机变量及概率分布 复习题一、填空题1. 在三次独立的贝努利实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 发生的概率均为p ,则p =_______________2.设随机变量X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，则{4}_____P X ==3.设随机变量)2,3(~2N X ，则{3}_______________P X ≤=4.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(2x x ke x f x ，则=k 二、选择题1.设随机变量~(1,1)X N ，其概率密度为)(x f ，则下列结论正确的是（ ）（A ）{}{}000.5P X P X ≤=≥= （B ） ()(),(,)f x f x x =-∈-∞+∞（C ）{}{}110.5P X P X ≤=≥= （D ） ()(),(,)F x F x x =-∈-∞+∞2.已知X 的概率密度为()f x =,010,ax b x +<<⎧⎨⎩其它,且15{}28P X >=,则（ ） （A ）1,21==b a （B ）21,1==b a （C ）1,1==b a （D ）1,2==b a 3. 设随机变量X 的分布律为则下列正确的是（ ） （A ）151}1{2==X P （B ）3019}2{2=<X P （C ）307}1{2==X P （D ）3011}3{2==X P三、计算题1. 设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<-=其它010)()(2x x x A x f ，求： （1） 常数A ；（2）求X 的分布函数()F x ；（3）)4321(≤<X P .2. 设).2,3(~2N X（1）求{28},{2}.P X P X -<≤>（2）确定c ，使得}.{}{c X P c X P ≤=>（3）设d 满足.9.0}{≥>d X P 问d 至多为多少？。
《概率论与数理统计》第二章习题解答
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 的分布律为：2、一袋中有5只乒乓球，编号为X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1)（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计(二)试题及答案
概率论与数理统计B一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12(),()23P A P B == 则()P AB 可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A)12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A)518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对4．某一随机变量的分布函数为()3xxa be F x e +=+，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = .2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22af x x x =++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为, 03()10, x<0x>3Ax f x x⎧⎪=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明AB 与C 相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________. 十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)概率论与数理统计B 答案一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1）⎰⎰∞∞-==+=34ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）⎰==+=<1212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3300()()[ln(1)]1AxE xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 10--------------------------------2分 η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη⋅的分布列为因此，16.310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅ηξE-------10分另解：若ξ与η相互独立,则应有P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2); P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);因此，)1()0()2,1()2,0()1,1()1,0(============ξξηξηξηξηξP P P P P P但10.012.003.005.0≠，故ξ与η不相互独立。
概率论及数理统计第二章考试题答案
第二章考试题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 抛掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间2. , 取值的概率为 . 解：随机变量X 的散布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤3. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀散布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰ 故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 4. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27. 解：由题意知随机变量X 和Y 别离服从参数为2和p 、3和p 的二项散布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 取得4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,1329S2S1所以2(1)3p -=, 从而 300333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭5. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤. 解：此题用画图的方式来解：下图中红线即为()f x 的图像.()f xx0 1 2 3 4 5 6其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部份的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部份面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=. 而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右边的面积(绿色虚线所示x=k范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即 13k ≤≤. 6. 设随机变量(1,4)XN , 则{12}P X <≤= .(已知(0.5)0.6915Φ=.)解：由(1,4)XN 可知，1,2μσ==. 第一进行正态散布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭ 1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=7. 设硕士研究生入学数学考试合格率为，则15名考生中数学考试合格人数X 的概率散布是二项散布，参数为15和, 解：15名考生参加考试，能够视为15次伯努利实验。
概率论与数理统计第二章随机变量习题答案
大学数学云课堂30.83028203.射手向目标独立地进行了次射击,每次击中率为,3求次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,32.并求次射击中至少击中次的概率,0123.X X =解设表示击中目标的次数则,,,3(0)(0.2)0.008P X ===123(1)C 0.8(0.2)0.096P X ===223(2)C (0.8)0.20.384P X ===3(3)(0.8)0.512P X ===X 故的分布律为01230.0080.0960.3840.512X p 0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <ìï£<ïï=£<íï£<ï³ïî(2)(2)(3)0.89P X P X P X ³==+==分布函数大学数学云课堂0.6,0.7,33028205.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为今各投次,求:(1);两人投中次数相等的概率(2.)甲比乙投中次数多的概率~30.6),~(3,0.7)X Y X b Y b 解分别令、表示甲、乙投中次数,则(，1)()(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+==331212222233333(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7=+++0.32076=(2)()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+(2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==1232233322123333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)=+++31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.30.243++=3028207.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有辆汽车通过，10002问出事故的次数不小于的概率是多少(利用泊松定理)?解设表示出事故的次数,则（，）~10000.0001X X b0.10.1³=-=-==--´(2)1(0)(1)1e0.1eP X P X P X--大学数学云课堂大学数学云课堂0.3A 3028209.设事件在每一次试验中发生的概率为，3A 当发生不少于次时,指示灯发出信号，(1)5进行了次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;(2)7.进行了次独立试验,试求指示灯发出信号的概率(1)5~650.3X A X 解设表示次独立试验中发生的次数,则（，）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kkk k P X -=³==å(2)7~70.3Y A Y b 令表示次独立试验中发生的次数,则（，）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293kkk k P Y -=³==å大学数学云课堂e ,0,(0),00.xt A B x X F x ,x l -ì+³>í<î3028224.设随机变量分布函数为()=30282概率统计(北大出版社)课后习题二第24题分布函数视频详解1A B （）求常数，；2{2}{3}P X P X £（）求，＞；3().f x （）求分布密度00lim ()11(1),lim ()lim ()1x x x F x A F x F x B ®+¥®+®-=ì=ìï\íí==-îïîQ 解2(2)(2)(2)1eP X F l -£==-33(3)1(3)1(1e )e P X F l l -->=-=--=e ,0(3)()()0,0x x f x F x x l l -ì³¢==í<î大学数学云课堂a 3028227.求标准正态分布的上分位点，10.01;a a =（），求z /220.003.a a a =（），求z ,z (1)()0.01,1()0.01P X z z a a F >=\-=Q 解()0.09, 2.33z z a a F ==即查表得(2)()0.003,1()0.003P X z z a a F >=\-=Q ()0.997, 2.75z z a a F ==即查表得/2/2()0.0015,1()0.0015P X z z a a -F >=\=Q /2/2()0.9985, 2.96z z a a F ==即查表得x.大学数学云课堂00.9?3028235.随机数字序列要多长才能使数字至少出现一次的概率不小于()0~,0.1.X n X b n 解令为出现的次数,设数字序列中要包含个数字,则00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9nnP X P X ³=-==-³(0.9)0.1,22nn £\³即22.\随机数字序列至少要有个数字。
浙江大学概率论与数理统计第二章习题
3 k 3 k P{ X k } 0 . 6 0 . 4 , k 3 k 3 k P{Y k } 0 . 7 0 . 3 , k k 0,1,2,3
10x只能取值345x3时一只球编号为3另外两只球编号为12只有一种取法x4时一只球编号为4另外两只球只能从编号为123的三只球110310610设在15只同类型的零件中有2只是次品在其中取3次每次任取1只作不放回抽样
第二章习题
2. 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X表示取 出的 3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.
5 3 5 5 2 5 4 3 0.1 0.9 4 0.1 0.9 5 0.1 =0.00856
(3)P{X3} =P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} 5 5 4 5 2 3 5 3 2 0.9 0 . 1 0 . 9 0 . 1 0 . 9 0 . 1 0 . 9 0.99954. 1 2 3
X
3
4
5
Pk 1/10 3/10 6/10
3. 设在15只同类型的零件中有2只是次品,在其中取3次,每次任取1 只,作不放回抽样.以X表示取出次品的只数.(1)求X的分布律;(2)画出 分布律的图形. 解 法一:X可能取值为0,1,2. 设事件Ai表示“第i次取到正 13 12 11 22 品”,i=1,2,3. P{X=0}=P(A A A )=P(A )P(A |A )P(A |A A ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2
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13. 设随机变量的绝对值不大于1, ,,在事件出现的条件下, 在内的任一子 区间上的取值的条件概率与该子区间的长度成正比,求的分布函数. 14.设离散型随机变量具有分布律,求随机变量的分布律.
15. 设一电路装有三个同种电器元件,其工作状态相互独立,且无故 障工作时间都服从参数为的指数分布,当三个元件都无故障时,电路正常 工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作时间的概率分布. 16. 设随机变量~,求: (1) 的密度函数; (2) 的密度函数.
别为在对应点的跳跃值的大小. 共有四个间断点: 和,在的跳跃值为,即 ,同理 , 的分布律为
例3 设随机变量具有分布律
试确定常数. 解 由分布律的性质知
,解得, 再由 得
例4 一条自动生产线上产品的一级品率为,随机检查件,求至少有两件 一级品的概率.
解 设被检查的件产品中一级品的件数为,则~. 例5 有90台独立工作的同类型设备,每台设备出故障的概率都是பைடு நூலகம்.01.
记~. 均匀分布的特点:在区间中长度相等的任意两个子区间上取值是等可能 的. 指数分布 如果随机变量具有密度函数
则称随机变量服从参数为的指数分布，其中为某一常数. 正态分布 如果随机变量的概率密度为
其中为常数,则称服从参数为的正态分布(或高斯分布),记为~. 一般正态分布与标准正态分布的关系 设~,则的分布函数可以表示为
现有3人负责管理和维修这些设备,任何时刻,每人最多只能维修一台设 备.考虑以下两种管理方法:
(1) 每人各分管30台; (2) 3人共同负责管理90台. 比较上述两种管理方法,分析发生设备不能及时维修情况的概率大小. 解
(1) 设备分为3组,设第组设备发生故障的的台数为,则~,.第组设备不能 及时维修的概率为 再设为3个组中发生设备不能及时维修的组数,则~,从而设备不能及时 维修的概率为
(1) 求常数； (2) 求的密度函数； (3) 用两种方法计算. 解 （1）由连续型随机变量分布函数的连续性知 ，从而.再由得 ,再由知 (2) (3) 方法一:
方法二: 例8 设随机变量~,求方程有实根的概率. 解 ,所求概率为 例9设某书店收银台顾客排队等待服务的时间(以分记)服从指数分布,密度 函数为 分别利用的密度函数和分布函数计算. 解法一 利用的密度函数求解： 解法二 先求出的分布函数
5、 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布 如果已知的分布律
则随机变量的分布律可以通过下表求得:
若的任意两个值都不相等,则上表即为的分布律;否则应把那些相同的分 别合并,同时把对应的概率相加,即可得到的分布律. 连续型随机变量函数的分布 如果已知的密度函数,则随机变量的密度函 数可以通过以下方法求得:
第一步,利用分布函数的定义求出的分布函数 , 再把用表示;
第二步,利用密度函数性质求出. 四、 解题方法与题例
例1 设随机变量具有分布律
求和. 解法一 解法二 先求出的分布函数,再利用分布函数求概率. 比较两种不同方法可知直接利用分布律计算概率要简单一些. 例2 设随机变量的分布函数为
求的分布律. 解 分布函数的间断点即为取值概率大于零的点,且取这些值的概率分
正确决策的概率均为,当半数以上成员作出正确决策时,系统作出
正确决策,问多大时,5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更
为可靠?
6. 某商店出售某种商品,根据历史记录分析,月销售量服从参数的泊松分
布.问在月初进货时要库存多少件该种商品,才能以0.999的概率满足顾客
的需求?
7. 设随机变量~,且,求.
第2章 随机变量及其分布
一、 知识网络图 二、 内容与要求 1、内容 随机变量概念、分布函数概念与性质、分布律性质、密度函数性质、随 机变量函数的分布。 2、要求 （1）理解随机变量及其分布函数的概念和性质。 （2）理解离散型随机变量及其分布律的概念，掌握0-1分布、二项分 布、泊松分布及其应用。 （3）理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态 分布、指数分布及其应用。 （4）会利用随机变量的分布律或概率密度函数求分布函数。 （5）会利用分布函数计算随机变量落在某一区间中的概率。 （6）会利用的分布求随机变量的分布。 【重点】 (1) 分布函数的概念 (2) 离散型随机变量分布律与分布函数 (3) 连续型随机变量密度函数与分布函数的关系 【难点】 (1) 二项分布的判断 (2) 随机变量函数的分布 三、 概念、定理的理解与典型错误分析 1、 随机变量
(3) 3人共同管理90台.设为90台设备中同时出故障的设备台数,则~, 利用迫松逼近, ,设备不能及时维修的概率为
由于,知3人共同管理90台设备的方法较好. 例6 一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线假设每台分机需要
外线的概率都为0.01,求 (1) 每台分机需要外线时能及时得到满足的概率; (2) 同时需要外线的分机的最可能台数.
解 每台分机要外线的概率,台分机所需外线数服从二项分布所求概 率为 (1),计算较复杂,可以利用泊松分布逼近:,则 (2)泊松分布的分布律有一个从小到大,再从大到小的过程.设为泊松分 布的最可能台数,则它满足
即 解得 从而,即同时需要外线的分机数最有可能是2台或3台. 例7 设连续型随机变量的分布函数为
和自然数集中的元素对应),则称为离散型随机变量. 离散型随机变量的分布律
分布律的性质 (1) ; (2) .
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
0-1分布、独立试验和二项分布 如果随机试验的结果只有两种可能:事件A发生或者不发生,则可以 用0-1分布随机变量来描述:
,
且,求和的分布律.
3. 设随机变量具有分布律
-1 0 1 2 3
0.16
0.3
确定常数.
4. 设在时间t(min)内,通过某十字路口的汽车数服从参数与t成正比
的泊松分布.已知在1min内没有汽车通过的概率为0.2,求在2min内
有多于1辆汽车通过的概率.
5. 有一决策系统,其中每一成员作出决策互不影响,且每一成员作出
实例 设随机变量具有密度函数
求的分布函数.
解
典型错误: 时, 原因: 只注意到的变化范围为，未注意到分布函数的定义是随机变 量在到取值的概率.避免这种错误的方法是利用密度函数计算分布函数 时,先画出密度函数的图形,再根据图形中的随机变量变化范围进行积分. 密度函数的性质 (1) . (2) . (3) . (4) 在的连续点上,有. 均匀分布 如果服从区间上的均匀分布,即具有概率密度
次相互独立的重复试验称为伯努利试验, 重伯努利试验中事件A发生的 次数服从二项分布~,其中为每次试验中事件A发生的概率.二项分布的分 布律为
二项分布可以表示为个相互独立的0-1分布随机变量之和.由于伯 努利试验是次相互独立的重复试验,每次试验只有两个可能结果,即事件 发生或者不发生,如果令
, 则每一个都服从0-1分布,且有相同的分布律
设随机试验的样本空间,如果对任意的基本事件,有一个实数与之对应, 就称为随机变量. 2、 分布函数
分布函数的定义
分布函数性质 (1) 关于单调不减,即当时,; (2) . ; (3) ; (4) 关于右连续,即对任意,都有. 3、 离散型随机变量 如果随机变量所有可能取的值只有有限个或可列无限多个(即可以
， 次伯努利试验中事件发生的次数
泊松分布
如果随机变量所有可能取值为,而取各个值的概率为
,
(2.6)
其中为常数,则称服从参数为的泊松分布,记~.
4、 连续型随机变量
如果随机变量的分布函数可以表示成为某一非负可积函数的积分
,
则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数,简称密度函数或密度.
注意到连续型随机变量的分布函数在上连续.
例10 某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数的正态分布,规定长度在 范围内为合格品.求该机器生产的螺栓的合格率.
解 设螺栓长度为,则～，所求概率为 例11 设离散型随机变量具有分布律
(1) 求的分布律. (2) 求的分布律. 解 (1) 时的取值范围为
, 的分布律为
(2) 时,的取值范围为
的分布律为
例12 设随机变量~,求随机变量的密度函数. 解 ,当时 从而密度函数
24. 设随机变量的密度函数为 求的密度函数. 解 五、练习
1. 从一个装有4个红球和2个白球的口袋中不放回地任取5个球,以表
示取出的红球个数.
(1) 求的分布律;(2) 求的分布函数; (3) 求.
2. 设随机变量的分布函数为
8. 设随机变量~,问当取何值时, 概率取到最大?
9. 设随机变量 的密度函数为
求: (1) 的分布函数; (2) ; (3) .
10. 设随机变量~,求的密度函数.
11. 设随机变量的密度函数为,求: (1) 确定常数; (2) ; (3) 的分布函数. 12. 设随机变量的密度函数为
且,求: (1) 常数A,B; (2) 的分布函数.