相交线与平行线中的辅助线
相交线与平行线辅助线课件
在几何问题中，面积问题是常见的类型之一。利用相交线 和辅助线，我们可以将面积问题转化为线段之间的关系问 题。通过构造全等三角形或平行四边形，我们可以找到相 等的线段或角，从而求解出所求的面积。
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垂线
利用垂线的性质，可以证明两条线段垂直或两条线段之间的 角度为直角。
平行线在几何图形中的应用
同位角相等
利用同位角相等性质，可以证明两条 直线平行或两条线段之间的角度相等 。
内错角相等
利用内错角相等性质，可以证明两条 直线平行或两条线段之间的角度相等 。
相交线和平行线的综合应用
平行线的传递性
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
03
04
确定目标
首先需要明确问题的目标，确 定需要添加的辅助线类型。
观察图形
观察几何图形，寻找可以添加 辅助线的位置。
尝试作图
根据观察，尝试作出符合要求 的辅助线。
检查正确性
作完辅助线后，需要检查其是 否正确，是否有助于解决问题
。
辅助线的使用技巧与注意事项
熟悉基本图形
了解和熟悉常见的几何 基本图形，如三角形、 平行四边形、梯形等。
详细描述
在几何问题中，长度问题是常见的类型之一 。利用相交线和辅助线，我们可以将长度问 题转化为线段之间的关系问题。通过构造全 等三角形或平行四边形，我们可以找到相等
的线段或角，从而求解出所求的长度。
实际应用案例三：求解面积问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用相交线和辅助线，可以求解面积问题，通过构造全等 三角形或平行四边形，将面积问题转化为线段之间的关系 问题。
详细描述
初中数学常见辅助线做法
初中数学常用辅助线一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线;2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循;举例如下：1平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线2等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形;出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形;3等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形;4直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线;出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形;5三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形;6全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转;当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线7相似三角形：相似三角形有平行线型带平行线的相似三角形,相交线型,旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时中点可看成比为1可添加平行线得平行线型相似三角形;若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法;8特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明9半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点,添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样;二．基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍;含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形;它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决;辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有：1在梯形内部平移一腰;2梯形外平移一腰3梯形内平移两腰4延长两腰5过梯形上底的两端点向下底作高6平移对角线7连接梯形一顶点及一腰的中点;8过一腰的中点作另一腰的平行线;9作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的;通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键;4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的;1见弦作弦心距有关弦的问题,常作其弦心距有时还须作出相应的半径,通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系;2见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题;3见切线作半径命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题;4两圆相切作公切线对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系;5两圆相交作公共弦对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来;。
八年级下册数学辅助线总结
八年级下册数学辅助线总结八年级下册数学辅助线总结如下：1. 辅助线的作用：辅助线可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，特别是在几何图形的证明和计算过程中起到重要的作用。
2. 平行线的辅助线：当我们需要证明两条线段平行时，可以通过引入一条辅助线来简化证明过程。
常见的辅助线有平行于已知线段的线段、平行于已知直线的线段或射线等。
3. 垂直线的辅助线：当我们需要证明两条线段垂直时，可以通过引入一条辅助线来简化证明过程。
常见的辅助线有与已知线段垂直的线段、与已知直线垂直的线段或射线等。
4. 三角形的辅助线：在解决三角形相关问题时，可以通过引入一条辅助线来简化问题。
常见的辅助线有中位线、高线、角平分线、垂直平分线等。
5. 相似三角形的辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过引入一条辅助线来简化证明过程。
常见的辅助线有角平分线、高线、中位线等。
6. 三角形的边长关系：在计算三角形的边长时，可以通过引入一条辅助线来简化计算过程。
常见的辅助线有中线、角平分线等。
7. 圆的辅助线：在解决圆相关问题时，可以通过引入一条辅助线来简化问题。
常见的辅助线有半径、直径、切线等。
8. 辅助线的选择：在选择辅助线时，需要根据具体问题的要求和条件来确定，通常需要根据问题的特点和已知条件进行分析和判断。
选择合适的辅助线可以简化问题，提高解题效率。
总之，辅助线在数学中起到了重要的作用，可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，但在使用辅助线时需要注意合理选择，根据问题的要求和条件进行分析和判断。
平行线中的辅助线作法
平行线中的辅助线作法教学目标一、知识与能力1、学生通过预习回顾平行线的性质，培养学生课前预习的数学习惯；2、利用平行线的性质和判定解题，培养学生的符号语言表达能力；3、通过添加辅助线构造基本图形，让学生具有初步的逻辑推理能力，发展几何直观二、过程与方法1、让学生通过动手操作，进一步巩固基本图形；2、在添加辅助线的过程中，让学生体会化未知为已知的数学解题思想。
三、情感态度与价值观1、在预习反馈中，让学生自主交流，培养学生在数学学习中的自信；2、在数学活动中，让学生学会与他人合作交流，获得成功的体验；2、让学生体验化未知为已知的思维方法，形成严谨求实的科学态度。
教学重点和难点一、教学重点1、回顾平行线中的基本图形；2、合理添加辅助线构造基本图形；3、学生逻辑推理能力的培养。
二、教学难点1、文字语言、符号语言、图形语言之间的转换；2、添加辅助线构造基本图形，化未知为已知数学思想的培养。
教学过程『自主预习』1.如图，AB// CD / B=61°，Z D=35，贝y/1= _____ ，/ A=__________ 。
2.如图，EF// ON OE 平分/ MON/ FEO=28 , 则/ MFE= 。
3.如图，直线a// b,点B在直线b上，且AB!BC /仁55°,则/ 2=基本图：两条平行线被第二条直线所截Ab B『合作探究』、含一个拐点的平行线【探究一】如图，AB// EF, CDLEF, / BAC=50 ,贝卩/ACD=【探究二】如图，已知AB// DE / ABC=70 , / CDE=140 ,则/ BCD=二、含两个拐点的平行线【探究三】如图，AB// CD / EFM/ NMF/仁130°,则/ 2=【探究四】如图，直线a// b,Z A=125,/ B=85°,则/ 1+Z2= ______________归纳：构造两条平行线被第二条直线所截的基本图解决问题『拓展升华』【思考题】如图①，已知AB//CD EOF是直线AB CD间的一条折线(1)试证明：/ 0二/ BEO# DFO(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则/ BEO / O/ P、/ PFC之间会满足怎样的数量关系？证明你的结论。
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法平行线中常见的添辅助线的方法：(1) 在平行线内(或外)一点作直线的平行线；(2) 加截线(连接两点、延长线段相交)例：探究：(1) 、如图1,若AB//CD ，贝U/ B+Z D=Z E,你能说明为什么吗？(2) 、反之，若Z B+Z D=Z E,直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明(3) 、若将点E 移至图2所示位置，此时之间有什么关系？请证明。
(4) 、若将点E 移至图3所示位置，情况又如何？(5) 、若将点E 移至图4所示位置，情况又如何？(6) 、在图5中，AB//CD ，Z B+Z D+Z F 与Z E+Z G 又有何关系？平行线拓展延伸题一、填空题1、 如图，已知 AB// CD 若Z A=20°,Z E=35，则Z C 等于 ____________2、 如图，I 1//I 2，Z 1=120°,Z 2=100°,则Z 3= _____________ 。
4、如图，AB // CD , 1 50°, 2 110°,则 3 _____________ 。
&如图，已知 AB// EF,Z BAC=p Z ACD=x Z CDE=y Z DEF=q 用 p 、q 、y 来 表示x 得 _________________________________。
|2图1D、选择题如图1, AB// CD 且/ BAP=60 —a, / APC=45 + a,/ PCD=30 —a,则a =（A、10图1 B 、15BD图32、如图2, AB//CD，且 A 25 , C 45，贝U E的度数是（）A. 60B. 70C. 110D. 803、如图3,已知AB// CD则角a、B、丫之间的关系为（）A、a + B + Y =180°B、a — B + 丫=180°C、a + B —丫=180°D、a +B + Y =3605、如图，已知AB// EF,Z C=90，则a、B和r的关系是（）A、B = a + r B 、a + B + r =180 C、a + B — r =180 D 、B + r — a =180°三、解答题1如图所示，AB// ED, / B= 48° , / D= 42° ,证明：BCLCD（选择一种辅助线）B2、如图，若AB//CD 猜想/ A 、/ E 、/ D 之间的关系，并证明之4、如图，AB// CD / BE&85°，求/ ABE^Z EFC+/ FCD 勺度数5.已知 AB/ DE / ABC= 80°,/ CDE= 140一副三角板的旋转与边的平行问题1、如图1是一副三角尺拼成的图案:(1) 求/ EBC 的度数；(2) 将图1中的三角尺ABC 绕点B 旋转口度(0°VaV 90°)能否使/ ABE=2 / DBC 若能，求出/ EBC 的度数；若不能，说明理由•(图 2、图3供参考)F2、如图1,点0为直线AB上一点，过点0作射线0C使/ AOC60。
平行线中作辅助线的方法
A
B
解： ∠AEC =∠A+∠C 理由：过E点作EF∥AB
F E
∴∠A +∠AEF=180°
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠C +∠CEF=180°
∴∠A +∠AEF+∠C +∠CEF=360°
∵∠AEF+∠AEC+∠CEF=360°
∴ ∠AEC=∠A+∠C
如图：AB∥CD，猜想∠AEC与∠A、
G
D
∴∠1=∠HEF=50°
∵EF∥AB，AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠2+∠FEG=180°
∴∠3=180°-∠FEG-∠HEF
∴FEG=70°
=60°
典例精讲
A
H
13
B
如图,AB∥CD,∠1=50°,
E
∠2=110°则∠3=___6_0_°_____. C 2
方法二：延长HF与CD交于点F.
G
FD
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD ∴∠C = ∠CEF
F E
∵ ∠AEC= ∠AEF－∠CEF
∴ ∠AEC= ∠A －∠C
如图：AB∥CD，猜想∠AEC与∠A、
∠C的关系，并说明理由。
A
B
解： ∠AEC =∠C －∠A
理由：过E点作EF∥AB
∴∠A = ∠AEF
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
A F
M C
B N
E D
典例精讲
如图：AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求证： ∠BFE=∠FEC 。
A
B
做辅助线的标准说法
做辅助线的标准说法
做辅助线的标准说法是指按照一定的规则和原则来画辅助线的过程和方法。
以下是一些常见的辅助线的标准说法：
1. 直线辅助线：直线辅助线通常是在图形中的某些部分画一条直线，用来辅助其他线条的绘制或确定位置关系。
2. 平行线辅助线：平行线辅助线是为了使某些线段保持平行而画的辅助线，通常是通过在给定线段两端或上方下方画一条与之平行的线段。
3. 垂直线辅助线：垂直线辅助线是为了使某些线段保持垂直而画的辅助线，通常是通过在给定线段某一点处作一条垂直于之的线段。
4. 三角形辅助线：三角形辅助线是为了帮助解决三角形相关问题而画的辅助线，常见的有角平分线、中位线、高线等。
5. 方格辅助线：方格辅助线是通过将图形平面划分成方格，然后在方格中绘制图形的一种辅助线方法，可以帮助保持图形的比例和对称性。
在实际应用中，选择合适的辅助线标准说法可以更好地辅助绘图，提高绘图的准确性和效率。
初中数学几何图形的辅助线添加方法大全
初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。