高中数学 例说圆锥曲线有关最值问题论文
基于波利亚数学解题思想的解题教学——以圆锥曲线的“最值问题”为例
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀基于波利亚数学解题思想的解题教学以圆锥曲线的 最值问题 为例◉哈尔滨师范大学㊀刘思宁㊀吴丽华㊀㊀摘要:本文中以高考中圆锥曲线的 最值问题 为例,探析波利亚解题思想在数学解题教学中的应用,寻找能够启发学生数学思维的解题教学方法．关键词:波利亚;解题教学;圆锥曲线㊀㊀圆锥曲线是高中数学的重要内容,也是高考数学重点考查的内容．这部分内容对于学生来说比较吃力,故本文中以圆锥曲线的 定值㊁最值问题 为例,探析波利亚解题思想在圆锥曲线解题教学中的应用．１波利亚的解题理论一个好的解法是如何想出来的? 这是大部分学生在完成数学作业中一直困惑的问题．波利亚[１]在«怎样解题»中的每一个问题就像是解决问题思维过程的慢镜头动作 ,也像是我们解决问题时内心的独白．第１步:理解题意[２]．理解问题的含义是波利亚 如何解决问题表 的第一步,即检查问题．学生应该熟悉问题,并回忆起相关的知识,以找到未知的数量㊁已知的数据和条件,并用数学符号表达条件给出的信息．第２步:拟定方案．拟定方案是问题解决的中心环节,关键是要找到已知条件和所求问题之间的密切关联,从而形成一个可行的解题方案．学生要根据头脑中原有的数学知识结构找到与所求问题之间的桥梁．第３步:执行方案．方案拟定完成,这个阶段学生要做的是认真写下解题过程,确保条件充分使用,在解决过程中准确无误,思路清晰．第４步:回顾．回顾是检查问题解决活动的过程,也是问题解决活动中一个重要也很容易被忽视的环节．我们得出的解决问题的方法,要经得起 特殊 的检验,哪怕有特殊个体出现也适用才行,因为,我们找到的解决方法需要能重复使用,甚至能解决其他领域的问题．解答完后还需要复盘,找到可以改进的地方．２解题教学方法探析笔者试图将解题教学策略应用在圆锥曲线的综合问题中,以近年来圆锥曲线常考的问题,如轨迹方程,圆锥曲线有关的最值问题为例．图１例题㊀如图１,已知点F (１,０)为抛物线y ２＝４x 的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得әA B C 的重心G 在x 轴上,直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧．记әA F G ,әC Q G 的面积分别为S １,S ２．求S １S ２的最小值．解题分析:第１步:理解题目．教师:未知是什么?学生:S １S ２的最小值．教师:已知是什么?学生:焦点F (１,０);抛物线方程y ２＝４x ;әA B C 的重心G 在x 轴上;Q 在点F 的右侧．教师:条件是什么?学生:过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得әA B C 的重心G 在x 轴上,直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧．记әA F G ,әC Q G 的面积分别为S １,S ２．教师:是否满足条件?学生:满足条件．①根据三角形重心性质构建三角形面积之比;②通过相似三角形和三角形的性质将面积比转化为底边之比;③利用面积和纵坐标之间的关系,借助基本不等０６２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀式㊁最值求解方法㊁韦达定理,求得比值的最小值．教师:要确定条件是否充分?是否多余?是否矛盾?学生:条件应该是充分的．①已知点G 为三角形的重心,可得әA F G 和әC Q G 与әA B C 面积比值．设点A (x １,y １),B (x ２,y ２),C (x ３,y ３),这里y １＞０,将面积之比转化为边长之比,再由边长之比转化为坐标之比．②由三角形重心坐标公式,得y １＋y ２＋y ３＝０,将直线与椭圆方程联立,通过韦达定理进一步得出S １S ２．③根据最值知识点求解问题．点评:题目当中所蕴含的条件比较多,需要学生对其进行一一分析,体会条件与条件的关系．第２步:制定计划．教师:本题与以前做过的题目相类似吗?由此能联想到什么学生:有过类似的题目．能联想到三角形高线性质㊁焦点弦㊁最值的求解问题等．教师:解决此类问题有什么常用方法?学生:有几何问题代数化法,利用函数求最值等．教师:能以其他方法叙述这道题目吗?学生:①抛物线上三点A ,B ,C 形成三角形,三角形的重心在x 轴上;②根据重心的相关性质,将面积之比转化为点的纵坐标之比,得出S １S ２;③利用换元法简化算式,化简后结合函数的单调性求解．点评:结合题目给出的条件,从已知推未知,梳理思路,建立联系．第３步:执行计划．教师:上述解题思路是正确的吗?学生:是正确的．根据三角形重心,得出әA F G 和әC Q G 与әA B C 面积的关系,再转化为纵坐标之比;根据三角形重心坐标公式,找出纵坐标y １,y ２,y ３的关系进行转化;针对问题建立关于参数的函数式,利用函数单调性或者求极值的方法求最值,并结合换元法来简化计算．教师:能否证明它是正确的?学生:延长A G ,交线段B C 于点P ,由әA B C 的重心为点G ,可得A G ʒG P ＝２ʒ１,所以S әB G C ＝１３S әA B C ．同理,可得S әA G C ＝１３S әA B C ,S әC G Q ＝|C Q ||A C |S әA G C ．又因为|C Q ||A C |＝|y ３||y ３|＋y １,所以S әC G Q ＝S ２＝|y ３||y ３|＋y １S әA B C ３．又|A F ||A B |＝y １|y ２|＋y １,所以S әA F G ＝S １＝|A F ||A B | S әA B C ３＝y １|y ２|＋y １ S әA B C ３．故S １S ２＝y １|y ２|＋y １ |y ３|＋y １|y ３|．根据三角形重心坐标公式,可知y １＋y ２＋y ３＝０．因为直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧,所以只需点C 在点B 的右侧,即y ３＜y ２,y ３＝－y １－y ２．将过F 的直线A B 与抛物线方程联立,由韦达定理,得y １y ２＝－４,所以S １S ２＝y １|y ２|＋y １ |y ３|＋y １|y ３|＝２y ２１＋y １ y ２|y １＋y ２| (y １－y ２),化简,可得S １S ２＝２y ２１－４y ２１－y ２２＝２y １４－４y ２１y １４－１６．令y ２１＝t ,则有S １S ２＝２t ２－４t t ２－１６＝２＋３２－４t t ２－１６＝２－４ˑt －８t ２－１６．令t －８t ２－１６＝u ,对u 求导,得u ᶄ＝－t ２＋１６t －１６(t ２－１６)２．令u ᶄ＝０,根据条件可知t ＞４,所以t ＝８＋４３,可知所求的t 为u 的最大值点,此时S １S ２最小,将t ＝８＋４３代入可求得S １S ２的最小值等于１＋３２．点评:整个解题过程建立在数形结合的基础之上,这个过程需要学生有一定的运算能力,通过最值问题的求解提升学生的数学运算核心素养和推理论证能力．第４步:回顾．教师:此题主要考查了哪些知识点?解决最值问题可以从哪些变量入手?学生:三角形面积的比值的最小值问题,其中涉及了抛物线㊁直线方程㊁重心性质㊁韦达定理等基础知识,考查了运算求解与转换化归的思想．求函数最值常用配方法㊁单调性法㊁判别式法㊁基本不等式法㊁导数法和换元法等搭配使用．点评:本题所涉及的知识点较多,运用的方法也比较多元,计算量大,需要学生有很强的逻辑思维才能完成．通过此题的练习,学生在解圆锥曲线最值问题的求解方面会有很大突破．在解决问题的过程中,教师需要把握教学目标,巩固学生对已学知识的认知结构,丰富学生对问题的认知体验,培养学生解决问题的能力和兴趣．以波利亚[１]的«怎样解题»为依据,教师也应立足主题,充分发挥主题的价值,并运用到实际教学中．参考文献:[１]波利亚．怎样解题[M ]．涂泓,冯承天,译．上海:上海科技教育出版社,２００２．[２]周晨晨．浅谈波利亚四步解题法在数学解题中的应用 以一道高考圆锥曲线题为例[J ]．数学学习与研究,２０２０(５):１３３Ｇ１３４．Z１６。
圆锥曲线的最值问题
【典例分析】
变式训练1
x2 y2 1 的右焦点 F，且有定点 A(1,1) ，又点 M 是椭圆上一动点。问 （1）.已知椭圆 25 9 | MA | | MF | 是否有最值，若有，求出最值并指出点 M 的坐标？
y
A
M
F
x
解：设椭圆的左焦点 F ' (4,0) ，
| MF | | MA | 2a | MF ' | | MA | 2a (| MA | | MF ' |)
x2 y 2 1 任意一点，则 | PQ |2 x 2 ( y m) 2 ，而 (1) 解析：设 Q( x, y) 为椭圆 4 m 4 x 2 4 4 y 2 ，代入上式,所以 | PQ |2 3 y 2 2my m 2 4 3( y ) 2 4 m 2 g ( y ) ， 3 3 (1 y 1) 由于 | PQ | 的最大值为 7 ，
并求取得最值时椭圆上点的坐标.
y
切线法
P
x
解：设与 y x 2 3 平行的椭圆的切线方程为 y x b ， 代入椭圆方程得
3x 2 4bx 2b 2 2 0 ， (4b) 2 4 3 (2b 2 2) 0 b 3
2 3 6 3, ) ，点 P 到直线距离最小值为 当 b 3 时，此时切点 P( ； 3 3 2 2 3 3 6 ) ，点 P 到直线距离最大值为 当 b 3 时，此时切点 P( 3, ； 3 3 2
B M A
y
垂足分别是 A' , B' , M ' 即 | AA' | | BB' || FA | | FB || AB | 4 ， 也就是说，当线段过焦点 F 时，
圆锥曲线中的最值问题
02பைடு நூலகம்
求解方法
设两点坐标，利用距离公式求解，再通过求导找出极值 点，确定最大最小值。
03
应用场景
通信、导航等领域，经常需要求解信号的最远和最近传 输距离等问题。
圆锥曲线上的点的最值坐标
定义
指的是在圆锥曲线上找到具有某种性质最值（如距离最值、角度最值等）的点，并求出其坐标。
求解方法
通常要根据具体性质设立目标函数，再利用求导等数学工具求出极值点，进而得到最值坐标。
求解方法
通过运用圆锥曲线与直线的 交点的坐标表达式，结合距 离公式，利用微积分工具求
解最值。
应用场景
该问题在光学、几何设计等 领域有应用，如望远镜的设 计、镜面的曲率选择等。
圆锥曲线内接多边形的最值面积
定义与背景
圆锥曲线内接多边形是指多边形的顶点都在圆锥曲线上的多边形 。在最值情况下，该多边形的面积达到最大或最小值。
最值问题在物理学中的应用
光学
在物理学中，圆锥曲线与光学有着密 切的联系。例如，利用圆锥曲线的性 质可以解决光的反射、折射等最值问 题，从而优化光学系统的设计。
力学
圆锥曲线在力学中也有应用，例如在 研究天体运动时，可以利用圆锥曲线 的性质来解决最值问题，从而预测天 体的运行轨迹和位置。
最值问题在工程实践中的应用
性质
圆锥曲线有许多重要的性质，如对称性、焦点性质、准线性质等。这些性质在 最值问题的研究中起着重要作用。
最值问题的概述
定义
最值问题是寻找函数在给定区间上的最大值和最小值的问题 。在圆锥曲线中，最值问题通常涉及到曲线上的点与特定直 线或点之间的距离、角度等的最值。
解决方法
解决最值问题的方法包括导数法、不等式法、几何法等。在 圆锥曲线的最值问题中，通常结合曲线的几何性质和代数方 法来进行求解。
浅议高考中圆锥曲线的最值问题
令 ￣１ 一 一ｔ则 Ｓ 一（ ＋２） （ —２） 下面求 Ｓ ／６ ， ２ ７ ｔ ７ ｔ，
的最 大 值 ．
方法 １ 由三次均值有 ： ：
和直线 ｚ 的距离之 和的最小值是 （ 。
Ａ． ２
Ｂ． ３
） ．
１
Ｓ 一（ ＋２）（ ～２） 。 ７ ｔ ７ ｔ 一÷ （ ＋２） ７ ｔ（４ ｔ ７ ｔ （ ＋２） １ —４）
利用基本不 等式求 最值 时 ， 定要关 注等号 成立 的 一 条件． 利用基本不等式求最 值 ， 则必 须关 注三个 条件“ 一 正、 二定 、 三相等 ” 所 谓一 正 ， ， 即正 值 ， 是 运用 此 方法 这 的前提条件 ， 解题 中应 予 以说 明论 述 ； 在 二定 ， 即定值 ， 它须通过恒等变换包括必要 的技 巧方能解 决 ， 运用此 是 方法 的关键条件也是难 点 ； 三相 等 ， 即等值 ， 当且仅 当 是 满足 等号成 立 的条 件 时 ， 可求 出 自变量 的值 ， 最后还 应 注意 的是最值 ， 应为和 的最值 （ 此时积 为定值 ） 或积 的最 值（ 此时和为定值 ） ．
【Ⅱ 】 侈 ２ （０９ 全 国 ）Ⅱ ２０ ， 女
， ，
围 ， 到最值 ， 得 再将其代 回原式 解 ．， ２ 最终 求 出其 对应 自 ７ 变量的值 ． 【 ３ 已知定点 Ｐ ３ ２ 和直线 如： 例 】 （ ，） 一２ ， ｚ 试在直 线 如上求一点 Ｑ， 使过 Ｐ Ｑ的直线 与直线 ｚ 以及 ｚ轴在 。 第一象 限内围成的三角形面积最小． 解 ： 如上的点 Ｑ（ ｏｙ ） 由直线 两点方程 得 ： ： 设 ｘ ，ｏ ，
一
￣ｚ ）Ｃ ｘ ， Ｖｘ ）Ｄ（ ２ ｚ ） ／１、 （２～ ２ 、 ｚ ， ２．
高中数学圆锥曲线论文
高中数学圆锥曲线论文圆锥曲线问题是高中数学教学的重、难点。
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高中数学圆锥曲线论文篇一：高中数学圆锥曲线的教学研究圆锥曲线问题是高中数学教学的重、难点.每年的高考中，都会涉及圆锥曲线问题，出题形式多样，既有分值较低的选择题和填空题，也有分值很高的大题.但是学生的得分率普遍不高.圆锥曲线教学的综合性和系统性强.这不仅要求学生理解最基本的知识点，提高运算的速度和准确性，还要求学生能够灵活运用数形结合的方法，找到解题的突破口，化简变形，准确解题.本文主要分析研究高中数学圆锥曲线的教学现状及其相应的对策.一、高中数学圆锥曲线教学现状1.从教师角度分析高中数学教学大纲中对圆锥曲线的教学目标、重难点知识的说明非常清楚.大多数教师都明白圆锥曲线的重要性，而且在课堂上讲解圆锥曲线知识点和解题思路的时候很清晰.不过，学生数学基础是有差异的.对于圆锥曲线的内容，有的学生接受起来容易，有的学生接受起来比较困难.这就要求教师在教学过程中要注重培养学生的学习兴趣，不能单凭过去的教学经验.圆锥曲线经常会用到数形结合思想，有的教师在教学时会告诉学生要运用数形结合的方法，但没有清楚地告诉学生是如何想到用这种解题思想的.教师应当让学生知其然，也要让学生知其所以然.很多学生做不到举一反三，就是因为在学习圆锥曲线知识的时候教师看重结果的正确而忽视了解题思路的理解.考虑到圆锥曲线知识在高考中所占的比重较大，几乎每一年的高考题中都会有所涉及.因而，在教学过程中教师应当有意识地渗透，让学生清楚圆锥曲线知识学习的重要意义;圆锥曲线与向量、概率等其他模块的数学知识有密切的关系.在教学过程中，教师也要重视学生其他模块数学知识的掌握，从宏观角度提高圆锥曲线教学的效率.2.从学生角度分析圆锥曲线的学习对学生的数学运算能力、推理能力、逻辑思维能力等各种数学能力的要求都非常高，对于很多学生来说，圆锥曲线学习起来的难度较大.有的学生对这部分知识有畏惧心理，思想上的负担导致学习的困难加大;有的学生学习方法落后，在学习过程中，只是记忆圆锥曲线的相关概念、结论，或者模仿教材和教师的解题思路，但并没有真正理解概念、结论的意义，没有掌握知识之间内在的关联，尤其是综合运用知识的能力不够，不会举一反三.圆锥曲线的题型有很多种，教师在课堂上一般会对每一种题型都进行详细的讲解，但是有的学生没有及时总结或者总结的时候流于形式，导致在考试中遇到圆锥曲线方面的题目失分.二、提升高中数学圆锥曲线教学效率的措施1.培养学生学习圆锥曲线的兴趣众所周知，兴趣是最好的老师.学生只有真正热爱圆锥曲线的学习，才能事半功倍.所以，教师在圆锥曲线的教学中应当运用有效的方法激发学生的学习兴趣.比如在课堂教学中，教师可以创设问题情境作为课堂导入.学生都在新闻上了解过人造地球卫星运转轨道，教师可以以此为切入点引入圆锥曲线的知识.学生发现了圆锥曲线知识在生活中的运用，学习兴趣就会大大提升.2.教师要重视演示数学知识的形成过程考试中的选择题和填空题不必要求学生将解题过程详细呈现出来，不管用何种解题方法，只要结果正确就可以.但是对于试卷中的大题，解题过程相当重要，清晰明了的解题过程是得分的关键，尤其是圆锥曲线的大题解题过程更是如此.因而，教师在进行圆锥曲线的教学时，不能只重视结果，而是应当重视从多方面来讲解解题步骤，通过清晰的演示让学生掌握圆锥曲线的知识.比如圆锥曲线中“多动点”的问题，很多学生不知如何理解，这时教师应当进行演示，让学生知道怎样运用参数求解法、怎样画图等.3.坚持学生的主体地位教学活动中，教师是引领者，学生是主体，任何情况下学生的主体地位都不能被削弱.当学生学习圆锥曲线的知识遇到问题的时候，教师要认真解答;教学过程中，教师要了解学生的认知规律，鼓励学生探索，让学生带着浓厚的兴趣融入课堂;教师应当多肯定、赞扬学生，提高学生学习的主动性和积极性.有的圆锥曲线的题目，不只有一种解题方法，对于这些题目，教师应当培养学生自主探究的能力，比较不同的解题方法，在考试中运用准确性和解题速度都高的方法.三、结语高中圆锥曲线的难度较大，教师在教学的时候要把握好重难点，循序渐进，切忌急于求成，保证学生夯实基础的前提下，提高难度.圆锥曲线教学过程中要因材施教，结合学生的接受能力来规划教学的进度和难易程度，对于学生提出的问题，教师要耐心认真的解答.教师还应注重培养学生的数形结合思想，从而提高圆锥曲线教学的效率.高中数学圆锥曲线论文篇二：圆锥曲线学习中的思考【摘要】根据教学中遇到的问题，尝试运用数学教育心理学的有关知识分析学生在学习椭圆时的问题和特点，分析产生的可能原因，根据这些特点将其迁移到双曲线的学习过程中。
高中数学圆锥曲线论文超好
新特点，新趋势对圆锥曲线复习的启示圆锥曲线试题充分体现了“稳中求变”，如立足基础知识和基本技能，突出对能力，特别是思维能力的考查，重视数学思想方法的树立和应用，但我们特别关注的是2015年圆锥曲线试题中的一些新特点和新趋势，并以此为指导原则，在未来的复习工作中，在打好基础的同时，在应变上多下点功夫。
1、 位置前移，难度下降以往，圆锥曲线解答试题大都在试卷的尾部，甚至是“压轴”题，这几乎成一种命题趋势，但今年的几道试题发出了一个信息，即这类试题在某些试卷中的位置前移的趋势。
19.【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+． 【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为2，二是右焦点F 到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过F ，所以求直线AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出AB 长，再根据中点坐标公式求出C 点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC 长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.试题解析：（1）由题意，得2c a =且23a c c +=，解得a =1c =，则1b =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）当x AB ⊥轴时，AB C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k x k x k +-+-=， 则1,2x =C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k k +AB ==+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点晴】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 20.【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点， 判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(Ⅰ)22142x y +=；(Ⅱ) G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,b c a a b c ìïïï=íïï=+ïî解得2a b c ì=ïï=íïïî 所以椭圆E 的方程为22142x y +=． (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得 所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，从而022y m 2=+. 所以222222200000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=. 22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--==22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-, 故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),GB (,).44x y x y =+=+ 由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++， 从而121212129955GA GB ()()(my )(my )4444x x y y y y =+++=+++ 22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y =+++=-+++ 22172016(m 2)m +=>+ 所以cos GA,GB 0,GA GB 狁> 又，不共线，所以AGB Ð为锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点G 的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：0GA GB ⋅< ⇔点G 在圆内；0GA GB ⋅> ⇔点G 在圆外；0GA GB ⋅= ⇔点G 在圆上，本题综合性较高，较好地考查分析问题解决问题的能力．2、 向量介入 强强联合平面向量是十分活跃的一个“角色”，它融数形于一体，与圆锥曲线问题自然交汇、亲密接触，无论对试题的表述，还是揭示曲线的几何性质方面都已显示出它的独特优势，尽管有些题中没有向量，但若引进向量，则能出奇制胜。
圆锥曲线中的最值问题
面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。
谈谈高中数学圆锥曲线中的最值问题
如何用活教材
考索·探微
课程教育研究
Course Education Ressearch
2015 年 11 月 中旬刊
说明：本题以平面向量为载体考察解三角形，首先利用平面 向量的坐标运算求出 的大小，接着利用余弦定理求出边 ，最后 运用面积公式求出面积。
参考文献： [1] 陈君，解读高考中的三角函数综合题 [J], 中学数学教与学 , 2011. [2] 高考中的“解三角形”[J]，中学生数理化，2012.
课程教育研究
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例题分析：在圆锥曲线中，当所求的最值可以表示成某个变 量的函数关系式时，可以先建立对应的函数关系式，然后利用函 数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问 题中求最值的常用方法。函数法是研究数学问题的一种最重要的 方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函 数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量 是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得。
我在教学中，主要从教材以下几点着手进行教学。 一、变枯为趣，快乐学习 小学生学习的兴趣总是在一定的情境中产生并发展的，新课 标指出：数学教学应该创设生活环境与知识背景密切相关的，又 是学生感兴趣的学习情境，让学生观察、操作、猜测、反思等活 动中逐步体会数学知识的产生，形成与发展的过程，获得积极的 情感体验，同时掌握必要的基础知识和基本技能。在小学数学课 堂教学中，教师应努力创设学生喜闻乐见的教学情境，使学生处 于一种愉悦的氛围中，从而调动学生学习数学的积极性和主动性。 小学数学中有很多内容都是被规定了的。如符号、规则等。这些 知识在学习上并没有多少探究的空间而且非常的枯燥。因而需要 我们教师创设一定的教学情境，使学生在愉悦的氛围中学习枯燥 的数学知识。如小学数学人教版五年级上册“用字母表示数”一 课中，教材是这样呈现简写规则的：a×4 或 4×a 通常可以写成 4×a 或 4a；a×a 可以写成 a·a，也可以写成 a2，读作“a 的平方”。 这样的规则教师怎么教？教育家苏霍姆林斯基曾指出：“如果老 师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于 传授知识，不动情感的脑力劳动就会带来疲倦。”我赏试用儿童 的眼光把简写规则这样的规定性知识用一个有趣的数学童话向同 学介绍，引导学生在具体的情境中轻松愉快地学习。故事如下： 某天早朝，国王正在听小不点儿乘号汇报工作：“陛下，因 为我和 X 很相近，许多人总把我们混淆。请陛下出一个对策啊。” 于是，太监传下国王口御：加号、减号、除号先行退朝，乘 号留下议事。 第二天早朝，国王宣布了 3 条制度： 第一，在含有字母的式子里，数和字母中间的乘号可以记作 小圆点，也可以省略不写。如 x×4 或 4×x 都可以记作４·x 或４x， 但要注意，在省略乘号时，要把数写在字母的前面。 第二，1 与任何字母相乘时，1 可以省略不写。如 1×c 或 c×1 都记作 c。 第三，字母和字母相乘，中间的乘号也可以记作小圆点或省 略不写。如 a×b 记作 a·b 或 ab；两个相同的字母相乘，如 a×a 记作 a2，读作“a 的平方”。这样的教学片段形式新颖、活泼， 体现出一切形式的教学都是为学生学习服务的思想。 二、变静为动，深入学习 教材上的知识都是静态的，教学内容都讲得不是十分详尽， 学生看到的只是思维结果，而不是知识的形成过程，在数学教学 中要注意展示知识形成的过程，将静态的知识结论变为动态的探
高三数学解题教学的若干思考——以圆锥曲线为例
高三数学解题教学的若干思考———以圆锥曲线为例祝敏君（福建师范大学数学与信息学院，３５０１１７） 高三是高考复习备考的重要阶段，有别于新授课的解题教学是高三数学复习的重要环节．高考是通过数学题来考学生，“工欲善其事，必先利其器”，想要成为解题高手自然需要解题训练．许多教师将数学复习课的重心放在解题教学上，这样的选择自然无可厚非．可是大量的事实表明，教师不辞辛劳地加班加点，学生在题海中苦苦挣扎，并没有带来正比的收益．要如何提高高三数学解题教学的效率，是数学教师需要考虑的问题．圆锥曲线是高考数学重要的考查内容，也是教学中典型的低效复习内容．本文以圆锥曲线内容为例，对解题教学中存在的问题进行思考，希望能够得出一些有价值的结论．１ 数学解题教学是要题量还是要精讲高中数学学习内容多、时间跨度大，高考考查的知识点分布广，题型灵活多变．在实践中，大多数学校采用“两年新课，一年复习”的教学方式，普遍进行三轮的高三数学复习．由于高考数学题的难度普遍高于课本中的习题，学生对已经学过的知识有大量的遗忘，教师希望通过高强度的解题训练，力求覆盖所有的高考题型．数学学习心理学的研究表明，大量的机械训练对数学学习的操作性技能的掌握有促进的作用，但是对数学学习的心智性技能是不利的．大量的模式化训练对应试教育有一定的效果，学生通过模仿习得，可以获得对基础知识技能的覆盖和熟悉题型的解题经验．尤其在解析几何的解题教学中，一节课讲解十几道题目，通常只能蜻蜓点水似地给出解题的思路，具体计算过程就此略过．学生普遍感觉不求甚解，老师一讲就会，自己一做就错．解析几何是几何与代数融合的产物，是几何代数化和代数几何化思维的交汇点，着重考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算的素养．解题过程不仅涉及比较复杂的代数式化简计算，还需要通过几何直观与代数运算的随时转化，才能够真正解决问题，这就要求学生具备较高层次的数学思维．也对教师提出了挑战，不仅要讲清解题思路，还要讲清算法算理，更重要的是要进一步讲清思想方法．教师在面对内容与时间安排的矛盾时，不妨考虑将重心从题量转向精讲，少讲一点，讲精一点．让学生有足够的时间模仿、沉淀、内化与理解，这才是提高课堂效率的着力点．２ 数学解题教学是要通法还是要技巧在我国，应试教育的思想深入人心，同时数学这门学科在高考中的重要作用不言而喻．历经恢复高考以来几十年的沉淀及数学试题命制技术的发展，精妙的数学试题层出不穷，同时也有人总结出了许多题型的“秒杀”技巧．以２０１７年数学高考全国理科Ⅰ卷第１０题为例．题１ （２０１７全国Ⅰ理１０）已知Ｆ为抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点，过Ｆ作两条互相垂直的直线ｌ１，ｌ２，直线ｌ１与Ｃ交于Ａ、Ｂ两点，直线ｌ２与Ｃ交于Ｄ、Ｅ两点，则｜ＡＢ｜＋｜ＤＥ｜的最小值为（ ）（Ａ）１６ （Ｂ）１４ （Ｃ）１２ （Ｄ）１０解析：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝２ｐｓｉｎ２θ＋２ｐｓｉｎ２θ＋π()２＝２ｐ（ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ）ｓｉｎ２θ·ｃｏｓ２θ＝１６ｓｉｎ２２θ≤１６．本解法只是利用了抛物线的焦点弦公式，绕开解析法计算的过程，利用三角函数的最值来解决问题．若教师在课堂上给出这种“秒杀”的解法，足以让学生佩服并纷纷效仿．殊不知这只是圆锥曲线问题众多的二级结论之一，而所有的二级结论都有其特定的使用范围，需要学生通过大量时间进行记忆才能保证不混淆．在功利主义和实用主义思想的驱使下，许多人将这样的解题技巧奉为秘籍，仿佛掌握了技巧便可以轻松解决数学题．可是这种解法是否真的比通法更简单呢？解析（通法）：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｄ（ｘ３，·１１·ｙ３），Ｅ（ｘ４，ｙ４），易知ｌ１垂直于ｘ轴不符合题意．设ｌ１，ｌ２的斜率分别为ｋ１，ｋ２，则有ｋ１·ｋ２＝－１，直线ｌ１方程为ｙ＝ｋ１（ｘ－１），联立方程ｙ２＝４ｘ，ｙ＝ｋ１（ｘ－１{）得ｋ２１ｘ２－２ｋ２１ｘ－４ｘ＋ｋ２１＝０．∴ｘ１＋ｘ２＝－－２ｋ２１－４ｋ２１＝２ｋ２１＋４ｋ２１．同理得ｘ３＋ｘ４＝２ｋ２２＋４ｋ２２．由抛物线定义可知：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝２ｋ２１＋４ｋ２１＋２ｋ２２＋４ｋ２２＋４＝４ｋ２１＋４ｋ２２＋８≥２１６ｋ２１ｋ槡２２＋８＝１６．当且仅当ｋ１＝－ｋ２＝１（或－１）时，取得等号．以上解法利用的是抛物线的定义以及联立方程组解题的方法，通过几何代数化的思维转化为代数式求最值的问题．利用两条直线间的垂直关系，建立代数计算形式上的关系．从现有知识出发，易于使学生理解与内化，有助于逐级提高学生的思维水平．从有效教学的角度来看，通法更适合作为解题教学的课堂教学内容．３ 数学解题教学是要过程还是要结果现代教学理念强调教学的过程性与课堂的生成性，解题教学也不例外．数学课堂不同形式的课型应当都只有一个目的，即为学生理解而教．题２ 已知点Ｐ是双曲线ｘ２８－ｙ２４＝１上的动点，Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线的左右焦点，Ｏ为坐标原点，则｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜的取值范围是（ ）（Ａ）［０，６］ （Ｂ）（２，槡６］（Ｃ）１２，槡６(]２（Ｄ）０，槡６[]２本题是以双曲线为背景的值域问题，根据图象的对称性，可以考虑点Ｐ在双曲线右支上的情形．不妨设Ｐ（ｘ，ｙ），其中ｘ２≥８，根据双曲线的焦半径公式可得：｜ＰＦ１｜＝ｅｘ＋ａ，｜ＰＦ２｜＝ｅｘ－ａ，则有｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ｅｘ，故｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６ｘｘ２＋ｙ槡２．代入消元，可得｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６３２－４ｘ槡２∈（２，槡６］，即得出答案．甚至可以根据“极端法”判断，当Ｐ点是双曲线右支的顶点时，｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜槡＝６，就可以选择出答案（Ｂ）．若用解题教学仅以得到结果为目的，教学环节戛然而止，本题的教学意义只是一道训练题，根本谈不上教学的有效性．上述解法用到双曲线的焦半径公式，推证是要通过圆锥曲线的第二定义进行，这又是一个教材中没有学习过的内容．根据双曲线定义知｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ，则｜ＰＦ１｜＝２ａ＋｜ＰＦ２｜．所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ＋２｜ＰＦ２｜槡＝４２＋２（ｘ槡－２３）２＋ｙ槡２槡槡＝４２＋２（３槡ｘ－４）槡２槡＝６ｘ．可见，使用最普通的消元方式，通过代数式化简，同样能够不太费力地得到焦半径公式的结果．从熟悉的情境中入手解题，可以最大限度地避免学生的认知冲突，有利于调动学生高层次的数学思维．学生在运用代数运算的同时，也调动了几何的直观能力．在教学过程中，许多学生提出可以利用｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜的几何意义来思考，可以简化解答的过程，减少计算量．所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６ｘ｜ＯＰ｜槡＝６ｃｏｓ∠ＰＯＦ２∈（２，槡６］，其中ｃｏｓ∠ＰＯＦ２∈１，２槡[)６．注重过程性的解题教学，可以充分调动学生的积极性，增加教师与学生的交流时间，往往会碰撞出许多新的解答思路．对提高学生数学思维的灵敏度，扩大数学思维的广度都有积极的作用，最终指向的还是课堂教学的有效性．４ 数学解题教学是教做法还是教解法数学解题教学离不开数学试题，不论例题还是习题都是教学的素材和内容，以考试为目的的解题教学自然离不开试题解答过程的教学．在信息发达的今天，（下转第１５页）·２１·本图形是了解的，所以从研究什么及为什么要研究作为探究路径创设情境，先引导学生通过实例了解几何图形的背景，如，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用．再围绕研究方法引导，通过观察实验，动手操作，引发思考等环节，充分发挥学生的主动性，给学生话语权，并引导学生开展深层次的交流．４．２ 依据学情分析，真实探究教学中，教师、学生及教学内容建立了较为复杂的三个联系．其中，教师处于核心地位，教师的行为最终决定了课堂中会发生什么？教师在课堂中可以关注到学生的思维与教学内容的进展，但更困难的是如何有效、及时的对学生与教学内容的动态过程进行调控．而数学是简捷的，必须通过语言、文字、符号、图形等形式呈现出来，形成数学模型．本节课所涉及的三种曲线，分别采用分组、独立、课后三种形式完成探究，就是让学生“把看见的画出来，把发现的说出来，把理解的写出来”，学生体会每一个数学概念的出现，新知识、新方法的产生，都是自然而成的，促使学生养成仔细观察、潜心探索、主动概括、自觉交流、精确表达的习惯．４．３ 融入数学文化，反思探究《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》中明确指出，数学文化融入课程内容．数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，同时数学在形成人的理性思维、科学精神和促进智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．课堂中适当的渗透数学文化，不仅要重视数学学科本身的文化价值，还应注重学生的数学认知特点，充分挖掘教材所蕴含的数学文化内容，让学生潜移默化地感受、了解数学的发展，从而以更广阔的视角透视数学、领悟数学的文化意义，更好地理解、把握数学的本质，同时了解过程也是对探究的再次反思与校正，有效的提升数学抽象能力与逻辑推理能力．要使学生真正成为主动的探究者，真实地经历探究的过程，教师必须重视学情分析，深入学生的生活，了解学生的特点．关注教材设计和学生已有认知，充分挖掘教材和生活资源，创设具有创新价值和人文情怀的问题情境，为探究教学奠定基础，让学生通过各种形式的探究活动，建构知识，形成技能檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸．（上接第１２页） 学生可以通过不同的方式直接得到标准答案，每道试题的标准答案都有详细的解答过程，有的还提供不同的解法．学生自己能看明白的不需要教师教，而教试题的解法，不外乎是将解答过程完整地呈现一遍．因此，课堂教学最应该教的是学生自己看不明白的部分．数学解题教学应该教给学生什么？众所周知，许多标准答案只是形式上的完美答案，无法体现解题的思维过程．教师最应该在课堂上呈现的是做法，把如何思考的全过程呈现在学生的面前，可以沿着一系列问题逐步深入，例如看到这道试题我是如何想的？能够有几种不同的思路？哪些方向是可行的？为什么可以这么想？……等等．课堂中将真实的做题过程示范给学生看，有助于学生模仿习得，构建灵动的课堂，在无形之中还能够增强学生学习数学的自信．５ 总结随着以“立德树人”为根本任务，以核心素养为导向的课程改革的推进，高考的考查内容也有新的要求．具体体现为减少单纯死记硬背的知识性考查，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．为了破解僵化的应试教育困局，针对高三复习模式化严重的问题，２０１９年高考数学的考查上体现出“去模式化”的决心，旨在引领高中育人方式的改革．数学学习再不能只追求解题技巧，而应当努力提高运用知识的能力，发现与提出问题的能力，分析和解决问题的能力，切实提升数学核心素养．以高考为目标的高三数学解题教学应该有所改变，建议教学中尽力做好以下几点：（１）用有意义的教学代替大量的模式化训练，把教师和学生从题海中解放出来．（２）强调解题通法的教学，弱化解题技巧．在教授解题技巧时，必须要讲清该技巧的来龙去脉和适用范围，同时尽量减少记忆性知识的讲授．（３）重视解题教学的过程性，不能单纯追求结果的达成．要有“过程做好了，结果自然不会太差”的自信．（４）解题教学的课堂多讲做法，切实提高学生的运用知识解决问题的能力．参考文献：［１］连春兴，孙泰．对数学高考复习效率问题的思考及对策［Ｊ］．中国数学教育，２０１８，１９２（１２）：４９－５３．［２］鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２０１６：１５１．［３］祝敏君，陈清华．规避模式缩小差距明确导向弘扬文化———对２０１９年高考数学卷全国卷Ⅰ的研究［Ｊ］．福建教育，２０１９．２７：４０－４２．·５１·。
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．[典例] (2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED ―→＝6DF ―→，求k 的值； (2)求四边形AEBF 的面积的最大值． [思路演示]解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＝4， 解得x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED ―→＝6DF ―→，得x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， ∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由点D 在直线AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k. ∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)，又|AB |＝22＋12＝5， ∴四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋44k ＋1k≤21＋424k ·1k ＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立．故四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [解题师说]由于四边形AEBF 中的四个顶点中，A ，B 为已知定点，E ，F 为直线y ＝kx 与椭圆的交点，其坐标一定与k 有关，故四边形AEBF 的面积可用直线y ＝kx 的斜率k 表示，最后通过变形，利用基本不等式求最值．[应用体验]1．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t ＞0)，且经过F 1，F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过点Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值． 解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意可知，2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2.又c ＝1，故a 2＝b 2＋c 2＝5， 故椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1.设Q (x 0，y 0)，因为PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 20＋(y 0－t )2－t 2－1＝－14(y 0＋4t )2＋4＋4t 2. 若－4t ≤－2, 即t ≥12，当y 0＝－2时，|QM |取得最大值， |QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38＜12(舍去)．若－4t ＞－2，即0＜t ＜12， 当y 0＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t ＝24.综上可知，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[典例] (2018·合肥质检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．[思路演示]解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ， 则椭圆E 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝⎛⎭⎫1，32， ∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54.当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 则x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)>0， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝⎛⎭⎫1＋13＋4k 2，∵k 2>14，∴45<λ<1.综上可知，实数λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1. [解题师说]在关系式λ|PM |2＝|PA |·|PB |中，P ，M 为已知定点，而A ，B 两点是动直线l 与椭圆的交点，故λ与直线l 的斜率有关，应考虑建立λ关于k 的函数关系式求解．[应用体验]2．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29. ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2. ∴|PF 2|＝b 2a.∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b 4a2＝1.由⎩⎨⎧b 2＝a 29，9b4a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(2)∵直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0， 即m 2－k 2－9<0. 则x 1＋x 2＝－2kmk 2＋9. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2km k 2＋9＋1＝0得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k 2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.1．(2018·广东五校协作体诊断)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC ―→＝2CB ―→，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．解：(1)由题意知，c ＋b2＝3⎝⎛⎭⎫c －b 2， 所以b ＝c ，a 2＝2b 2， 所以e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝22.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)，因为AC ―→＝2CB ―→，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)， 即2y 2＋y 1＝0.①由(1)知，a 2＝2b 2，所以椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 2＋2y 2＝2b 2消去x ，得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2k k 2＋2.②由①②知，y 2＝－2k k 2＋2，y 1＝4kk 2＋2.因为S △AOB ＝12|y 1|＋12|y 2|，所以S △AOB ＝3·|k |k 2＋2＝3·12|k |＋|k |≤3·122|k |·|k |＝324，当且仅当|k |2＝2，即k ＝±2时取等号，此时直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1， 即x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0. 2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |＞|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b2a (a ＋c )a 2＝b 2＋c 2，＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN ＝2|PM ||PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ＞2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→.由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝⎛⎭⎫k ＞12， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1消去y ，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.(*)又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)，PN ―→＝(x 2，y 2＋1)，则x 1＝－λ2x 2.将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k ＞12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1＜(2－λ)2λ＜4，且λ＞2，解得4＜λ＜4＋23， 所以实数λ的取值范围为(4,4＋23)．3．(2018·广西三市第一次联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．解：(1)∵椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，32，∴1a 2＋94b2＝1，① ∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点，∴a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝⎛⎭⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12. 由⎩⎨⎧x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m2(3m 2＋4)， ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m 4m 2＋4.①当m ＝0时，k ＝0； ②当m ≠0时，k ＝14m ＋4m，∵4m ＋4m ＝4|m |＋4|m |≥8，∴0<|k |≤18，∴－18≤k ≤18且k ≠0.综合①②可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是－18，18.4．已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA ―→·OB ―→，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围． 解：(1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切， 所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k 2＝1， 即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.λ＝OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，－22∪⎣⎡⎦⎤22，1. (3)|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2－2(2k 2＋1)2， 由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ， 则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23， 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎡⎦⎤64，23。
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高中数学例说圆锥曲线有关最值问题论文例说圆锥曲线有关最值问题中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。
常见求法： 1、回到定义 例1、已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。
略解：（1）A 为椭圆的右焦点。
作PQ ⊥右准线于点Q ，则由椭圆的第二定义||4||5PA e PQ ==，∴5||||||||4PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ，使其到点B 和右准线的距离之和最小，很明显，xyOP'P"P AQB C点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为17。
4（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。
即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=1010+；当P到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=10210-回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。
另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。
2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线24xy=上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。
解：设抛物线上的点)4,(2t t P，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离174)21(41754422+-=+-=t t t d当21=t 时，174min =d，故所求点为)1,21(。
例3、已知一曲线xy22=，（１）设点A 的坐标为)0,32(，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|；（２）设点A 的坐标为（a,0）a ∈R ，求曲线上点到点A 距离最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式。
解：（1）设M （x,y ）是曲线上任意一点，则x y 22= )0(≥x31)31(2)32()32(22222++=+-=+-=x x x y x MA ∵ x ≥094min2=MA∴ 所求P 点的坐标是（0，0），相应的距离是32=AP （2）设M （x,y ）是曲线上任意一点，同理有x a x y a x MA 2)()(2222+-=+-= )12()]1([2-+--=a a x 0≥x综上所述，有⎪⎩⎪⎨⎧-=aa d 12)1a ()1a (时当时当<≥3、运用函数的性质例4、在△ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a,b,c ，且c=10,34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 内切圆上动点，求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和最大值与最小值。
解：由B A A B A A ABa b B A 2sin 2sin 0sin cos cos sin sin sin cos cos =⇒=-⇒== ∵134≠=a b ∴BA 22-=π ∴△ABC 为Rt △由C=10，且34=a b 知 a=6 b=8设△ABC 内切圆半径为r ，如图建立直角坐标系，则Rt △ABC 的内切圆M 的方程为：4)2()2(22=-+-y x 设圆M 上动点P （x,y ）(40≤≤x )，则P 点到顶点A ，B ，C 的距离的平方和为222222222)6()8(xy y x y x PC PB PA ++-+++-=++= 10012163322+--+=y x y x 764])2()2[(322+--+-=x y x ＝88-4x∵点P 在内切圆M 上，40≤≤x ，于是88088max=-= 721688min=-=例5、直线m ：y=kx+1和双曲线x 2-y 2=1的左支交于A ，B 两点，直线L 过点P （-2，0）和线段AB 的中点M ，求L 在y 轴上的截距b 的取值范围。
略解：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），M （x 0,y 0），将y=kx+1代入x 2-y 2=1得（1-k 2)x 2-2kx-2=0,由题意，△>0且x 1+x 2<0,x 1x 2>0,解之得12k <<且M 221(,)11k k k--,又由P （-2，0），M ，Q （0，b ）共线，得22211122221b k k k k k -==-+++-，即2222b k k =-++ 下面可利用函数f(k)=-2k 2+k+2在2)上是减函数，可得222b b <-->或。
例6、已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A（2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值。
略解：设P （2cos θ,sin θ），(0<θ<л/2),点P 到直线AB ：x+2y=2的距离|22)2|222102545555d πθ+-==≤=2 本例利用三角函数的有界性。
反过来，有些代数最值问题可以转化为解析几何问题，利用几何直观来解决，如参考练习中的5。
4、判别式法例7、定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。
解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，那么211y x =，222y x =①由题意，得 2122122)()(3y y x x -+-= ②，又AB 的中点M （x,y ）到y 轴的距离为122x x x +=③，将① ③代入② 整理得02432)(42221221=--++x x y y y y ④，∵ 21y y 为实数，故 △＝0)243(44422≥--⨯-x x 又∵ x>0得45≥x ⑤，当45=x 时，△＝０ 由④解得4121-=y y ⑥，2214522122)(212221221=-⨯=-=++=+x y y y y y y ，可得221=+yy ⑦，由 ⑥，⑦可得1y ，2y ，由①即得相应的1x ，2x 。
故AB 的中点M 距y 轴最短距离为450=x，且相应的中点坐标为)22,45(或)22,45(-。
法二：121x y=222x y =212221x x y y -=-∴yx x y y k 212121=--=∴ 221222122))(41(9)]()2(1[3y y y y y y -+=⇒-+= ∵ 2221212y y x x x +=+= ① 212y y y += ②由①－②２得212242y y y x -=- ③ ①＋③得2212)(44y y y x -=- ④④代入①得 4551924419422≥⇒=-≥++=x y y x当且仅当 1441922+=+y y212=y22±=y 时等式成立。
∴45min =x)22,45(±M说明：此法即为下面的基本不等式法。
5、利用基本不等式 例8、已知椭圆2214x y +=，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点。
求：（1）|PF 1||PF 2|的最大值；（2）|PF 1|2+|PF 2|2的最小值。
略解：设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a=4，|PF 1||PF 2|=mn ≤22m n +⎛⎫⎪⎝⎭=4.|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|≥42-2×4=8参考练习：1、过椭圆E：22221x ya b+=（a>b>0）上的动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于M，N两点。
求△MON的面积的最小值。
（3ba）2、设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为3e=P（0，3/2）到这个椭圆上的点7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 7（2214x y +=，所求点为1(3,)2±-）3、P 为椭圆2221x y a+=上的一个动点，它与长轴端点不重合，2a ≥，点F 1和F 2分别是双曲线2221x y a -=的左右焦点，ф=∠F 1PF 2,（1）求tg ф的表达式；（用a 及描述P 位置的一个变量来表示）（2）当a 固定时求ф的最小值ф0；（3）当a 在区间[2,3]上变化时，求ф0的取值范围。
（2022021(1)1a y tg a y φ+=--+，20211a arctg a φπ+=--，02[,2]3arctg πφ∈）4、已知抛物线的方程为212y x m =-+，点A 、B 及P （2,4）均在抛物线上，且直线PA 、PB 的倾斜角互补．(1)求证：直线AB的斜率为定值；（2）(2)当直线AB在ｙ轴上的截距为正时，求△PAB面积的最大值．（最大值为6439，当b=163时取到。
）。