第5章曲线拟合

大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测
提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次 数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。
换句话说 :求一条曲线,使数据点均在离此曲线的 为此 ,我们希望从给定的数据 (xi,yi)出发,构造 上方或下方不远处 ,所求的曲线称为拟合曲线 ,它 一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所 ( x) ( x) 既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大 有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数 的波动,更能反映被逼近函数的特性 据的基本趋势，如图 5-7所示。 ,使求得的逼 近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方
（3）可化为线性拟合的非线性拟合
有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替
换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，
对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值 在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分 布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线 拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟
合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表
,
（4）超定方程组的最小二乘解 A (aij ) mn ,b是m维已知 设线性方程组Ax=b中， 向量，x是n维解向量，当m＞n，即方程组中 方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组 为超定方程组。一般来说，超定方程组无解（ 此时为矛盾方程组),这时需要寻求方程组的一 个“最近似”的解. 记 r b Ax ,称使 r 2 ,即 r 最小的解 x * 为 方程组Ax=b的最小二乘解。
m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i ) 0 a i 1 0 m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i )xi 0 a1 i 1
即得如下正规方程组
m m a0 m a1 xi yi i 1 i 1 m m m 2 a x 1 i a 0 xi xi y i i 1 i 1 i 1
F (a0 , a1 ) (a0 a1 xi yi ) 2
m
为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为
i 1
y( xi ) yi a0 a1 xi yi i 1,2,, m 根据最小二乘原理，应取 a0 和 a1 使 F (a0 , a1 ) 有极小 值，故 a0 和a1 应满足下列条件：
6
i
5.714112
将以上数据代入上式正规方程组，得
6a0 7.5a1 2.043302 7.5a0 13.75a1 5.714112
解得 a0 0.562302 ,
a1 0.772282
a0 0.562302 a ln a 由 0 得a e e 1.754708
式拟合。对于给定的一组数据 xi , yi , i 1,2,, N 寻求次数不超过m (m<<N ) 的多项式
y a0 a1 x a2 x an x
2
m
来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的 平方和 N m Q ( y i a j xi j ) 2
5.1 曲线拟合的最小二乘法
如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处
的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)
的近似。但往往会遇到这样一种情况，即节点上的函
数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得 到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得 的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就 会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较
其法方程组为 6a 15a 55a 14 0 1 2
15a0 55a1 225a 2 30 55a 225a 979a 122 1 2 0
y 4.7143 2.7857x 0.5000x
2
解之得 a0 4.7143 , a1 2.7857 , a2 0.5000 所求的多项式 为
示的曲线拟合方程。 表5-4列举了几类经适当变换后化为线性拟合 求解的曲线拟合方程及变换关系
曲线拟合方程 程 b
y ax

表5-4 变换关系 变换后线性拟合方 y ln y, x ln x y a bx (a ln a)
x x
1 1 y ,x y x y 1 y
(5.46)
这是关于系数 a j 的线性方程组，通常称为正 规方程组。可以证明，正规方程组有唯一解。 例5.22 设某实验数据如下： 6 i 1 2 3 4 5
xi 0
1
2
3
4
5
1 1 2 3 yi 5 2 用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据
解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点 接近一条抛物线，因此设所求的多项式为
得
k 0,1,, m
即有
i 1
j 0
a0 N a1 xi a m xim yi 2 m 1 a x a x a x xi y i 0 i 1 i m i a0 xim a1 xim1 a m xi2 m xim yi
y a0 a1 x a2 x
N=6, xi 15, x
i 1 i 1 6 6 2 i 6 3 i 6 4 i
2
由法方程组（5.46）, 经计算得
55, x 225, x 797, yi 14, xi yi 30, xi2 yi 122
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 6 6 6
a bx 2
x y a bx
或指数型函
y aebx 等数据拟合。
y y
O
x
O
x
(c)
(d)
例5.13 设某实验数据如下:
i
xi yi
1 0
2 0.5
3 1
4 1.5
5 2
6 2.5
2.0
1.0
0.9
0.6
0.4
0.3
用最小二乘法求拟合曲线
解:将已给数据点描在坐标系中下图所示,可以看出这
于 数 据分布接近于抛物线。可采拟合；二次多项式
y y
y a0 a1 x
拟合；图(b)
直线，故宜采用线性函数 y a0 a1 x a2 x 2 拟合；
O
x
O
x
(a)
(b)
图 ( c ) 的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐
渐变慢,宜采用双曲线型函数
b x
数 y ae 图 ( d ) 的数据分布特点是开始曲线下降 x x y 快,随后逐渐变慢,宜采用 a bx 或 或 y
则正规方程组为
4 4 4a0 a1 xi yi i 1 i 1 4 4 4 2 a x a x 0 i 1 i xi y i i 1 i 1 i 1
其中
x
i 1
4
i
7.32
x
i 1
4
2 i
13.8434
y
i 1
4
法度量达到最小,这就是最小二乘法。
y
图5-1
曲线拟合示意图
o


x
与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过 所有已知点 ,而是要求得到的近似函数能反映数据的 基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。 在对给出的实验(或观测)数据 ( xi , y i )(i 0,1,, n) 作曲线拟合时 ,怎样才算拟合得最好呢？一般希望各 实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小 , 这就是最小二乘原理。 两种逼近概念:
(5.45)
例5.21
i
xi
设有某实验数据如下： 1 2 3 1.36 14.094 1.37 16.844 1.95 18.475
4
2.28 20.963
yi
用最小二乘法求以上数据的拟合函数 解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点 的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的
拟合直线为Leabharlann y( x) a0 a1 x 记x1=1.36, x2=1.37, x3 =1.95 x4 =2.28, y1 =14.094, y2= 16.844, y3=18.475, y4=20.963
i 1 j 0
为最小
Q
j 2 ( y a x i j i) i 1 j 0
N
m
由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, m)的多 元函数, 故上述拟合多项式的构造问题可归 结为多元函数的极值问题。令
Q 0, k 0,1,2,, m a k
j k ( y a x ) x i j i i 0, N m
插值:
拟合:
在节点处函数值相同.
在数据点处误差平方和最小
函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点 处函数值相同,即 P( xi ) f ( xi ) (i 0,1,, n) 而曲 线拟合函数 ( x) 不要求严格地通过所有 ( xi , y i ) 就是说拟合函数 ( x) 在xi处的偏差(亦称残差）
2 2
定理5.6 x * 是Ax=b的最小二乘解的充分必要条件为 * 是 AT Ax AT b 的解. x 证明:充分性 若存在n维向量 x * ,使 任取一n维向量x x * ,令 y x x * ,则y
6a0 a1 xi yi i 1 i 1 6 6 6 于是得到拟合指数函数为 2 a x a x 0 i 1 i xi y i i 1 i . 1772282 x i 1 0
其中
y 1.754708 e