SAS统计之第五章线性回归分析
SAS线性回归
L=Õ
i =1
n
1 é 1 ù ( y i - a - bxi ) 2 ú exp ê 2 s 2p ë 2s û ö é 1 ÷ ÷ exp ê- 2s 2 ë ø
n
æ 1 =ç ç è s 2p
å(y
i =1
n
i
ù - a - bxi ) 2 ú û
（3.4）
（3.4）式 现用极大似然估计法来估计未知参数 a ， b 。对于任意一组观察值 y1 , y 2 , L , y n ， 就是样本的似然函数。显然，要 L 取最大值，只要（3.4）式右端方括弧中的平方和部分为 最小，即只需函数
n
i1
åx åx
i =1
2 i1
n æ n ö = nå x - ç å xi1 ÷ = nå ( xi1 - x ×1 ) 2 ¹ 0 i =1 i =1 è i =1 ø n 2 i1
2
4
故（3.7）式有唯一的一组解。解得 b, a 的极大似然估计为
n æ n öæ n ö nå x i y i - ç å x i ÷ç å y i ÷ è i =1 øè i =1 ø = ˆ = i =1 b 2 n æ n ö 2 nå x i - ç å xi ÷ i =1 è i =1 ø n n ˆ 1 b ˆx ˆ = å y i - å xi = y - b a n i =1 n i =1
å(x
i =1
n
ü - x)( y i - y ) ï ï n ï 2 ï ( xi - x ) å ý i =1 ï ï ï ï þ
i
（3.8）
于是，所求的线性回归方程为
ˆx ˆ=a ˆ+b y ˆ x 代入上式，则线性回归方程变为 ˆ = y -b 若将 a
SAS回归检验
用SAS/INSIGHT进行线性回归分析上面我们已经看到，用菜单“Analyze | Fit (Y X)”就可以拟合一条回归直线，这是对回归方程的估计结果。
这样的线性回归可以推广到一个因变量、多个自变量的情况。
线性模型写成矩阵形式为下面列出了线性模型中常用的一些量和结论：∙为因变量向量∙为矩阵，一般第一列元素全是1，代表截距项∙为未知参数向量∙为随机误差向量，元素独立且方差为相等的（未知）。
∙正常情况下，系数的估计为∙拟合值（或称预报值）为∙其中是空间内向的列张成的线性空间投影的投影算子矩阵，叫做“帽子”矩阵。
∙拟合残差为∙残差平方和为∙误差项方差的估计为（要求设计阵满秩）均方误差（MSE）∙ 在线性模型的假设下，若设计阵 满秩， 和 分别是 和 的无偏估计，系数估计的方差阵 。
∙ 判断回归结果优劣的一个重要指标为复相关系数平方（决定系数）（其中），它代表在因变量的变差中用模型能够解释的部分的比例，所以 越大说明模型越好。
例如，我们在“Fit (Y X)”的选择变量窗口选Y 变量（因变量）为体重（WEIGHT ），选X 变量（自变量）为身高（HEIGHT ）和年龄（AGE ），则可以得到体重对身高、年龄的线性回归结果。
下面对基本结果进行说明。
回归基本模型：WEIGHT = HEIGHT AGEResponse Distribution: NormalLink Function: Identity回归模型方程：Model EquationWEIGHT = - 141.2238 + 3.5970 HEIGHT + 1.2784 AGE 拟合概况：Summary of FitMean of Response 100.0263 R-Square 0.7729 Root MSE 11.5111 Adj R-Sq 0.7445 其中Mean of Response 为因变量（Response ）的均值，Root MSE 叫做根均方误差，是均方误差的平方根，R-Square 即复相关系数平方，Adj R-Sq 为修正的复相关系数平方，其公式为 ，其中 当有截距项时取1，否则取0，这个公式考虑到了自变量个数 的多少对拟合的影响，原来的随着自变量个数的增加总会增大，而修正的则因为 对它有一个单调减的影响所以 增大时修正的不一定增大，便于不同自变量个数的模型的比较。
SAS编程：回归分析
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 三、曲线回归
1、可化为线性的曲线回归
由于曲线回归没有固定的模型和方法，因而很难进行处理和分析。但 是对于一些基本的曲线模型，我们可以通过变换将它们转化为线性模型， 继而利用线性回归的方法进行分析。
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 三、曲线回归
2、REG 过程
3、逐步回归
在实际问题中，影响因变量的因素可能很多，其中有些因素的影响 显著，而有些因素的作用可以忽略，如何从大量的因素中挑出对因变量 有显著影响的自变量来，这就涉及到变量的选择问题。 逐步回归是在建立模型的过程中对变量进行逐个筛选的回归方法， 其基本思想是：在建立回归模型时，逐个引入自变量，每次引入的变量 都经过检验对因变量的影响是显著的，同时对已有的变量也进行检验， 将不显著的变量剔除。这样最后得到的回归方程中，所有变量都是显著 的。
SAS 统计分析与应用 从入门到精通
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
曲线回归
非线性回归 Logistic回归
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
1、基本模型
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
1、基本模型
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
2、模型的检验
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
2、模型的检验
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
3、利用回归方程进行预测
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
4、REG过程
REG过程是SAS系统中提供的用于一般线性回归的过程，通过此 过程可以实现一元回归分析，包括模型的建立和检验等。REG过程中 有很多的语句和选项，其中用于一元回归的基本语句格式为： PROC REG DATA=数据集名 <选项>; MODEL 因变量名=自变量名 </选项>; PLOT 纵轴变量名*横轴变量名 <=符号> </选项>; BY 分组变量名; RUN; 其中，PROC语句和MODEL语句是必须的，其他语句可以根据用 户需要进行选用。
sas多元线性回归
数据清洗
去除异常值、缺失值和重复 值。
数据转换
将分类变量（如商品ID）转 换为虚拟变量（dummy variables），以便在回归中 使用。
数据标准化
将连续变量（如购买数量、 商品价格）进行标准化处理， 使其具有均值为0，标准差 为1。
模型建立与评估
残差分析
检查残差的正态性、异方差性和自相关性。
sas多元线性回归
目录 CONTENT
• 多元线性回归概述 • SAS多元线性回归的步骤 • 多元线性回归的变量选择 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的注意事项 • SAS多元线性回归实例分析
01
多元线性回归概述
定义与特点
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于研究多个自变量与因 变量之间的线性关系。通过多元线性回归，我们可以预测因 变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性关系， 即随着自变量的增加或减少，因变量 也按一定比例增加或减少。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即自 变量之间没有高度相关或因果关系。
无异方差性
误差项的方差恒定，即误差项的大小 不随自变量或因变量的变化而变化。
无自相关
误差项之间不存在自相关，即误差项 之间没有相关性。
03
多元线性回归的变量选择
全模型选择法
全模型选择法也称为强制纳入法，是 指将所有可能的自变量都纳入回归模 型中，然后通过逐步回归或其他方法 进行筛选。这种方法简单易行，但可 能会受到多重共线性的影响，导致模 型不稳定。
VS
在SAS中，可以使用`PROC REG`的 `MODEL`语句来实现全模型选择法， 例如
SAS备课笔记_简单线性回归、多元线性回归
回归分析-简单线性回归、多元线性回归比较：方差分析是处理试验数据的一类统计方法。
这类统计方法的特点是所考察的指标（因变量）Y 是测量得到的数值变量（连续变量），而影响指标的因子（自变量）水平是试验者安排的几个不同值（称这种因子为分类变量或离散变量）。
试验的目的是找出影响指标的主要因子及水平。
在实际问题中，还经常遇到这样一些数据，它们不是有意安排的试验得到的数据，而是对生产过程测量记录下来的数据。
对它们进行分析，目的是想找出对我们所关心的指标（因变量）Y 有影响为因素（也称自变量或回归变量）m x x x ,......,,21，并建立用m x x x ,......,,21预报Y 的经验公式。
对于现实世界，不仅要知其然，而且要知其所以然。
顾客对商品和服务的反映对于商家是至关重要的，但是仅仅有满意顾客的比例是不够的，商家希望了解什么是影响顾客观点的因素，以及这些因素是如何起作用的。
类似地，医疗卫生部门不能仅仅知道某流行病的发病率，而且想知道什么变量影响发病率，如何影响发病率的。
发现变量之间的统计关系，并且用此规律来帮助我们进行决策才是统计实践的最终目的。
一般来说，统计可以根据目前所拥有的信息（数据）来建立人们所关心的变量和其他有关变量的关系。
这种关系一般称为模型（model ）。
假如用Y 表示感兴趣的变量，用X 表示其他可能与Y 有关的变量（x 也可能是若干变量组成的向量）。
则所需要的是建立一个函数关系Y=f(X)。
这里Y 称为因变量或响应变量（dependent variable, response variable ），而X 称为自变量，也称为解释变量或协变量（independent variable ，explanatory variable, covariate)。
建立这种关系的过程就叫做回归（regression ）。
一旦建立了回归模型，除了对各种变量的关系有了进一步的定量理解之外，还可以利用该模型(函数或关系式)通过自变量对因变量做预测（prediction ）。
SAS统计之第五章-线性回归分析报告
( y y)2 ( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
对数据资料所有点的求和得：
(y y)2 (y yˆ)2 2(y yˆ)( yˆ y) (yˆ y)2
利用下图说明F检验法的基本原理。
当自变量为 x ，对应的
y
因变量的实测值为 y，
yˆ
y y
y yˆ 因变量的预测值为 yˆ 。 yˆ y 于是 y的离均差 y y
y
可分解为两个部分：
y y ( y yˆ) ( yˆ y)
xx
离均差 随机误差 回归引起的偏差
第三节 回归关系的显著性检验
三个平方和的计算公式:
总平方和: T SSy (y y)2 y2 ( y)2 / n 回归平方和: U SSr (yˆ y)2
a y bx, yˆ a bx, yˆ y bx bx, yˆ y b(x x), （yˆ y）2 b2 (x x)2 ,
第三节 回归关系的显著性检验
对所有点求和得：
(y
yˆ)( yˆ
y)
b[SPxy
SPxy SS x
SSx ]
0
于是：y 的总平方和便分解为两个部分：
(y y)2 (y yˆ)2 (yˆ y)2
y 的总平方和 误差平方和 回归平方和
T SSy
Q SSe U SSr
第三节 回归关系的显著性检验
第五章 线性回归分析
一、一元线性回归 二、一元线性回归方程 三、回归关系的显著性检验 四、置信区间 五、多元线性回归 六、回归诊断
第一节 一元线性回归
生产实践中，常常能找到一个变量与另外一
线性回归分析实验报告总结
RUN;
PROC GPLOT DATA=b;
PLOT RESIDUAL*PREDICTED RESIDUAL*x1 RESIDUAL*x2;
SYMBOL V=DOT I=NONE;
RUN;
PROC IML;
N=31;PI=1;
USE two_6;
READ ALL VAR{x1 x2 y} INTO M;
Analysis of Variance
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F
Model 2 52294 26147 <.0001
Error12
Corrected Total14 53902
由表中的数据可知：SSE(F)=； =15-4=11，而从第（1）问可知SSE(R)=； =15-3=12；所以检验统计量观测值 =[（）/1]/[11]=
X=M[,2]#M[,3];
X2=M[,3];
Y=M[,1];
P=Y||X||X2;
CREATE RESOLVE VAR{Y X X2};
APPEND FROM P;
QUIT;
PROC REG DATA=RESOLVE;
MODEL Y=X X2;
RUN;
PROC PRINT;
RUN;（1）<表一>参数估计的sas输出结果为：
（5）对于给定的X1、X2的值为（X01，X02）=（220,2500），由回归方程 =++得到销售量Y的预测值为
从proc reg过程得到矩阵（XTX）-1为：
令X0=（220,2500）T，因为MSE=，利用sas系统中proc iml过程计算可得
快速上手使用SAS进行统计分析和建模
快速上手使用SAS进行统计分析和建模第一章：引言SAS（Statistical Analysis System）是一种功能强大的统计分析和建模工具，广泛应用于各个领域的数据分析。
本文将介绍如何快速上手使用SAS进行统计分析和建模。
我们将按照不同的步骤和技巧，逐步介绍如何运用SAS进行数据处理、描述统计、假设检验、回归分析以及模型建立与评估等。
第二章：数据处理在使用SAS进行统计分析之前，我们首先需要对数据进行处理。
这包括数据清洗、格式转换、合并和抽样等操作。
通过使用SAS的数据步骤（Data Step）和数据流程（Data Flow）技术，我们可以对数据集中的缺失值、异常值等进行处理，保证数据的准确性和完整性。
第三章：描述统计分析描述统计分析是数据分析的基础，通过对数据的基本特征进行分析，我们可以获得关于数据集的详细信息。
SAS提供了丰富的描述统计分析方法，包括均值、方差、相关系数、频率分布等。
我们可以使用PROC MEANS、PROC UNIVARIATE、PROC FREQ等过程来进行描述统计分析，并得到直观的统计图表。
第四章：假设检验假设检验是统计分析中常用的方法，用于验证研究假设的合理性。
SAS提供了多种假设检验方法，包括t检验、方差分析、卡方检验等。
我们可以使用PROC TTEST、PROC ANOVA、PROC CORR等过程来进行假设检验，并得出显著性结论，进一步推断总体参数。
第五章：回归分析回归分析是用于研究变量之间关系的重要方法，旨在构建预测模型和解释变量之间的关系。
SAS提供了强大的回归分析工具，包括线性回归、逻辑回归、多元回归等。
我们可以使用PROC REG、PROC LOGISTIC、PROC GLM等过程来进行回归分析，并获取模型的系数、拟合优度等统计结果。
第六章：模型建立与评估模型建立与评估是统计建模的关键环节，通过选择合适的变量和建立合理的模型，我们可以对数据进行预测和推断。
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b（i i 0,1,2,, m）应该使
n
n
Q ( yi yˆi )2 [ yi (b0 b1x1i b2x2i bm xmi )]2 min
i 1
i 1
由求极值的必要条件得：
Q
b0
n
2
i 1
( yi
yˆi )
0
回归方程： yˆ ＝ a + b x
a 称为回归截距 b 称为回归系数 i 称为随机误差
第二节 线性回归方程
回归参数的计算——最小二乘法
期望拟合的线性回归方程与试验资料的误差
最小，拟合的误差也称作离回归平方和或残 差 ，可以利用数学中求极值的方法解出 a 和 b 而使得误差平方和为最小。
U b2 (x x)2 b2SSx bSPxy SPx2y / SSx
误差平方和: SSe SSy SSr
或 Q T U
第三节 回归关系的显著性检验
利用方差分析表
变异来源 自由度 平方和
回归
１
U
误差
n-2
Q
总变异 n-1
T
均方
sU2 se2
Ｆ值
F0.05
sU2 se2
用光照强度来预测净光合强度是合理的。
第四节 预测值的置信区间
由x预测y时，y有一定的误差，其标准误差为：
sy se
1 1 x x 2
n SSx
因此由x预测y时，y 的95%置信区间为：
yˆ t0.05 sy
实例： 由x预测y的预测区间
第一步：计算当x=2500时， y 的点估计值：
第五章 线性回归分析
一、一元线性回归 二、一元线性回归方程 三、回归关系的显著性检验 四、置信区间 五、多元线性回归 六、回归诊断
第一节 一元线性回归
生产实践中，常常能找到一个变量与另外一
个变量之间的关系：小麦的施肥量与产量、 水稻的株高和穗长、冬天的温度与来年病虫 害的发生程度等等。
回归分析就是找出合适的回归方程，从而用
y yˆ y [( y bx) bx] 即 ( y yˆ) ( y y) b(x x)
( y yˆ)( yˆ y) b(x x)[( y y) b(x x)] b[(x x)( y y) b(x x)2 ]
第三节 回归关系的显著性检验
式中β 0 β 1 β 2 … β m 为（偏）回归系数
多元线性回归方程
yˆ b0 b1x1 b2x2 bmxm
式中b0 b1 b2 … bm 为（偏）回归系数的估计值
第五节 多元线性回归分析
二、参数估计方法——最小二乘准则
根据最小二乘法原理，i (i 0,1,2,, m) 的估计值
第四步：结论 有95％的把握预测当树冠的光照强度为 2500时，净光合作用的强度在338.95到 517.30之间。
第五节 多元线性回归分析
一、多元线性回归分析概述
上面讨论的只是两个变量的回归问题， 其中因变量只与一个自变量相关。但在大 多数的实际问题中，影响因变量的因素不 是一个而是多个，我们称这类多自变量的 回归问题为多元回归分析。
8 10810 1351
总变异
9 455595
F检验结论：回归关系达极显著，可得线性回归方程
yˆ 190.955 0.094868x
用光照强度估测净光合强度是合理的。
实例：P161
2、t 检验
sb
se SSx
0.005229
Q n2 SSx
10810 10 2 49421000
着不管 xi为什么值， yi 都不发生实质性变化；换言 之，x和 y 之间没有显著的回归关系。
检验线性回归关系是否存在，就是检验建立回归
模型的样本是否来自存在回归关系的总体，即
H0 ： ＝0 vs HA： ≠0
只有在此检验结果为显著时，用 a 估计 ，用 b
估计 ，用 yˆ 估计 y 才是有意义的。
yˆ 190.955 0.094868 2500 428.125
第二步：求y的标准误差：
sy
36.76
1 1 2500 30702
10 49421000
38.67
实例： 由X预测Y的预测区间
第三步：求y的置信区间：
yˆ t0.05 sy 428.125 2.03638.67 338.95 yˆ t0.05 sy 428.125 2.03638.67 517.30
三个平方和的计算公式:
总平方和: T SSy (y y)2 y2 ( y)2 / n 回归平方和: U SSr (yˆ y)2
a y bx, yˆ a bx, yˆ y bx bx, yˆ y b(x x), （yˆ y）2 b2 (x x)2,
三、假设检验
1、回归方程的假设检验
原假设 H0 ：β 1＝β 2＝ … ＝β m＝0
F统计量为： F U / m Q /(n m 1)
回归平方和：U ( yˆi y)2 自由度：m
误差平方和： Q ( yi yˆi )2 自由度：n-m-1
第五节 多元线性回归分析
y
可分解为两个部分：
y y( y yˆ) ( yˆ y)
xx
离均差 随机误差 回归引起的偏差
第三节 回归关系的显著性检验
对于任一个点有：( y y) ( y yˆ) ( yˆ y) 两边平方得：
(y y)2 (y yˆ)2 2(y yˆ)( yˆ y) (yˆ y)2
这里着重讨论简单而又最一般的线性 回归问题，这是因为许多非线性的情形可 以化为线性回归来做。多元线性回归分析 的原理与一元线性回归分析完全相同，但 在计算上却要复杂得多。
第五节 多元线性回归分析
一、多元线性回归分析概述
多元线性回归模型
y 0 1x1 2x2 mxm
(1)式除以 n 得： a b( x / n) y / n
(3)
于是： a y / n b( x / n) y bx (4)
(3)式各项乘 x：ax b(x)2 / n x y / n (5)
(2)-(5)式得：b[ x2 ( x)2 / n] xy x y / n
2、回归系数的假设检验
1）t检验 原假设 H0 ：β i＝0
统计量为t：
t bi Sbi
其中： Sbi S y c(i1)(i1) Sy Q n m 1
实例：
计算公式： 二级计算：
SSx x2 x2 / n 14367000 307002 /10
49421000
实例：
计算公式： 二级计算：
SPxy
xy
x n
y
19492000 3070 4822 10
4688460
实例：
回归系数 b :
研究光照强度与净光合强度的关系
光照 强度X
300 700 1000 1500 2200 3000 4000 5000 6000 7000
净光合 强度Y
140 260 300 380 410 492 580 690 740 830
一级计算： x 30700 y 4822 x2 143670000 y2 2780764 xy 19492000 n 10
x21
x22
x2m
b0
b1
0
1
x31
x23
x3m
B
b2
2
xn1 xn2 xnm
bm
n
解得： B (X ' X )1 X 'Y
第五节 多元线性回归分析
对数据资料所有点的求和得：
(y y)2 (y yˆ)2 2(y yˆ)( yˆ y) (yˆ y)2
证明：上式右边的中间项为0：
yˆ a bx (y bx) bx y b(x x) 即 (yˆ y) b(x x)
Q
b j
n
2 ( yi
a 1
yˆi )x ji
0
( j 1,2,, m)
第五节 多元线性回归分析
二、参数估计方法——最小二乘准则
采用矩阵形式： Y = XB+E
Y
y1
y
2
X
1 1 1
y
n
1
x11 x12 x1m
a
bx)
2(
y
na
b
x)
0
Q b
2 (y
a
bx) x
2(
xy
a
x
b
x2)
0
整理得正规方程组：
na b x y
a x b x2 xy
第二节 线性回归方程
解正规方程组： na b x y (1) a x b x2 xy (2)
一个变量来预测另一个变量。
一元线性回归：最简单的回归关系，即一个