第五章数据拟合.
5.曲线拟合法
实验数据本身的误差经过插值法计算后带来误差， 有时误差很大。 在这种情况下若要使误差影响小，需要构造逼近函 数，使得从总的趋势上更能反映被逼近函数的特性，即 找一简单函数（次数较低的Pn(x)）适用于整个[x1,xn]上， 但不要求严格地通过所有的( xi,yi)，只是尽可能的靠近 （ xi，yi ）点，能反映数据的基本趋势。 这儿的Pn(x)与已给函数从总体来说其偏差按某种方 法度量能达到最小，即Pn(x) - yi为极小，所以就将求逼近 函数的方法称为曲线拟合法。 因此插值法适用于数据精确或可靠度较高的情况。 而曲线拟合法适用于数据本身就有误差的情况。
j=1 i=0 m i=0 j=1 i=0 j=1 n m n m n
即
n j=1n j=1ai x来自i+k = yixjk
记
所以
Sk =xjk
j=1 m
n
， Tk = yj xjk
j=1
n
ai Sk+i = Tk（k=0，1，…… m）
i=0
就有正规方程组，可解出ai，得到P(x)
i=0 m
| Sk+i| 0，有唯一解。 2. 最小值问题 P(x)是使(a0,a1,…,am )取得最小值的m次多项式。 （1）描草图，粗略决定m=？（2）选P(x)= ai xj （3）建正规方程组 （4）解方程组得aj （5）得 P（x）= aj xj 可以化 形式 P(x)=AeMx 为 ln P = ln A+Mx y = B+Mx
第一节 最小二乘法原理
一、 最小二乘问题 例1 铜导线电阻与温度的关系，有7个数据对点，作 图后近似于一条直线。 设 有逼近函数 r =a+bt 且 Rj = a+btj-rj 一般不全为0
第五章 差值与拟合方法
第五章 差值与拟合方法5.4 最小二乘拟合方法5.4.1 线性最小二乘拟合方法设{}m k x 0k )(=φ是一个线性无关的函数系，则称线性组合∑==mk k k a x 0)(φφ为广义多项式。
如三角多项式：∑∑==+=m k k m k k kx b kx a x 00sin cos )(φ设由给定的一组测量数据),(i i y x 和一组正数),,2,1(n i w i =，求一个广义多项式∑==mk k k x a x 0)()(φφ使得目标函数21])([∑=-=n i i i i y x w s φ达到最小，则称函数)(x φ为数据),,2,1)(,(n i y x i i =关于权系数),,2,1(n i w i =的最小二乘拟合函数，由于)(x φ关于待定系数i a 是线性的，故此问题又称为线性最小二乘问题。
注：这里{}mk k x 0)(=φ可根据实际来选择，权系数的选取更是灵活多变的，有时可选取1=i w ,或n w i 1=。
对于n w i 1=，则相应问题称为均方差的极小化问题。
5.4.2 最小二乘拟合函数的求解要使最小二乘拟合问题的目标函数（）达到最小，则由多元函数取得极值的必要条件得),,2,1,0(m k o a s k==∂∂ 即 ),,2,1,(0)(])([0m o k x y x a w i k n i i mk i i k k i ==-∑∑==φφ亦即 ),,2,1,0()(])()([00m k x y w a x x w ni i k j i j m j i k i j i ==∑∑∑==φφφ是未知量为m a a a ,,,,a 110 的线性方程组，称之为正规方程组。
实际中可适当选择函数系{}mk x 0k )(=φ，由正规方程组解出m a a a a ,,,,210 ，于是可得最小二乘拟合函数∑==mk k k x a x 0)()(φφ。
5.4.3 一般线性最小拟合方法将上面一元函数的最小拟合问题推广到多元函数，即为多维线性最小二乘拟问题。
5第五章 拟合优度检验
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
数据拟合
第五章 数据拟合这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。
根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y = f (x )，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近，曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。
本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB 软件进行曲线拟合。
§1 最小二乘法给定平面上的点(x i, y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。
最小二乘法的原理是：求 ∑∑==-==n i i i ni i y x f x f 1212])([),(δδ使 达到最小如图1所示，其中δi 为点(x i ,y i )与曲线y=f (x )的距离。
曲线拟合的实际含义是寻求一个函数y=f (x )，使f (x )在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
最小二乘准则就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。
拟合时选用一定的拟合函数f (x ) 形式，设拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等） )(),...,(),(10x x x m ϕϕϕ来线性表示：)(...)()()(1100x c x c x c x f m m ϕϕϕ+++=图1 曲线拟合示意图现在要确定系数c 0，c 1，…，c m ，使d 达到极小。
为此，将f (x )的表达式代入d 中，d 就成为c 0，c 1，…，c m 的函数，求d 的极小，就可令d 对 c i 的偏导数等于零，于是得到m +1个方程组，从中求解出c i 。
通常取基函数为1，x ，x 2，x 3，…，x m ，这时拟合函数f (x )为多项式函数。
当m =1时，f (x ) = a + bx ，称为一元线性拟合函数，它是曲线拟合最简单的形式。
计算方法PPT课件第五章 插值与拟合
因此
li (x)
(x x0 )(x x1 ) (xi x0 )(xi x1 )
(x ( xi
xi1 )(x xi1 ) ( x xi1 )( xi xi1 ) ( xi
xn ) xn
)
n x x j . j0 xi x j ji
5.2.2 拉格朗日插值多项式
设用试验或观测方法得到函数 的如下函数y 值f表(x)
xi x0 , x1, , xn
yi y 0 , y1 , , y n
(5.11)
其中：yi f (xi )(i 0,1,..., n).我们用插值基函数li (x)(i 0, 1,..., n)的线性组合来构造满足式(5.11)的插值多项式，令
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
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(2) 将x 2.5代入，得L2 (2.5) 1.2625，因此
f (2.5) L2 (2.5) 1.2625.
(3)
f
(x)
ln(1
x), 求出f
''' ( x)
2 (1 x)3
,
从而max f ''' ( x) 1 .
1 x3
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
,
(5.6)
其中： （a,b)且依赖于x,而x [a,b].
证明（见P111)略
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主讲 韩光朋
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在实际插值问题中，由 于一般不知道，且实
际插值中f (x)一般较复杂或者未知， 因此用余项公 式（5.6）求误差是较困难的， 只能对其进行估计。 若
线性拟合方法
（1）用各点误差绝对值的和表示
m
R1
( xi ) yi
i 1
（2）用各点误差按绝对值的最大值表示
R max (xi ) yi 1im
（3）用各点误差的平方和表示
m
R R2 ( ( xi ) yi )2 i 1
或 R Q(x) - Y 2 2
Next i a=(m*d-c*p)/(n*d-c^2) b=(n*p-c*m)/(n*d-c^2) ‘参数计算 a=Int(a*1000+0.5)/1000 b=Int(b*1000+0.5)/1000
Text1.Text=Str(a) Text2.Text=Str(b) ‘参数输出 For i=1 To 5 eer=eer+(a+b*x(i)-y(i))^2 ‘误差计算
注意法方程中x的4次幂是由两个2次幂相乘得到，x的3次幂是由一个2次幂和
一个1次幂相乘得到，而2次幂就是变量本身，而非两个1次幂相乘得到。这 个概念至关重要，在以后的二次拟合的各类变型中，均需利用这个概念，千 万不要用常规的思路去进行代入计算。
如果我们需要求解是下面的拟合函数：
ln
y
a 0
x
a1 273
第二节 拟合的标准
式中R称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原 则容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲 线的方法称为最小二乘法。同时还有许多种其他的方法构造 拟合曲线，感兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲述用 最小二乘法构造拟合曲线。
第二节 拟合的标准__实例1
实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸气压和温度的关系，见表5-2。
n > 5时，法方程的系数矩阵是病态的，在用通常的迭代方法求解线性方 程时会发散，在计算中要采用一些特殊算法以保护解的准确性。关于线 性方程的求解方法，已在第三章中介绍。
第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解
求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25
通过全选主元高斯消去求得：
a=0.912605
b=0.174034
所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
曲线拟合的最小二乘法
1.曲线拟合的意思
Y
.
.
.
.
y=ax+b y=ax2+bx+c
X
y=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。
2最小二乘法原理
观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。
yi y0 y1 y2 y3 y4…… 观测值 y^i y^0 y^1 y^2 y^3 y^4…… 拟合曲线值
拟合曲线为： y=(-11x2-117x+56)/84
x
yHale Waihona Puke 1.61 1.641.63 1.66
1.6 1.63
1.67 1.7
1.64 1.67
1.63 1.66
1.61 1.64
1.66 1.69
1.59 1.62
非线性拟合
非线性拟合：第五章非线性拟合拟合曲线的目的为要根据已知数据照出响应函数的系数。
5-1 使用菜单命令拟合
首先激活绘图窗口，选择菜单命令Analysis，则可以看到
，
Gaussion
5-2 使用拟合工具拟合
为了给用户提供更大的拟合控制空间，Origin提供了三种拟合工具，即线性拟合工具、多项式拟合工具、S拟和工具。
具体自己去体会。
5-3 非线性最小平方拟合NLSF
这是Origin提供的功能最强大、使用也最复杂的拟合工具。
方法是Analysis-》Non-Linear Curve Fit－》Advanced Fitting Tools或者Fitting Wizad
具体的请自己体会。
高级模式 利用Function-》new 可以自定义拟合函数
基本模式，利用new 可以自定义拟合函数
Wizad模式
高级模式中利用Action－》Dataset设置，在基本模式中用Select
Dataset设置。
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第五章 数据拟合
这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。
根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y = f (x )，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近，
曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。
本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB 软件进行曲线拟合。
§1 最小二乘法
给定平面上的点(x i, y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。
最小二乘法的原理是：
求 ∑∑==-==n i i i n i i y x f x f 1212])([),(δδ使 达到最小
如图1所示，其中δi 为点(x i ,y i )与曲线y=f (x )的距离。
曲线拟合的实际含义是寻求一个函数y=f (x )，使f (x )在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
最小二乘准则就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。
拟合时选用一定的拟合函数f (x ) 形式，设拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等） )(),...,(),(10x x x m ϕϕϕ来线性表示：
)(...)()()(1100x c x c x c x f m m ϕϕϕ+++=
图1 曲线拟合示意图
现在要确定系数c 0，c 1，…，c m ，使d 达到极小。
为此，将f (x )的表达式代入d 中，d 就成为c 0，c 1，…，c m 的函数，求d 的极小，就可令d 对 c i 的偏导数等于零，于是得到m +1个方程组，从中求解出c i 。
通常取基函数为1，x ，x 2，x 3，…，x m ，这时拟合函数f (x )为多项式函数。
当m =1时，f (x ) = a + bx ，称为一元线性拟合函数，它是曲线拟合最简单的形式。
除此之外，常用的一元曲线拟合函数还有双曲线f (x ) = a + b/x ，指数曲线f (x ) = a e bx 等，对于这些曲线，拟合前须作变量代换，转化为线性函数。
已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢？可以根据散点图进行直观判断，在此基础上，选择几种曲线分别作拟合，然后比较，观察哪条曲线的最小二乘指标d 最小。
§2 曲线拟合的MATLAB实现
MATLAB软件提供了基本的曲线拟合函数的命令：
多项式函数拟合： a = polyfit（xdata，ydata，n）
其中n表示多项式的最高阶数，xdata，ydata 为要拟合的数据，它是用数组的方式输入。
输出参数a为拟合多项式y = a1x n + … + a n x + a n+1的系数a = [a1, …, a n, a n+1]。
多项式在x处的值y可用下面程序计算。
y = polyval (a, x)
一般的曲线拟合： p = curvefit（‘Fun’，p0，xdata，ydata）
其中Fun表示函数Fun (p, xdata)的M-文件，p0表示函数的初值。
curvefit命令的求解问题形式是：
min{p} sum {(Fun (p, xdata)-ydata).^2}
若要求解点x处的函数值可用程序f = Fun(p, x) 计算。
例如已知函数形式y = a e - bx+ c e –dx，并且已知数据点(x i, y i), i = 1,2,…, n，要确定四个未知参数a, b, c, d。
使用curvefit命令，数据输入xdata = [x1,x2, …, x n]; ydata = [y1,y2, …, y n];初值输入p0 = [a0,b0,c0,d0]; 并且建立函数y = a e - bx+ c e –dx的M-文件（Fun.m）。
若定义p1 = a, p2 = b, p3 = c, p4 = d , 则输出p = [p1, p2, p3, p4]。
引例求解：
t=[1:16]; %数据输入
y=[4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6];
plot(t,y,'o') %画散点图
p=polyfit(t,y,2) (二次多项式拟合)
计算结果：
p = -0.0445 1.0711 4.3252 %二次多项式的系数
从而得到某化合物的浓度y与时间t的拟合函数：
y = 4.3252+1.0711t –0.0445t2
对函数的精度如何检测呢？仍然以图形来检测，将散点与拟合曲线画在一个画面上。
参见图2。
xi=linspace(0,16,160);
yi=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,yi)
由此看出上述曲线拟合是比较吻合的。
<![endif]>
图2 浓度y的拟合曲线与实测数据(o)的比较
在MATLAB的NAG Foundation Toolbox中也有一些曲面拟合函数，如e02daf，e02cf，e02def可分别求出矩形网格点数据、散点数据的最小平方误差双三次样条曲面拟合，e02def等可求出曲面拟合的函数值。