第六章 拟合优度检验
生物统计第6章 拟合优度检验(即
有效 口服 O1=58 T1=(98)(122)/193=61.95 注射 O3=64 T3=(95)(122)/193=60.05 总数
2014-8-4
2×2列联表理论数的计算
无效 O2=40 T2=(98)(71)/193=36.05 O4=31 T4=(95)(71)/193=34.95 71 193 95 总数 98
2014-8-4
6.3.2
2×2列联表的精确检验法
P= （a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!/(N!a!b!c!d!)
(7.5）
• 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，可 直接用该概率值作为判断的标准；(例 7.5) • 若a、b、c、d中的任何一个都不出现0时， 还应当将这种组合的概率以及最接近于0 的那个观测值至0的各种组合的概率都计 入作为判断的标准； (例7.6) 2014-8-4
2014-8-4
例题解答
(2) 矫正
正常翅 残翅
O-T-0.5 (O-T-0.5)2 (O-T-0.5)2/T
16.5 16.5 272.25 272.25 0.926 2.778 2=0.926+2.778=3.704 H0: O-T=0, α=0.05, df=1, 20.05=3.841, 2< 20.05 结论：正常翅与残翅的分离比符合3：1
2014-8-4
6.3.2
2×2列联表的精确检验法
例7.6 观测性别对药物的反应如下，问男女对该 药是否有区别？ 有 无 男 4 1 5 女 3 6 9 7 7 14 解：根据式(7.5)，计算得P1=0.122 由于每一格的实际观测数均未再现0，这 时还应将四格中最小的那个数再逐个降低到 0。 并保证在行列及总数均不变的情况下，计算每 一种情况的概率。本例中只有一种：
拟合优度检验.ppt
实际频数
理论频数
nk npk
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布
与理论分布之间的差异:
2 r (nk npk )2
k 1
npk
在理论分布 已知的条件下,
npk是常量
统计量 2 的分布是什么?
皮尔逊证明了如下定理:
若原假设中的理论分布F0(x)已经完全给
小区间[ai-1,ai], i=1,…r, 记作A1, A2, …, Ar .
2.把落入第k个小区间Ak的样本值的个数记 作 nk ， 称为实际频数.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ak的概率pk,于是npk就是落入Ak 的样本值的理论频数.
pk P( Ak ) P(ak1 ak ) F0 (ak ) F0 (ak1)
定，那么当n 时，统计量
2 r (nk npk )2
k 1
npk
的分布渐近(r-1)个自由度的
2分布.
如果理论分布F0(x)中有m个未知参数需
用相应的估计量来代替，那么当n 时，
统计量 2的分布渐近 (r-m-1) 个自由度 的 2
分布.
根据这个定理，对给定的显著性水平 ，
查
2分布表可得临界值
2 检验 Chi-Squared Test
Goodness-of-fit Test 拟合优度检验 &
Test of Row and Column Independenc 独立性检验
2分布 (图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
2
样本方差的分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的 所有可能取值形成的相对频数分布
《统计学》-第6章-习题答案
第六章课后题解答1.与参数检验相比，非参数检验有哪些优缺点？主要适用于那些场合？答：（1）非参数检验不需要严格假设条件，因而比参数检验有更广泛的适用面；非参数检验几乎可以处理包括定类数据和定序数据在内的所有类型的数据，而参数检验通常只能用于定量数据的分析；在参数检验和非参数检验都可以使用的情况下，非参数检验的功效（power）要低于参数检验方法。
（2）参数检验中的假设条件不满足；检验中涉及的数据为定类或定序数据；所涉及的问题中并不包含参数；对各种资料的初步分析。
2.使用“学生调查.sav”文件中的数据检验：（1）能否认为总体中学生的学习兴趣呈均匀分布？（2）能否认为总体中学生的身高服从正态分布？答：（1）利用2拟合优度检验，计算出的2统计量的值为2.000,自由度为4,相应的p值（渐近显著性）为0.736。
由于0.736大于0.05,所以在5% 的显著性水平下不能拒绝原假设，也就是说根据样本数据不能认为总体数据是非均匀的。
乱0伞单疋（0.0%）貝有型于5的期峑a单」T:晨小7.0（2）利用单样本K-S检验法，计算出的D max统计量的值为0.899,相应的p值（渐近显著性）为0.394。
由于0.394大于0.05,所以在5%的显著性水平下不能拒绝原假设，也就是说根据样本数据不能认为总体数据是非正态的。
单样進Kolmogor ov-Smirnov 攪腌亂检验分芜为正悲分布乱根据救摇计算得到*表2.23.某企业生产一种钢管，规定长度的中位数是10米。
现随机地从正在生产的生产线上选取10根进行测量，结果为：9.8，10.1，9.7，9.9, 9.8，10.0, 9.7, 10.0，9.9, 9.8。
问该企业的生产过程是否需要调整。
答：单样本中位数的符号检验法检验钢管长度的中位数是否为50,各个数值与中位数比较的结果，有7个值小于10, 1个值大于10, 2个等于10。
样本量较少，输出双侧检验的p值（精确显著性）为0.070。
拟合优度检验
在概率论中，大家对泊松分布产生的一 般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战 争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似 描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战 争次数分布X近似泊松分布. 现在的问题是： 上面的数据能否证实X 具有 泊松分布的假设是正确的？
2
根据这个定理，对给定的显著性水平 ， 2 2 查 分布表可得临界值 ，使得
P ( )
2 2
得拒绝域:
(r 1)
2 2 2 2
(不需估计参数)
(r m 1) (估计 r 个参数)
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得 2 统计量 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假 设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
X ~ N ( , )
2
2.
，则
z
X
~ N (0,1)
3.
4.
令 Y z 2 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即
Y ~ (1)
2
4.
当总体 X
~ N ( , )
2
n i 1
，从中抽取容量为n的样本，则
2
( xi x )
2
~ ( n 1)
2
2分布
i 1 i
并证明在H0 成立时对充分大的n, (7.4.2) 给出的 2 分布。 检验统计量近似服从自由度为k-1的
拒绝域为:
27 August 2012
W
2
1 k 1
2
华东师范大学
第七章 假设检验
第31页
例1 为募集社会福利基金，某地方政府发 行福利彩票，中彩者用摇大转盘的方法确定 最后中奖金额。大转盘均分为20份，其中金 额为5万、10万、20万、30万、50万、100万 的分别占2份、4份、6份、4份、2份、2份。 假定大转盘是均匀的，则每一点朝下是等可 能的，于是摇出各个奖项的概率如下：
拟合优度检验
n个点中，理论上有npi (θ )个点落在 Ii 上, 个点中，理论上有 个点落在 个点中 (称为理论频数 。当分布函数中含有未知 称为理论频数)。 称为理论频数 ˆ 理论频数也未知， 参数 θ 时，理论频数也未知，要用 npi (θ ) ˆ 来估计np 的极大似然估。 来估计 i (θ )，其中 θ 为 θ 的极大似然估。 ， (3). 计算各子区间 Ii 上的实际频数 fi 。 fi =﹟{ X1, X2, …, Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, …, k .
计数符号，பைடு நூலகம்计数符号，取集 合中元素的个数
(4). 计算理论频数与实际频数的偏差平方和。 计算理论频数与实际频数的偏差平方和。 k ˆ [ fi − npi (θ )]2 (2) χ2 = ∑ ， ˆ npi (θ ) i=1 ˆ 去除的其目的是： 理论 每一项用npi (θ ) 去除的其目的是：缩小
(见表 。 8.3) 最后两组合并成一组
(3). 计算数据落入各子区间上的实际频数 fi 。 fi =﹟{ X1, X2, …, Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, …, 10 . (4). 计算检验统计量的值
ˆ [ fi − npi ]2 2 χ =∑ ≈ 22.15. ˆ npi i=1
k
np1 = 36 × (3/ 4) = 27， 2 = 36 × (1/ 4) = 9 . np
(3). 实际频数为，f1=25， f2=11 . 实际频数为， ， (4). 计算统计量的值
[ fi − npi ]2 2 χ =∑ npi i=1
2
(25 − 27)2 (11− 9)2 = + = 0.592. 27 9
§8.4 拟合优度检验
在前面的讨论中， 在前面的讨论中，我们总假定总体的分 布形式是已知的。例如， 布形式是已知的。例如，假设总体分布为正 态分布 N(µ, σ2), 总体分布为区间 (a, b) 上的 均匀分布，等等。 均匀分布，等等。 然而，在实际问题中，我们所遇到的总 然而，在实际问题中， 体服从何种分布往往并不知道。 体服从何种分布往往并不知道。需要我们先 对总体的分布形式提出假设， 对总体的分布形式提出假设，如：总体分布 是正态分布N( 是正态分布 µ , σ2)，总体分布是区间 b) ，总体分布是区间(a, 上均匀分布等，然后利用数据(样本 样本)对这一 上均匀分布等，然后利用数据 样本 对这一 假设进行检验，看能否获得通过。 假设进行检验，看能否获得通过。
拟合优度检验及其应用
拟合优度检验及其应用许某某，数学与计算机科学学院摘要：数理统计的两个主要形式就是参数估计和假设检验，在这里，我们只介绍后者——假设检验，其中又只对假设检验中的拟合优度检验假设作介绍。
假设检验根据样本分布族的数学形式已知与否，可分为参数假设检验和非参数假设检验，作为非参数假设检验之一的拟合优度检验，又是检验理论分布假设的重要方法。
为了帮助我们更好了解拟合优度检验，本文将首先给我们介绍拟合优度检验的数学定义。
其次，重点介绍时下讨论最多的两种拟合优度方法——2Pearsonχ检验和Kolmogorov Smirnov-检验，并穿插具体实例解答来给我们直观的印象，帮助理解。
最后，考虑到检验过程会很复杂，本文在最后一节讲述了这两种检验的软件实现，结合实例，编写运行程序。
关键词：假设检验；非参数假设检验；拟合优度；2Pearsonχ检验；-检验K o l m o g o r o v S m i r n oGoodness-of-fit testing and its applicationMoumou_Xu, Mathematics and computer science institute Abstract：parameter estimation and hypothesis testing are the main contents ofmathematical statistics, here, we only study the latter——hypothesis testing, our key point is goodness-of fit testing. As is known to us, according to whether the mathematical form of sample non-normal distribution is known or not, hypothesis testing contains parameters fake check and nonparameters fake check. Goodness-of fit testing, one of nonparameters fake check, is the important way to test theoretical distribution’hypothesis. To help us understand The goodness of fit better, first of all, this article will tell us the mathematical definition of The goodness of fit. Secondly, two methods, which are talked widely, would be introduced. They are 2Pearsonχtesting and Kolmogorov Smirnov-testing. A special example will leave us direct impression and help us to manage the way. At last,because of the complex testing process,it is necessary to tell how to use the statistical software to solve the bining with specific example,we get the program.Key words: hypothesis testing; nonparameters fake check ; goodness of fit;2Pearsonχtesting;Kolmogorov Smirnov-testing内容安排1.拟合优度检验的提出2.几种常用拟合优度检验介绍2.1.2Pearsonχ检验2.1.1.理论分布完全已知情况1.随机变量X是离散型2.理论分布为确定分布2.1.2.理论分布带有未知参数2.2．Kolmogorov Smirnov-检验2.3.2Pearsonχ检验与Kolmogorov Smirnov-检验的比较3.拟合优度检验实例分析4.拟合优度检验的软件实现4.1．2Pearsonχ检验的软件实现4.2.Kolmogorov Smirnov-检验的软件实现5.参考文献1.拟合优度检验的提出[1]假设检验问题就是通过从有关总体中抽取一定容量的样本，利用样本去检验总体分布是否具有某种特性。
如何理解拟合优度检验？
如何理解拟合优度检验？在数据分析中，对于定类变量和低测度的定序变量，通常不能使用均值、T检验和方差分析等方法来处理。
对于不符合正态分布的定类数据或低测度定序数据，其检验方法是利用交叉表技术分行分列计算交叉点的频数，利用卡方距离实施卡方检验，基于频数和数据分布形态分析不同类别的数据是否存在显著性差异，对于定类数据的对比检验，也叫独立性检验。
低测度数据对于定类变量，其数值大小和顺序并不代表什么意义，对于定类变量和低测度的定序变量，均值和方差都不能描述变量特征，故不能通过分析其平均值、方差等参数开展数据分析。
在做统计分析时，对于这类变量通常需要借助中位数、频数、百分比以及不同分布情况，实现数据描述。
对于低测度数据，比较典型的研究是关于结构成分的研究，实际上是一种借助频数来分析数据分布形态，并进而发现数据分布差异性的检验。
拟合及拟合优度由于低测度数据的特点，直接进行基于均值的检验显然是不行的，于是人们借助数学模型，提出了拟合的概念。
所谓拟合，就是分析现有观测变量的分布形态，检查其分布能够与某一期望分布（或标准分布）很好地吻合起来。
在数学上，拟合的过程就是寻找能很好地温和当前数据序列的数学模型的过程。
为了评价拟合的程度，人们提出了判定拟合有效性的机制，这就是拟合优度。
拟合优度也借助检验概率的概念来评价数据拟合的质量。
目前，对于低测度数据序列的处理最常见的分析方法是卡方检验。
特别是基于交叉表的卡方检验在数据分析中具有重要的地位，它们都建立在拟合概念的基础上。
另外，二项分布、游程检验等单样本检验也可以看做是数据拟合的重要应用。
与此同时，对定距或定序变量的分布形态判定，也是数据拟合的应用之一，在分布形态判定过程中所获得的检验概率就是该序列与标准分布形态的拟合优度。
卡方检验卡方检验的目标就是检查观测值的频数与期望频数之间的差异显著性。
由于卡方检验要求便于对个案进行分类并计算频数，因此卡方检验通常基于定类数据或低测度定序数据，并基于它们分类计算个案的实际频数，然后通过实际频数与期望频数的距离，来判定实际频数是否与预期目标存在差异。
《拟合优度检验》课件
柯克伦科夫勒检验
总结词
柯克伦科夫勒检验是一种基于概率的拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著。
详细描述
柯克伦科夫勒检验基于二项分布，通过计算观测频数与期望频数的离差平方和，得到柯克伦科夫勒统计量。在样 本量足够大的情况下，柯克伦科夫勒统计量近似服从正态分布。通过比较柯克伦科夫勒统计量与临界值，可以判 断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
03
拟合优度检验的步骤
Chapter
确定检验假设
零假设（H0）
样本数据与理论分布无显著差异。
对立假设（H1）
样本数据与理论分布存在显著差异。
计算检验统计量
统计量计算
根据样本数据和理论分布的性质，计 算相应的统计量，如卡方统计量、熵 值统计量等。
统计量性质
了解统计量的分布特性，以便后续的 临界值判断。
斯皮尔曼秩检验
总结词
斯皮尔曼秩检验是一种非参数拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著 。
详细描述
斯皮尔曼秩检验基于秩次，通过将观测频数与期望频数按照大小排序，并计算秩次之差得到秩次统计 量。在自由度等于分类数减一的情况下，秩次统计量服从F分布。通过比较秩次统计量与临界值，可 以判断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
Chapter
皮尔逊卡方检验
总结词
皮尔逊卡方检验是最常用的拟合优度检验方法之一 ，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显 著。
详细描述
皮尔逊卡方检验基于卡方分布，通过计算观测频数 与期望频数的离差平方和，得到卡方统计量。在自 由度等于分类数减一的情况下，卡方统计量服从卡 方分布。通过比较卡方统计量与临界值，可以判断 观测频数与期望频数是否存在显著差异。
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该表共有2行2列，称为2×2列联表。检验 程序如下：
. .
1、提出假设H0：给药方式与治疗效果无关 联（相互独立），即口服给药与注射给药 的治疗效果没有差异 。 2、确定显著水平： a =0.05
3、在假设H0：给药方式与治疗效果无关联 （相互独立）的前提下，计算理论数：
.
.
根据独立事件的概率乘法法则：若事件 A 和事件 B 是相互独立的 , 则 P(AB)=P(A)P(B) 。
.
.
2 i 1
k
O
i
Ti 0.5 Ti
2
.
（2）当理论数小于5时，由上式计算出的2 值与2分布偏离也较大。因此，应将理论数 小于5的项与相邻项合并直到理论数≥5,合 并后的组数为k 。
1、提出假设H0：实际观测数与理论数相 符合，记为H0：O－T＝0 ， HA：不符合
. .
.
0.016 0.101 0.135 0.218 0.470
.
312.75 104.25 108 104.252 32 34.752 104.25 34.75
.
4、推断：从附表6中查出23, 0.05＝7.815， H0的拒绝域为2>7.815。由于实得2< 7.815 ， 结论是接受H0，F2代表现型符合9:3:3:1的 分离比率。 [实例2] 用正常翅的野生型果蝇与残翅果蝇 杂交， F1 代均表现为正常翅。 F1 代自交， 在F2代中有311个正常翅和81个残翅。问这 一分离比是否符合孟德尔3∶1的理论比？
.
2 i 1
k
Oi Ti
Ti
2
.
1899年统计学家K.Pearson发现上式服从自 由度df＝k-1-a的2分布，所以定义该统计 量为2。 k为类型数或组数；a为需由样本估计的参 数的个数。
. .
当理论数已经给定或计算理论数时所用的 总体参数已知时a ＝0。若总体参数未知， 需由样本数据估计时 a ≠ 0。 应用时注意两点： （1）当df＝1时，由上式计算出的2值与2 分布偏离较大。因此，需要进行矫正（称 之为连续性矫正），矫正方法如下：
口服（事件B）的概率：P(B)= 98/193 注射（事件 B ）的概率：P(B)=95/193 有效（事件A）的概率：P(A)=122/193
.
无效（事件 A ）的概率：P( A)=71/193
. .
在给药方式和治疗效果之间相互独立的前 提下，口服（事件B）和有效（事件A） 同时发生的概率为： P(BA)＝P(B)P(A) ＝ (98/193) (122/193) 其理论数：T1＝(98/193)(122/193)(193)
.
.
＝(98)(122)/193 = 61.95 通式: 理论数=(该行总数×该列总数)/总数 其它3个事件的理论数，用同样方法计算出， 结果见下表。
给药 方式 口服 (B)
有效（A）
O1=58 T1=(98)(122)/193=61.95
无效（ A ）
O2=40 T2=(98)(71)/193=36.05
总数
98
.
注射 ( B)
总 数
O3=64 T3=(95)(122)/193=60.05
122
O4=31 T4=(95)(71)/193=34.95
71
95
193
. .
自由度df的确定：因为每一行的各理论数 受该行总数约束，每一列的各理论数受该 列总数约束，所以df＝(2-1)(2-1)=1。 4、计算2值：由于df＝(2-1)(2-1)=1，所 以2值应矫正。
正常翅
残翅
总数
实 际 数（O）
. . 理 论 数（T） |O－T|－0.5
311
294 16.5
81
98O－T|－0.5)2
(|O－T|－0.5)2/T
272.25
0.926
272.25
2.778
.
.
1、假设H0：正常翅与残翅的分离比符合理 论比3∶1，HA：不符合 2、显著水平： a = 0.05 3、计算2值：由于自由度df＝k-1=1，所 以2值需要连续性矫正。 2 = 0.926+2.778 = 3.704 4、推断:从附表6中查出df＝1,20.05＝3.841, 实得2<20.05，结论是接受H0，即正常翅与 残翅的分离比符合理论比3∶1。
0
.
1、假设H0：F2代表现型符合9:3:3:1 的分 离比例，即H0：O－T＝0， HA：不符合
. .
2、显著水平：a =0.05 3、计算2值：由于k=4, df＝k-1=3，所以 2值不需要连续性矫正。 315 312.75 101 104.25
2 2 2
黄 圆 黄 皱 绿 圆 108(O3) 绿 皱 32(O4) 总 计 556 实测数 (Oi) 理论数 (T i ) Oi_ － Ti 315(O1) 101（O2）
.
.
312.75(T1) 104.25(T2) 104.25(T3) 34.75(T4)
2.25 -3.25 3.75 -2.75
556
5、推断：若2<2a，则接受H0；若2>2a， 则拒绝H0。
. .
由附表 6 查得 df ＝ 1 时的 20.05 ＝ 3.841 ，由 于实得2=1.061，结论是接受H0，即给药 方式和治疗效果相互独立，也即不同给药 方式的治疗效果差异不显著。
.
.
上面的例子为2×2列联表。对于行、列大 于2的情况则称为r×c列联表。对于r×c列 联表的2检验，程序同上，不另举例。 r×c列联表的理论数：
.
[实例] 黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，F2表现 型分离数目如下：
. .
实测数 (Oi) 理论数 (T i ) Oi_ － Ti
.
黄 圆
黄 皱
绿 圆 108(O3)
绿 皱 32(O4)
总 计 556 556 0
315(O1) 101（O2）
312.75(T1) 104.25(T2) 104.25(T3) 34.75(T4) 2.25 -3.25 3.75 -2.75
.
2
.
4
i 1
64 60.05 0.5 60.05
2
58 61.95 0.5 61.95
2
Oi Ti 0.5 Ti
2
31 34.95 0.5 34.95
40 36.05 0.5 36.05
2 2
.
0.1921 0.3302 0.1982 0.3405 1.061
2、确定显著水平：a =0.05
3、计算理论数Ti ：
4、计算检验统计量2值
.
.
5、推断：将实得2值与2a临界值相比较， 对H0做出。 2a临界值由附表6查出。
.
. .
适合性检验 是检验实际观测数是否符合 某种理论比率的一种假设检验。在遗传学 中，常用来检验杂交后代的分离比例是否 符合某种遗传定律，如孟德尔的分离定律 (3:1)、独立分配定律(9:3:3:1 )等。 [实例1] 检验黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交F2代 表现型是否符合9:3:3:1 的分离比例。
Tij=(i行总数)(j列总数)/总数
.
r×c列联表的自由度：df =(r-1)(c-1)。
.
. .
独立性检验 是通过检验实际观测数与理论 数之间的一致性来判断事件之间的独立性。 这种检验也叫列联表2检验。 [实例] 某种药物不同给药方式的治疗效果
给药方式 口服(B) 有效（A） 无效（ A ） 58 40 总数 98
.
.
注射( B ) 总 数
64 122
31 71
95 193
问：口服给药与注射给药的治疗效果有无 显著差异？
第六章 拟合优度检验
第一节 拟合优度检验的基本概念
. .
一、什么是拟合优度检验
用来检验实际观测数与依照某种假设或模 型计算出来的理论数之间的一致性的方法。
.
二、拟合优度检验的类型
.
适合性检验：检验实际观测数是否与某种 理论比率相符合。 独立性检验：通过检验实际观测数与理论 数之间的一致性来判断事件之间是否相互 独立。