新教材高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念学案新人教B版第三册

2.向量数量积的定义
一般地，当 a 与 b 都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量 a 与 b 的数量积(也
称为内积)，即 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
[ )π
0， (1)当〈a，b〉∈ 2 时，a·b>0;
π 当〈a，b〉＝ 2 时，a·b＝0；
( ] π ，π 当〈a，b〉∈ 2 时，a· b<0. (2)两个非零向量 a，b 的数量积的性质：
(2)先由平面向量数量积的公式计算 cos 〈a，b〉，再计算投影的数量．
2
3
(1)A(2)－3 －2 [(1)因为向量 b 的模为 1.且 b 在 a 方向上的投影的数量为 2 ，则
3 |b|cos 〈a，b〉＝ 2 ，
3
π
得 cos 〈a，b〉＝ 2 ，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝ 6 ＝30°.
4．(2019·青岛高一检测)如图，圆心为 C 的圆的半径为 r，弦 AB 的长度为 2，则 A→B A→C
· 的值为( )
A．r
B．2r
C．1
D．2
A→C A→B D [如图，作 AB 的中点 H，连接 CH，则向量 在 方向上的投影的数量为
A→C AH＝| |cos ∠CAB，
A→B A→C A→B A→C
22 3 [因为 a 是单位向量，且 3a·b＝|b|，则 3|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|，得 cos 1
〈a，b〉＝3， 8
又 sin2〈a，b〉＋cos 2〈a，b〉＝1，得 sin2〈a，b〉＝9.又 0≤〈a，b〉≤π，得 22
sin〈a，b〉＝ 3 .]
与向量数量积有关的概念
【例 2】(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)
(2)如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D．
因为 AB＝AC，
1 所以 BD＝2BC＝2，
B→A
B→D
于是| |cos∠ABC＝| |
＝12|B→C|＝12×4＝2，
B→A B→C B→A B→C 所以 · ＝| || |cos∠ABC＝4×2＝8.]
1.在书写数量积时，a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不 能省略不写．
①如果 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0；
②如果向量 a 与 b 满足 a·b<0，则 a 与 b 所成的角为钝角；
A→B B→C ③△ABC 中，如果 · ＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量 a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.
B→A B→C (2)已知等腰△ABC 的底边 BC 长为 4，则 · ＝________.
2.知识导图
物理背景——向量数量积——概念公式
∣
几何意义与变形公式
π 1.已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝ 3 ，则 a·b＝( )
A．2
B．3
C．6
D．0
π
π
1
B [因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝ 3 ，则 a·b＝|a||b|cos 3 ＝2×3×2＝3.]
(2)先由向量的数量积公式计算 B，再由平面几何性质计算∠ACB，∠BAC，最后求向量
的夹角．
(1)D(2)90° 150° [ (1)因为向量|a|＝2，|b|＝ 3，且 a·b＝－3，所以 cos
a·b
3
〈a，b〉＝|a||b|＝－ 2 ，
5π
又〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝ 6 .
不等式 恒等式
|a·b|≤ |a||b| a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝ a·a
向量垂直 的充要条件
a⊥b ⇔a·b＝0
3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)给定平面上的一个非零向量 b，设 b 所在的直线为 l，则向量 a 在直线 l 上的投影
称为 a 在向量 b 上的投影．
(2)一般地，如果 a，b 都是非零向量，则|a|cos 〈a，b〉为向量 a 在向量 b 上的投影 的数量．
对小车做的功(取 cos37°≈0.8)为_____．小车克服阻力做的功为______．
8 J 6 J [拉力 F 对小车做的功 WF＝FScos θ＝5×2×0.8 J＝8 J， 小车克服阻力做的功为 W 克 f＝－Wf＝3×2 J＝6 J．]
平面向量的夹角 【例 1】(1)(2019·东营高一检测)已知向量|a|＝2，|b|＝ 3，且 a·b＝－3，则
2.求平面向量数量积的方法： (1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a·b＝|a||b|cos θ. (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求 a·b.
3.给出下列判断：①若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；②已知 a，b，c 是三个非零向量，若
a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b 共线
A→B A→H
所以 · ＝| || |cos ∠CAB＝| || |＝2.]
5．已知向量 a 在向量 b 上的投影的数量是 2，|b|＝3，则 a·b＝________. 6 [因为向量 a 在向量 b 上的投影的数量是 2，|b|＝3，则 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|＝2×3＝6.]
[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
(1)③④(2)8 [(1)由数量积的定义知 a·b＝|a||b|·cos θ(θ 为向量 a，b 的夹角)
．
①若 a·b＝0，则 θ＝90°或 a＝0 或 b＝0，故①错；
②若 a·b<0，则 θ 为钝角或 θ＝180°，故②错；
A→B B→C ③由 · ＝0 知 B＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由 a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
(2)因为平面向量|a|＝2，|b|＝6 且 a·b＝－4，
1 所以|a||b|cos 〈a，b〉＝－4，得 cos 〈a，b〉＝－3.
所以 a 在 b 上投影的数量为|a|cos
2 〈a，b〉＝－3，b 在 a 上投影的数量为|b|cos
〈a，b〉＝－2.]
关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项 1向量 a 在 b 所在直线上的投影是一个向量，向量 a 在 b 所在直线上的投影的数量是 一个实数. 2向量 a 在向量 b 上的投影的数量是|a|cos 〈a，b〉，向量 b 在向量 a 上的投影的数 量是|b|cos〈a，b〉，二者不能混为一谈.
8.1.1 向量数量积的概念
学习目标
核心素养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量 1.通过物理学中力对物体做功引出向量
积的含义及其物理意义．(难点)
的数量积概念，培养学生数学抽象的素
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关
养．
系．(重点)
2.利用向量的投影领会向量的数量积的
3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数 几何意义，提高学生几何直观的数学素
A→B B→C (2)在△ABC 中，因为 AB＝4，BC＝2， · ＝－4，
A→B B→C
A→B B→C
所以| || |cos 〈 ， 〉＝－4，
1
得 4×2cos(π－B)＝－4，所以 cos B＝2，得 B＝60°.
如图，延长 BC 到 D，使 CD＝BC，则△ABD 为等边三角形，所以
B→C C→A
若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a·c＝－b·c，所以
|a·c|＝|b·c|，故②正确；
a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；
对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；
(3)两个非零向量 a，b 的数量积 a·b，等于 a 在向量 b 上的投影的数量与 b 的模的乘 积．这就是两个向量数量积的几何意义．
π
1.已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为 3 ，则 a 在 b 方向上的投影为( )
33
32
1
3
A． 2 B． 2 C．2 D．2
π3
D [向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3×cos 3 ＝2.故选 D．]
量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点) 养.
1.两个向量的夹角
O→A
O→B
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作 ＝a， ＝b，则称[0，π]内的
∠AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角，记作〈a，b〉．
(1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉． π
(2)当〈a，b〉＝ 2 时，称向量 a 与向量 b 垂直，记作 a⊥b.
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
(2)已知平面向量|a|＝2，|b|＝6 且 a·b＝－4，则 a 在 b 上投影的数量为
________，b 在 a 上投影的数量为________．
[思路探究](1)向量 b 在 a 方向上的投影的数量为|b|cos 〈a，b〉，再求向量的夹角．
当 a 与 b 的夹角为 0°时，也有 a·b>0，因此⑦错；
|b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的正投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上
可知①②⑥正确．]
平面向量数量积的几何意义
【例 3】(1)(2019·永州高一检测)已知向量 b 的模为 1，且 b 在 a 方向上的投影的数
3 量为 2 ，则 a 与 b 的夹角为( )
1.对正投影的三点诠释
(1)a·b 等于|a|与 b 在 a 方向上的正投影的乘积，也等于|b|与 a 在 b 方向上的正投