高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数修改稿函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2课时)
y=sin2x
1 O
x
2x
0 0 0
4
2
2
0
3 4
3 2
2 0
1
1
y=sinx
2
纵坐标不变 ，横坐标
缩短为原来的1/2倍 y=sinx 2 3
y=sin2x
x
1
2
对于函数 y sin 1 x 2
1. 列表：
x
1 x 2 sin 1 x 2
2.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤， 其中“五点”是指什么？
例1：作函数y = 2sin(
1 x3
)的简图。 6
解： 列表
Z 0
2
2
π
7 2
3 2
5π
x
Sin(Z)
2π 1 2
13 2
2π
0
0
y
0
0
-1 -2
0
0
练习：作函数y =
3sin(2x+ 3
)的简图。
物理中简谐运动的物理量
y=sin(x+ ) 3 y=sin(2x+ ) 3
（1）向左平移 3 函数 y=sinx
1 2
y=sin(x+ ) 的图象 3
倍
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变
y=sin(2x+ ) 的图象 3 y=3sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
例4、如何由
y sin x 变换得 y 3 sin(2 x )的图象？ 3
方法1： 按 , , A顺序变换 ( )
y
3
2
y=3sin(2x+ 3 )
y=sinx
1
o
3 6-１
6 3
7 6
5 3
2
7 2 5 12 3 6
x
-2
-3
(2)y＝ 4
1 sin x
cos(3x＋
4
3
2
1 (3)y＝ 2
)
作业：1.已知函数y A sin(x ) ( A 0, 0) 在一个周期内的图象如右下，求其表达式。
2
Y
0
2
3
6
X
-2
2.书P58 A4 B2
-4 -6
0.01
0.02
0.03
0.04
x
交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?
交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y sin x就是函数y A sin( x )在 A 1, 1, 0时的情况.
岳口高级中学
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在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都是常数）. 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6
4
2
o
-2
-4 -6
2
4
6
8
x
o
-2
y 3
O
3
5 6
x
3
练习： 已知函数 y A cos( x ) （A>0,ω>0, 0 ）的最小值是 -5 ，图象上相
邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经 4
5 过点 (0, ) ，求这个函数的解析式。 2
例4．求下列函数的最大值、最小值，以及 达到最大值、最小值时x的集合。 （1）y＝sinx－2
y sin 2 x
1
1 y sin x 2
2
o
4
3 2
2
-1
二、函数y=sinx(>0)图象
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看
作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。
y A sin( x )(其中A 0, 0)在简谐 运动中的相关概念 : (1) A 振幅 2 (2)T 周期 1 (3) f 频率 T 2 (4)x 相位 (5) 初相
例2、某简谐运动图象如图试根据图象回 . 答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅, 周期与频率各是 多少;
1
o
3
)
yysinsinxsinxx yysinsinsinxx yysinxsinxx yysinxsin ysinxx x ysinx x yysin y sin y
y sin(x ) 6
2
3
6
2 2 3
3 5 2 3
2
13 6
x
你认为怎样讨论参数 , , A对y A sin( x )的 图象的影响?
函数 y A sin(x ) 的图象
复习回顾
y sin x, x [0,2 ] 的图象
2 2 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.
,1), (,0), ( 3 ,-1), (2,0) . 关键点： (0,0), (
1 2
1 2
-1 -2
1 2
0 0 0
3 2
0
2π
π
x
-1
-2
y sin x
y=Sinx
纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变
y 1 sin x 2
y=2Sinx
纵坐标扩大到原来的2倍
横坐标不变
1 函数 y 2 sin x 、y sin x 与 y sin x 的图象间的变化关系。 2
y
1
. . . 3/2 2 .
x
o /2 -1
.
(一)探索对y sin( x ), x R的图象的影响.
y sin(x
1.y=sin(x+ )与y=sinx的图象关系 例1、试研究 y sin(x ) 、y sin(x ) 6 与 y sin x 的图象关系3 y
5 思考：函数y = sin2x图像向右平移 12 个
单位所得图像的函数表达式为______
(二)探索对y sin( x )的图象的影响.
2. Y=sin x 与 y=sinx图象的关系
1.列表：
y sin 1 x 的图象。 例2.作函数 y sin 2 x 及 2
sin 2 x
-1
一、函数y=sin(x+ ) 图象
函数y=sin(x+ )（ ≠0）的图象可以看
作是把y=sinx的图象上所有的点向左（当 ＞
0时 ）或向右（当 ＜0时 ）平行移动 个单位而得到的。
练习：函数y = 3cos(x+
)图像向左平移 4
个单位所得图像的函数表达式为 _____ 3
y
3
2
1
y=2si１
1 y= 2
3 2
sinx
2
2
x
-2
三、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作
是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1
时 ）或缩短（当0＜A＜1时 ）到原来的A倍（横坐 标不变）而得到的。y=Asinx， x∈R的值域是［-A， A］，最大值是A，最小值是-A。
y=Sin(2x+ ) 的图象 3 y=3Sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
P59 例1
函数, y A sin(x )
A称为振幅
1 f T
中
2 T 称为周期 | |
称为频率
x 称为相位
称为初相
一、复习回顾
1. y sin x与y A sin(x )图象的关系
方法2： 按 , , A顺序变换 ( )
y
3
2
y=3sin(2x+ ) 3
y=sinx
1
6
o
-１
3
5 6
3
5 3
2
x
-2
y=sin2x y=sin(2x+ ) 3
-3
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变 （2）向左平移 6
1 2
倍
y=Sin2x的图象
(三)探索A对y A sin( x )的图象的影响.
1 例3、作函数 y 2 sin x 及 y sin x 的简图. 2
解： 列表
x
sinx 2sinx
1 2 sinx
3.y=Asinx与y=sinx图象的关系
描点作图
2
0
0 0 0
π
0 0 0
3 2
2π
y
2 1
2
0 0 0
2
2π
3π
3 2
4
2π 0
1
0
-1
2. 描点：
y 1 y=sinx
y=sinx
纵坐标不变， 横坐标 变为原来的 2 倍 2 3 y=sin 1x 2
y=
人教A高中数学必修4第一章 1.5 第1课时 y=Asin(ωx+φ)图象的变换
[答案]
D
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[错因与防范]
1.在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现
π π π y＝sin(3x＋ － )，得到 y＝sin(3x＋ )．从而误选 A. 3 4 12 2．在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍 数把握不准，则易出现对 x 的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现 3π y＝sin(6x＋ )等类似的错误答案． 4
重
难 突 破
重点：函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的画法及应用． 难点：y＝Asin(ωx＋φ)的图象 变换的理解及应用.
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理] 一、A、ω、φ 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ 对函数 y＝Asin(x＋φ)图象的影响
π π π 移 个 单 位 长 度 后 ， 得 到 函 数 图 象 对 应 的 解 析 式 为 y ＝ 2sin 2x－ ＋ ＝ 4 6 4 π 2sin2x－ .故选 3
D.
答案：D
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[双基自测]
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π 1．把 y＝sin x 的图象向左平移 个单位，得到的图象的解析式为( 2 A．y＝－cos x π C．y＝sin x－ 2 π B．y＝sin x＋ 2 D．y＝cos x
2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(wx+)的图象教案新人教A版必修4
2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(wx+)的图象教案新人教A版必修4一、教学分析本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.二、教学目标：1、知识与技能借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ) 的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响；引导学生认识y＝Asin(ωx+φ) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.2、过程与方法通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.3、情感态度与价值观经历对函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.三、教学重点、难点：重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sin x 到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．四、教学设想：函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）（一）、导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.（二）、推进新课、新知探究、提出问题①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y ＝sinx的图象是否有类似的关系？③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.图1问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y 值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、x B-x A、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:图2如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.图3问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.（三）、讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.②略②略.③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.（四）、规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图象个单位长度平移或向右向左||)0()0(ϕϕϕ−−−−−−→−<>得y=sin(x+φ)的图象 )(1)1()10(纵坐标不变到原来或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=sin(ωx+φ)的图象 )()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图象)()10()1(横坐标不变倍这原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asinx 的图象 )(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=Asin(ωx)的图象个单位平移或缩短向左||)1()0(ωϕωϕ−−−−−−→−>>得y=Asin(ωx+φ)的图象.（五）、应用示例例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝,ω＝,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.图4(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为y=sinxy=sin(x-)y=sin(x-)倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变2−−−→−y=2sin(x-).方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为y=sinxy=sinxy=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令X=x-,则x=3(X+).列表:X0 π 2π X2π 5π Y 0 2 0 -2 0 描点画图,如图5所示.图5点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X 取0,,π,,2π来确定对应的x 值.（六）、课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参数φ、ω、A 对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.（七）、作业函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）（一）、导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.（二）、推进新课、新知探究、提出问题①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y＝sin2x的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；(2)把函数y＝sin3x的图象向_______平移_______个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；(3)如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得到的曲线是y=sinx的图象,试求函数y=f(x)的解析式.对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.甲：所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=cos2x的图象,∴f(x)=cos2x.乙：设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin(x++φ)=sinx,∴A=,=1,+φ=0,即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.丙：设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)= sinx,∴A=,=1,+φ=0.解得A=,ω=2,φ=-,∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=sinx变换到y=f(x),解答正确.乙、丙都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(x+φ)的图象向左平移个单位长度时,把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+,应该变换成y=Asin[(x+)+φ],而不是变换成y=Asin(x++φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙的解答是正确的.三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0, ,π, ,2π.②(1)右, ；(2)左, ；(3)先y＝sinx的图象左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).③略.提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.②略.（三）、应用示例例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?(3)写出这个简谐运动的函数表达式.图7活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为.(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),那么A=2;由=0.8,得ω=;由图象知初相φ=0.于是所求函数表达式是y=2sinx,x∈［0,+∞).点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法.变式训练函数y=6sin(x-)的振幅是,周期是____________,频率是____________,初相是___________,图象最高点的坐标是_______________.解:6 8π(8kπ+,6)(k∈Z)例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式.活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π,如不注明,就取离y轴最近的一个即可.解:由已知条件,知y max=3,y min=-5,则A=(y max-y min)=4,B= (y max+y min)=-1,=-=.∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.由于点(,3)在函数的图象上,故有3=4sin(2×+φ)-1,即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<,故取+φ=.∴φ=.故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图象可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点.变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)一个周期的图象如图8所示,求函数的解析式.解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程ωx i+φ=0,,π,,2π(i=1,2,3,4,5),得出φ的值.方法一:由图知A=2,T=3π,由=3π,得ω=,∴y=2sin(x+φ).由“五点法”知,第一个零点为(,0),∴·+φ=0φ=-,故y=2sin(x-).方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一.由图象并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.∴·+φ=πφ=.∴y=2sin(x-).点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.2.xx海南高考,3函数y=sin(2x-)在区间［,π］上的简图是( )图9答案:A（四）、课堂小结1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值.2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面的系数提出,特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置.（五）、作业.。
新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象
x-
4
3 4
5 4
4
0
0
2
0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4
1
-1
描点作图:
2
y 1
4 2
3 4
7 4
9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4
y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
§1.5 函数 y A sin( x ) 的图象
一. 情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动，它在t时刻与 相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x
O
0.01 0.02
0.03
-5
其函数解析式形如
y A sin( x )
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动？如果从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2
O
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
作函数y=3sin(2x+
3
)的图象，
并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.
高中数学(新课标人教A版)必修4第一章三角函数精品1
26
---定义法
新课讲解. 正弦函数、余弦函数旳性质
例1)3y.求s下in列(x函数旳)周期： ---利用结论
3 2) y cos 3x
3) y 3sin(1 x ), x R 一般
35
结论：
函数y Asin(x )及y Acos(x ), x R
奇偶性，单调性，对称中心，作出它的大致草图
解：
定义域：{x | x 2k 1 ，k Z} 值域：R
3
周期：T 2 奇偶性：非奇非偶
单调区间：（ 5 2k，1 2k），k Z 33
对称中心：(k- 2 , 0), k Z 3
应用提升
例2.比较tan 13 与tan 17 的大小?
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数旳图象
五
点
y
画
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
图
法
( ,0)
( 2 ,0)
(
(0,0)o
(0,0)
2
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
五点法——
(0,0) (0,0)
( A,,为常数, A 0, 0)的周期T 2
新课讲解. 正弦函数、余弦函数旳性质 (三)有关奇偶性（复习）
一般地, •假如对于函数f( x )旳定义域内任意一种x, 都有f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 •假如对于函数f( x )旳定义域内任意一种x, 都有f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数
高中数学必修4第一章《三角函数》第五节《1.5函数yAsin(ωx+φ)的图象》 教案
高中数学必修4第一章《三角函数》第五节《1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教学设计第一课时湖南师大附中海口中学刘兵一、教学分析（一）教学内容分析本节课所讲的内容是高中数学必修4第一章《三角函数》第五节的内容，是中学数学的重要内容之一。
它是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，通过函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象间的关系，揭示参数A、ω、φ对函数图象变化的作用（本课时只讨论ω和φ），充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。
在此基础之上，更进一步推广到一般函数y=f(x)的情况，使学生能借助三角函数桥梁，达到能解决所有函数变换的问题，从而提升学生对数学知识的应用能力。
通过学习y=Asin(ωx+φ)的图象变换有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识，同时也为相关学科的学习打下扎实的基础。
（二）教学对象分析高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。
学生学习了正、余弦函数的图象和性质，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。
学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。
通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。
（三）教学环境分析由于本节课涉及到的函数图象较多，对老师的的作图提出了很高的要求。
而且该节课还涉及到函数图象的多种变换，比较注重变换的过程，采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。
多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，使传统的教学方式得到补充。
在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，让学生亲手操作演示，感受函数图象“变”的过程。
φ、ω对函数y=sin(ωx+φ)的图象变化的影响能够得到直观的反映，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。
人教版高中数学必修4(A版) 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 PPT课件
y sin x的图像 y sin( xA sin( x )的图像
y sin( x )的图像
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位 移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x 的关系等都是形 y A sin( x )的函数（其中A, ω , 都是常数）.
3
2
π π1 - 3 6 0 π 2 -1
y sin( x
3
)
O
π 2
3π 2
2π
x
-2 -3
y sin(2 x
3
)
1 y sin( x )如何得到y sin( x )？ 3 2 3
函数y sin(x ) 如何变换得到y sin(x ) 的图像？
函数y sin(2x ) 如何变换得到y 3 sin(2x ) 的图像？ 3 3
y
3
2
π1 6
π 2
5π 6
π 2
-1
-2 -3
0 O
x 2π 函数y sin(2x )如何变换得到 3 1 y sin(2x ) 的图像？ 3 3
函数y sin(x ) 如何变换得到y A sin(x ) 的图象？
结论 : 函数y sin( x ) 的图象,可以看作是把
y sin(x ) 的函数图象上所有点的横坐标缩短 (当 1时)或伸长(当0 1时)到原来的 1 倍 (纵坐标不变)而得到的. 1
(三)探索（ A A 0)对y A sin( x ) 的图象的影响.
2
x
(沿x轴平行移动)
y
人教A版高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象-课件
三 、 教学目标
１.知识与能力目标：
理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ) 图象的影响；揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与 正弦曲线的变换关系，
２.过程与方法目标：
结合具体函数图象的变化，领会由简单到复杂 ，由特殊到一般的化归思想，通过A、ω、φ变化 与函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的关系，加深对数 形结合思想的理解。
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y Asin( x )在A=1，ω=1， 0 的情况.
下面就来探索 、、A 对函数
y Asin( x )
的图象的影响.
***检测复习***
y sin x, x [0,2 ]的图象
合
函数y=sinx(>0)图象:
作 探
究
y=sinx 横坐标变为本来的1/倍 y=sinx
纵坐标不变
小试牛刀
2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ B ）
A. 横坐标伸长到本来的3倍 ，纵坐标不变 B.横坐标缩小到本来的1/3倍 ，纵坐标不变 C.纵坐标扩大到本来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到本来的1/3倍，横坐标不变
1 sin x 0
2
1 2
0
1 2
0
函数 y 2sin x、y 1 sin x与y sin x 的图象
2
间的变化关系.
y
自
2
主 学
1
习
O
3
2
x
2
-1
y 1 sin x
-2
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。
y=Asin(ωx+φ)的图象(第一课时)说课稿
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第一课时)》说课稿大家好!我今天说课的题目是《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》，内容选自于新课标实验教材(人教版A 版)必修4第一章三角函数的第5节. 我将从教学理念；教材分析；教学目标；教法、学法；教学过程；教学评价六个方面来陈述我对本节课的设计方案．一、教学理念新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．二、教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，两角和与差的三角函数以及正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．共3课时，本节课是第一课时．本节课倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过用“五点法”画函数y＝sin(ωx+φ)的简图，以及由函数y＝sin x 的图象得到函数y ＝Asin(ωx+φ) 图象的变换过程．依据《课标》，根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标．三、教学目标［知识与技能］通过“五点作图法”正确找出函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ) 的图象变换规律，能用五点作图法和图象变换法画出函数y＝Asin(ωx+φ)的简图。
［过程与方法］通过引导学生对函数y＝sin x到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想；［情感态度与价值观］课堂中通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．教学重点:用参数思想分层次,逐步讨论字母φ,ω, A变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y＝Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像的变换过程.四．教法、学法教法教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，采用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一．学法在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．五、教学过程（六问二练）一．设置情境问题1：函数的y＝Asin(ωx+φ)图象可由五点法作图进行，它们的五个关键点是什么？设计意图:正中“五点作图法”的要害，既复习了旧知，又为学生准确使用本节课将要用到的工具提供必要的保障．问题2：对于函数y＝Asin(ωx+φ),当A=1, ω=1, φ=0时,就变成了基本的正弦函数y＝sinx.由此猜想y＝Asin(ωx+φ)的图像能不能由y＝sinx的图像变换得到?如何处理?设计意图:新的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识．二．探索研究问题3：如何由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝sin(x+φ)的图像; 函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝Asinx的图像; 函数y ＝sin x的图象变换得到函数y＝sinωx的图像?设计意图:激发兴趣、提供平台学生在碰到这个问题时，很感兴趣，问题4：如何由函数y=sin（x+φ）的图象得到y=sin(ωx+φ)的图象？培养学生的合作意识和合作能力首先要求学生独立思考，然后引导学生小组交流讨论，先由学生总结，再由其他同学和教师补充、质疑、评价或解答，培养学生的合作意识和合作能力．问题5：如何由函数y＝sin(ωx+φ)的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx+φ)的图象？设计意图:培养学生变换的思维能力；深化知识提高学生的应变能力三．课堂小结：本节课主要学习了通过“五点作图法”正确找出函数y＝sinx到y＝sin(x+φ)和y＝sin(ωx+φ)和y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律．通过本节课的学习，同学们要学会善于探索、合作、独立、自信、创新．四．作业布置巩固本节课的知识点，力求作业题具备针对性六．教学反思与评价：函数y＝Asin(ωx+φ)的图象和性质是三角函数的难点内容之一，是研究与三角函数有关的数学问题的基础和工具，知识蕴含着分类讨论、数形结合的重要数学思想。
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx φ)的图象(1)课件3新人教A版必修4
个单位长度得
3
y2=sin[(2x+ )- ]=sin(2x+ )=cos 2x的图象.
36
2
【补偿训练】将y=sin x的图象怎样变换可得到函数y=2sin(2x+ )
3
23
6
12
只需将函数y=cos 2x的图象向左平移 个单位长度，可得到此函数
12
的图象.
答案：左
12
【延伸探究】若把本例2中的“ -2x”改为“ +2x”，其他条件不
3
3
变，应如何变换？
【解析】因为 y cos 2x sin( 2x) sin[2(x ) ]
A.向左平行移动 1 个单位长度
2
B.向右平行移动 1 个单位长度
2
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
2.(2015·苏州高一检测)要得到函数y=sin( -2x)，只需将函数 y=cos 2x的图象向______平移_______个单位3长度.
【解题探究】1.典例1中，为确定平移方向和平移量，需对
26
f(x)=sin( 1)x，所 以
f ( ) sin(1 ) sin 2 .
26
6
26 6
42
答案： 2
2
【方法技巧】三角函数图象伸缩变换的方法
【变式训练】(2015·温州高一检测)将函数y=sin(x-
6
)的图象上所有
点的横坐标缩短为原来的 1(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左
-x)=cos(x- )=cos[(x-
2
)-
6
]，
3
所以将函数y=cos(x- )的图象向右平移 个 单位长度可得到函数