偶图的算法及应用

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偶图的最大匹配
Edmonds于1965年提出了解决偶图的最大匹配的匈牙利算法：
(1) 从 G中 取 一 个 初 始 匹 配 M 。
(2) 若X中的顶皆为M中边的端点，止，M 即为完
备 匹 配 ； 否 则 ， 取 X 中 不 与 M 中 边 关 联 的 顶 u， 记
S {u},T 。
(3) 若 P S T， 止 ， 无 完 备 匹 配 ， 否 则 ， 取
修改顶标的方法，使新的相等子图的最大匹配逐渐
扩大，最后出现相等子图的完备匹配。 这就是KM算
法。
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KM算法
(1) 选 定 初 始 可 行 顶 标 l， 在 G l上 选 取 一 个 初 始 匹 配 M 。
( 2 ) 若 V1中 的 顶 皆 为 M 中 边 的 端 点 ， 止 ， M 即 为 最 佳 匹 配 ；
偶图的算法及应用
南京师范大学附属中学 孙方成
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目录
匹配的概念 偶图的定义和判定 偶图的最大匹配 偶图的最小覆盖问题 偶图的最佳匹配问题 小结
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匹配的概念(1)
定 义 1 设 图 GVG,EG， 而 M是 EG的 一 个
子 集 ， 如 果 M中 的 任 两 条 边 均 不 邻 接 ， 则 称 M是 G的 一 个 匹 配 。 M中 的 一 条 边 的 两 个 端 点 叫 做 在 M下 是 配 对 的 。
否
则
，
取
G
中
l
不
与
M
中
边
关联的源自顶u，记S
{u},T
。
(3) 若 P S T , 转 (4 )； 若 P S T ， 取
al
m in
xS , yT
l x l y w xy
l v al,v S，
l
v
l
v
al
,
v
T
，
l
v
,
其它。
l
l, G l
G
l
。
(4) 选 P S T 中 的 一 点 y， 若 y是 M 中 边 的 端 点 ， 且 yz M ，
设图GVG,EG，VG被分成两个非空的
互补顶点子集X和Y，若图G的一个匹配MEG能饱
和X中的每个顶点，换言之，X中的全部顶点和Y中的
一个子集的顶点之间确定一个一一对应关系，则称M
是图G的一个完备匹配。
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偶图的定义
定义2 设图G(V,E)，若能把V分成两个集合V1和 V2，使得E中的每条边的两个端点，一个在V1中，另 一个在V2中，这样的图称为偶图，也叫二分图，或 是二部图。偶图也可表示为G(V1,V2;E)。
则S S
{z},T T
{
y }，
转
( 3 )；
否
则
，
取
G
中
l
M
可
增
广
路
径 R u , y ， 令 M M E ( R )，A 转 ( 2 )。
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一个例题
某公司有工作人员x1,x2,…,xn ，他们去 做工作y1,y2,…,yn ，每个人都能做其中的几 项工作，并且对每一项工作都有一个固定 的效率。问能否找到一种合适的工作分配 方案，使得总的效率最高。要求一个人只 能参与一项工作，同时一项工作也必须由 一个人独立完成。不要求所有的人都有工 作。
对于顶点集V V1，用PV表示V2中所有和V相
连的顶点的集合。
定 义 3 如 果 偶 图 G 的 互 补 结 点 子 集 V 1 中 的 每 一 结 点 都 与 V 2 中 的 所 有 结 点 邻 接 ， 则 称 G 为 完 全 偶 图 。
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偶图的判定
定 理 1 当 且 仅 当 无 向 图 G 的 每 一 个 回 路 的 次 数 均 为 偶 数 时 ， G 才 是 一 个 偶 图 。 如 果 无 回 路 ， 相 当 于 任 一 回 路 的 次 数 为 0,0视 为 偶 数 。
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KM算法前的准备
在介绍求最佳匹配的KM算法前，首先介绍一些 相关的概念：
定义 5 映射l:VGR满足xV1，yV2，成立 lxlywxy，则称 lv是偶图 G的可行顶标；令
El xy|xyEG,lxlywxy
称以El为边集的生成子图为“相等子图”，记做Gl。
可以证明，Gl的完备匹配即为G的最佳匹配。 以此为基础，1955年Kuhn，1957年Munkres给出
但是，如果问题可以抽象成偶图的最小覆 盖问题，结局就不一样了。由于偶图的特殊性， 偶图的最小覆盖问题存在多项式算法。
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最大匹配与最小覆盖的关系
在证明这个定理的过程中，要用到Hall婚姻定理： 设 G是 一 个 偶 图 ， 顶 集 划 分 成 V1和 V2， G 中 存 在
对 于 V1的 完 备 匹 配 的 充 要 条 件 是 ， 对 于 一 切 SV1，
V2y1,y2,...,yn， 权 wxiyj 0。 如 果 有 一 完 备 匹 配 M，
对 所 有 完 备 匹 配 M， 都 有 WMWM， 则 称 M为 偶 图
G的 最 佳 匹 配 。
由于引入了权，所以最佳匹配不能直接套用最大匹 配算法进行求解。同时，由于对最佳匹配的定义是建 立在完全加权偶图的基础上的，对于不完全图，可以 通过引入权为0（或是其他不影响最终结果的值），使 得偶图称为完全偶图，从而使用最佳匹配算法来解决。
都 有 SPS。
1931年König给出最大匹配与最小覆盖的关系定理如下：
在 偶 图 G 中 ， 若 M *是 最 大 匹 配 ， K *是 最 小 覆 盖 集 ， 则 M *＝ K *。
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偶图的最佳匹配问题
定 义 4 GV1,V2;E是 加 权 完 全 偶 图 ， V1x1,x2,...,xn，
y P S T。
(4) 若 y是 M 中 边 的 端 点 ， 设 yz M ， 令
S S {z}, T T { y}， 转 (3)； 否 则 ， 取 可 增 广
路 径 R u , y ， 令 M M E ( R )， 转 (2)。
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偶图的最小覆盖问题
一般图的最小覆盖问题是一个已被证明的 NPC问题。换一句话说，一般图的最小覆盖问 题，是没有有效算法的图论模型。所以，将一 个实际问题抽象成最小覆盖问题，是没有任何 意义和价值的。
若 匹 配 M 中 的 某 条 边 与 定 点 v 关 联 ， 则 称 M 饱 和 顶 点 v ， 并 称 v 是 M 饱 和 的 。
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匹配的概念(2)
设 M是 图 G的 一 个 匹 配 ， 若 G中 存 在 一 条 基 本 路 径 R， 路 径 的 边 是 由 属 于 M的 匹 配 边 和 不 属 于 M的 非 匹 配 边 交 替 出 现 组 成 ， 则 称 R为 交 替 路 。 若 R的 两 个 端 点 都 是 M 的 非 饱 和 点 ， 则 称 这 条 交 替 路 为 可 增 广 路 。