清华大学自招领军试题.docx

2016 年清华大学自主招生暨领军计划试题

1．已知函数f x x2 a e x有最小值，则函数 g x x22x a 的零点个数为（）

A．0B．1C．2D．取决于a的值

2．已知ABC的三个角A , B ,C 所对的边分别为 a , b ,c ．下列条件中，能使得ABC 的形状唯一确定的有（）

A．a 1 , b 2 , c Z

B．A150 , a sin A csin C2asin C b sin B

C．cos Asin B cosC cos B C cos B sin C0 , C 60

D．a 3 , b1, A60

3．已知函数f x x21， g x ln x ．下列说法中正确的有（）

A．f x与g x在点 (1,0) 处有公切线

B．存在f x的某条切线与g x的某条切线互相平行

C．f x与g x有且只有一个交点

D．f x与g x有且只有两个交点

4．过抛物线y24x 的焦点 F 作直线交抛物线于点．下列说法中正确的有（）

A．以线段AB为直径的圆与直线x一定相离A ,B 两点，M为线段AB的中

2 B．AB的最小值为4

C．AB的最小值为 2

D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切

5．已知F1 , F2是椭圆C :x2

1 a b 0 的左、右焦点，P 是椭圆 C 上一点．下

a b

列说法中正确的有（）

A．a2b时，满足F1PF290的点 P 有2个B．a2b时，满足F1PF290 的点 P 有4个

C．PF1F2的周长小于 4a

D．PF1F2的面积小于等于a

6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖．比赛结果揭晓之前，四个人

作了如下猜测．

甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；

乙：我没有获奖，丙获奖了；

丙：甲、丁中有且只有一人获奖；

丁：乙说得对．

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

7．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC AB 于 C ． P 为圆 O 上任意一点，直线 PA 与直线 OC 相交于点 M ，直线 PB 与直线 OC 相交于点 N ．以下说法正

确的有（）

A．O , M , B ,P 四点共圆

B．A , M , B ,N 四点共圆

C．A , O , P , N四点共圆

D．前三个选项都不对

8．sin A sin B sin C cos A cos B cosC 是 ABC 为锐角三角形的（）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

9．已知x , y , z为正整数，x y z ,那么方程1

的解的组数为（）x y z2

A．8B．10C．11D．12

10．已知集合A a1,a2,, a n,任取

1i j k n ， a i a j A , a j a k A , a k a i A

这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（）

A．6B．7C．8D．9 11．已知 1 ，61，121 ，则下列各式中成立的有（）A．tan tan tan tan tan tan3

B．tan tan tan tan tan tan3

C． tan tan tan3

tan tan tan

D． tan tan tan3

tan tan tan

12．已知实数a , b , c满足 a b c 1，则 4a 14b 14c 1 的最大值与

最小值乘积属于区间（）

A．(11,12)B．(12,13)C．(13,14)D．(14,15) 13．已知x ,y , z R ，满足 x y z 1 , x2y 2z2 1 ，则下列结论正确的有（）

A．xyz的最大值为 0B．xyz的最小值为 - 427

C．z的最大值为 23D．z的最小值为 - 13

14．数列a n满足 a11, a2 2 , a n26a n 1a n n N*．对任意正整数 n ，以下说法中正确的有（）

A．a n21a n 2 a n为定值B．a n 1 mod 9或 a n 2 mod 9

C．4

a n a n 1

为完全平方数D．8a

n a n 17 为完全平方数

15．若复数z满足z 11

，则 z 可以取到的值有（）z

A．1

B．

． 5 1D．

5 1 22C22

16．从正 2016 边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，其中正多边形的个数为（）

A．6552B．4536C．3528D．2016

221

x ，l 2: y 1

x ，过椭圆上一点 P

17．已知椭圆x

2y2 1 a b 0 与直线 l1 : y

a b22

作 l1, l 2的平行线，分别交 l1,l 2于 M , N 两点．若MN为定值，则a

（）b

A．2B．3C．2D．5

18．关于x ,y 的不定方程x2615 2 y的正整数解的组数为（）

A．0B．1C．2D．3

19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有

不同的次序．例如，三个实数 a , b , c 相乘的时候，可以有ab c ,ba c ,c ab, b ca等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有 I n种，则（）A．I22B．I312C．I496D．I5120

20．甲乙丙丁 4 个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，

两组的胜者争夺冠军．4 个人相互比赛时的胜率如下表所示：

甲乙丙丁

甲-0.30.30.8

乙0.7-0.60.4

丙0.70.4-0.5

丁0.20.60.5-

表中的每个数字表示其所在行的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是 0.3 ，乙击败丁的概率是 0.4 ．那么甲赢得冠军的概率是 ________．

21．在正三棱锥P ABC中，ABC的边长为 1．设点P到平面ABC的距离为x，异面直线 AB 与 CP 的距离为 y ，则 lim y ________．

22．如图，正方体ABCD A1 B1C1D1的棱长为1，中心为 O ，BF 1 BC ，

A1E

1 A1A，则四面体OEBF的体积为________．

2 2 n 1

x 1 sin 2n x dx =________．

23．

24．实数x , y满足x2y 2 34x2 y2，则 x2y 2的最大值为________．

25．x ,y , z 均为非负实数，满足 x2y 1z32y z的

127，则 x

224

最大值为 ________，最小值为 ________．

26．O

为

ABC

内一点，满足S AOB

S BOC

S COA

4 : 3 : 2

．设 AOAB AC ，

则________．

27．已知复数 z

cos

i sin

，则 z 3

z 2 ________ ．

z 2

28．已知 z 为非零复数， z 和

的实部和虚部均为不小于

1 的正数，则在复平

10 z

面中， z 所对应的向量 OP 的端点 P 运动所形成的图形面积为 ________．

29．若 tan 4x

，则

sin 4 x sin 2 x sin x

sin x ________．

cos8x cos4x cos 4x cos 2x

cos 2xcos x

cos x

30．将 16 个数：4个 1，4个 2，4个 3，4个 4 填入一个 4×4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 ________种填法．

31． A 是集合 {1,2,3, ? ,14} 的子集，从 A 中任取 3 个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则 A 中元素个数的最大值为 ________．

答案及解析

1．C ．

注意 f ' x e x g x ．

2．AD ．

对于选项 A ，由于 a b c a

b ，于是

c 有唯一取值 2，符合题意；

对于选项 B ，根据正弦定理，有 a

c 2

2ac b 2

, 于是可得 cos B

， B 135 ，

无解；

对于选项 C ，条件即 cos A sin B C

0 ,

于是

A, B,C

90 ,30 ,60 , 60 ,60 ,60

，不

符合题意；

对于选项 D ，根据正弦定理，有 sin B

，又 A 60

，于是 B 30 ， C 90 ，符合

题意． 3．BD ．

注意 y x

1为函数 g x 在点 (1,0) 处的切线，如图．

4．AB．

对于选项 A，点M到准线x1的距离为1

AF BF1AB ，于是以线段 AB 22

为直径的圆与直线 x1一定相切，进而与直线x 3

一定相离；2

对于选项 B 和 C，设A 4a2,4a，则 B1,1，于是 AB4a212

，最小

a2a a 2

44值为 4；

对于选项 D，显然BD中点的横坐标与1

BM不一定相等，因此命题错误．2

5．ABCD．

对于选项 A 和 B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项 C，F1PF2的周长为 2a2c 4a ；

PF12

对于选项 D，F1PF2的面积为1

sin F1PF2 PF1 PF21PF2 1 a2 .

222

6．BD．

乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可．

7．AC．

对于选项 A，OBM OAM OPM 即得；

对于选项 B，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN 为直角，不符合题意；对于选项 C，MBN MOP MAN 即得．

8．B．

必要性：

由于 sin B sin C sin B sin B sin B cosB1,类似的，有 sin C sin A 1，

sin A sin B 1 ，于是

sin A sin B sin C sin B C sin C A sin A B sin B sin C cos A cos A cos B cosC

不充分性：

当 A

2， B C时，不等式成立，而△ ABC并非锐角三角形．4

9．B．

由于1 1 1 1 3

，故 3 x 6 ．2x y z x

情形一若 x3，则1

，即 y6z636 ，解得 x, y, z3,7,42, y z6

x, y, z3,8,24,x, y, z3,9,18, x, y, z3,10,15 ,x, y, z3,12,12 .

情形二若 x 4 ，则1

，即 y4z416 ，解得 x, y, z4,5,20, y z4

x, y, z4,6,12,x, y, z4,8,8.

情形三若 x5，则1

，此时有311

, 于是y

，从而 y5,6 ，y z1010y z y3

进而解得 x, y, z5,5,10 .

情形四若 x6，则1

，即 y3z39 ，解得 x, y, z6,6,6 . y z3

10．B．

不妨假设 a1a2a n．若集合 A 中的正数的个数大于等于4，由于a2a3和a2 a4均大于 a2，于是有 a2a3a2a4a1,所以 a3a4，矛盾．所以集合 A 中至多有 3 个正数．同理可知集合A中至多有 3 个负数．取A3,2,1,0,1, 2,3，

满足题意，所以 n 的最大值为7．

11．BD．

令 x tan ， y tan ， z tan，则y

z z y x z3, 1xy1yz1zx

所以 y x 3 1xy , z y 3 1yz , x z 3 1 zx ,以上三式相加，即有xy yz zx3.

类似的，有

1 3 1 1 , 1

1 ,

1 3

1 , 以上三式相

xy y

加，即有

1 1 x

y z 3 .

yz zx

xyz

12．B ．

设函数 f x

4x 1 的图象，则其导函数 f ' x

2 . 作出函数 f x 的图象，

4x 1

函数 f x 的图象在 x

处的切线 y

2 21 x 1

，以及函数 f x 的图象

7 3

过点

1 和

3 7 的割线

4 1

√

√ 7，如图．

于是可得

1 4x 1

2 21 x 1 21

, 左侧等号当 x

或 x

2 时取得；右侧等号当 x

时取得．因此原式的最大值为

21 ，当 a b c

1 时

， c 3

取得；最小值为

7 ，当 a b

时取得．从而原式最大值与最小值的

4 2 乘积为 7 3 147

144, 169

12,13 ．

13．ABD ．

由 x y

z 1 , x 2 y 2 z 2

1，可知 xy

yz zx

0 ．设 xyz c ，则 x , y , z 是关

于 t 的方程 t 3 t 2 c

0 的三个实根．令 f t

t 3 t 2 c ，利用导数可得

f 0

c 0,

所以

c xyz

，等号显然可以取到．故选项 A ，B

27 0,

都对．因为 x

y 2

2 x 2

y 2

2 1 z 2

, 所以

z 1，等号显然可以

1 z

取到．故选项 C 错，选项 D 对． 3

14．ACD ．因为

a n 2 2a n 3 a n 1

a n 2

2 6a n 2

a n 1 a n 1

a n 2

6a n 2 a n 1 a n 2 1

a n 2 a n 2 6a n 1 a n 2 1

a n 2

a n 2 a n

所以 A 正确．由于 a 3 11 ，故

a n 2 1 a n 2 a n a n 2 1 6a n 1 a n a n

a n 2 1 6a n 1a n a n 2

对任意正整数恒成立，所以

4a n a n 1 7

D 正确．

计算前几个数即可判断 B 错误．

注若数列 a n 满足 a n 2 pa n 1 a n n

15．CD ．

因为 z

1 z 1 1, 故

5 1

z z

a n 1 a n 2

，

8a n a n 1 7

a n 1

a n 2

故 C,

N * ，则 a n 2 1 a n 2a n 为定值．

5 1

，等号分别当 z

5 1 i 和 z 5 1 i 2

时取得． 16．C ．从 2016 的约数中去掉 1,2 ，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从 2016 个顶点中选出 k 个构成正多边形，这样的正多边形有 2016 k 个，因此所求的正多边形的

个数就是 2016 的所有约数之和减去 2016 和 1008．考虑到 2016 25 32 7 ，因此所

求正多边形的个数为 (1+2+4+8+16+32)? (1+3+9) ? (1+7) - 2016- 1008=3528. 17．C ．设 P 点坐标为 x 0 , y 0 ，可得 M 1

x 0

y 0 , 1 x 0

y 0

N 1

x 0

y 0 , 1 x 0

y 0 ,

x 02

为定值，所以

a 2

故 MN

4 y 02 2

16 , 故 a

2 ．

b 1 b

注(1) 若将两条直线的方程改为y kx ，则a 1 ；

b k

(2)两条相交直线上各取一点 M , N ，使得 MN 为定值，则线段 MN 中点 Q 的

轨迹为圆或者椭圆．

18．B．

方程两边同时模 3，可得x2 2 y mod 3 ．因为3? 2 y，故3?x 2，所以 x2 1 mod 3 ,故 2 y 1 mod 3, 所以y是偶数．设y2m m N*，则

2m m615 3 5 41 ,解得2m x5, 即x59

x 2 x

. x123y12

19．AB．

根据卡特兰数的定义，可得I n C n 1 A n n1C 2n n12n!n1 ! C 2n n1 2 . 20．0.165 ．

根据概率的乘法公式，所求概率为0.3 ? (0.5 ? 0.3+0.5 ? 0.8)=0.165.

21．3

．2

当 x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC 中 AB 边上的高，为3．

22．1

．如图．96

有

V OEBF V O EBF 1

V G EBF

V E GBF1

V E

BCC B

1 . 222161196

23．0．

22n1

x 1 sin 2n x dx x2n 1 1sin 2 n x dx 0 .根据题意，有

24．1．

根据题意，有 x 2

y 2 3

2 y 2 x 2 y 2 2

, 于是 x 2

y 2 1 ，等号当 x 2 y 2

1 时

2 取得，因此所求的最大值为 1．

25． 3

， 22 3 ．

由柯西不等式可知，当且仅当

x, y, z

1, 1

,0 时， x y

z 取到最大值 3

．

2 2

根据题意，有 x 2

y 2

z 2 x 2 y 3z

13 ,

于是 13

x y

3 x

y z , 解得 x y

22 3

, 于是 x y z 的最小值

当

x, y, z

0,0, 22 3 时取得，为

22 3 ．

26．23．

根据奔驰定理，有

2 4

2 .

9 9

27． cos 5

i sin 5 ．

根据题意，有 x 3

z 2

z 2 2 1 z 2 z

cos 5

i sin 5 .

28．

200

100 3 300 ．

2z ，于是 10

设 z x

yi ，其中 x, y R ．由于

40 40 10

40 y ,

x 2

y 2

2 y 2

如图．

弓形面积为1

202

sin

100100, 四边形ABCD的面积为23

10 3 10101003100 ,于是所求面积为2

210010010031002001003300.

29．3．

根据题意，有

sin 4 x sin 2x sin x sin x

cos8x cos 4x cos4x cos2x cos2x cos x cos x

tan 8x tan 4x tan 4x tan 2 x tan 2x tan x tan x .

tan8x

30．441000．

首先确定偶数的位置有多少种选择．

第一行两个偶数有 C 24种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需再填一

个偶数，设为 a , b ．

情形一若 a , b 位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定．

情形二若 a , b 位于不同的两行，它们的位置有 6 种选择，此时剩下的四个偶

数所填的位置有 2 种选择．

所以偶数的不同位置数为 C 423 6 290 ,

因此总的填法数位 90 C84 C84441000 .

31．8．

一方面，设 A a1, a2 ,a k，其中 k N *，1 k14 ．不妨假设 a1 a2a k．若k 9 ，由题意， a3 a1 3 ， a5a3 3 ，且 a5a3a3a1，故 a5 a1 7,

同理， a

9a7 ，又因为

a9a5a5 a1，所以

，矛盾．故 k8．51

另一方面，取 A1,2,4,5,10,11,13,14 ，满足题意．综上所述， A 中元素个数的最大值为8．