幂函数与函数图像(最新课件ppt)
合集下载
幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
1 x ④y ( ) 否 2
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
《数学幂函数》课件
《数学幂函数》PPT课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
幂函数(共2课时)课件(共35张PPT)
3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
幂函数(优秀课件)
（2）考察幂函数 在区间(0, +∞)上是单调减函数. 因为 所以
3
2
3
2
5
.
1
5
.
1
2
,
)
2
)(
2
(
;
,
)
1
)(
1
(
-
-
+
+
a2
a
a
例2
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
问题引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 这里a是S的函数; (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数.
正确
不正确
不正确
不正确
正确
例1： 比较下列各题中两数值的大小
① 1.73,1.83 ② 0.8-1 ,0.9-1
②∵幂函数y= x-1在(0,+∞）上是单调减函数.
解：① ∵幂函数y=x3 在R上是单调增函数。
又∵1.7<1.8
∴1.73<1.83
(5) 图像不过第四象限.
(6)第一象限内, 当x>1时， 越大图象越高
(3) 当 为奇数时，幂函数为奇函数； 当 为偶数时，幂函数为偶函数．
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
1 . 幂函数均过定点（1，1）； 2 . 幂函数 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减,因此幂函数 在定义域内单调递减； 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 >0时，幂函数在第一象限均为增函数；
3
2
3
2
5
.
1
5
.
1
2
,
)
2
)(
2
(
;
,
)
1
)(
1
(
-
-
+
+
a2
a
a
例2
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
问题引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 这里a是S的函数; (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数.
正确
不正确
不正确
不正确
正确
例1： 比较下列各题中两数值的大小
① 1.73,1.83 ② 0.8-1 ,0.9-1
②∵幂函数y= x-1在(0,+∞）上是单调减函数.
解：① ∵幂函数y=x3 在R上是单调增函数。
又∵1.7<1.8
∴1.73<1.83
(5) 图像不过第四象限.
(6)第一象限内, 当x>1时， 越大图象越高
(3) 当 为奇数时，幂函数为奇函数； 当 为偶数时，幂函数为偶函数．
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
1 . 幂函数均过定点（1，1）； 2 . 幂函数 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减,因此幂函数 在定义域内单调递减； 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 >0时，幂函数在第一象限均为增函数；
第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)
1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
《幂函数及其图象》课件
《幂函数及其图象》PPT 课件
欢迎来到《幂函数及其图象》PPT课件！本课程将深入探讨幂函数的定义、 图象特点和应用，并提供丰富的例题练习。让我们一起探索这个有趣而强大 的数学概念吧！
什么是幂函数？
幂函数是一类特殊的函数，其定义为f(x) = x^a，其中a为实数常数。幂函数的 通式可以表示为f(x) = kx^a，其中k为比例常数。
根据幂函数的特征值，包括定义域、值域等，求解给定幂函数的相关数值。
3 求解幂函数的方程
通过解方程的方法，求出满足特定条件的幂函数的自变量或因变量的值。
总结
幂函数及其图象的基本概念 幂函数的特点及应用
学习了幂函数的定义和通式，以 及幂函数的图象特点和变化规律。
了解了幂函数在不同领域的实际 应用，如通信、工程和光学等。
幂函数的图象特点
基本性质
幂函数的定义域为实数集，且在定义域上是连 续和可导的。
变化规律
当a>1时，幂函数图象向上开口；当0
图象特点
幂函数的图象随着a的值的不同而呈现出不同的 曲线形状。
对称性
当a为整数时，幂函数图象存在关于y轴和原点 的对称性。
幂函数的应用
幅度调制中的幂函数
幂函数在无线电通信中的幅度 调制中起着重要作用，用于调 整信号的幅度以传输信息。
幂函数在实际生活中的应 用案例
发现了幂函数在日常生活中的实 际应用案例，增加了对数学的实 用性的认识。
压缩机和发电机的特 性曲线
幂函数被广泛用于描述压缩机 和发电机的特性曲线，帮助工 程师优化其性能。
激光功率与时间之间 的关系
幂函数用于描述激光器输出功 率随时间变化的关系，用于控 制激光器的稳定性。
练习题
1 画出幂函数图象
欢迎来到《幂函数及其图象》PPT课件！本课程将深入探讨幂函数的定义、 图象特点和应用，并提供丰富的例题练习。让我们一起探索这个有趣而强大 的数学概念吧！
什么是幂函数？
幂函数是一类特殊的函数，其定义为f(x) = x^a，其中a为实数常数。幂函数的 通式可以表示为f(x) = kx^a，其中k为比例常数。
根据幂函数的特征值，包括定义域、值域等，求解给定幂函数的相关数值。
3 求解幂函数的方程
通过解方程的方法，求出满足特定条件的幂函数的自变量或因变量的值。
总结
幂函数及其图象的基本概念 幂函数的特点及应用
学习了幂函数的定义和通式，以 及幂函数的图象特点和变化规律。
了解了幂函数在不同领域的实际 应用，如通信、工程和光学等。
幂函数的图象特点
基本性质
幂函数的定义域为实数集，且在定义域上是连 续和可导的。
变化规律
当a>1时，幂函数图象向上开口；当0
图象特点
幂函数的图象随着a的值的不同而呈现出不同的 曲线形状。
对称性
当a为整数时，幂函数图象存在关于y轴和原点 的对称性。
幂函数的应用
幅度调制中的幂函数
幂函数在无线电通信中的幅度 调制中起着重要作用，用于调 整信号的幅度以传输信息。
幂函数在实际生活中的应 用案例
发现了幂函数在日常生活中的实 际应用案例，增加了对数学的实 用性的认识。
压缩机和发电机的特 性曲线
幂函数被广泛用于描述压缩机 和发电机的特性曲线，帮助工 程师优化其性能。
激光功率与时间之间 的关系
幂函数用于描述激光器输出功 率随时间变化的关系，用于控 制激光器的稳定性。
练习题
1 画出幂函数图象
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．前 6 个月，该产品月产量保持 2 万件 B．6 月份的月产量为 12 万件 C．6 月份之后，该产品停止生产 D．6 月份之后，该产品月产量保持为 12 万件
图 10－4
│ 要点探究
[思路] 题目中只提供了问题的背景，而问题所有的 本质信息都综合在图象上，突破对图象的理解才是关 键．从图象可大致看出前 6 个月，总产量在不断增加， 6 月份之后，总产量却仍维持在 12 万件．
│ 知识梳理
④伸缩变换： Ⅰ、函数 y＝af(x)(a>0)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象中的每一点横坐标不变， ________纵__坐 ___标__伸__长__(_a_>_1_)_或__压__缩___(0_<_a_<_1_)_为__________ ____原__来__的___a_倍___得到；
│ 知识梳理
Ⅱ、竖直平移：函数 y＝f(x)＋a 的图像可以把函数 y ＝ f(x) 的 图 象 沿 y 轴 方 向 向 上 (a>0) 或 向 下 (a<0)___平__移__|a_|__个单位即可得到；
i．y＝f(x)上移―h―（--h-→>0）y＝f(x)＋h； ii.y＝f(x)下―移---h-―(h→>0)y＝f(x)－h.
Ⅲ、函数 y＝－f(－x)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象关于_原__点___对称即可得到．
y＝f(x)―原―点→y＝－f(－x)； Ⅳ、函数 y＝f(2a－x)的图象可以将函数 y＝f(x) 的 图 象 关 于 ____直__线__x_＝__a___ 对 称 即 可 得 到 ； y ＝ f(x)直―线―x→＝ay＝f(2a－x)．
│ 要点探究
[点评] 任何图象都是由点构成的，要想搞清图象特征 及其反馈出来的信息，从一些特殊的关键点入手非常实用， 这是读图识图能力的基本功，也只有这样才能弄清整个函 数图象反映出来的信息．
│ 要点探究
例５ 设函数 f(x)＝axx2＋＋cb(c＞0)的图像如图
10－5 所示，则 a、b、c 的大小关系是( )
│ 要点探究
方法二：函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y ＝e－x 的图象，然后右移为 1 个单位得函数 y＝e－(x－1)＝ e1－x 的函数图象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐 标不变得到 y＝e1－2x 的图象；
方法三：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 不变得函数 y＝e1＋2x 的图象，最后关于 y 轴对称得函数 y ＝e1＋2(－x)＝e1－2x 的图象；
│ 要点探究
(3)y＝2x－＋x1＝－1＋x＋3 1， y＝3x左移一个单位―，―→下移一个单位y＝x＋3 1－1，图 象如图(c)； (4)y＝ x 左移―三―个→单位 y＝ x＋3 关于―y―轴→对称 y＝ 3－x上移―两―个→单位y＝2＋ 3－x，图象如图(d)．
│ 要点探究
│ 要点探究
例３ 已知图象变换：①关于 y 轴对称；②关于 x 轴 对称；③右移 1 个单位；④左移一个单位；⑤右移12个单位； ⑥左移12个单位；⑦横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变； ⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由 y＝ex 的图 象经过上述某些变换可得 y＝e1－2x 的图象，这些变换可以 依次是________(请填上变换的序号)．
│ 要点探究
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
│ 要点探究
► 探究点4 函数图象的识别与应用
例４ 受全球金融危机的影响，很多企业的生产都在 进行调整，如图 10－4 为某企业在 2010 年生产某产品的累 计总产量与月份之间的函数图像，则下列说法正确的是 ()
│ 规律总结
规律总结
1．幂函数 y＝xa 的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现的第四象限内，至于是否出现在第二、三 象限内，要看函数的奇偶性；在(0,1)上，幂函数中指数 愈大，函数图象愈靠近 x 轴，在(1，＋∞)上，幂函数中 指数越大，函数图象越远离 x 轴；幂函数的单调性、奇 偶性由指数决定．
│ 知识梳理
2．函数图像 以解析式表示的函数作图像的方法有两种，即 _列__表__描__点__法___和__图__像__变__换__法__． 描点法： (1)作函数图像的步骤：①确定函数的_定__义___域__； ②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即
0
________单__调___性__、__奇__偶__性__、__周__期__性_________；④描点连 线，画出函数的图像．
│ 知识梳理
③翻折变换： Ⅰ、函数 y＝|f(x)|的图象可以将函数 y＝f(x)的 图象的 x 轴下方部分沿__x__轴____翻折到 x 轴上方， 去掉原 x 轴下方部分，并保留_y_＝__f_(x_)_的___x_轴__上__方__部__分_ 即可得到；
│ 知识梳理
Ⅱ、函数 y＝f(|x|)的图象可以将函数 y＝f(x)的图 象右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分， 并保留___y_＝__f_(x_)_在__y__轴__右__边__部__分_____即可得到．
y＝f(x)―y―×a→y＝af(x)； Ⅱ、函数 y＝f(ax)(a>0)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a>1)或压缩 (0<a<1)为原来的1a倍得到．
y＝f(x)―x―×a→y＝f(ax)．
│ 知识梳理
(3)识图：图象的分布范围、变化趋势、对 称性、周期性等等．
(2)幂函数性质 ①所有的幂函数在_(0_， __＋ ___∞_)都有定义，并且图象都过 点_(_1_,_1_) _； ②α>0时，幂函数的图象通过_原__点___，并且在区间[0， ＋∞)上是__增__函__数__．特别地，当α>1时，幂函数的图象 _下__凸___；当0<α<1时，幂函数的图象_上__凸___； ③α<0时，幂函数的图象在区间0 (0，＋∞)上是 __减__函__数____．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象 在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在 x轴上方无限地逼近x类，然后确定图象变换 的顺序．
①⑧⑤或①③⑧或④⑧①或④①⑧(填一组即可)
[解析] 方法一：函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函 数 y＝e－x 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不 变得 y＝e－2x 的图象，最后向右移12个单位得函数 y＝e－ 2x－12＝e1－2x 的图象；
│ 要点探究
► 探究点2 函数的图象的画法
例2 作出下列函数的大致图象：
(1)y＝log2|x|；
(2)y＝|log2(x－1)|；
(3)y＝2x－ ＋x1；
(4)y＝2＋ 3－x.
[思路] 根据各函数解析式的结构特征，分析 其图象是由哪类初等函数经过何种变换而得．
│ 要点探究
[解答](1)y＝log2x作出其关―于―y轴→对称部分 y＝log2|x|，图象如图(a)； (2)y＝log2x右移―一―个→单位y＝log2(x－1) 把x轴下方部分―对―称→地翻折到上方 y＝|log2(x－ 1)|，图象如图(b)；
│ 知识梳理
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例１ 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m3 <(3－2a)m3 的 a 的取值范围．
C [解析] 不妨把题图增加几个月份分析，如图， 点 A 说明 6 月份累计总产量就达到了 12 万件，B 点反映 9 月份累计总产量还是 12 万件，说明 6 月份之后，该产 品没有再生产了．而 C 点表现为 3 月份的累计总产量就 接近 12 万件，说明前 6 个月不是平均生产，而是生产在 锐减，直至停止．所以选 C.
[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是：列表、 描点、连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列 表，直接描点、连线；(2)利用图象变换作函数图象， 关键是找出基本初等函数，将函数的解析式分解为只有 单个变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到 所要的函数图象．
│ 要点探究
► 探究点３ 函数的图象变换
│ 要点探究
[解答] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜ 0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1或2.又函数f(x)的图 象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3
为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.又函数g(x)＝x
1 3
在R上为增函数，∴(a＋1)
│ 规律总结
2．作图 作图的常用方法有描点法和变换法，对前者，要 注意对函数性质的研究；对后者，要熟悉常见函数及 图象的变换法则，在解决函数图象的变换问题时，要 遵循“只能对函数关系式中的 x、y 变换”的原则，写出 每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免 出错．
│ 规律总结
3．识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下 分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，注意图象与 函数解析式中参数的关系． 4．用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量 关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得 问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．
│幂函数与函数的图像
图 10－4
│ 要点探究
[思路] 题目中只提供了问题的背景，而问题所有的 本质信息都综合在图象上，突破对图象的理解才是关 键．从图象可大致看出前 6 个月，总产量在不断增加， 6 月份之后，总产量却仍维持在 12 万件．
│ 知识梳理
④伸缩变换： Ⅰ、函数 y＝af(x)(a>0)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象中的每一点横坐标不变， ________纵__坐 ___标__伸__长__(_a_>_1_)_或__压__缩___(0_<_a_<_1_)_为__________ ____原__来__的___a_倍___得到；
│ 知识梳理
Ⅱ、竖直平移：函数 y＝f(x)＋a 的图像可以把函数 y ＝ f(x) 的 图 象 沿 y 轴 方 向 向 上 (a>0) 或 向 下 (a<0)___平__移__|a_|__个单位即可得到；
i．y＝f(x)上移―h―（--h-→>0）y＝f(x)＋h； ii.y＝f(x)下―移---h-―(h→>0)y＝f(x)－h.
Ⅲ、函数 y＝－f(－x)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象关于_原__点___对称即可得到．
y＝f(x)―原―点→y＝－f(－x)； Ⅳ、函数 y＝f(2a－x)的图象可以将函数 y＝f(x) 的 图 象 关 于 ____直__线__x_＝__a___ 对 称 即 可 得 到 ； y ＝ f(x)直―线―x→＝ay＝f(2a－x)．
│ 要点探究
[点评] 任何图象都是由点构成的，要想搞清图象特征 及其反馈出来的信息，从一些特殊的关键点入手非常实用， 这是读图识图能力的基本功，也只有这样才能弄清整个函 数图象反映出来的信息．
│ 要点探究
例５ 设函数 f(x)＝axx2＋＋cb(c＞0)的图像如图
10－5 所示，则 a、b、c 的大小关系是( )
│ 要点探究
方法二：函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y ＝e－x 的图象，然后右移为 1 个单位得函数 y＝e－(x－1)＝ e1－x 的函数图象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐 标不变得到 y＝e1－2x 的图象；
方法三：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 不变得函数 y＝e1＋2x 的图象，最后关于 y 轴对称得函数 y ＝e1＋2(－x)＝e1－2x 的图象；
│ 要点探究
(3)y＝2x－＋x1＝－1＋x＋3 1， y＝3x左移一个单位―，―→下移一个单位y＝x＋3 1－1，图 象如图(c)； (4)y＝ x 左移―三―个→单位 y＝ x＋3 关于―y―轴→对称 y＝ 3－x上移―两―个→单位y＝2＋ 3－x，图象如图(d)．
│ 要点探究
│ 要点探究
例３ 已知图象变换：①关于 y 轴对称；②关于 x 轴 对称；③右移 1 个单位；④左移一个单位；⑤右移12个单位； ⑥左移12个单位；⑦横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变； ⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由 y＝ex 的图 象经过上述某些变换可得 y＝e1－2x 的图象，这些变换可以 依次是________(请填上变换的序号)．
│ 要点探究
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
│ 要点探究
► 探究点4 函数图象的识别与应用
例４ 受全球金融危机的影响，很多企业的生产都在 进行调整，如图 10－4 为某企业在 2010 年生产某产品的累 计总产量与月份之间的函数图像，则下列说法正确的是 ()
│ 规律总结
规律总结
1．幂函数 y＝xa 的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现的第四象限内，至于是否出现在第二、三 象限内，要看函数的奇偶性；在(0,1)上，幂函数中指数 愈大，函数图象愈靠近 x 轴，在(1，＋∞)上，幂函数中 指数越大，函数图象越远离 x 轴；幂函数的单调性、奇 偶性由指数决定．
│ 知识梳理
2．函数图像 以解析式表示的函数作图像的方法有两种，即 _列__表__描__点__法___和__图__像__变__换__法__． 描点法： (1)作函数图像的步骤：①确定函数的_定__义___域__； ②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即
0
________单__调___性__、__奇__偶__性__、__周__期__性_________；④描点连 线，画出函数的图像．
│ 知识梳理
③翻折变换： Ⅰ、函数 y＝|f(x)|的图象可以将函数 y＝f(x)的 图象的 x 轴下方部分沿__x__轴____翻折到 x 轴上方， 去掉原 x 轴下方部分，并保留_y_＝__f_(x_)_的___x_轴__上__方__部__分_ 即可得到；
│ 知识梳理
Ⅱ、函数 y＝f(|x|)的图象可以将函数 y＝f(x)的图 象右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分， 并保留___y_＝__f_(x_)_在__y__轴__右__边__部__分_____即可得到．
y＝f(x)―y―×a→y＝af(x)； Ⅱ、函数 y＝f(ax)(a>0)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a>1)或压缩 (0<a<1)为原来的1a倍得到．
y＝f(x)―x―×a→y＝f(ax)．
│ 知识梳理
(3)识图：图象的分布范围、变化趋势、对 称性、周期性等等．
(2)幂函数性质 ①所有的幂函数在_(0_， __＋ ___∞_)都有定义，并且图象都过 点_(_1_,_1_) _； ②α>0时，幂函数的图象通过_原__点___，并且在区间[0， ＋∞)上是__增__函__数__．特别地，当α>1时，幂函数的图象 _下__凸___；当0<α<1时，幂函数的图象_上__凸___； ③α<0时，幂函数的图象在区间0 (0，＋∞)上是 __减__函__数____．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象 在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在 x轴上方无限地逼近x类，然后确定图象变换 的顺序．
①⑧⑤或①③⑧或④⑧①或④①⑧(填一组即可)
[解析] 方法一：函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函 数 y＝e－x 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不 变得 y＝e－2x 的图象，最后向右移12个单位得函数 y＝e－ 2x－12＝e1－2x 的图象；
│ 要点探究
► 探究点2 函数的图象的画法
例2 作出下列函数的大致图象：
(1)y＝log2|x|；
(2)y＝|log2(x－1)|；
(3)y＝2x－ ＋x1；
(4)y＝2＋ 3－x.
[思路] 根据各函数解析式的结构特征，分析 其图象是由哪类初等函数经过何种变换而得．
│ 要点探究
[解答](1)y＝log2x作出其关―于―y轴→对称部分 y＝log2|x|，图象如图(a)； (2)y＝log2x右移―一―个→单位y＝log2(x－1) 把x轴下方部分―对―称→地翻折到上方 y＝|log2(x－ 1)|，图象如图(b)；
│ 知识梳理
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例１ 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m3 <(3－2a)m3 的 a 的取值范围．
C [解析] 不妨把题图增加几个月份分析，如图， 点 A 说明 6 月份累计总产量就达到了 12 万件，B 点反映 9 月份累计总产量还是 12 万件，说明 6 月份之后，该产 品没有再生产了．而 C 点表现为 3 月份的累计总产量就 接近 12 万件，说明前 6 个月不是平均生产，而是生产在 锐减，直至停止．所以选 C.
[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是：列表、 描点、连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列 表，直接描点、连线；(2)利用图象变换作函数图象， 关键是找出基本初等函数，将函数的解析式分解为只有 单个变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到 所要的函数图象．
│ 要点探究
► 探究点３ 函数的图象变换
│ 要点探究
[解答] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜ 0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1或2.又函数f(x)的图 象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3
为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.又函数g(x)＝x
1 3
在R上为增函数，∴(a＋1)
│ 规律总结
2．作图 作图的常用方法有描点法和变换法，对前者，要 注意对函数性质的研究；对后者，要熟悉常见函数及 图象的变换法则，在解决函数图象的变换问题时，要 遵循“只能对函数关系式中的 x、y 变换”的原则，写出 每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免 出错．
│ 规律总结
3．识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下 分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，注意图象与 函数解析式中参数的关系． 4．用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量 关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得 问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．
│幂函数与函数的图像