多自由度体系自由振动
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第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
第三章(多自由度系统的振动)
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.
结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
多自由度自由振动.
2
1、刚度法：（建立力的平衡方程）
两个自由度的体系
y2(t)
质点动平衡方程:
m2 .y.2 r2
y2(t) r2
m1 y..1 r1 0, m2 y..2 r2 0
r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2
y1(t) m1.y.1 r1 y1(t) r1
即: m1 y..1 k11 y1 k12 y2 0 m2 y..2 k21 y1 k22 y2 0
(m111 )Y1 m212Y2 0 m1 21Y1 (m2 22 )Y2 0 D m111 m212 0
m1 21 m2 22
振型方程：其中：λ=1/ω2
Y1 ，Y2不能全为零。
频率方程
不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。
Y1 12m2 Y2 11m1
Y12 12m2
1.125m/ EI
1
Y22 11m1 2 2.5m/ EI 1.125m/ EI 1
2 1
1 1
Yij为正时 表示质量mi的
运动方向与计 算柔度系数时 置于其上的单 位力方向相同， 为负时，表示 与单位力方向 相反。
m1Y11Y12
m2Y21Y22
m 2
(2) (1)
32
..
mi yi ri 0
(i 1,2,..., n)
ri ki1 y1 ki2 y2 ... kin yn
(i 1,2,..., n)
m.mmm.1.12n.y....yy....12n.m..2..k.kk.1.21n.11y.yy.111....m.k.kkn.1.22n.22y.y.y2yy...y..2...2.1.n2................kkk.k.1.2nk.k111.1.n2n.ynn..ynykkk..nn1n2.222...0..00............
1、刚度法：（建立力的平衡方程）
两个自由度的体系
y2(t)
质点动平衡方程:
m2 .y.2 r2
y2(t) r2
m1 y..1 r1 0, m2 y..2 r2 0
r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2
y1(t) m1.y.1 r1 y1(t) r1
即: m1 y..1 k11 y1 k12 y2 0 m2 y..2 k21 y1 k22 y2 0
(m111 )Y1 m212Y2 0 m1 21Y1 (m2 22 )Y2 0 D m111 m212 0
m1 21 m2 22
振型方程：其中：λ=1/ω2
Y1 ，Y2不能全为零。
频率方程
不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。
Y1 12m2 Y2 11m1
Y12 12m2
1.125m/ EI
1
Y22 11m1 2 2.5m/ EI 1.125m/ EI 1
2 1
1 1
Yij为正时 表示质量mi的
运动方向与计 算柔度系数时 置于其上的单 位力方向相同， 为负时，表示 与单位力方向 相反。
m1Y11Y12
m2Y21Y22
m 2
(2) (1)
32
..
mi yi ri 0
(i 1,2,..., n)
ri ki1 y1 ki2 y2 ... kin yn
(i 1,2,..., n)
m.mmm.1.12n.y....yy....12n.m..2..k.kk.1.21n.11y.yy.111....m.k.kkn.1.22n.22y.y.y2yy...y..2...2.1.n2................kkk.k.1.2nk.k111.1.n2n.ynn..ynykkk..nn1n2.222...0..00............
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
第六节 两个自由度体系的自由振动
4l 3 = , 243EI
δ 12 = δ 21
7l 3 = 486 EI
(2)求自振频率 求自振频率 将柔度系数及m 代入式(11-48)求得 将柔度系数及 1=m2=m代入式 代入式 求得
15ml 3 λ1 = (δ 11 + δ 12 )m = , 486 EI
于是得到两个自振频率
ml 3 λ2 = (δ 11 − δ 12 )m = 486 EI
y1 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 11 − m2 ɺɺ2 (t )δ 12 y y y 2 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 21 − m2 ɺɺ2 (t )δ 22 y y
或
δ 11m1 ɺɺ1 (t ) + δ 12 m2 ɺɺ2 (t ) + y1 (t ) = 0 y y δ 21m1 ɺɺ1 (t ) + δ 22 m2 ɺɺ2 (t ) + y 2 (t ) = 0 y y
大值)和 小值)如下 由此可解出 λ 的两个正实根 λ 1 (大值 和λ 2 (小值 如下： 大值 小值 如下：
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
1 2
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m 2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
试求图a所示等截面简支梁的自振频率和主振型 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。 例11-9 试求图 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。
解：(1)求柔度系数 求柔度系数 体系有两个自由度。 如图b、 所示 所示。 体系有两个自由度。作 M 1、M图，如图 、c所示。由图乘法求得柔度系数 2
4.2多自由度系统的固有频率与主振型
注意到该矩阵中各列是成比例的。其中第三列正是取 为基准的主振型：
同样的，将 代入式（4-23），可得
将 代入式（4-23），可得
矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式：
（4-24）
其中， 是实数方阵， 是特征矢量， 是特征值。在大多数算法中还假设 是对称阵。
显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是 还是 一般都不是对称阵。为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。
（4-36）
例4-7设图4-1所示三自由度系统中有 ， ， 。试将系统矩阵化为对称阵。
解：系统的柔度矩阵与质量矩阵分别为
，
故系统矩阵 为非对称阵：
因为这时 为对角阵，所以有
按式（4-36）进行变换，有
所得 已是对称阵。
矩阵特征值问题属于线性代数的一个专题。已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著及手册。
（4-18）
它有非零解的条件为
（4-19）
（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于 的 次代数方程：
（4-20）
它的 个根 成为系统的特征根，亦称矩阵 的特征值。特征值 与系统固有频率 之间有如下关系：
（4-21）
一般说来， 次代数方程的 个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的 ，有
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
一、固有频率和主振型
上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程：
同样的，将 代入式（4-23），可得
将 代入式（4-23），可得
矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式：
（4-24）
其中， 是实数方阵， 是特征矢量， 是特征值。在大多数算法中还假设 是对称阵。
显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是 还是 一般都不是对称阵。为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。
（4-36）
例4-7设图4-1所示三自由度系统中有 ， ， 。试将系统矩阵化为对称阵。
解：系统的柔度矩阵与质量矩阵分别为
，
故系统矩阵 为非对称阵：
因为这时 为对角阵，所以有
按式（4-36）进行变换，有
所得 已是对称阵。
矩阵特征值问题属于线性代数的一个专题。已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著及手册。
（4-18）
它有非零解的条件为
（4-19）
（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于 的 次代数方程：
（4-20）
它的 个根 成为系统的特征根，亦称矩阵 的特征值。特征值 与系统固有频率 之间有如下关系：
（4-21）
一般说来， 次代数方程的 个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的 ，有
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
一、固有频率和主振型
上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程：
多自由度体系在地面运动作用下的振动方程
多自由度体系在地面运动作用下的振动方程我们要找出多自由度体系在地面运动作用下的振动方程。
首先，我们需要了解多自由度体系的振动方程的基本形式。
多自由度体系的振动方程通常由以下形式给出：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = F(t)
其中：
M 是质量矩阵，
C 是阻尼矩阵，
K 是刚度矩阵，
x 是位移向量，
{dot x} 是速度向量，
{ddot x} 是加速度向量，
F(t) 是外部作用力向量。
对于地面运动作用下的振动，我们需要考虑地面的运动对体系的影响。
假设地面以速度 v 和加速度 a 运动，那么地面的运动可以表示为：
x_ground = vt + at^2
其中 x_ground 是地面的位移。
由于地面和体系是相互作用的，我们需要将地面的位移和加速度引入到振动方程中。
具体来说，我们需要将地面的位移和加速度作为外部作用力加入到方程的右边。
因此，多自由度体系在地面运动作用下的振动方程为：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = -Kx_ground
其中 x_ground 是地面的位移，由地面的速度和加速度决定。
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m1?11 ? ?
m2?12 ? 0
m1? 21 m2? 22 ? ?
解得：
?1
?
11 m L3 24 EI
? ? ? ? 称为第j振型A。j ? A1j A2j ?????? Anj T
? [计算举例]
图示体系，EI=常数，质点的质量为m，各杆的长度都 是L，列振动方程并求各频率和振型，画振型图。
解：1）2个动力自由度，质点的水平位 移和竖向位移
2）质点在振动过程中有2 个方向的位 移 ，各由2 个方向的惯性力共同产生， 振动方程为：
方程（1）的解设为 ： ?y (t )? ? ?A?sin( ? t ? ? ) 式中，?A?? ?A1 A2 ?????? ? An T
? 把 ?y (t )? ? ?A?sin( ? t ? ? ) 代入（1）
?A? ? ? 2 ?? ???M ???A?
??? ???M ?? ? E ???A?? 0
位移的叠加。写成矩阵的形式为：
? y1(t)? ??11 ?12 ??? ? 1n ? ?m1
0 ? ??y?1(t)?
?? y2 (t)??
? ?
???
? ?
?? yn
? ???
??? n1
? 22
???
? n2
???
?
2n
? ?
? ??
??? ???? ?
???
?
nn
记
?
?
1
?2
----------------（2）
（2）式称为振型方程。同样，（2）式有非零解（否则将不 产生振动）的条件是：
? ? ? ? ? ? M ? ? E ? 0 ---------------------（3）
（3）式称为频率方程
频率方程有n个互不相同的实数根λ1，λ2，...， λn ，对应着n个互不相同的频率；分别代入 （2）式可得到n个线性无关的振型。记，
多自由度振动
重 点：频率、振型 难 点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2 (t)由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1
y1 (t)
y1(t) ? ?m1?y?1(t)?11 ? m2?y?2?12
? ?
? ?
m2 0
??? mn ??????????????yy???2n?((?tt))??????
? 简写为 ：
?y?t ??? ? ?? ???M ????y?(t)? ------------（1）
?? ? 称为柔度矩阵
?M ? 称为质量矩阵
?y(t)? 称为位移列向量 ??y?(t)? 称为加速度列向量
?A1?? ?A11 ? A21 T
同理，把λ=λ2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2 与A1的比值，记为
A22 ? ? 2 ? m1? 11
A12
m 2? 12
y1(t)= A12sin（ω2t + φ）
y2(t)= A22sin（ω2t + φ）
同样，称?A2 ?? ?A12 ? A22 T 为第二振型
? 说明
从数学上讲，两个不同实数根（特征根）λ1与λ2对应的两个 振型（特征向量）是线性无关的，故，体系自由振动在任意 时刻 t 的位移反应可写作两个振型的线性组合，亦即振动方 程的一般解：
y1(t)= A11sin （ω1t + φ ）+ A12sin （ω2t + φ ） y2(t)= A21sin （ω1t + φ ）+ A22sin （ω2t + φ ）
相应的
T1
?
2? ?1
,T2
?
2? ?2
T1称为第一周期或基本周期；T2称为第二周期
? ? ? m1? 11 ? ? A1 ? m2? 12 A2 ? 0 ??m1? 21A1 ? ?m2? 22 ? ? ?A2 ? 0
将λ=λ1 代入振型方程中的任意一个方程，
得 A2与A1的比值
记为
A21 ? ?1 ? m1?11
? ? ?
y1(t)? y2 (t)??
?
sin(?
1t
?
?
? )? ?
A11 A21
? ? ?
?
sin(?
2t
?
?
? )? ?
A12 A22
? ? ?
? n个自由度体系的振动及其矩阵表示
n
? 振动方程可表示为 yi (t ) ? ? m j ?y?j (t )? ij j?1
即，第 i 质点的位移是由所有质点的惯性力在第i质点产生
A11
m2? 12
y1(t)= A11sin（ω1t + φ）
y2(t)= A21sin（ω1t + φ）
显然
y2 (t) ? A21 ? ?1 ? m1?11 (常数）
y1 (t) A11
m2?12
这表示y1与y2是相关的
结构位移形状保持不变的振动形式叫主振型或振型
对应于ω 1的振型称为第一振型，或基本振型
?
? ? ?
m1?
21 A1
?
m2? 22 ? ?
A2 ? 0
此式称为振型方程
考虑此式有非零解（否则，体系不振动），则需使
m1? 11 ? ?
m2? 12 ? 0
m1? 21 m2? 22 ? ?
此式称为频率方程
行列式有两个不同实数根λ1与λ2 。记
?1 ?
1
?1
??
2
?
1
?2
则ω1称为第一频率或基本频率；则ω2称为第二频率
L/4
L/4
M2
? 22
?
L3 12 EI
3）求频率
y1(t) = A1sin（ωt + φ） y2 (t) = A2sin（ωt + φ）
记，
?
?
1
?2
? ? ? m1? 11 ? ? A1 ? ? 12 m2 A2 ? 0 ? ? ??? 21 m1 A1 ? m2? 22 ? ? A2 ? 0
y2(t) ? ?m1?y?1(t)?21? m2?y?2?22
式中，δi j 为j质点的惯性力为1时在 i质点处产生的位移。 i ，j = 1，2
? 设方程的特解形式为
y1(t)= A1sin（ωt + φ） y2(t)= A2sin（ωt + φ）
记
?
?
1
?2
? ? ? m1? 11 ? ? A1 ? m2? 12 A2 ? 0
y1 (t ) ? ? m1 ?y?1 (t)? 11 ? m2 ?y?2? 12
y2 (t) ? ? m1?y?1(t)? 21 ? m2 ?y?2? 22
y1(t)
y2 (t)
? 方程中各个系数意义如下：
P=1
P=1
L/4
L
L/2
L/4
L/4 L/2
? 11
?
11 L3 24 EI
M1 δ12 =δ21 = 0