数学方法在物理学中的应用

两式联立解得:k= 1 。 2
【答案】见解析
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【名师点睛】
根据物体满足的物理规律建立起已知量与所求量之间的函数关系,若这个函数关系是二次函数,则可用二 次函数求极值。二次函数求极值,是物理解题中经常用到的数学方法之一,应很好掌握。
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一、极值法
3．均值不等式 对于两个大于零的变量a、b，若其和a＋b为一定值p，则当a ＝b时，其积ab取得极大值 p2/4； 对于三个大于零的变量a、b、c，若其和a＋b＋c为一定值q，则当a ＝b ＝c时，其积abc取得极大值 q3/27。
当 + = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值
。
F 最小值为
,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60 。
带入数据得 Fmin = 100 N,此时 = 30 。 【答案】 100 N 与斜面夹角为 30
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【名师点睛】
根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三 角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解 题中的重要应用。
物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规 律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知 识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数 学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用, 对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数 方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。
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解析
(2)v－t 图象与 t 轴所包围的面积表示位移，由图象可知 14 s 内该面积包含的格子为 39 格 所以 h＝39×2×2 m＝156 m 根据动能定理，有：mgh－Wf＝12mv2 所以 Wf＝mgh－12mv2＝(80×10×156－12×80×62) J≈1.23×105 J。
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典例分析
【典例4】 总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直升机上跳下，经过2 s拉开绳索开启降落伞，图 是跳伞过程中的v－t图象，试根据图象求：(取g＝10 m/s2) (1)t＝1 s时运动员的加速度和所受阻力的大小。 (2)估算14 s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。 (3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。
。
sin (φ＋θ)
3
典例分析
4
解析
解得:F= mg (sin cos cos sin
因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数
y=cos +
=
(
cos +
sin )
=
(sin cos + cos sin ) =
sin( + )
其中 sin =
，cos = ，即 tan = 。
小球从水平位置到图中 C 位置时,由机械能守恒有 mgLcosθ= mv2
【答案】当细绳与竖直方向的夹角余弦值为 cos θ= 3 时,重力的瞬时功率取得最大值 3
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【名师点睛】
重力的瞬时功率与物体速度及速度和重力间的夹角有关,正确找到重力的瞬时功率的表达式是解题的前 提,利用不等式求极值成为解题的关键所在。
【答案】9s
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四、导数微元法
利用微分思想的分析方法称为微元法。它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分,再从中抽取某一 微小单元进行讨论,从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法。 利用微元法的解题思路可概括为选取“微元”,将瞬时变化问题转化为平均变化问题,避开直接求瞬时变化问 题的困难;再利用数学“微积分”知识,将平均变化问题转化为瞬时变化问题,既完成求解问题的“转化”又能保 证所求问题性质不变且求解更简单。即采取了从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的 方法。 具体可分以下三个步骤进行: ①选取微元; ②视微元为恒定,运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式; ③在微元表达式的定义域内施以叠加演算,进而求得待求量。
(1)当k满足什么条件时,甲、乙两车间的距离有最小值,最小值为多大?
(2)当k为何值时,甲车运动到O处,与乙车的距离和t=0时刻的距离相同?
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解析
(2)当 t=0 时,甲车坐= 2 m
当甲车运动到 O 处时,kt=1 m,乙车 y= 1 2 k 2t m= 2 m
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典例分析
【典例5】 一辆汽车在平直的公路上由静止出发,v-t图象如图所示,已知该汽车在前4 s的时间内行驶了20 m,则4 s末汽车的速度v的大小为( )。
A.v=5 m/s
B.5 m/s <v<10 m/s
C.v>10 m/s
D.v=10 m/s
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分析
【疑惑】物体做何种运动?末速度大小范围怎样确定? 【解析】若汽车从静止开始做匀加速直线运动,并且在4 s的时间内行驶20 m的位移,在图中画出其v-t图象 如图乙所示,那么当图中面积1和面积2相等时,汽车在4 s末的速度为v1==10 m/s。从图中可知汽车速度小 于10 m/s。
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典例分析
【典例6】 如图所示,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导轨间距为l、足够长且电阻忽略 不计,导轨所在平面的倾角为α,条形匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长 度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成图示装置,总质量为m,置于导轨上。导体 棒中通以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生,图中未画出)。线框的边长为d(d<l),电阻为R,下边与磁场区 域上边界重合。将装置由静止释放,导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回,导体棒在整个运动过程中 始终与导轨垂直。重力加速度为g。求: (1)装置从释放到开始返回的过程中,线框中产生的焦耳热Q。 (2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1。
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典例分析
n(a1＋an)
n(n－1)
等差：Sn＝ 2 ＝na1＋ 2 d(d 为公差)。
a1(1－qn)
等比：Sn＝ 1－q (q 为公比)。
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典例分析
【典例6】 一小球从h0=45 m高处自由下落,着地后又弹起,然后又下落,每与地面相碰一次,速度大小就变 化为原来的k倍。若k=0.5 ,求小球从下落直至停止运动所用的时间。(g取10 m/s2,碰撞时间忽略不计)
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解析
【解析】 (1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中,作用在线框上的安培力做功为 W 由动能定理:mgsin α·4d+W-BIld=0 且 Q=-W 解得:Q=4mgdsin α-BIld。
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【名师点睛】
“微元法”是分析、解决物理问题的常用方法,利用“微元法”处理问题时,需将复杂的物理过程分解为众多微 小的、遵循相同规律的“元过程”(微元),将非理想物理模型变成理想物理模型,然后利用必要的数学和物理 方法处理“元过程”(微元),从而使问题得以解决。
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五、几何图形法
利用几何方法求解物理问题时,常用到的有“对称点的性质”“两点间直线距离最短”“直角三角形中斜边大于 直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识,如:带电粒子在有界磁场中的运动类问题,在进行物体 的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等。与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题 中均有应用,尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多,此类问题的难点往往在圆心与 半径的确定、圆心角和弦切角的大小等。
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【名师点睛】
用图象法解题可将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图象直观、简明的特点,这样不但快速、准 确,而且还可以避免繁杂的中间运算过程,甚至可以解决用计算分析无法解决的问题。
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三、数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复， 而是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。该类问题求 解的基本思路为： (1)逐个分析开始的几个物理过程； (2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)； (3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。 无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。
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典例分析
【典例2】 在“十”字交叉互通的两条水平直行道路上,分别有甲、乙两辆汽车运动,以“十”字中心为原点,沿
直道建立xOy坐标系。在t=0时刻,甲车坐标为(1,0),以速度v0=k m/s沿 -x轴方向做匀速直线运动,乙车沿 +y
方向运动,其坐标为(0,y),y与时间t的关系为y=
m,关系式中,k>0,问:
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典例分析
【典例3】 一轻绳一端固定在O点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度地释放,如图所示, 小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值?
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解析
【解析】如图所示,当小球运动到绳与竖直方向成θ角的 C 时,重力的功率: P=mgvcosα=mgvsinθ
解析
(3)14 s 后运动员做匀速运动的时间为：
H－h 500－156
t′＝ v ＝
6
s≈ 57 s
运动员从飞机上跳下到着地所需要的总时间为：
t 总＝t＋t′＝(14＋57) s≈ 71 s。
【答案】 (1)160 N (2)1.23×105 J (3)71 s
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【名师点睛】
对于本题，应明确v－t图象中“面积”的含义，在数小方格个数时需注意合理取舍，即大于半格的算1个， 小于半格的舍去。