江苏省江阴市青阳中学2012届高三12月课堂大检测 数学

青阳中学高三数学学科课堂检测注意事项:1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.第I 卷 (填空题)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．. 1．已知集合}42|{},30|{<<=≤≤=x x B x x A ,则=B A ▲ ． 2．函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=63sin 2πx x f 的最小正周期=T ▲ ． 3．设i 是虚数单位，若ai iz ++=11是实数，则实数=a ▲ ． 4．命题“012,2≤+-∈∃x x R x ”的否定是 ▲ ． 5．已知向量()()2,1,cos ,sin ==b x x a ，且a ∥b ，则x tan = ▲ ．6. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则7S = ▲ ．7. 设直线t x =与函数2)(x x f =，x x g ln )(=的图像分别交于点N M ,，则当MN 达到最小时t 的值 为______▲_______．8. 已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值 是 ▲ ．9．已知ABC ∆的一个内角为 0120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_____▲______．10. 对一切正整数n ，不等式211x n x n ->+恒成立，则实数x 的取值范围是 ▲ ．11． 圆C 通过不同的三点(,0)P λ，)0,3(Q ，(0,1)R ，又知圆C 在点P 处的切线的斜率为1，则λ为 ▲ ．12. 已知椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，且22b a c -=，A 点坐标),0(b ，B 点坐标),0(b -,F 点坐标)0,(c ,T 点坐标)0,3(c ，若直线AT 与直线BF 的交点在椭圆上，则椭圆的离心率为_▲__．13．在平面直角坐标系中，设点),(y x P ，定义||||][y x OP +=，其中O 为坐标原点． 对于以下结论：①符合1][=OP 的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线0225=-+y x 上任意一点，则][OP 的最小值为1；③设P 为直线),(R b k b kx y ∈+=上的任意一点，则“使][OP 最小的点P 有无数个”的 必要不充分条件是“1±=k ”；其中正确的结论有___▲_____． (填上你认为正确的所有结论的序号)14．已知方程(1)(||2)4y x ++=，若对任意[,](,)x a b a b Z ∈∈，都存在唯一的[0,1]y ∈使方程成立；且对任意[0,1]y ∈，都有[,](,)x a b a b Z ∈∈使方程成立，则a b +的最大值等于 ▲ ．第II 卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知41co s ,2,1===C b a ． （1）求ABC ∆的周长；（2）求)cos(C A -的值．16．（本题满分14分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形． （1）求证：DM ∥平面APC ； （2）求证：平面ABC ⊥平面APC ．17．. （本题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式2)6(103-+-=x x ay ，其中63<<x ， a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．18．（本题满分16分）已知圆O ：122=+y x ，点P 在直线:l 032=-+y x 上，过点P作圆O 的两条切线，B A ,为两切点，(1) 求切线长PA 的最小值，并求此时点P 的坐标；(2) 点M 为直线x y =与直线l 的交点，若在平面内存在定点N (不同于点)M ，满足：对于圆 O 上任意一点Q ，都有QMQN为一常数，求所有满足条件的点N 的坐标； (3) 求PB PA ⋅的最小值．19．（本题满分16分）已知函数2(2)()1x a a xf x x -+=+（)R a ∈．（1）当1a =时，求()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）当1->a 时，解关于x 的不等式0)(>x f ； （3）求函数()f x 在[0,2]上的最小值．20. （本题满分16分） 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，对任意*∈Nn 都有：)10,(1≠≠∈-+=m m R m m ma S n n 且．（1） 求证：{}n a 是等比数列；（2） 若573,,S S S 构成等差数列，求实数m 的值；（3） 求证：对任意大于1的实数m ，n S S S S +++ 321，n n n n S S S S 4332313++++++ ,n n n n S S S S 8372717++++++ 不能构成等差数列．高三数学试卷答案一、填空题1. ]3,2(2.32π 3. 21 4. 012,2>+-∈∀x x R x 5. 21 6. 49 7.228. 2 9. 315 10. ),1[)0,(+∞-∞ 11. 2- 12. 3313. ①③ 14. 2二、解答题15. （本题满分14分）解：（1）441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c 2.c ∴=ABC ∆∴的周长为122 5.a b c ++=++=（2）41cos =C 415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∴C C15sin 154sin 28a C A c ∴===,a c A C <∴< ，故A 为锐角，22157cos 1sin 1().88A A ∴=-=-=71151511cos()cos cos sin sin .848816A C A C A C ∴-=+=⨯+⨯=16. （本题满分14分）（文）证明：（1）由已知得，MD 是∆ABP 的中位线∴AP MD ∥∴APC MD 面∥ （2）PMB ∆ 为正三角形，D 为PB 的中点∴PB MD ⊥，∴PB AP ⊥又P PC PB PC AP =⋂⊥, ∴PBC AP 面⊥PBC BC 面⊂ ∴BC AP ⊥又A AP AC AC BC =⋂⊥, APC BC 面⊥∴ABC BC 面⊂ ∴平面ABC ⊥平面APC16. （本题满分14分）（理科）解：（1）|2|lg )(2++=a x x h ；x a x g )1()(+=；（2）由函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数得2)1(21+≤+-a a ，解得 123-≥-≤a a 或且2-≠a ，由函数)(x g 是减函数得01<+a ，解得1-<a 且2-≠a若P 真Q 假：⎪⎩⎪⎨⎧-=-≥-≠-≥-≤212123a a a a a 或且或解得1-≥a APC AP APC MD 面面⊂⊄,若P 假Q 真：⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-=-<<-212123a a a a 且或解得123-<<-a再由命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，得a 的取值范围是),23()1,23(),1[+∞-=--⋃+∞-.17.解：(1)因为5=x 时11=y ，所以211102=⇒=+a a； (2)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量2)6(1032-+-=x x y ，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-；/2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令0)(='x f 得4=x函数)(x f 在)4,3(上递增，在)6,4(上递减，所以当4=x 时函数)(x f 取得最大值42)4(=f答：当销售价格4=x 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 18.（1）设点),(00y x P81251)32(1102020********+-=--+=-+=-=x x x x y x PO PA=54)56(520+-x 故当560=x ，即)53,56(P 时，52min =PA （2）由题：⎩⎨⎧==-+x y y x 032，)1,1(M设),(b a N ，),(11y x Q ，满足12121=+y x则)0()1()1()()(2121212122>=-+--+-=λλy x b y a x QM QN 整理得：0)31()(2)(22211=-+++-+-λλλb a y b x a ，对任意的点Q 都成立，可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=-λλλ3)1(0022b a b a 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===212121b a λ，或⎪⎩⎪⎨⎧===111b a λ（舍） 即点)21,21(N 满足题意。

（3）)1)1(2)(1()1cos 2(cos 222222---=-∠=∠⋅=⋅PO PO PO APO PA APB PA PB PA =3222-+PO PO ,53≥PO ，令),59[2+∞∈=PO t ,而221)2(t t t -='+在),59[+∞∈t 上恒大于0，故454191543910592-=-+=-+≥+t t 所以454)(min -=⋅PB PA ，当)53,56(P 时取得19.解：（1） 当1a =时，23()1x xf x x -=+， 0)3(=f2223()(1)x x f x x +-'=+， 1x ≠- ， 43)3(='f所以()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程为3(3)4y x =-，即3490x y --= （2） 当0>a 时，0)2(>+a a ，故不等式的解集为)),2(()0,1(+∞+-a a当0=a 时，1)(2+=x x x f ，故不等式的解集为),0()0,1(+∞-当01<<-a ，0)2(1<+<-a a ，故不等式的解集为),0())2(,1(+∞+- a a(3) 令,1+=x t 则]3,1[∈t则)22()1()()(22++-++==a a t t a t g x f 1)1()(22++-='ta t g 若01=+a ，)(t g 在]3,1[∈t 上递增，故)(t g 即)(x f 的最小值为0 若01≠+a ，则)(t g 在)1,0(+a 上递减，在),1(+∞+a 上递增，① 若110≤+<a ，即102-≠≤≤-a a 且时，)(t g 在]3,1[∈t 上递增，故)(t g 即)(x f 的最小值为0；② 若311<+<a ，即24-<<-a 或20<<a ，)(t g 在]1,1[+a 上递减，在]3,1[+a 递增，故)(t g 即)(x f 的最小值为)22(12)1(2++-+=+a a a a g ；③若 31≥+a ，即42-≤≥a a 或时，)(t g 在]3,1[∈t 上递减，故)(t g 即)(x f 的最小值为3434322+--a a综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≥+---<<----<<-≤≤-=42343432244420020222mina a a a a a a a a a f 或20.（1）当1=n 时，m ma S a -+==1111，又10≠≠m m 且，故11=a当2≥n 时，m ma S n n -+=--111，故1--=n n n ma ma a ，即1)1(-=-n n ma a m ，也即011≠-=-m ma a n n 所以，{}n a 是以1为首项，1-m m为公比的等比数列； （2）由573,,S S S 构成等差数列，知：5372S S S +=即)1(27m ma -+= )1(3m ma -++)1(5m ma -+，又0≠m ，化简得：5372a a a +=令=q 1-m m ，则01224=--q q ，得12=q 或212-=q （舍），即12=q （舍），1-=q 由1-m m 1-=，解得，21=m ， （4） （3）假设n S S S S +++ 321，n n n n S S S S 4332313++++++ ,n n n n S S S S 8372717++++++ 构成等差数列，则2（nn n n S S S S 4332313++++++ ）=（nS S S S +++ 321）+(n n n n S S S S 8372717++++++ )即)111(242313-+++-++-+++m ma m ma m ma n n n =)111(21-+++-++-+m ma m ma m ma n +)111(82717-+++-++-+++m ma m ma m ma n n n化简得)(234n n S S m -=n mS +)(78n n S S m -，又知n n n n S q S S 334)(=-，n n n n S q S S 778)(=-，可得n n S q 32=n n S q 7+n S （＊） 而1>m ，所以1>q ，0>n S ，且n n n nq q q q36772221=>>+，故（＊）无解所以假设错误，也即对任意大于1的实数m ，n S S S S +++ 321，n n n n S S S S 4332313++++++ ,n n n n S S S S 8372717++++++ 不能构成等差数列.。