7.3 向量的内积
7.3.1平面向量的内积
7.3.1 平面向量的内积一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。
二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。
三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四、教学目标：1、知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力五、教学重、难点：重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．六、教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件八、教学过程：（一）导入新课师：如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。
（二）新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F=即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当。
向量内积运算法则
向量内积运算法则向量内积是线性代数中的重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量内积的运算法则，包括定义、性质和应用。
1. 定义。
在二维空间中，我们可以将两个向量表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)。
\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\)。
这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)。
在三维空间中，向量的内积可以表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\)。
\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}\)。
这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)。
一般地，对于n维空间中的向量，其内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i\)。
2. 性质。
向量内积具有以下性质：交换律，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}\)。
分配律，\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)。
数乘结合律，\(k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a})\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})\)。
这些性质使得向量内积在实际应用中具有很大的灵活性，可以方便地进行运算和推导。
向量的内积
取 1 1
2
2
[1,2 ] [1,1 ]
1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 1
则向量组 1 ,2 就是与向量组1 ,2 等价的正交向量组。
设向量
3
x1 x2
与 1 ,2
都正交，即
x3
x1
x2
x3
0
4 2 2
0
3 x1 3 x2 3 x3 0
解此方程组得 3 1
4. 三角不等式：x y x y .
特别地，把长度为 1 的向量称为单位向量。
例如
01，
1
0 2 ，
1 1
0
1
2
1
3
3
都是3维单位向量。
3
对于任何向量 x 0 ，则 x0
1
x是单位向量，
x
这种把向量 x 化成单位向量的过程称为向量 x 的单位化
（或标准化）
根据向量长度的性质3，当
则称其为V 的一个规范正交基（或标准正交基）。
由定义不难得知， 向量组 1, 2 ,, r 为向量空间的一个规范正交基，当且仅当
1 当i j
[i , j ] 0 当i j
i, j 1, 2, , r.
1
0
0
例如
向量组
e1
0
，e2
1
，e3
0
与向量组
0
0
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
0， 2
0
x1
定定义义4.42.2
设
n
维向量
x
x2
，则称非负实数
xn
向量内积的解析-概述说明以及解释
向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。
在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。
向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。
也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。
向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。
这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。
2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。
这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。
3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。
这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。
4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。
这里，u 表示向量u的长度。
向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。
在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。
在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。
在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。
通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。
未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。
每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。
第一部分是引言部分。
在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。
向量的内积-向量的内积公式
【课题】7.3 平面向量的积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积．在讲述向量积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】cos30⋅+⋅，i F j是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即OAOB＝b,由射线OA与OB夹角，记作<．两个向量a的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量b的积，记作180时，90时，=因此对非零向量cos900,·b＝0⇔a可以验证，向量的积满足下面的运算律：．60的夹角为︒a a =2+x 22+x y (7.12)由平面向量积的定义可以得到，当＝||||⋅a ba b ＝45．判断下列各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】。
《平面向量的内积》教案
若把功W看成是两向量 和 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量的内积（数量积）的概念.
力 与位移 都是向量，功W叫做向量 与向量 的内积，它是一个数量，又叫做数量积。
四．新知探究
1.两个非零向量的夹角定义：设有两个非零向量 与 ，作 ＝ , ＝ , 则由射线OA与OB所形成的角∠AOB 叫做向量 与 的夹角，记做〈 ， 〉,规定0º≤〈 ， 〉 ≤180º
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
课题
7.3.1平面向量的内积
主备人
赵志慧
课时
2
时间
6月
学习目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
学习重点：平面向量的数量积定义.
学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
学习过程：
一．知识回顾：
1.向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量 的积是__________，记作_____，
二．情景创设
问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？
三．学生探究
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功为多少？
⑴当〈 ， 〉＝0º时，向量 与 同向;
⑵当〈 ， 〉＝180º时，向量 与 反向;
⑶当〈 ， 〉＝0º或〈 ， 〉＝180º时， 与 平行（共线），记做 ∥ ；
⑷当〈 ， 〉＝90º时， 与 垂直，记做 ⊥ 。
向量的内积的概念
类似地, 可证2 0,, r 0. 于是向量组 1 , 2 ,, r 线性无关.
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例1
已知 3 维向量空间 R 3 中两个向量
1 1 1, 2 a1 a 2 1 1
1 1 1 , 2 使得前两个分量与 1 的前两个分量对应 0 1 乘积之和为零即可，从而取 2 1 , 容易验证 2 1与 2是正交的. 上页 下页 返回
1 2 a 2 , a 3 , a4 , Ex.1 已知a1 , 求一组非零向量 2 4 使a1 , a2 , a3 , a4两两正交.
e1 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 , e2 , e3 , e4 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 2 2
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把基础解系正交化，即为所求。取
a2 1 ;
其中1 , 2 1, 1 , 1 2, 于是得
1 0 1 1 1 1 a2 0 , a3 1 0 2 . 1 1 2 1 2 1
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例如
就是 R 4 的一个正交规范基。
若e1 , e2 , , er 是V的一个规范正交基 , 那么V中 任一向量应能由e1 , e2 , , er 线性表示, 设表示式为 α λ 1e1 λ 2 e2 λ r er
向量的内积和外积
向量的内积和外积
1）内积：两个向量a和b的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量和b的内积记作a,b或ab即a.b=|a||b|cos＜(a,b).
2）外积：两个向量a和b的向量积（也称外积）是一个向量，记作a×b或[ab]它的模是|a×b|=|a||b|sin＜(a,b).
内积：两个张量（含矢量）相乘以后，其总阶数减少了，或曰缩小了。
形象地看，是向“内”收缩了。
外积：两个张量（含矢量）相乘以后，其总阶数增加了，或曰扩大了。
形象地看，是向“外”扩张了。
内积是一个向量在另一向量所在方向上的积，所以叫内积。
外积是一个向量在另一向量的无关方向上的积，所以才叫外积。
所以，两个相同向量的积在内积上达到最大，把外积方向给挤没了，所以外积中如果两个向量相同则为0。
因为向量相同外积为0，所以才有交换变号，即反对称性。
线性代数§向量的内积
不同基下内积转换公式推导
不同基下内积转换公式
设α, β是向量空间V中的两个向量，在两组不同的基{e1, e2, ..., en}和{f1, f2, ..., fn}下的坐标分别为(x1, x2, ..., xn) 和(y1, y2, ..., yn)，则α和β的内积可以表示为∑(xi*yi)，其中i从1到n求和。这个公式可以用的 情况。
分量表示法
定义
将向量表示为分量形式，通过分量间的运算计算内积。
公式
对于向量A = (a1, a2, ..., an)和B = (b1, b2, ..., bn)，其内 积为A·B = (a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
子空间划分和基选择策略
子空间划分
设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V的加法和数乘也构成数域P上的线性空间， 则称W是V的一个线性子空间或子空间。子空间的划分可以根据不同的维度和基进行。
基选择策略
在线性空间中，基的选择对于内积运算具有重要影响。通常选择正交基作为内积运算的基础，因为正 交基具有良好的性质，如任意两个不同基向量的内积为零。
矩阵表示下内积计算简化方法
在矩阵表示下，两个向量的内 积可以通过矩阵乘法简化计算。
具体地，若A和B是两个向量， 则它们的内积可以表示为A^T * B，其中A^T是A的转置矩阵。
通过矩阵乘法，可以高效地计 算多个向量间的内积。
特征值与特征向量对内积影响分析
特征值和特征向量是线性变换的重要 性质，它们对向量的内积有重要影响。
夹角计算
通过内积可以计算两向量的夹角，即$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。
人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
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7.4.1 向量的内积
【教学目标】
1。
理解并掌握平面向量内积的基本概念,会用已知条件来求向量的内积．
2。
掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．
3. 通过教学,渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．
【教学难点】
平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．。
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F O s
图7—21
动脑思考
探索新知
3 10＝500 3． W＝｜F｜cos30° · ｜s｜＝100×2 ·
这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由 两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与 向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
运用知识
强化练习
1. 已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a· b．
14．
2. 已知a· a＝9,求|a|.
3．
3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝30°，求(2a＋b)· b．
6 3 +9．
动脑思考
又| i |＝|j|＝1,所以 a· b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)
动脑思考
探索新知
A a O b B
如图，设有两个非零向量a， b，作 OA a，
OB b， 由射线OA与OB所形成的的角叫做向量
a与向量b的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b 的内积，记作a· b， 即 a· b＝|a||b|cos<a，b> 由内积的定义可知 a· 0＝0, 0· a＝0. (7.10)
解 a· b＝|a||b| cos <a，b> ＝3×2×cos 60°＝3．
巩固知识
典型例题
例2 已知|a|＝|b|＝ 2 ,a· b＝ 2 ,求<a,b>．
a b 2 2 ． 解 cos<a,b>＝ | a || b | 2 2 2
由于 所以 0≤<a,b>≤180°， <a,b>＝135 ．
2 y2 设a＝(x,y)，则 a a a x ，即
(7.11)
a
x2 y 2
(7.12)
动脑思考
a b cos<a,b>＝ | a || b |
探索新知
由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 y2
2 2
． (7.13)
45 ． <a，b>＝
巩固知识
例5
典型例题
判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, 3), (2) a＝(0, −1), b＝(6, 4)； b＝(1, −2)．
解 (1) 因为a· b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a⊥ b． (2) 因为a· b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2， 所以a与b不垂直．
探索新知
设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i· j ＝0,
＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和， 即 a· b＝ x1 x2＋ y1 y2
第七章
平面向量
7.3 向量的内积
创设情境
兴趣导入
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力， 朝着与水平线成 30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m． 那么，这个人做了多少功？ 做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积．力F是水平方向的力 与垂直方向的力的和，垂直方向上 没有产生位移，没有做功，水平方向 上产生的位移为s，即
利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a⊥ b
a· b＝0，由公式(7.11)可知
a· b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0． 因此 a⊥b x1 x2＋ y1 y2＝0． (7.14)
巩固知识
例3 求下列向量的内积：
典型例题
（1） a＝ (2, −3), b＝(1,3)； （2） a＝ (2, −1), b＝(1,2)； （3） a＝ (4,2), b＝(−2, −3) ． 解 (1) a· b＝2×1＋(−3)×3＝−7； (2) a· b＝2×1＋(−1)×2＝0； (3) a· b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．
学习效果
学习行为 学习方法
继续探索
活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.3Ａ组（必做） 教材习题７.3Ｂ组（选做） 实践调查：试着编写一道关于向量 内积的问题并解答．
作业
动脑思考
探索新知
可以验证，向量的内积满足下面的运算律： a· b＝b· a.
a b a b a b．
(a＋b)· c＝a· c＋b· c. 一般地，向量的 内积不满足结合律， 即 a· (b· c)≠(a· b)· c.
巩固知识
典型例题
例1
已知|a|＝3,|b|＝2, <a，b>＝60°，求a· b．
运用知识
强化练习
1.已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a· b．
-2．
2.已知a＝(2, −3)，b＝(3, −4)，c＝( −1,3),求a· (b＋c)．
7．
自我反思
目标检测
平面向量内积的概念？
两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之
积叫做向量a与向量b的内积，记作a· b．
自我反思
目标检测
动脑思考
探索新知
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
当<a,b>＝0时，a· b＝|a||b|；当<a,b>= 180 时，a· b＝−|a||b|．
a b cos<a,b>＝| a || b | ．
当a＝b时，有<a，a>＝0，所以a· a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝ a a． 对非零向量a，b，有 a· b＝0 a b.
巩固知识
例4
典型例题
已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a· b, |a|,|b|, <a,b>．
解
a· b＝(−1)(−3)＋2×1＝5. |a|＝ a a (1)2 22 5． |b|＝ b b (3)2 12 10． cos<a，b>＝ 所以
a b 5 2 ． | a || b | 2 10 5