向量的内积
向量的内积
取 1 1
2
2
[1,2 ] [1,1 ]
1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 1
则向量组 1 ,2 就是与向量组1 ,2 等价的正交向量组。
设向量
3
x1 x2
与 1 ,2
都正交，即
x3
x1
x2
x3
0
4 2 2
0
3 x1 3 x2 3 x3 0
解此方程组得 3 1
4. 三角不等式：x y x y .
特别地，把长度为 1 的向量称为单位向量。
例如
01，
1
0 2 ，
1 1
0
1
2
1
3
3
都是3维单位向量。
3
对于任何向量 x 0 ，则 x0
1
x是单位向量，
x
这种把向量 x 化成单位向量的过程称为向量 x 的单位化
（或标准化）
根据向量长度的性质3，当
则称其为V 的一个规范正交基（或标准正交基）。
由定义不难得知， 向量组 1, 2 ,, r 为向量空间的一个规范正交基，当且仅当
1 当i j
[i , j ] 0 当i j
i, j 1, 2, , r.
1
0
0
例如
向量组
e1
0
，e2
1
，e3
0
与向量组
0
0
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
0， 2
0
x1
定定义义4.42.2
设
n
维向量
x
x2
，则称非负实数
xn
线性代数§5.1向量的内积
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)
向量内积的解析-概述说明以及解释
向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。
在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。
向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。
也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。
向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。
这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。
2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。
这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。
3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。
这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。
4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。
这里，u 表示向量u的长度。
向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。
在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。
在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。
在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。
通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。
未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。
每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。
第一部分是引言部分。
在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。
两个向量内积和正交的定义
两个向量内积和正交的定义向量是在数学中经常用到的概念，向量的运算方式有点类似于数的运算，但是向量有很多特殊的性质，因此需要了解向量的内积和正交的定义。
一、向量的内积向量的内积是指两个向量的数量积，也被称为点积或标量积，它的定义如下：设有两个n维向量a = (a1, a2, …, an)和b = (b1, b2, …, bn)，它们的内积表示为：a·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn。
通过这个公式得到的结果是一个数字，而不是向量，这个数字表示了两个向量的夹角和它们的长度的乘积。
如果a·b = 0，那么这两个向量就被称为正交向量。
二、向量的正交两个向量的正交是指它们之间的夹角为直角，这种关系被称为正交关系。
在三维空间中，我们可以看到两个正交的向量表示的向量平面是一个矩形。
这个矩形的长度是两个向量长度的乘积，宽度则是它们的夹角的正弦值所乘。
在二维空间中，当两个向量垂直时，它们就正交了。
例如，在平面直角坐标系中，两个向量a = (1, 0)和b = (0, 1)是正交向量，它们的内积为0。
三、向量的应用向量的内积和正交在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 在三维计算机图形学中，可以利用向量的内积来计算光照效果。
2. 在机器学习中，向量的内积和正交用于向量的相似性度量，这是非常重要的一个概念。
3. 在物理学中，向量的正交关系被用来计算施加在物体上的力的大小和方向。
四、总结向量的内积和正交是向量的两个重要的概念。
这些概念有着广泛的应用，需要掌握这些概念才能更好地理解一些数学和物理学问题。
我们在应用和研究中，可以通过向量内积和正交，更细致地分析和解决问题，也可以更深入地了解向量及其运算特性。
向量的内积_正交矩阵
= α ′β = β ′α
α = ( α ,α ) = a1 2 + a 2 2 + + a n 2
3 、单位向量： 当 α
=1
时，称α为单位向量
*
将非零向量α单位化： 取向量 α ，
=
1
α
α
(α , β ) = 0 4 、正交： 如果向量α 与β 满足 称 α β
向量 与 正交。
，则
二、主要性质 向量内积的性质： 设 α, β , γ 均为 n 维向量， λ 为实数，则
所以， e1 , e2 , e3 , e4 是 R4 的一组标准正交基
设α1 , α 2 , , α n 是R n的一组基，
利用此组基求 Rn 的一组标准正交基的方法： 步骤一：将 α 1 ,α 2 ,,α n 正交化，得一正交基 施密特（ Schmidt ）正交化法：
( β1 ,α 2 ) 取 β 1 = α 1 , β 2 = α2 − ( β , β ) β1 , 1 1 ( β 1 ,α 3 ) ( β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) ( β2, β2 )
即
αi = (αi , αi ) = 1
n维向量组α1 , α 2 , , α m 是R n的一组标准正交基
（1） m=n (α ,α ) = 0 （2）i j
= 1
(i ≠ j) (i = j)
【例】
证明向量组
e1 =
1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 − , e = , e = , e = 2 3 2 4 2 2 2 0 1 1 0 − 0 2 2 0
向量的内积
Advanced Engineering Mathematics
第二章 矩阵分析
续
向量的内积
一、内积的定义
x1 y1 x2 y2 定义1.设有n维向量 x ， y ... ... x y n n 令 [ x , y ] x1 y1 x2 y 2 ... xn yn , 称 [ x , y ]为向 量 x 与 y 的内积。 内积用矩阵乘法可表示为[ x , y ] x y y x
3
aT 1 1 1 1 解：记 A T ，则 a3 满足齐 a 2 1 2 1 次线性方程 AxO x1 1 1 1 0 即 1 2 1 x2 0 x 3 x1 x3 1 1 1 1 0 1 由 A~ 得 ， ~ 0 3 0 0 1 0 x2 0 1 1 从而有基础解系 0 。 取 a 3 0 即为所求。 1 1
上式是以 为未知量的一元 n 次方程，称为 方阵 A 的特征方程。 其左端 A E 是 的 n 次多项式，记 为f ( ) ，称为方阵 A 的特征多项式。显然，A 的特征值就是特征方程的解。 n 阶矩阵 A 在复 数范围内有 n 个特征值. 设 n 阶矩阵 A (aij ) 的特征值为 1 , 2 ,..., n， 由多项式根与系数的关系，易得 (i) 1 2 ... n a11 a22 ... ann (ii) 1 2 ... n A
1 1 4 例 2.设a1 2 , a2 3 , a3 1 试用施密 1 1 0 特正交化法把上述向量组范正交化。 ∧ 规 解：取b1 a1 1 1 1 [a 2 , b 1 ] 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 2 1 6 1 3 1 b1 [a3 , b1 ] [a3 , b2 ] b3 a3 b1 b2 2 2 b1 b2
5.1向量的内积
then β1 , β 2 ,L , β m 为正交组. 标准化过程
(α m , β 1 ) (α m , β 2 ) (α m , β m −1 ) βm = αm − β1 − β 2 −L − β m −1 , ( β1 , β1 ) ( β 2 ,β 2 ) ( β m −1 , β m −1 )
定义 称 α = 模的性质
(α ,α ) =
2 2 a12 + a2 + L + an 为向量 α 的长度或模.
(1) k α = k α ;
(2) Cauchy- Schwarz inequality (α , β ) ≤ α β ; （3）三角不等式 α + β ≤ α + β ; (4) α =0 , 当且仅当 α = 0 时，等号成立. 证明(3) 对 ∀α , β ,∀ t ∈ R, 有(α + t β ,α + t β ) ≥ 0, ⇒ (α ,α + t β ) + ( t β ,α + t β ) ≥ 0 ,
( y, y ) = ( x, x ) = x .
正交变换为保角变换.
let y = Ax , y′ = Ax ′, AT A = E . 由性质1,2可知
( y , y′ ) ( x , x ′ )
y y′ = x x′
.
T
let y = Ax , y′ = Ax′, AT A = E .
性质2 正交变换为保模变换. let y = Ax , AT A = E .
T
then ( y , y ) = y y = ( Ax ) Ax ′ = x T ( AT A ) x = x T x = ( x , x ) .
向量的内积
[ , ]
0
§4.1 向量的内积
定义4： 、 为任意两个向量，若内积 设
[ , ] 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交. ②
2 , 即 co s 0
.
§4.1 向量的内积
例1. 已知
称 [ , ] 为内积.
注：内积可用矩阵乘积表示为
[ , ] .
T
§4.1 向量的内积
内积的基本性质
1) 2) 3) [ , ] [ , ]; [ k , ] k [ , ]; [ , ] [ , ] [ , ]; [ , ] 0，当且仅当 0 时, [ , ] 0 .
T T
T
化成单位正交的向量组. 解：令 1 1 (1, 1, 1, 1)
2 2
[ 2 , 1 ] [ 1 , 1 ]
T
正交化
1 ( 2 , 2 , 2 , 2 )T
[ 3 , 2 ] [ 2 , 2 ]
3 3
[ 3 , 1 ] [ 1 , 1 ]
4)
§4.1 向量的内积
向量的长度
定义2
( x 1 , x 2 , , x n ) ,
T
[ , ]
x1 x 2 x n ,
2 2 2
称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
1) 2)
0， 0 0 ；
1
2 ( 1, 1, 1, 1)
T
§4.1 向量的内积
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向量的内积
【教学目标】
1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．
2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．
3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．
【教学难点】
平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．。