向量的内积与二次型
考研线性代数第四讲相似矩阵及二次型
a为何值时，A可对角化？
有一个2重特征值，
⑴求a；⑵讨论A可否对角化？ .
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
3. 实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵的性质 ① 实对称矩阵的特征值均为实数，每个 特征值l的重数=n-r(lE-A); ② 属于不同特征值的特征向量正交. 结论 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q –1AQ = = diag(l1, l2, …, ln), 其中l1, l2, …, ln为A的全部特征值, Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A 的对应于l1, l2, …, ln的标准正交特 征向量.
相似与对角化
三、相似与对角化 1. 相似的定义与性质
设A与B 均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B 成立，则称A与B相似，P为把A变成B的相 似变换矩阵.
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
性质 若A与B相似，则 ①对于多项式f(x)， f(A)与f(B)相似. ②方阵A与B的特征值相同. ③|A|=|B|. ④tr(A)= tr(B). ⑤r(A)= r(B). ⑥当P 1AP =B时，是A的特征向量，则P -1 是B的特征向量. ⑦若P 1AP = ，则 =diag[l1, l2, …, ln]，其 中l1, l2, …, ln为A的特征值.
第四讲 相似矩阵及二次型
特征值与特征向量
例10.设 =(1,-1,1)T是3阶矩阵A的特征向量，对应的特 征值为1， A5 4 A3 E ，验证是B的特征向量. B 例11.设1, 2是A的特征向量，特征值l1≠l2,则1, A(1+ 2)线性无关的充要条件是什么.
第四讲 相似矩阵及二次型
线性代数第五章知识要点
(3) An×n 的对角化
(i) A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性
无关的特征向量.
(ii) 若 A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角
矩阵相似 , 即 A 可对角化.
4. 实对称矩阵的相似矩阵
(1) 实对称矩阵的特征值为实数. (2) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量必正交. (3) 若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则 对应于 的特征向量必有 r 个, 且它们线性无关. (4) 实对称矩阵必可对角化. 即若 A 为 n 阶 实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P-1AP = , 其中 是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩 阵.
(7) 定义 4 若 n 阶方阵 A 满足
ATA = E ( 即 A-1 = AT),
则称 A 为正交矩阵.
A = (aij)n×n 为正交矩阵的充要条件是
1, i j; aik a jk δij 0, i j k 1
n
或
a
k 1
n
ki
akj δ ij .
(8) 定义 5 若 P 为正交矩阵, 则线性变换
6. 正定二次型 (1) 定义 9 设有实二次型 f(x) = xTAx,如
果对任何 x 0, 都有 f(x) > 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵 A 是正定的, 记作 A > 0 ; 如果对任何 x 0 都有 f(x) < 0, 则称 f 为 负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的, 记作 A < 0.
称为二次型.
二次型可记为 f = xTAx,其中 AT = A. A 称为
二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵 A 的二次型.对
正交矩阵——精选推荐
第五章 二次型除特别指明外，本章都是在实数域内进行的讨论．§5.1 正交矩阵一、向量的内积1.定义：① 设有n 维行向量α = (a 1, a 2, ……, a n ) ，β = (b 1,b 2, ……, b n ) ，定义α与β的内积为： α βT = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ． ② α 与 β 正交： α βT = 0 ．注：非零向量正交一定线性无关（反之不成立）．③ 对n 维列向量 α = (a 1, a 2, ……, a n )T ，β = (b 1,b 2, ……, b n )T ， α与β的内积为： α T β = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ， α与β正交，则： α T β = 0 ．说明：①.我们采用符号<α,β>统一表示n 维向量α和β的内积．②.在大家熟知的三维普通空间，建立笛卡儿坐标系后，矢量（也称向量）k a j a i a a r r r r321++= 和 kb j b i b b r r r r 321++=可以作为特例．不过用行（或列）矩阵[即行（或列）向量]表示内积（亦称点积、数量积）b a rr ⋅时，必须写成[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅321321b b b a a a b a rr ． 2.性质：① 对称： α βT = β αT ；（ <α,β> = <β,α> ） ② 数乘（齐次）：( λ α ) βT = α ( λ βT ) = λ ( α βT ) ； ③ 分配（可加）：( α + β) γT = α γT + β γT ；④ 自身相乘非负： α αT ≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ． 3.向量的长度（或模）： 22221Tn a a a +++==L ααα ，为非负的实数．性质：① 非负：α≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ； ② 数乘（齐次）： ααk k = ；③ 单位向量及非零向量单位化：若1=α，则α为n 维单位向量．对非零向量α ，都可单位化：ααβ= ． ④ 三角不等式： βαβα+≤+ ； ⑤ 柯西-施瓦茨不等式：222T )(βαβα≤ ．二、向量正交化1.正交向量组定义：若向量组α1，α2，……，αs 中的向量两两正交，则称该向量组是一个正交向量组． 重要的n 维正交向量组：)0,,0,1(1L =e ，)0,,1,0(2L =e ，……，),,0,0(n n L =e ．2.向量组正交化方法（Schmidt 正交化方法）：有一线性无关的向量组α1，α2，……，α r ，但不是正交向量组，用施密特（Schmidt ）正交化方法可以将其转化为一组正交且单位化的向量组． ① 正交化：令 11αβ= 1111222,,ββββααβ><><−= 222231111333,,,,ββββαββββααβ><><−><><−= ……111122221111,,,,,,−−−−><><−−><><−><><−=r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβL ② 单位化：令111ββγ=，222ββγ=，……，rr r ββγ=．（课后看教材P.156之例6和例7．） 三、正交矩阵1.定义：设A 为n 阶实方阵，若A T A = I ，则称A 为n 阶正交方阵．2.性质：① 若A A T = I ，则A 为正交矩阵； ② 若A T = A -1 ，则A 为正交矩阵； ③ 若A 为正交矩阵，则行列式1±=A ；④ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量为一个相互正交的单位向量组；（用定义A T A = I 说明）⑤ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量为一个相互正交的向量组；⑥ 若A ，B 为n 阶正交矩阵，则AB ，BA 也是n 阶正交矩阵；因 ( AB )T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I ． ⑦ 正交矩阵的特征值的模等于1 ．（证明略） 四、向量的正交变换：1.定义：设A 为n 阶正交矩阵，X 为任意一个n 维向量，则称Y = A X为正交变换．2.重要性质：向量X 经正交变换后长度（模）不变．因 X X X AX A X AX AX Y Y Y =====T T T T T )()( ．3.推论：两个向量做相同正交变换后，内积不变，几何图形的形状不变． 五、实对称矩阵1. n 阶实对称矩阵A 的性质：[ 简单性质：A A A A A A ===T T )(,,]① 特征值都是实数；② 不同特征值对应的特征向量正交；证明： A T = A ， AX 1 = λ1X 1 ， AX 2 = λ 2 X 2 ， λ1 ≠ λ 2 ；( AX 1 ) T = ( λ1X 1 ) T ， ( X 1 ) T A T = λ1 ( X 1 ) T ；( X 1 ) T A = λ1 ( X 1 ) T ， ( X 1 ) T A X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ；λ 2 ( X 1 ) T X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ， ( λ 2 - λ1)[ ( X 1 ) T X 2 ] = 0 ；( X 1 ) T X 2 = 0 ．③ 有n 个线性无关的实特征向量；④ 必有正交矩阵P ，使得P -1AP = P T AP = D = diag( λ1, λ2,…, λn )其中λ1, λ2,…, λn 恰为A 的n 个特征值（重根按重数依次计入）；（证明：略）2.把n 阶实对称矩阵A 用正交矩阵对角化的步骤： ① 求出A 的相异特征值λ1, λ2,…, λ 5 ；② 对每个特征值λ i ，求出( λ i I – A ) X = 0 的一个基础解系，然后再正交化、单位化；③ 将求得的n 个相互正交的单位特征向量X 1, X 2, ……, X n 作为列向量排成矩阵P （就是所求的正交矩阵）；④ 计算),,,,,diag(11s i i T λλλλ==−L L AP P AP P ，即为所求（n 个对角元素的值可能有重复）． 六、例题（P.162例9亦P.132例4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，求正交矩阵P ，使P T AP 为对角矩阵．解：① 由A 的特征方程0=−λA I ，求其特征值λ：1221105551222122210−λ−−−λ−+λ−λ−λ−λ=−λ−−−−λ−−−−λ=−λ=A I 2)1)(5(10211005+λ−λ=+λ−−λ−+λ−λ=解得51=λ，132−=λ=λ；② 求对应51=λ的特征向量，解齐次线性方程组 0X A I =−)5( ；由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−000110112330330112422242224)5(A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000110101 ，得同解方程组 ⎩⎨⎧=−=−003231x x x x ，令 33~x x = ， 则 3132~,~x x x x == ，得特征向量 []T1111=X ；单位化： T1313131⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P ； ③ 求对应132−=λ=λ的特征向量，由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−=−−000000111222222222)(A I ，得同解方程组 0321=++x x x ，令 3322~,~x x x x == ，得特征向量 []T2011−=X ， []T3101−=X ； [与书不同，都对]正交化：[]T22011−==X α ，[][]TTT 22223331212101121101,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−=><><−=αααααX X ；单位化： T22202121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ， T333626161⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ； [与书不同] ④ 所求正交矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−==62031612131612131221P P P P ． [与书不同]本题附：① 可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=6203161213161213112221222162616102121313131T AP P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000100056203561213561213562616102121313131 ． ② 用书上的P ，同样也可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．作业(P.162)：1； 6.(1)； 8；附录：关于复矩阵的共轭问题① 复矩阵的共轭矩阵 —— 每一矩阵元都取共轭；即复矩阵A = (ai j )的共轭矩阵为)(j ia=A．② 复向量的共轭向量 —— 每一元素都取共轭．。
向量的内积
说明: 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 用 矩阵记号表示, 当x与y都是列向量时, 有 [x, y]=xTy.
向量的内积 设有n维向量x=(x1, x2, , xn)T, y=(y1, y2, , yn)T, 令 [x, y]=x1y1+x2y2+ +xnyn, [x, y]称为向量x与y的内积. 内积的性质 设x, y, z为n维向量, λ为实数, 则 (1)[x, y]=[y, x]; (2)[λx, y]=λ[x, y]; (3)[x+y, z]=[x, z]+[y, z]; (4)当x=0时, [x, x]=0; 当x≠0时, [x, x]>0; (5)[x, y]2≤[x, x][y, y]. ——施瓦茨不等式.
|| y||= yT y = xT PT Px = xT x =|| x|| .
这说明, 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变), 这是正交变换的优良特性.
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 方阵的特征值与特征向量
数 学 与 计 算 机 科 学 系
工程技术中的一些问题, 如振动问题和稳定性 问题, 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量 的问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组 的问题, 也都要用到特征值的理论.
1 a2 =ξ1= 0 , 1
0 1 1 1 1 a2 =ξ 2 ξ1 = 1 0= 2 . 1 2 1 2 1 [ξ1, ξ1] [ξ1, ξ 2 ]
正交阵 如果n阶矩阵A满足ATA=E(即A1=AT), 那么称A为正交矩 阵, 简称正交阵. 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量, 且两两正交. n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 正交矩阵举例: P = 2 2 2 2 . 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2
本_第17讲_向量的内积、长度及正交性 二次型基本知识
一、向量的内积
2. 内积的性质 ⑴ [α , β ] = [ β , α ]; ⑵ [ kα , β ] = k[α , β ], k ∈ R; ⑶ [α + β , γ ] = [α , γ ] + [ β , γ ];
[ ⑷ 当 α = 0 时， α ,α ] = 0,
当 α ≠ 0 时，[α ,α ] > 0;
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三、向量的正交性
一定线性无关． 定理 正交向量组 α1 ,α2 ,⋯,αr 一定线性无关． 证 设存在 k1 , k2 ,⋯, kr 使
(＊) ＊
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0, 两两正交， 由α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，知
T 以α 1 左乘(＊)式两端，得 ＊ 式两端，
二次型基本知识
二次型的概念； 二次型的概念； 二次型的矩阵表示. 二次型的矩阵表示.
一、二次型的概念
含有n个变量 含有 个变量x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn的二次齐次函数 个变量 f(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn) = a11x12+a22x22+ ⋅ ⋅ ⋅ +annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+ ⋅ ⋅ ⋅ +2an−1,, nxn−1xn − − 称为二次型.
两个向量之间的一种运算，其结果是一个数 两个向量之间的一种运算，其结果是一个数， 用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β Tα . n≥3维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 5. 施密特 施密特(Schimidt)正交化 正交化
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
向量内积的定义及运算规律经典实用
arcco[sx, y]
xy 称为n维向量 x与y的夹角 .
当[x, y]0时,称向量 x与y正交. 若x0,则x与任何向量都. 正交
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
定理 若 n维向 a1,量 a2, ,ar是一组两两 零向 ,则 量 a1,a2, ,ar线性.无关 定义 设 n维 向 e1,e2 量 , ,er是 向 量 V(V 空 Rn)间 的 一,如 个e果 1,基 e2, ,er两 两,则 正e称 1,交 e2, , er是 V的 一 个 规 . 范 正 交 基
2
;
( 2 ) 令 2 k 1 2 ,使 2 与 1 得 正 ,得 交
k[1,2]
1, 2
1 2
1 6
2
1 1
2
,
0
2
1 2
0
6 6
.
(3 )令 3 k 11 k 223 ,且 3 与 2 ,1 正 , 交
得
k1[1,3]1 2,
k2[2,3]1 6,
a0, aTa为一,非零数 故 a ( a T a ) a T ( a T a )a a ( T ),
A T A E [ 4 / a T a ( ) a a T ] [ 4 / a T a ( ) a a T ] E , 故A是正交矩.阵
特a 别 T a1 时 当 ,A E 2 aa T 是正 . 交
1 3
故
3
1 1
3 3
.
1
(4)将 1,2,3单位 ,得化
1 2
1
1 1
1
0 0
线性代数-二次型
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
THANKS
感谢观看
在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
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组a1，a2，，am可以相互线性表示.来自《线性代数》返回
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例3．设线性无关向量组为a1(1, 1, 1, 1)T，a2(3, 3,-1,1)T，a3(-2, 0, 6, 8)T，试将a1，a2，a3正交化、标准化.
解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
b1a1(1, 1, 1, 1)T，
例1．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量 与任意向量正交.
例2．Rn中的n维单位向量组e1，e2，，en，是两两 正交的：(ei ,ej ) 0 (ij) .
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正交向量组
定义3 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： arccos (a , b )
若非零向量a的长度不等于1，令a 0 a ， a
则a 0为单位向量，称a 0为a的单位向量。
从a得到a 0的运算称为向量a的单位化。
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正交向量组
定义3 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： arccos (a , b )
ab
若(a ,b )0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
(1)|a |0，当且仅当a0时，有|a |0； (2)| ka ||k||a | (k为实数)； (3) 三角不等式: |a b | ≤ |a| ＋ |b| ； (4)对任意向量a，b，有 |(a ,b )| |a | |b | .
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向量的单位化（标准化） 长度为1的向量称为单位向量.
定义1 设a(a1, a2, , an )T与b(b1, b2, , bn )T是Rn中的两
个向量，则实数
n
aibi a1b1 a2b2 ... anbn
i 1
称为向量a和b的内积，记为(a , b ).即
n
(a , b ) aibi a1b1 a2b2 ... anbn i 1
b2 a2 -（（ab12，，bb11））b1，
(3, 3, -1, -1)T - 4 (1, 1, 1, 1)T (2, 2, -2, -2)T，
4
b 3
a 3
（a ，b ） - 3 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
3
，b
）
2b
）
，
2
1
1
2
2
(-2, 0, 6, 8)T- 12 (1, 1, 1, 1)T- -32 (2, 2,-2,-2)T
显然, 当a和b是行向量时 (a, b ) ab T ba T
当a和b是列向量时 (a , b ) a T b b Ta
内积的性质
设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) (b,a ) ； (2) (ka,b ) k ( a,b ) ； (3) (ab,g ) ( a,g ) ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a0时，有( a,a ) 0 .
ab
若(a ,b )0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
定义4 如果Rn中的m个非零向量组 a1，a2，，am两
两
正交，即 (ai ,aj )0(ij)，则称该向量组为正交向量组. 如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单
位向量，则称该向量组为标准正交向量组.
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向量的长度
定义2 对Rn中的向量a(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为
a (a,a ) a12 a22 an2 例如，在R2中，向量a(-3, 4)T的长度为
a (a,a) (-3)2 42 5
向量长度的性质（了解）
例如，设a(-1, 1, 0, 2)T，b(2, 0, -1, 3)T , 则a和b 的内积为 (a , b ) (-1)2100(-1)23 4 .
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内积的定义
n
(a, b ) aibi a1b1 a2b2 ... anbn i 1
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定理1 Rn中的正交向量组是线性无关的向量组.
证明：设a1，a2，，am为正交向量组，且有数k1，
k2，，km，使
k1a1k2a2 kmam0 上式两边与向量组中的任意向量ai求内积，
aiT(k1a1k2a2 kmam)0 (1im)，
b 3
a 3
（a ，b ） - 3 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
3
，b
）
2b
）
，
2
……
1
1
2
2
b m
a m
（a ，b ） - m 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
m
，b
）
2b
）
2
-
-（a
，b
m
m
）
b -1
，
（b ，b ） m-1
1
1
2
2
m -1
m -1
向量组b1，b2，，bm是正交向量组，并且与向量
2a1n x1xn 2a2n x2 xn
ann xn2
f (x1, x2 , , xn ) d1x12 d2x22 dn xn2. 3．了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法 .
本章重点
用正交变换化二次型为标准形 .
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内积的定义
第一节 向量的内积
一、向量内积的概念
第五章 二次型
一、向量的内积
1.向量内积的概念 2.向量组的标准正交化 3.正交矩阵
二、二次型及其标准形
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第五章 二次型
本章要求
1．掌握二次型的矩阵表示 ；
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法 ；
f (x1, x2 ,
, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 a22 x22 2a23x2 x3
可得
kiaiTai0， 但ai0，有aiTai>0。所以ki0 (1im)，则a1，a2，， am线性无关.
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二、向量组的标准正交化
定理2（施密特正交化方法）
对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，，am，令 bb21aa1，2 -（（ab12，，bb11））b1，