平面向量的内积
7.4平面向量的内积--中职数学第二册
a b a·b 0 x1x2 y1y2 0
典型题解
例3.求下列向量的内积：
(1) a (3,2),b (1,5)
(2) a (3,1),b (2,5)
(3) a (0,2),b (1,0)
例4.已知a (1,2) ，b (3,1)
ab
当a·b 0时 a 与b 的夹角 是锐角或 0 当a·b 0时 a 与b 的夹角90 即 a b 当 a·b 0时 a 与b 的夹角 是钝角.
3.向量内积的性质
(1)当 a 与 b 同向时，a·b a b
2
a a a a a 或 a a a
，求
a b
， a
，b
，
.
典型题解
例5.判断下列各组向量是否相互垂直：
(1) a (6,3),b (2,4)
(2) a (1,2),b (0,3)
课堂小结
一、平面向量的内积
1.两向量的夹角 a, b
00 1800
2. 两向量的内积 a·b a b cos
12
cos
=|
a b a || b
|
x1 x 2 y1 y 2 x12 y12 x 2 2 y 2 2
命题：a b a·b 0 x1x2 y1 y2 0
感谢指导！
一、平面向量的内积
1.两向量的夹角:
已知两个非零向量 a
和b
,作OA a ,OB b
则 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a, b 。
平面向量的内积教案知识讲解
平面向量的内积教案平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）图7—21这里，力F 与位移s都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s.由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |.（2） cos<a ,b >＝||||⋅a b a b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |.（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有Ba ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3．例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22. 由于 0≤<a ,b >≤︒180，所以 <a ,b >＝135．*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b 的几何意义就是向量a 的模与向量b 在向量a 上的投影的乘积． 知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（1）a＝ (2,−3), b＝(1,3)；运用知识强化练习1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为︒60，求a·b．2. 已知a·a＝9,求|a|．3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒30，求(2a＋b)·b．动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又| i |＝|j|＝1，所以a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1 i•j＋y1y2j•j＝x1x2 |j|2＋y1y2 |j|2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则a==a=由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a⊥b⇔a·b＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． *巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（2） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（3） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（4） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)．解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >．解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |=；|b |=；cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =， 所以 <a ,b >＝45．例5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ．(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．运用知识强化练习1．已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b．2．已知a＝(1,3)，b＝(0, 3)，求<a,b>．3．已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)； (3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：a＝(−2, −4)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,1)，b＝(4, −3)；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）。
平面向量的内积
平面向量的内积平面向量的内积概念解释内积是向量的一种运算，也叫点积。
对于两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b，其中“·”表示内积符号。
在平面直角坐标系中，向量a和b的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
性质1. 内积具有交换律：a·b=b·a2. 内积具有分配律：(c+a)·b=c·b+a·b3. 内积具有结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)4. 如果两个向量的夹角为90度，则它们的内积为0。
5. 如果两个向量不共线，则它们的内积不为0。
6. 如果一个向量与自身做内积，则结果为该向量模长的平方。
应用1. 向量投影通过计算一个向量在另一个向量上的投影长度，可以得到这两个向量之间夹角的余弦值。
这在计算机图形学中非常常见。
2. 判断两条直线是否垂直如果两条直线所对应的向量垂直，则它们的内积为0。
3. 计算向量的模长通过向量的内积公式，可以计算出一个向量的模长。
4. 计算两个向量之间的夹角通过向量的内积公式，可以计算出两个向量之间的夹角。
5. 判断两条直线是否平行如果两条直线所对应的向量平行，则它们的内积为两个向量模长之积乘以它们之间夹角的余弦值。
6. 判断三角形是否直角三角形如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直，则这两条边所对应的向量垂直，它们的内积为0。
如果这个三角形中有两条边所对应的向量垂直，则这个三角形是直角三角形。
总结平面向量内积是一种非常重要且常用的运算，它不仅可以用于计算向量投影、判断两条直线是否垂直或平行、计算夹角等问题，还可以用于解决几何问题和物理问题。
因此，在学习数学和物理时，掌握平面向量内积是非常重要和必要的。
数学教师手册_平面向量的内积
平面向量的内积教学眉批向量内积可用来计算物理学的“功”与解决一般几何、解析几何问题，未来学习的两个矩阵的乘积也蕴含向量的内积。
两向量夹角：(1) 两个非零向量始点重合所夹的角。
(2) 夹角介于0°至180°。
(3) 同向时夹角为0°，反向时夹角为180°。
向量在几何图形上的夹角宜注意是否起点重合。
补充演练如下图，试求下列两向量的夹角：(1) AB与AC。
(2) BA与AF。
(3) AD与EB。
解(1) 如图（一），AB与AC夹角为30°。
(2) 如图（二），BA与AF夹角为60°。
(3) 如图（三），AD与EB夹角为120°。
图（一）图（二）图（三）教学眉批向量内积：(1) 内积与系数积是不同的。
内积是两个向量的运算；系数积是一个向量的实数倍。
(2) 利用两非零向量的长度及其夹角余弦值的乘积来定义，结果为一实数。
(3) 若两向量中有一为零向量时，因零向量之长度为0，故规定其内积为0。
(4) 内积具交换性，即a‧b＝b‧a＝∣a∣∣b∣cos θ。
一些常用性质后面会再介绍。
(1) 给定长度与夹角求内积，直接由定义可得。
(2) 给定几何图形求内积，务必提醒学生起点重合，角度介于0°～180°才是两个向量的夹角。
补充演练(1) 如图（一），已知直线L垂直AB，C，D，E，F在直线L上，则AB‧AC，AB‧AD，AB‧AE，AB‧AF之大小关系为何？(2) 如图（二），ABCDEF为一正六边形。
那么下列向量内积中，何者最大？(A) AB‧AB(B) AB‧AC(C) AB‧AD(D) AB‧AE(E) AB‧AF。
图（一）图（二）证(1)AB‧AC＝∣AB∣∣AC∣cos∠CAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AD＝∣AB∣∣AD∣cos∠DAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AE＝∣AB∣∣AE∣cos∠EAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AF＝∣AB∣∣AF∣cos 0°＝∣AB∣∣AF∣，故均相等。
平面向量的内积
2 p.173
平面向量的内积 page 7/23
设 a ( 3 , 1)，b (1 , 0)，试求： (1) a b 之值。 (2) a，b 两向量的夹角。
(1) 由内积的定义可得 a b 3 (1) 1 0 3
(2) 设 a 与 b 两向量的夹角为 可得 cos a b
平面向量的内积
平面向量的内积 page 1/23
向量的夹角与内积
内积的性质 柯西不等式 正射影
内积在几何上的应用
向量的夹角与内积 p.169~p.174
平面向量的内积 page 2/23
向量的夹角：
对于非零向量 a 与 b，若此两向量始点不在同一点， 我们可以将其中一个向量平移，使两个向量的始点重
故得证
AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2
9 p.183
试证明三角不等式：a b a b 。
平面向量的内积 page 20/23
[证明一] 若 a 与 b 任一向量为零向量时，三角不等式的等号显然成立 以下讨论 a 与 b 为两个非零向量的情形： (1) 若 a 与 b 不平行：
合，此时的夹角 (0 180 )，称为向量 a 与 b 的 夹角。
向量的夹角与内积 p.169~p.174
向量的内积： a 和 b 的内积 a b 定义为
a b= a b cos 。
平面向量的内积 page 3/23
1 p.170
平面向量的内积 page 4/23
(1) 设 AB 与 AC 两向量的夹角为 45 ，且 AB 4， AC 2， 试求 AB AC 之值。
2
2
2
a 2a b b a 2 a b b
平面向量内积
平面向量内积
【考纲要求】 1.理解平面向量内积(数量积)及其运算法则;
2.能运用平面向量内积运算解决有关实际问题.
【学习重点】
平面向量内积计算公式的应用.
一、自主学习
(一)知识归纳
1.平面向量的夹角
→
→
设有非零向量 a 和 b,如图 7-10,作=a,=b,则由有向线段
→
→
,所夹的角叫做向量 a 和 b 的夹角,记作<a,b>,我们不妨简记为 θ,
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.向量内积的运算法则
(1)a·b=b·a.(交换律);
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)(数乘结合律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
注意:(a·b)·c=a·(b·c)不成立,并且 a·b=a·c 也不能推出 b=c.
5.向量内积的坐标表示
→
→
∴·=6×6×cos120°=-18;
→
→
·
=6×3 cos150°=-27.
→
→
→
6.已知 n=(-1,1),=(3,-2),n ·=10,求 n ·.
→
解:∵n=(-1,1),=(3,-2),
→
∴n ·=-5;
→
→
→
→
又 n ·=10,∴n ·=n ·(-)
解:∵a·b=1×3-2×(-1)=5,
|a|= + (−) = ,
|b|= + (−) = ,
·
∴cosθ=| ·|= × = ,
∵0°≤θ≤180°,
∴θ=450.
二、探究提高
平面向量的内积
•
（2）
(a b) ( a) b a ( b)
•
（3）
(a b) c a c b c
例3、已知|
a |
5,|
b
|
4,
600
，求
(2 a b) b 。
课堂小结
• 1、两平面向量夹角； • 2、平面向量的内积及性质； • 3、运算方法和运算律。
平面向量的内积平面向量的内积ppt平面向量平面向量的内积教案向量的内积向量内积的几何意义复向量的内积复数向量的内积向量的内积公式向量的内积和外积
平面向量的内积
复习
• 1、向量的坐标表示：
平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一
表示成
a
xi
yj
的形式。
我们把
a xiy j
叫做向量的
y
a
坐标形式，记作
a
=（x，y），
N
a
=（x，y）叫做向量
a
的坐标
j
o i
P(x,y)
M
x
表示。
•
对于直角坐标平面上任意向量
a
，
将它的起点移至原点O，则其终点的坐标为
P（x，y）就是向量
a
的坐标 . 即
a =（x，y）
y
a
N
j
o i
P(x,y)
M
x
•
2、向量
a
xi
y
j
平面向量内积推导
平面向量内积推导
摘要：
一、平面向量内积的定义与意义
二、平面向量内积的性质与运算规律
三、平面向量内积的推导过程
四、平面向量内积在实际问题中的应用
正文：
一、平面向量内积的定义与意义
平面向量内积是一种度量向量之间相似度的方法，它反映了两个向量在方向和长度上的相似程度。
给定两个二维平面向量A=(a1, a2)和B=(b1, b2)，它们的内积定义为：
A·B = a1*b1 + a2*b2
内积的值范围在-1到1之间，接近1表示两个向量高度相似，接近-1表示两个向量高度相反，等于0表示两个向量垂直。
二、平面向量内积的性质与运算规律
1.交换律：A·B = B·A
2.结合律：(A·B)·C = A·(B·C)
3.分配律：A·(B+C) = A·B + A·C
4.对称性：A·B = B·A
5.标量乘法的传递性：kA·kB = (k·k)·A·B
三、平面向量内积的推导过程
平面向量内积的推导过程主要包括以下几个步骤：
1.基于向量的点积定义，展开A·B的计算过程。
2.利用向量的坐标运算，将点积表达式转化为坐标形式。
3.化简坐标形式的点积表达式，得到内积的简化形式。
四、平面向量内积在实际问题中的应用
1.几何问题：求解向量的夹角、向量的模长、判断向量之间的共线关系等。
2.线性代数问题：求解矩阵的特征值、特征向量，以及矩阵的秩等。
3.机器学习问题：应用于文本相似度计算、图像特征提取、推荐系统等。
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【课题】7.3 平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究相关问题奠定基础. 水平目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的水平． 【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．所以，向量的内积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的准确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．能够记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．
（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；
（3）cos<a ,b >＝||||
⋅a b
a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；
（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
+
F
cos30
是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
．两个向量
0,所以对非零向量·b＝0⇔
x y
+
判断下列各组向量是否互相垂直：。