7.4 平面向量的内积(1)
7.3.1平面向量的内积
7.3.1 平面向量的内积一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。
二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。
三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四、教学目标：1、知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力五、教学重、难点：重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．六、教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件八、教学过程：（一）导入新课师：如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。
（二）新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F=即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当。
7.4平面向量的内积--中职数学第二册
a b a·b 0 x1x2 y1y2 0
典型题解
例3.求下列向量的内积：
(1) a (3,2),b (1,5)
(2) a (3,1),b (2,5)
(3) a (0,2),b (1,0)
例4.已知a (1,2) ，b (3,1)
ab
当a·b 0时 a 与b 的夹角 是锐角或 0 当a·b 0时 a 与b 的夹角90 即 a b 当 a·b 0时 a 与b 的夹角 是钝角.
3.向量内积的性质
(1)当 a 与 b 同向时，a·b a b
2
a a a a a 或 a a a
，求
a b
， a
，b
，
.
典型题解
例5.判断下列各组向量是否相互垂直：
(1) a (6,3),b (2,4)
(2) a (1,2),b (0,3)
课堂小结
一、平面向量的内积
1.两向量的夹角 a, b
00 1800
2. 两向量的内积 a·b a b cos
12
cos
=|
a b a || b
|
x1 x 2 y1 y 2 x12 y12 x 2 2 y 2 2
命题：a b a·b 0 x1x2 y1 y2 0
感谢指导！
一、平面向量的内积
1.两向量的夹角:
已知两个非零向量 a
和b
,作OA a ,OB b
则 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a, b 。
7.4平面向量的内积 (1)
2、向量的内积
（二）运用平面向量的坐标求内积
1.两个向量的内积的坐标表示。
例题讲解
学生板书
教学后记
主要教学内容及步骤
教学过程师生活动设计意图等
1、情境引入
前面我们学习了两个向量的加法、减法和数与向量相乘三种运算，那么向量与向量能否“相乘”呢？
问题探究：
如图7-32所示，一个物体在力F的作用下发生了位移S，力F与物体位移S方向的夹角为 .
3.识记平面向量内积的坐标表示，并能够进行简单应用。
4.会应用基本结论判定两个向量的位置关系。
教学重点
平面向量内积公式的应用，及应用基本结论判定两个向量的位置关系。
教学难点
以上1.2.3
更新、补
充、删减
内容
无
课外作业
习题1（1）（3）（5）、习题2、3
授课主要内容或板书设计
7．4平面向量的内积
（一）、平面向量的内积
解：因为 = ，所以 ⊥ .
因为 = ，所以 与 不垂直.
主要教学内容及步骤
教学过程师生活动设计意图等
三、小结
1.理解平面向量内积的定义，并掌握平面向量内积的运算。
2.会运用平面向量的坐标求内积，并掌握其相关运算。
解：由 = 得 = .
因为 ，
所以
（二）运用平面向量的坐标求内积
探究：设平面向量 = ， = ， 分别为 轴和 轴正方向上的单位向量.
（1） ， =， ， ；
（2）用 ， 的坐标表示它们的内积 .
1.两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
= .
①当 、 是两个非零向量时，
② ⊥
2.例题讲解
例2求下列向量的内积：
《平面向量的内积》教案
若把功W看成是两向量 和 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量的内积（数量积）的概念.
力 与位移 都是向量，功W叫做向量 与向量 的内积，它是一个数量，又叫做数量积。
四．新知探究
1.两个非零向量的夹角定义：设有两个非零向量 与 ，作 ＝ , ＝ , 则由射线OA与OB所形成的角∠AOB 叫做向量 与 的夹角，记做〈 ， 〉,规定0º≤〈 ， 〉 ≤180º
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
课题
7.3.1平面向量的内积
主备人
赵志慧
课时
2
时间
6月
学习目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
学习重点：平面向量的数量积定义.
学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
学习过程：
一．知识回顾：
1.向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量 的积是__________，记作_____，
二．情景创设
问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？
三．学生探究
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功为多少？
⑴当〈 ， 〉＝0º时，向量 与 同向;
⑵当〈 ， 〉＝180º时，向量 与 反向;
⑶当〈 ， 〉＝0º或〈 ， 〉＝180º时， 与 平行（共线），记做 ∥ ；
⑷当〈 ， 〉＝90º时， 与 垂直，记做 ⊥ 。
7.4平面向量的内积(1)
板书设计：
平面向量的内积
1、零向量的夹角 3、向量內积的重要性质
2、向量的内积:a·b＝|a||b| cos‹a，b›． 4、向量内积的运算律
教学反思：
课 题 7.4 平面向量的内积(1)
课型
新授
学时
1பைடு நூலகம்
1.理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积． 教学目标
2.通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
教学重点 平面向量内积的概念、基本性质及运算律
教学难点 平面向量内积的概念、基本性质及运算律
教学方法 探讲练
学习方法 讨论法、探究法
规定：0 向量与任何向量的内积为 0．
说明：（1）两个向量的内积是一个实数，符号由 cos‹a，b›决定； 牢记说明
（2）两个向量的内积符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，
也不能用“×”代替.
3、向量內积的重要性质
认真记忆內积的性质
设 a，b 为两个非零向量，e 是单位向量，则：
（1）当 a 与 b 同向时，
认真探究后完成问题
∣s∣∣F∣cos θ 称为位移 s 与力向量 F 的内积．
学习新知：
1、两个非零向量的夹角
如图，已知非零向量 a 与 b，作 → OA＝a，→ OB＝b，则∠AOB 叫向量 a
与 b 的夹角．记作‹a，b›，规定 0≤‹a，b›≤180．
理解掌握新知识
说明：
(1)当‹a，b›＝0时，a 与 b 同向； (2)当‹a，b›＝180时，a 与 b 反向；
（2）当 a 与 b 反向时，
（3）
默写內积运算律
4、向量内积的运算律
（1）a·b＝b·a；（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 共同完成
向量的内积
【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |⋅a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？介绍 质疑引导分析了解 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）总结 归纳思考 理解带领 学生 分析Fs图7—21 ︒30O过 程行为 行为 意图 间图7－22这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b ＝｜a ||b |c os<a ,b > (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．仔细分析 讲解 关键 词语记忆引导 式启 发学 生得 出结 果15由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b＝−|a ||b |.思考Ox ij F (x ,y )yBAO图7－23ab过 程行为 行为 意图 间（2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |＝⋅a a .（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证. 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 带领 学生 分析 反复强调30 *巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ． 解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3． 例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝222⋅-＝−22.由于 0≤<a ,b >≤︒180， 所以 <a ,b >＝135． 说明 强调 引领思考 主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 40*运用知识 强化练习1. 已知|a |＝7，|b |＝4，a 和b 的夹角为︒60，求a ·b ．2. 已知a ·a ＝9,求|a |．3. 已知|a |＝2,|b |＝3, <a ,b >＝︒30，求(2a ＋b )·b ．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握过 程行为 行为 意图 间得情 况45 *动脑思考 探索新知设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)，i ，j 分别为x 轴，y 轴上的单位向量，由于i ⊥j ，故i ·j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a ·b ＝(x 1 i ＋y 1j )· (x 2 i ＋y 2j )＝ x 1 x 2 i •i ＋ x 1 y 2 i •j ＋ x 2 y 1 i •j ＋ y 1 y 2 j •j＝ x 1 x 2 |j |2＋ y 1 y 2 |j |2 ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a ·b ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2 (7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则a a a ==22+x y ，即a =22+x y (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时， cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝121222221122x x y y x y x y +++. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a ⊥b ⇔a ·b ＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14) 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． 总结归纳仔细 分析讲解关键词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结60*巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：说明 强调观察过 程行为 行为 意图 间（1） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)； （2） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)； （3） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)． 解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7； (2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0； (3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >． 解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |＝22(1)25⋅=-+=a a ； |b |＝22(3)110⋅=-+=b b ； cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝522105=， 所以 <a ,b >＝45． 例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)； (2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ． (2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直．引领 讲解 说明 引领 分析 强调 含义 说明思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解讲解 说明 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调70 *运用知识 强化练习1． 已知a ＝(5, −4)，b ＝(2,3)，求a ·b ． 2． 已知a ＝(1,3)，b ＝(0,3)，求<a ,b >．3． 已知a ＝(2, −3)，b ＝(3,－4)，c ＝(−1,3),求a ·(b ＋c )． 4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, −3)，b ＝(3, −2)； (2) a ＝(2,0)，b ＝(0, −3)； 启发 引导提问巡视指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况过程行为行为意图间(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：(1) a＝(2, −3)，(2) b＝(8, 6 )．80 *理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即a·b＝｜a||b|c os<a, b>(7.10) a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。
平面向量内积
平面向量内积
【考纲要求】 1.理解平面向量内积(数量积)及其运算法则;
2.能运用平面向量内积运算解决有关实际问题.
【学习重点】
平面向量内积计算公式的应用.
一、自主学习
(一)知识归纳
1.平面向量的夹角
→
→
设有非零向量 a 和 b,如图 7-10,作=a,=b,则由有向线段
→
→
,所夹的角叫做向量 a 和 b 的夹角,记作<a,b>,我们不妨简记为 θ,
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.向量内积的运算法则
(1)a·b=b·a.(交换律);
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)(数乘结合律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
注意:(a·b)·c=a·(b·c)不成立,并且 a·b=a·c 也不能推出 b=c.
5.向量内积的坐标表示
→
→
∴·=6×6×cos120°=-18;
→
→
·
=6×3 cos150°=-27.
→
→
→
6.已知 n=(-1,1),=(3,-2),n ·=10,求 n ·.
→
解:∵n=(-1,1),=(3,-2),
→
∴n ·=-5;
→
→
→
→
又 n ·=10,∴n ·=n ·(-)
解:∵a·b=1×3-2×(-1)=5,
|a|= + (−) = ,
|b|= + (−) = ,
·
∴cosθ=| ·|= × = ,
∵0°≤θ≤180°,
∴θ=450.
二、探究提高
完整word版74平面向量的内积
宿迁经贸高等职业技术学校教师教案本（—学年第学期）精神振奋信心坚定德技双馨特点鲜明专业名称课程名称授课教师授课班级系部，即，记作）（或和）向量（1的内积数量积?bacosba????0）= （?a,b??.表示其中课堂教学安排===与同向时，当时，①当，a?aa或abba a b =-②当反向时，与ba a b=0时，⊥③当（3）向量的内积运算律：abba ；①=abbb a a???）=（；（②）（ =）cbb c c aa. ）③（++=例题讲解3.?ba?ab0?60.4，，求，例1 已知5=?bacosba060cos=10.×=5×=4解：a?b?ab ?22.例2 已知，=-，求ab?22??cos?bacosba??得==解：由. ba22200??180?0，因为0?135?所以（二）运用平面向量的坐标求内积ji,a b)x(,y)y(x,x轴和=分别为=，设平面向量探究：，1122y轴正方向上的单位向量.i= j?ijjj==ii ）（1 ；，， = ，a ab b.，的坐标表示它们的内积2（）用1.两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即ab xx yy. =2121．2112?ab2222x?yx?y2121a abb??xx?yy?00?②⊥21122.例题讲解例2 求下列向量的内积：a b=(1,5); =(3,-2),(1)a b=(2,-5); =(-3,1),(2)a b=(1,0). =(0,-2),(3)ab3?1?(?2)?5??7; =解：ab(?3)?2?1?(?5)??11; =ab0?1?(?2)?0?0. =ab a?bab.，，例3 已知，=(-1,2),=(-3,1)，求ba5;??1)?(?3)2?1(?解：=a22?21)5;??(=b22?10;3)1?(?=ab52??cos??，ab210?50?45 =例4 判断下列各组向量是否互相垂直：a b=(-2,4)；1） =(6,3),（a b=(0,3).=(1,-2),（2）a bab04?2)(??3?6?.=，所以解：因为⊥a bab0?3???62)(01???不垂直与. 因为=，所以。
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①
当
00
时，向量a
与
b
同向
a b | a | | b |
②
当
180
0
时，向量a
与
b
反向
ab |a||b|
③ 当 900 时，向量a 与 b 垂直，即a b
ab 0
江苏省职业学校文化课教材《数学》（第二册）
向量内积的性质：
(1) 向量a 与b 同向时，a b | a | | b |；
特殊的，当a
b
时，a
a
|
a
|
|
a
||
a
|2
.
(2) 向量a 与b 反向时，a b | a | | b |；
(3) 向量a b 时，a b 0；
江苏省职业学校文化课教材《数学》（第二册）
向量内积满足的运算律：
（1）a b b a (交换律）
(2)(a b) (a) b a (b)（结合律）
这个乘积叫向量 a 与 b 的内积（或数量积），
记作
a•
b，
即：a b |a | | b | cos
rr
注：（1）00 180; 也可表示为 a, b
rr (2) 0 a 0.
江苏省职业学校文化课教材《数学》（第二册）
例题讲解
例1 已知| a | 5,| b | 4, 600，求a• b .
两个平面向量的夹角
已知非零向量
a
与b，作
OA
a
，OB
b
，则
AOB
叫做向
量 a 与 b 的夹角，记作 a, b
b
B
b
O
A
a
a
规定：00 1800
江苏省职业学校文化课教材《数ห้องสมุดไป่ตู้》（第二册）
平面向量内积（或数量积）的定义
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角是θ，则把
| a || b | cos
例2 已知| a || b | 2 ，a• b 2 ，求 .
练习1：教科书：第57页 练习：1、2
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思考交流：
已知两个非零向量a 与b，当它们的夹角分别为
00 ,900 ,1800 时，向量a 与b 的位置关系如何？内积
分别是多少？
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(3) (a b) c a c b c （分配律）
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例题讲解
例3 已知| a | 5, | b | 4, 60, 求(2a b) b.
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课堂小结
1、两平面向量夹角；
2、平面向量的内积及性质；
3、运算方法和运算律.
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课后作业：
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探究：
一个物体在力 F 的作用下产生的位移 s，力 F 与物体
位移 s 的夹角为 。
F
s
（1）F 在位移方向上的分量是多少？所做的功W是多少？
（2）功W是一个数量还是一个向量？
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