(整理)平面向量的内积

课题：平面向量的内积教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作＝a ，＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b|cos 叫a 与b 的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b|cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为03．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |特别的a a = |a |2或a a a||4 cos =||||b a b a ；5 |a b | ≤ |a ||b|5． 平面向量数量积的运算律交换律：a b= b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b)分配律：(a + b ) c = a c+ b c二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a设i是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a11 ，j y i x b 22所以))((2211j y i x j y i x b a2211221221j y y j i y x j i y x i x x又1 i i，1 j j ，0 i j j i所以b a2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即b a2121y y x x2.平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a ，则222||y x a或22||y x a（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a02121 y y x x4.两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba222221212121y x y x y y x x三、讲解范例：例1 设a = (5, 7)，b = ( 6, 4)，求a b解：b a= 5×( 6) + ( 7)×( 4) = 30 + 28 = 2例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c ( 2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：∵AB =(2 1, 3 2) = (1, 1), AC = ( 2 1, 5 2) = ( 3, 3)∴AB AC =1×( 3) + 1×3 = 0 ∴AB AC ∴△ABC 是直角三角形例3 已知a= (3, 1)，b = (1, 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x解：设x= (t , s )，由429349s t s t b x a x 32s t ∴x = (2, 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求b a 及｜a｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b ｜＝２2．-------------记a与b 的夹角为θ，则cos θ＝22 ba b a又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使 b = 90 ，求点b和向量AB 的坐标。

解：设b点坐标(x , y )，则OB = (x , y )，AB = (x 5, y 2)∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴b 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值解：当a= 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当b= 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2, k 3) = ( 1, k 3)∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C= 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 四、课堂练习：1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４b a ＝（ ）A.23B.57C.63D.83-------------2.已知a (1,2),b (2,3),c (-2,5)，则△a b c为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B.)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54( D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b)= .5.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段a b的中垂线上，则x = .6.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =BC ,b =CA ,则a 与b的夹角为 .参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5.476.45° 五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示 六、课后作业：1.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b方向上的投影为（ ）A.13B.513 C.565 D.652.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B.λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 3.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b),则x 等于（ ）A.23B.223 C. 323 D. 4234.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a的坐标为 .5.已知a=(1,2),b (1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .-------------6.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b的夹角为43 ，则k 的值为 .7.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a=9与x ·b =-4的向量x .8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ABC ＝90°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.9.四边形ABC D 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC ⊥BD ,求x ,y 的值及四边形ABC D 的面积.参考答案：1.C 2.A 3.C 4.（2，２2）或（-2，－２2）5.(51,52 ) 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)9.(1)x +2y =0 (2)1236y x y x 或 S 四边形ABC D =16七、板书设计（略） 八、课后记及备用资料：已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有x a +y b =(3x +4y ,4x +3y )-------------又（x a +y b ）⊥a (x a +y b )·a＝０ 3(3x +4y )+4(4x +3y )=0即25x +24y ＝０ ①又｜x a +y b ｜=1 ｜x a +y b ｜２＝１ （３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②由①②有24xy +25y ２＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =±75 再代回①得：753524753524y x y x 和。