向量内积的运算律
向量积的运算的所有公式
向量积的运算的所有公式向量积是线性代数中的一个重要概念，它可以帮助我们进行向量运算和解决几何问题。
本文将介绍向量积的基本概念和相关公式，希望能帮助读者更好地理解和应用向量积。
一、向量积的基本概念向量积，又称为叉积或矢积，是二维或三维空间中两个向量所构成的新向量。
它的结果既有大小，也有方向，可以用向量表示。
向量积的公式如下所示：A ×B = |A| |B| sinθ n其中，A和B是待求向量积的两个向量，|A|和|B|分别为它们的长度，θ为两个向量之间的夹角，n为一个垂直于A和B所在平面的单位向量。
二、向量积的性质向量积具有以下几个重要的性质：1. 反交换律：A × B = -B × A，即向量积不满足交换律。
2. 分配律：(A + B) × C = A × C + B × C，即向量积满足分配律。
3. 结合律：A × (B × C) = (A · C)B - (A · B)C，即向量积满足结合律。
4. 零向量积：若A与B平行或其中一个向量为零向量，那么它们的向量积为零向量。
5. 长度和夹角的关系：|A × B| = |A| |B| sinθ，即向量积的大小等于两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
三、向量积的应用向量积在几何学中有广泛的应用，尤其是在计算面积、体积和判断平行四边形等方面。
1. 面积计算：对于平面上的两个向量A和B，它们的向量积的长度等于以A和B为边的平行四边形的面积。
2. 体积计算：对于三维空间中的三个向量A、B和C，以它们为三条边所构成的平行六面体的体积等于它们的向量积的大小。
3. 判断平行四边形：对于平面上的四个点A、B、C和D，以AB和AC为两条边的平行四边形，如果AD也是这个平面上的向量且AB × AD = 0，那么四个点构成的四边形是平行四边形。
向量运算律
向量运算律摘要：一、向量运算律概述二、向量加法运算律三、向量数乘运算律四、向量数量积运算律五、向量向量积运算律六、应用实例及练习正文：向量运算律是向量计算中的基本规律，掌握这些运算律有助于更好地理解和处理向量问题。
以下将介绍向量的几种主要运算律及其应用。
一、向量运算律概述向量运算律主要包括向量加法运算律、向量数乘运算律、向量数量积运算律、向量向量积运算律等。
这些运算律为向量计算提供了简洁、高效的方法。
二、向量加法运算律向量加法运算律表示两个向量相加的结果与它们的顺序无关，即：(a + b) + c = a + (b + c)三、向量数乘运算律向量数乘运算律表示向量与实数的乘积满足分配律，即：k(a + b) = k * a + k * b四、向量数量积运算律向量数量积运算律表示两个向量的数量积满足交换律和结合律，即：a · (b · c) = (a · b) · c五、向量向量积运算律向量向量积运算律表示两个向量的向量积满足交换律和结合律，即：(a × b) × c = a × (b × c)六、应用实例及练习1.实例：三个向量a、b、c，满足a + b = c，求向量a、b、c。
解：设a = (1, 2), b = (3, 4)，则c = a + b = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)。
2.实例：向量a = (1, 2)，求k 使得k * a = (3, 4)。
解：k * a = (k, 2k)，根据向量数乘运算律，(3, 4) = (k, 2k)，解得k = 2。
3.实例：向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a、b 的数量积。
解：a · b = 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11。
4.实例：向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a、b 的向量积。
向量内积的解析-概述说明以及解释
向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。
在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。
向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。
也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。
向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。
这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。
2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。
这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。
3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。
这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。
4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。
这里，u 表示向量u的长度。
向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。
在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。
在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。
在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。
通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。
未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。
每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。
第一部分是引言部分。
在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。
7.3 向量的内积及其运算
【同步训练】
一、选择题
1.a与b是表示不同的非零向量,则下列命题为真命题的是
(
)
A.a·b表示一个向量
B.a·b表示一个实数
C.|a·b|=|a|·|b|
D.<a,b>越大,a·b也越大
【答案】B
2.已知向量a·b 的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=
(
)
A.3
B.9
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7
•15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021
•16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021
∴a·b=2×5×cos60°=5
(2a+b)(a-2b)=2|a|2-3a·b-2|b|2=2×22-3×5-2×52=-57
【点评】
式.
运用向量内积的性质、运算律及向量内积的定义公
【,求|a+b|2
【分析】 |a+b|2=(a+b)·(a+b),从而用例2的方法求解.
C.12 D.13
【答案】D
3.若|a|=5,|b|=6,<a,b>=60° ,则 a·b= (
A.15
B.15
C.15
D.10
【答案】A
)
4.若 a·b=5 ,|a|=4,|b|=2.5,<a,b>= (
向量积的运算法则
向量积的运算法则向量积，又称叉乘，是向量的一种运算，用来描述两个向量之间的关系。
在数学和物理学中，向量积有着广泛的应用，可以用来求解平面和空间中的几何问题，以及描述力和力矩的关系。
本文将介绍向量积的运算法则，以及如何利用向量积来解决实际问题。
首先，我们来看一下向量积的定义。
给定两个三维向量a和b，它们的向量积记作a×b，其结果是一个新的向量，它垂直于a和b所在的平面，并且符合右手定则。
具体来说，如果a和b的起点相同，那么a×b的方向由右手法则确定，将右手的四指从a转向b，那么大拇指所指的方向就是a×b的方向。
向量积的大小等于a和b构成的平行四边形的面积。
如果a和b平行或者共线，那么它们的向量积等于零。
接下来，我们来看一下向量积的运算法则。
设a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)是两个三维向量，它们的向量积a×b的计算公式如下：a×b=(a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1)。
这个公式告诉我们，向量积的计算分为两步：首先计算新向量的三个分量，分别是a2b3 a3b2、a3b1 a1b3和a1b2 a2b1；然后将这三个分量组合成一个新的向量。
这个公式也可以用行列式的形式表示：a×b = |i j k|。
|a1 a2 a3|。
|b1 b2 b3|。
其中i、j和k分别是单位向量，|...|表示行列式。
这个形式更加直观，可以清晰地看出向量积的计算过程。
除了计算公式之外，向量积还有一些重要的性质。
首先，向量积不满足交换律，即a×b不等于b×a。
其次，向量积满足分配律，即a×(b+c)等于a×b加上a×c。
最后，向量积的大小等于a和b构成的平行四边形的面积，这个性质在计算中很有用。
现在，我们来看一些实际问题，如何利用向量积来求解。
首先，我们可以利用向量积来求解平面上的几何问题。
最新向量的运算基本定律
向量的运算基本定律1．实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：⑴结合律：λ(μa )=(λμ) a ;⑵第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;⑶第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .2．向量的数量积的运算律：⑴ a ·b= b ·a （交换律）;⑵（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;⑶（a +b ）·c= a ·c +b ·c.3．平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4．向量平行的坐标表示：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.5．a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．55. a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．6．平面向量的坐标运算：⑴设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++.⑵设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --.⑶设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.⑷设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.⑸设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +.7．两向量的夹角公式：cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).8．平面两点间的距离公式：,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).9．向量的平行与垂直：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.10．线段的定比分公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 11．三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 12．点的平移公式：''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .13．“按向量平移”的几个结论：⑴点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.⑵ 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.⑶ 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.⑷曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.⑸ 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .4．三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则⑴O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.⑵O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.⑶O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.⑷O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.⑸O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. Ae 表达式大全(中英对照)全局对象Comp comp(name) 用另一个名字给合成命名。
向量的运算的所有公式有哪些
向量的运算的所有公式有哪些向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x,y+y).a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x+y?y.3、向量的数量积的运算律a?b=b?a(交换律);(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);4、向量的数量积的性质a?a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a?b=0.|a?b|≤|a|?|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点(1)向量的数量积不满足结合律,即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.(2)向量的数量积不满足消去律,即：由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c.(3)|a?b|≠|a|?|b|(4)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣.当λ0时,λa与a同方向;当λ0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.。
向量的数量积与向量积的计算法则
向量的数量积与向量积的计算法则向量是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
在向量的运算中，数量积和向量积是两个常见的运算法则。
本文将分别介绍向量的数量积和向量积的计算法则。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
假设有两个向量A和B，它们的数量积记作A·B。
数量积的计算方法如下：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积有一些重要的性质。
首先，数量积是一个标量，即结果是一个实数而不是一个向量。
其次，如果两个向量的数量积为0，那么它们是垂直的。
这是因为当θ=90°时，cosθ=0，所以A·B=0。
这个性质在物理学中有着重要的应用，例如判断力的方向是否与位移方向垂直。
数量积还有一个重要的应用是计算向量的投影。
假设有一个向量A和一个单位向量u，我们可以通过数量积计算A在u方向上的投影。
投影的计算公式为：Proj_u A = (A·u)u这个公式可以用来计算向量在某个方向上的分量，例如计算力在某个方向上的分量。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种运算。
假设有两个向量A和B，它们的向量积记作A×B。
向量积的计算方法如下：A×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量之间的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位向量，它的方向由右手法则确定。
向量积也有一些重要的性质。
首先，向量积是一个向量，即结果是一个有方向的量。
其次，向量积的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积。
这个性质在计算平面几何中有着重要的应用，例如计算两条直线的夹角。
向量积还有一个重要的应用是计算力矩。
假设有一个力F作用在一个点P上，力矩的计算公式为：M = r×F其中，r表示从参考点到作用点P的位矢，F表示力的大小和方向。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.已知 a , b , a , b , 求 a b ． ⑴ a 7, b 12, a, b 120 ； ⑵ a 8, b 4, a, b π. 2.已知 a b , a b , 求 a , b ⑴ a b 8, a b 16 ⑵ a b 6 3 , a b 12
本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型 主要有： 1.直接计算内积． 2.由内积求向量的模． 3.运用内积的性质判定两向量是否垂直． 4.性质和运算律的简单应用．
必做题：教材 P54 练习 A 组
第 2 题（1）（3）； 第 3 题 （1）（2）；
选做题：练习 B 组
第 1 题．
记作
规定 0与任何向量的内积为0．
说明： （1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由 cos 〈a , b 〉 的符号所决定． （2）两个向量的内积，写成 a b；符号“· ”在向量运 算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
例1 已知 a 5 ， b 4，〈a, b 〉 120．
向 量 7.4.1 向量的内积
向量 向量
一个物体在力 f 的作用下产生的位移 s ，那么力 f 所
做的功应当s
s f cos 其中是 f与s 的夹角, cos是 f 在物体前进方向上的分量． f cos 称做位移 s与力 f 的内积．
⑵ ( a b ) ( a ) b a ( b )
⑶ (a b ) c a c b c
2 2 例2 求证 ⑴ (a b ) (a b ) a b 2 2 2 2 ⑵ a b a b 2( a b ) 证明：⑴ (a b ) (a b ) a a a b b a b b 2 2 a b 2 ⑵因为 a b (a b ) (a b ) 2 2 a 2a b b 2 a b (a b ) (a b ) 2 2 a 2a b b 2 2 2 2 所以 a b a b 2( a b )
1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a与 b ，作 OA a， OB b，则 ∠AOB 叫 B 记作〈a , b 〉． 做 a与 b的夹角． b 规定 0 〈a , b 〉 180 A O a 说明： （1）当〈a , b 〉 a 与 b 同向； 0 时， （2）当〈a , b 〉 a 与 b 反向； π 时， π 记作 a b ； （3）当 〈a , b 〉 时， a 与 b 垂直；
2
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
2．向量的内积
〈a , b 〉 已知非零向量 a与 b， 为两向量的夹角，则数量 a b cos 〈a , b 〉 叫做 a与 b的内积．
a b a b cos 〈a, b 〉
求 a b．
解：由已知条件得 a b a b cos 〈a, b 〉
5 4 cos 120 10．
3．向量内积的性质 e 是单位向量． 设a， b为两个非零向量， ⑴ a e e a a cos 〈a, e 〉 ⑵ a b a b 0 2 a a a 0 ⑶ 或 a a a ⑷ a b a b 4．向量内积的运算律 ⑴ a b b a