7.4向量的内积及其运算
小结：
1. 向量内积的坐标表示 2. 向量长度的坐标表示 3. 两点间距离公式 4. 向量夹角的坐标表示 5. 两向量垂直的充要条件
练习：
b 1,2 且 a // b ，求 a . （1）已知 a 3 ，
（2）已知a =（4，2），求与a 垂直的单位向量.
AC 1, k ，求k 的值. AB 2,3 ， RtABC 中， （3）
1 1 cos 0
1
1.向量内积的坐标运算 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则
两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1 x2 y1 y2
推广1： 设a ( x, y),则 a
x y
2
2
a a a a a x2 y2 长度公式 a x2 y2
(判断两向量垂直的依据) (计算向量的长度)
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
1 ① i i _____ 0 ③ j i ______
解：
0 ② i j _____ 1 ④ j j _____
i i i i cos i , i
2 2
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
证明： AB =(1, 1), AC =(－3, 3) 所以 AB AC =－3+3=0，
C
B A
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
7.4 向量内积的坐标表示 与度量公式
教学目标
一．
二．
三．
掌握向量内积的坐标运算及其应用。 掌握向量的长度、两点间的距离和夹角公式。 掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。
教学重难点
教学重点: 向量数量积的坐标表示以及由此推得的
长度、距离夹角公式和垂直条件的坐标 表示。
教学难点: 向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标
推广2：设A（x1，y1），B（x2，y2）
AB x2 x1, y2 y1
则 AB
x2 x1 y2 y1
2
2
两点间距离公式
推广3： 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a b x1 x2 y1 y2 cos a, b 2 2 2 2 ab x y x y
表示的灵活运用
复习导入： 1. 如何用向量的长度、夹角表示内积？ 2. 如何用内积、长度来表示夹角？ 3.
a b
的充要条件?
4. 如何用向量的内积表示向量的长度?
向量的内积：
向量的夹角：
a b a b 0
2 a a a a
a a, b a b b cos a b cos a, b ab
1 1 2 2
2. 向量垂直的充要条件
已知两个向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2) ，那么
a⊥b x1x2+y1y2=0 a b a b 0 a by1 y2 0
例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|， 和<a, b>
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 3 (1) 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a || b | 2 10 5
向量积的运算的所有公式
向量积的运算的所有公式向量积是线性代数中的一个重要概念，它可以帮助我们进行向量运算和解决几何问题。
本文将介绍向量积的基本概念和相关公式，希望能帮助读者更好地理解和应用向量积。
一、向量积的基本概念向量积，又称为叉积或矢积，是二维或三维空间中两个向量所构成的新向量。
它的结果既有大小，也有方向，可以用向量表示。
向量积的公式如下所示：A ×B = |A| |B| sinθ n其中，A和B是待求向量积的两个向量，|A|和|B|分别为它们的长度，θ为两个向量之间的夹角，n为一个垂直于A和B所在平面的单位向量。
二、向量积的性质向量积具有以下几个重要的性质：1. 反交换律：A × B = -B × A，即向量积不满足交换律。
2. 分配律：(A + B) × C = A × C + B × C，即向量积满足分配律。
3. 结合律：A × (B × C) = (A · C)B - (A · B)C，即向量积满足结合律。
4. 零向量积：若A与B平行或其中一个向量为零向量，那么它们的向量积为零向量。
5. 长度和夹角的关系：|A × B| = |A| |B| sinθ，即向量积的大小等于两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
三、向量积的应用向量积在几何学中有广泛的应用，尤其是在计算面积、体积和判断平行四边形等方面。
1. 面积计算：对于平面上的两个向量A和B，它们的向量积的长度等于以A和B为边的平行四边形的面积。
2. 体积计算：对于三维空间中的三个向量A、B和C，以它们为三条边所构成的平行六面体的体积等于它们的向量积的大小。
3. 判断平行四边形：对于平面上的四个点A、B、C和D，以AB和AC为两条边的平行四边形，如果AD也是这个平面上的向量且AB × AD = 0，那么四个点构成的四边形是平行四边形。
向量的内积与外积及其应用
向量的内积与外积及其应用向量是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
其中，向量的内积与外积是向量运算中的两个重要操作。
本文将详细介绍向量的内积与外积的定义、性质以及在物理学、工程学等领域中的应用。
一、向量的内积向量的内积是指两个向量在空间中的夹角以及长度的乘积。
设有两个向量A和B，它们的内积表示为A·B，计算方法如下：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示向量A和B之间的夹角。
向量的内积具有以下性质：1. 对称性：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k是一个实数4. 零向量的内积：0·A = 0，其中0表示零向量向量的内积在几何学中有重要的应用。
通过计算两个向量的内积，可以判断它们之间的夹角是锐角、直角还是钝角。
此外，向量的内积还可以用于求解平面上两条直线的关系以及判断点是否在一个平面内。
在物理学中，向量的内积还可以用于计算力的分解以及求解物体的功等。
二、向量的外积向量的外积是指两个向量所在平面的法向量的长度和方向。
设有两个向量A和B，它们的外积表示为A×B，计算方法如下：|A×B| = |A| |B| sinθ n其中，|A×B|表示向量A×B的长度，θ表示向量A和B之间的夹角，n为单位法向量。
向量的外积具有以下性质：1. 反对称性：A×B = -B×A2. 分配律：(A + B)×C = A×C + B×C3. 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)，其中k是一个实数4. 零向量的外积：A×0 = 0×A = 0，其中0表示零向量向量的外积在几何学中有重要的应用。
向量内积的运算律
1.已知 a , b , a , b , 求 a b ． ⑴ a 7, b 12, a, b 120 ； ⑵ a 8, b 4, a, b π. 2.已知 a b , a b , 求 a , b ⑴ a b 8, a b 16 ⑵ a b 6 3 , a b 12
本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型 主要有： 1.直接计算内积． 2.由内积求向量的模． 3.运用内积的性质判定两向量是否垂直． 4.性质和运算律的简单应用．
必做题：教材 P54 练习 A 组
第 2 题（1）（3）； 第 3 题 （1）（2）；
选做题：练习 B 组
第 1 题．
记作
规定 0与任何向量的内积为0．
说明： （1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由 cos 〈a , b 〉 的符号所决定． （2）两个向量的内积，写成 a b；符号“· ”在向量运 算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
例1 已知 a 5 ， b 4，〈a, b 〉 120．
向 量 7.4.1 向量的内积
向量 向量
一个物体在力 f 的作用下产生的位移 s ，那么力 f 所
做的功应当s
s f cos 其中是 f与s 的夹角, cos是 f 在物体前进方向上的分量． f cos 称做位移 s与力 f 的内积．
⑵ ( a b ) ( a ) b a ( b )
⑶ (a b ) c a c b c
2 2 例2 求证 ⑴ (a b ) (a b ) a b 2 2 2 2 ⑵ a b a b 2( a b ) 证明：⑴ (a b ) (a b ) a a a b b a b b 2 2 a b 2 ⑵因为 a b (a b ) (a b ) 2 2 a 2a b b 2 a b (a b ) (a b ) 2 2 a 2a b b 2 2 2 2 所以 a b a b 2( a b )
7.4平面向量的内积--中职数学第二册
a b a·b 0 x1x2 y1y2 0
典型题解
例3.求下列向量的内积：
(1) a (3,2),b (1,5)
(2) a (3,1),b (2,5)
(3) a (0,2),b (1,0)
例4.已知a (1,2) ，b (3,1)
ab
当a·b 0时 a 与b 的夹角 是锐角或 0 当a·b 0时 a 与b 的夹角90 即 a b 当 a·b 0时 a 与b 的夹角 是钝角.
3.向量内积的性质
(1)当 a 与 b 同向时，a·b a b
2
a a a a a 或 a a a
，求
a b
， a
，b
，
.
典型题解
例5.判断下列各组向量是否相互垂直：
(1) a (6,3),b (2,4)
(2) a (1,2),b (0,3)
课堂小结
一、平面向量的内积
1.两向量的夹角 a, b
00 1800
2. 两向量的内积 a·b a b cos
12
cos
=|
a b a || b
|
x1 x 2 y1 y 2 x12 y12 x 2 2 y 2 2
命题：a b a·b 0 x1x2 y1 y2 0
感谢指导！
一、平面向量的内积
1.两向量的夹角:
已知两个非零向量 a
和b
,作OA a ,OB b
则 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a, b 。
(完整版)7.4平面向量的内积1
提问
启发
讲授
多媒体
讨论
学生自主探究
学生归纳总结
学生自主总结
探究
教师启发帮助
平面向量运算的直角坐标。
教师心语不干，固然遇不着失败，也绝对遇不着成功。
（四）课外练习
1.求下列向量的数量积。
(1)|a|=3,|b|=4, (a^b)= ，求ab。
(2)a=(4,3),|b|= , (b^a)= ，求ab。
(3)a=(-5,-3),b=(5,3)，求ab。
(4)a=(3,4)，求aa。
课题序号
7.4
教学班级
教学课时
1
教学形式
新授
课 题
名 称
平面向量的数量积（1）
使用教具
多媒体 教案 Байду номын сангаас材 教学用具
教学目的
1．掌握平面向量的数量积的定义、性质及运算。
2．掌握平面向量数量积的坐标运算及简单应用。
教学重点
平面向量的数量积的定义、性质及运算标表示。
教学难点
向量数量积与向量的区别。两向量角的求法。
(2)a=(3,4),b=(-3,-4)。
课内练习
(1)a=(3,4),|b|= , (a^b)= ，求ab；
(2)a=(1,3)，求aa；
(3)已知|a|=5，|b|=4，且ab=-10；求：a与b的夹角。
（三）课堂小结
1．平面向量所成的角。
2．向量的数量积。
教师心语谁想不落伍，谁就得不断进取。
（三）课堂小结
更新、补充、
删节内容
无
课前准备
教学案
PPT
7.4平面向量的内积 (1)
2、向量的内积
（二）运用平面向量的坐标求内积
1.两个向量的内积的坐标表示。
例题讲解
学生板书
教学后记
主要教学内容及步骤
教学过程师生活动设计意图等
1、情境引入
前面我们学习了两个向量的加法、减法和数与向量相乘三种运算，那么向量与向量能否“相乘”呢？
问题探究：
如图7-32所示，一个物体在力F的作用下发生了位移S，力F与物体位移S方向的夹角为 .
3.识记平面向量内积的坐标表示，并能够进行简单应用。
4.会应用基本结论判定两个向量的位置关系。
教学重点
平面向量内积公式的应用，及应用基本结论判定两个向量的位置关系。
教学难点
以上1.2.3
更新、补
充、删减
内容
无
课外作业
习题1（1）（3）（5）、习题2、3
授课主要内容或板书设计
7．4平面向量的内积
（一）、平面向量的内积
解：因为 = ，所以 ⊥ .
因为 = ，所以 与 不垂直.
主要教学内容及步骤
教学过程师生活动设计意图等
三、小结
1.理解平面向量内积的定义，并掌握平面向量内积的运算。
2.会运用平面向量的坐标求内积，并掌握其相关运算。
解：由 = 得 = .
因为 ，
所以
（二）运用平面向量的坐标求内积
探究：设平面向量 = ， = ， 分别为 轴和 轴正方向上的单位向量.
（1） ， =， ， ；
（2）用 ， 的坐标表示它们的内积 .
1.两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
= .
①当 、 是两个非零向量时，
② ⊥
2.例题讲解
例2求下列向量的内积：
7.4平面向量的内积(1)
当 = 时，a·a= 或
2.当 与 反向时，a·b=-
3.当 ⊥ 时，a·b=0
结论：① 与任意向量的夹角是任意值.
② =0 ，且量的数量积
定义：
注意：①a·b的结果是数量，而不再是向量.
②a·b是一个整体，中间的“ ”不能省略.
总结：
1本节主要知识点：向量的数量积.
2体会向量数量积运算与加、减、数乘运算的差异.
结合定义
理解
分组完成，掌握运算法则
独立完成
课后作业
练习册第80页A 1，2，3（1）
教后记
教学准备
教学过程
教学内容
复习引入
探究：
新授
平面向量所成的角
教 师 活 动
向量的运算包括加、减、数乘运算，本节课我们将学习向量的另一种运算——内积
如图所示，一个物体在力F的作用下发生了位移S，力F与物体位移S方向的夹角为 .
1.F在位移方向上的分量是多少？所做的功W是多少？
2.功W是一个数量还是一个向量？
教案
课题
7.4平面向量的内积（1）
授课时间
年月日
教学目标
1识记平面向量所成角的概念，会表示两个向量之间的夹角
2识记平面向量数量积的定义和性质，体会其实际意义
3会运用公式求向量的数量积，知道向量数量积的基本运算法则
教学重点
平面向量数量积的定义和基本性质，会求两个向量的数量积
教学难点
平面向量数量积性质的理解
一、平面向量所成的角（夹角）
如图所示，已知两个非零向量 和 ，作 ， = ，则 就叫做向量 和 的夹角，记作 = .我们规定， .
当 = 时，向量 和 同向；
7.4平面向量的内积
【学习目标】1．了解平面向量内积的概念及其几何意义.2．了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.3．通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【重点难点】重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学过程】第一课时：平面向量的内积（一）问题情境问题：如图所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？分析：1、W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100210＝5003 （J ）2、这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．（二）新知探究1、内积的定义：如图，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作θ= <a ,b>，两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b ,即cos (0)a b a b θθπ=≤<2、内积的性质（1）当a ,b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a ＝b 时，a ·a ＝|a ||a |＝|a |2或|a |（2）当a ,b 反向时，a ·b ＝-|a ||b |.（3）当a ⊥b 时，a ·b ＝03、内积运算律（1）a ·b ＝b ·a ．（2）(a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3）(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．（三）例题练习例1．已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．例2． 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >． 分析： cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22.由于 0≤<a ,b >≤︒180，<a ,b >＝135 ． 练习：P57 第二课时：运用平面向量的坐标求内积（一）新知探究1、两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即2、由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时，3、a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．（二）例题练习例3．求下列向量的内积：（1）a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（2）a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（3）3a ＝ (4,2), b＝(−2, −3)．例4．已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b>． 分析：a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |=|b |cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =，所以<a ,b >＝45 ． 例5．判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．分析： (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ．(2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直． 练习P58【教学后记】。
完整word版74平面向量的内积
宿迁经贸高等职业技术学校教师教案本（—学年第学期）精神振奋信心坚定德技双馨特点鲜明专业名称课程名称授课教师授课班级系部，即，记作）（或和）向量（1的内积数量积?bacosba????0）= （?a,b??.表示其中课堂教学安排===与同向时，当时，①当，a?aa或abba a b =-②当反向时，与ba a b=0时，⊥③当（3）向量的内积运算律：abba ；①=abbb a a???）=（；（②）（ =）cbb c c aa. ）③（++=例题讲解3.?ba?ab0?60.4，，求，例1 已知5=?bacosba060cos=10.×=5×=4解：a?b?ab ?22.例2 已知，=-，求ab?22??cos?bacosba??得==解：由. ba22200??180?0，因为0?135?所以（二）运用平面向量的坐标求内积ji,a b)x(,y)y(x,x轴和=分别为=，设平面向量探究：，1122y轴正方向上的单位向量.i= j?ijjj==ii ）（1 ；，， = ，a ab b.，的坐标表示它们的内积2（）用1.两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即ab xx yy. =2121．2112?ab2222x?yx?y2121a abb??xx?yy?00?②⊥21122.例题讲解例2 求下列向量的内积：a b=(1,5); =(3,-2),(1)a b=(2,-5); =(-3,1),(2)a b=(1,0). =(0,-2),(3)ab3?1?(?2)?5??7; =解：ab(?3)?2?1?(?5)??11; =ab0?1?(?2)?0?0. =ab a?bab.，，例3 已知，=(-1,2),=(-3,1)，求ba5;??1)?(?3)2?1(?解：=a22?21)5;??(=b22?10;3)1?(?=ab52??cos??，ab210?50?45 =例4 判断下列各组向量是否互相垂直：a b=(-2,4)；1） =(6,3),（a b=(0,3).=(1,-2),（2）a bab04?2)(??3?6?.=，所以解：因为⊥a bab0?3???62)(01???不垂直与. 因为=，所以。
7.4平面向量的内积
，b为两个非零向 ⑶
a(abb)b a(a)
(a b ) c a c
b
b
a
c
(b )
例1 已知
a
5，b
4，〈a,
b〉
120．
求
a
b．
解：由已知条件得
ab
a
b
cos〈a,
b〉
5 4cos120 10．
例2 已知 a b 2,a b 2,
例4 已知 a (1, 2),b (3,1), 求：a b, a , b ,.
解：a b (1) (3) 21 5
a (1)2 22 5;
b (3)2 12 10;
cos a b 5 2
a b 10 5 2
因为0°≤θ ≤180°，所以θ =45°
例5 判断下列各组向量是否垂直： (1) a (6,3),b (2, 4); (2) a (1, 2),b (0,3)
8, b
4,
a, b
π.
2.已知
a
b
,a b,
求
a, b
⑴
a b
8,
a
b
16
⑵
a b
6
3, a b 12
本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型 主要有：
1.直接计算内积． 2.由内积求向量的模．
3.运用内积的性质判定两向量是否垂直． 4.性质和运算律的简单应用．
解 (1)因为 a b 6(2) 3 4 0,
所以 a b
(2)因为 a b 1 0 (2) 3 6 0,
所以 a 与 b不相互垂直。
7.4.2 运用平面向量的坐标求内积
例3 求下列向量的内积：