向量内积的定义及运算规律
向量内积运算法则
向量内积运算法则向量内积是线性代数中的重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量内积的运算法则，包括定义、性质和应用。
1. 定义。
在二维空间中，我们可以将两个向量表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)。
\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\)。
这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)。
在三维空间中，向量的内积可以表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\)。
\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}\)。
这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)。
一般地，对于n维空间中的向量，其内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i\)。
2. 性质。
向量内积具有以下性质：交换律，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}\)。
分配律，\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)。
数乘结合律，\(k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a})\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})\)。
这些性质使得向量内积在实际应用中具有很大的灵活性，可以方便地进行运算和推导。
线性代数§5.1向量的内积
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)
向量内积的解析-概述说明以及解释
向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。
在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。
向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。
也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。
向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。
这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。
2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。
这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。
3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。
这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。
4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。
这里，u 表示向量u的长度。
向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。
在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。
在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。
在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。
通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。
未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。
每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。
第一部分是引言部分。
在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。
线性代数第五章知识要点
(3) An×n 的对角化
(i) A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性
无关的特征向量.
(ii) 若 A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角
矩阵相似 , 即 A 可对角化.
4. 实对称矩阵的相似矩阵
(1) 实对称矩阵的特征值为实数. (2) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量必正交. (3) 若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则 对应于 的特征向量必有 r 个, 且它们线性无关. (4) 实对称矩阵必可对角化. 即若 A 为 n 阶 实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P-1AP = , 其中 是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩 阵.
(7) 定义 4 若 n 阶方阵 A 满足
ATA = E ( 即 A-1 = AT),
则称 A 为正交矩阵.
A = (aij)n×n 为正交矩阵的充要条件是
1, i j; aik a jk δij 0, i j k 1
n
或
a
k 1
n
ki
akj δ ij .
(8) 定义 5 若 P 为正交矩阵, 则线性变换
6. 正定二次型 (1) 定义 9 设有实二次型 f(x) = xTAx,如
果对任何 x 0, 都有 f(x) > 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵 A 是正定的, 记作 A > 0 ; 如果对任何 x 0 都有 f(x) < 0, 则称 f 为 负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的, 记作 A < 0.
称为二次型.
二次型可记为 f = xTAx,其中 AT = A. A 称为
二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵 A 的二次型.对
向量的内积的概念
向量的内积的概念向量的内积是线性代数中一个重要的概念，它在物理学、几何学和工程学等领域都有广泛的应用。
内积也被称为点积、数量积或标量积，是两个向量之间的一种运算。
简单来说，向量的内积是通过将两个向量投影到彼此之间的正交方向，并将其通过标量相乘得到的积。
在二维空间中，两个向量的内积等于它们的长度的乘积与它们之间的夹角的余弦的乘积。
在三维空间中，内积的计算稍微复杂一些，但其本质思想是相同的。
设有两个向量A和B，它们的内积表示为A·B（有时也写作A*B）。
在二维空间中，有以下公式可以计算向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)的内积：A·B = x1 * x2 + y1 * y2 （1）可以看出，向量的内积是两个向量各个坐标分量的乘积之和。
在三维空间中，设向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)的夹角为θ，那么它们的内积可以用以下公式计算：A·B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2 = A * B * cosθ（2）其中，A 和B 分别表示向量A和B的长度。
从公式（2）中可以看出，向量的内积等于两个向量的长度的乘积与它们之间的夹角的余弦的乘积。
这个结果也可以推广到更高维的空间中。
内积有一些重要的性质，这些性质使得内积成为线性代数中一个强大的工具：1. 内积是交换的：即A·B = B·A。
换句话说，两个向量的内积与它们的顺序无关。
2. 内积具有线性性质：即对于任意的标量k，有(kA)·B = k(A·B)，以及(A+B)·C = A·C + B·C。
这表明内积在标量乘法和向量加法下保持线性。
3. 内积与向量的零向量的关系：对于任意的向量A，有A·0 = 0。
这表示向量与零向量的内积为零。
4. 内积与向量的长度的关系：向量A与自身的内积等于它的长度的平方，即A·A = A ^2。
高数学习笔记之向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义
⾼数学习笔记之向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及⼏何意义0x00 概述在机器学习的过程中，需要了解向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及⼏何意义。
0x01 向量的内积（点乘）1.1 定义概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。
对两个向量执⾏点乘运算，就是对这两个向量对应位⼀⼀相乘之后求和的操作，如下所⽰，对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：这⾥要求⼀维向量a和向量b的⾏列数相同。
注意：点乘的结果是⼀个标量(数量⽽不是向量)定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是⾮零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。
1.2 向量内积的性质'''1. a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）2. a·b = b·a. （对称性）3. (λa + µb)·c = λa·c + µb·c，对任意实数λ, µ成⽴. （线性）4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).5. |a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成⽴.'''1.3 向量内积的⼏何意义内积（点乘）的⼏何意义包括：'''1. 表征或计算两个向量之间的夹⾓2. b向量在a向量⽅向上的投影'''有公式：推导过程如下，⾸先看⼀下向量组成：定义向量c：根据三⾓形余弦定理（这⾥a、b、c均为向量，下同）有：根据关系c=a-b有：即：a·b=|a||b|cos(θ)向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从⽽有a和b间的夹⾓θ：θ=arccos(a·b|a||b|)进⽽可以进⼀步判断两个向量是否同⼀⽅向或正交(即垂直)等⽅向关系，具体对应关系为：'''a·b>0→⽅向基本相同，夹⾓在0°到90°之间a·b=0→正交，相互垂直a·b<0→⽅向基本相反，夹⾓在90°到180°之间'''0x02 向量的外积（叉乘）2.1 定义概括地说，两个向量的外积，⼜叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是⼀个向量⽽不是⼀个标量。
向量乘积知识点总结
向量乘积知识点总结一、向量的点积1.1 定义向量的点积又称为内积，是两个向量之间的一种运算。
设有两个向量a和b，它们的点积记为a·b，定义为a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是a和b之间的夹角。
1.2 性质（1）交换律：a·b=b·a。
（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c。
（3）数乘结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
（4）零向量：零向量和任意向量的点积都为0，即0·a=0。
1.3 应用点积可以用来计算向量的投影，即向量在另一个向量上的投影长度。
当两个向量垂直时，它们的点积为0，这可以用来判断两个向量是否垂直。
点积还可以用来计算向量之间的夹角，通过夹角的余弦值来判断两个向量的方向关系。
1.4 计算方法设向量a=(a1, a2, a3)和向量b=(b1, b2, b3)，它们的点积可以用以下公式进行计算：a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
二、向量的叉积2.1 定义向量的叉积又称为外积，是两个向量之间的一种运算。
设有两个向量a和b，它们的叉积记为a×b，定义为|a×b|=|a|·|b|·sinθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是a和b 之间的夹角，a×b的方向垂直于a和b所在的平面，且遵循右手定则。
2.2 性质（1）反交换律：a×b=−b×a。
（2）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
（3）数乘结合律：k(a×b)=(ka)×b=a×(kb)。
（4）叉积与点积的关系：|a×b|=|a|·|b|·sinθ，a·(a×b)=0，a×(a×b)=a(a·b)−b(a·a)。
向量内积的坐标运算
向量内积的结果是一个标量，而不是向量。
向量内积的性质
交换律
$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
分配律
$(mathbf{A} + mathbf{C}) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{C} cdot mathbf{B}$。
零向量没有固定的大小和方向，其坐 标表示为$(0,0)$。
在二维平面直角坐标系中，零向量可 以表示为起点与终点的坐标相同的有 向线段，例如从点$(1,2)$到点$(1,2)$ 的有向线段。
03
CHAPTER
向量内积的坐标运算
向量内积的坐标运算公式
向量内积的坐标运算公式
假设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
物理量。
向量内积在数学中的应用
向量模的计算
向量模是向量的长度，可以通过向量内积来 计算。
向量的投影
向量投影是向量内积的一个重要应用，可以用来计 算一个向量在另一个向量上的投影长度和方向。
线性代数
向量内积在线性代数中有着广泛的应用，如 矩阵的乘法、特征值和特征向量的计算等。
向量内积在其他领域的应用
注意事项二
向量的内积运算满足交换律和分配律。即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$，并且对于任意标量k，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。
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x
2 1
+
x
2 2
+
+
x
2 n
,
x 称为n维向量x的长度(或范数).
向量的长度具有下列性质：
(1)非负性 当x ≠ 0时, x > 0;当x = 0时, x = 0;
(2)齐次性 λx = λ x ;
(3)三角不等式 x + y ≤ x + y .
当 x = 1时, 称x为单位向量 .
向量的内积满足施瓦茨 不等式 [ x, y]2 ≤ [ x, x][ y, y],
其中x, y都是列向量. 内积满足下列运算规律 (其中 x, y, z为n维向
量, λ为实数 ) :
(1)[ x, y] = [ y, x];
(2)[λx, y] = λ[ x, y];
(3)[ x + y, z] = [ x, z] + [ y, z].
２ 向量的长度
定义 令
x=
[x, x] =
第一步 正交化
取 b1 = a1;
b2
=
a2
−
[b1 , a2] [b1 , b1]
b1;
br
=
ar
−
[b1 [b1
, ,
ar] b1]
b1
−
[b2 [b2
, ,
a b
r] 2]
b
2
−
−
[br −1 [br −1 ,
,ar] br −1]
b
r
−1
.
则b1 , b2 , , br 两两正交,且与a1 , a2 , , ar 等价.
单位化．
⎜⎛ 1⎟⎞
⎜⎛ 1⎟⎞
⎜⎛ − 1⎟⎞
例2
已知向量
α
1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 0 0
⎟⎟,α
⎟⎟⎠
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0
⎟⎟,α
⎟⎟⎠
3
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 1
⎟⎟是线性 ⎟⎟⎠
无关向量组,求与之等价的正交单位 向量组.
从而有
[ x, y] ≤ 1, (当 x y ≠ 0时). xy
３ 向量的夹角
定义 当 x ≠ 0, y ≠ 0时,
θ = arccos [ x, y]
xy 称为 n维向量 x与y的夹角.
当[ x, y] = 0时, 称向量x与y正交. 若x = 0,则x与任何向量都正交.
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
ϕ ( A)的特征值.其中ϕ (λ ) = a0 + a1 λ + + am λ m ,
ϕ ( A) = a0 E + a1 A + + am Am .
(3)当A可逆时,
1
λ
是
A−
1的特征值;
1
λ
⋅
A是
A∗的
特征值.
８ 有关特征向量的一些结论
定理 设 λ 1 , λ 2 , , λ m 是方阵 A的m个特征值 ,
１ 向量内积的定义及运算规律
定义 设有n维向量
⎜⎛ x1 ⎟⎞
x
=
⎜ ⎜
x
பைடு நூலகம்
2
⎟⎟,
⎜⎜⎝ x n ⎟⎟⎠
⎜⎛ y1 ⎟⎞
y
=
⎜ ⎜
y2
⎟⎟,
⎜⎜⎝ yn ⎟⎟⎠
令[ x, y] = x1 y1 + x 2 y2 + + x n yn ,[ x, y]称为向量
x与y的内积 .
内积的矩阵表示 [x, y] = xT y,
数的个数相等 .
注意 k 1 , k 2 , , k r中正数的个数 p称为正惯性指 数;
r − p = N称为负惯性指数 ; s = p − N = p − (r − p) = 2 p − r称为 f的符号 差. 它们是二次型对于非退 化线性变换的不变 量.
１７ 正定二次型的判定
(1)实二次型 f = xT Ax为正定的充分必要条件 是 :它的标准形的 n个系数全为正 ,即正惯性指数 p = n;
第二步 单位化
取 e1 = 1 b1,e2 = 1 b2 ,
b1
b2
V的一个规范正交基 .
, e r = 1 br , 就得 br
５ 正交矩阵与正交变换
定义 如果 n阶矩阵 A满足 AT A = E (即 A−1 = AT ),
那么称 A为正交矩阵 . 方阵 A为正交矩阵的充分必要条件是 A的行
∴ AT A = AA
= [E − (2 / aT a) ⋅ a aT] [E − (2 / aT a) ⋅ a aT]
= E − [2 / (aT a)] ⋅ a aT − [2 / (aT a)] ⋅ a aT + [4 / (aT a)2]a(aT a)aT .
∵ a ≠ 0,∴ aT a为一非零数, 故a(aT a)aT = (aT a)(a aT ),
七、判断方阵 A可否对角化
八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵
九、化二次型为标准形
一、证明所给矩阵为正交矩阵
方法1 证明矩阵的各列(或行)元素满足正
交条件
n
n
∑ ∑ aki akj = δ ij (或 aik a jk = δ ij), i, j = 1,2, , n;
k =1
k =1
方法2 根据正交阵的定义 ,先求出 AT ,然后
p1 , p2 , , pm 依次是与之对应的特征 向量,如果
λ 1 , λ 2 , , λ m 各不相等 ,则 p1 , p2 , , pm 线性无关 .
即属于不同特征值的特 征向量是线性无关的 .
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
９ 相似矩阵
定义 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P, 使 P −1 AP = B,
６ 方阵的特征值和特征向量
定义 设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x
使关系式
Ax = λx 成立,那么, 这样的数λ称为方阵A的特征值,非零向 量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
A − λE = 0称为方阵A的特征方程. f (λ ) = A − λE 称为方阵A的特征多项式.
n阶方阵A有n个特征值.若A = (aij)的特征值为
二次型与它的矩阵是一一对应的．
当aij 是复数时, f称为复二次型;当aij 是实数时, f称为实二次型 .
１３ 二次型的标准形
定义 只含平方项的二次型
f
=
k1
y
2 1
+
k
2
y
2 2
+
+
kn
y
2 n
称为二次型的标准形 (或法式 ).
１４ 化二次型为标准形
(1)任给可逆矩阵C ,令B = CT AC ,如果A为对称
式为负,而偶数阶主子式为正 ,即
a11 ( −1)r
a1r > 0,(r = 1,2, , n).
ar1
a rr
典型例题
一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正
交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法
四、已知 A的特征值，求与 A
相关矩阵的特征值
五、求方阵 A的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似. 对A进行运算 P −1 AP称为对A进行相似变换 ,
可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 .
矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性．
１０ 有关相似矩阵的性质
(1)若 A与 B相似，则 A与 B的特征多项式 相同，从而 A 与 B的特征值亦相同．
∴ AT A = E − [4 /(aT a)]a aT + [4 /(aT a)]a aT = E, 故A是正交矩阵 .
特别当aT a = 1时, A = E − 2a aT 是正交矩阵.
二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可
以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与
λ 1 , λ 2 , , λ n ,则有 (1) λ 1 + λ 2 + + λ n = a11 + a22 + + ann; (2)λ1λ 2 λ n = A .
７ 有关特征值的一些结论
设λ是A = (aij)n×n的特征值,则 (1)λ也是 AT 的特征值;
(2) λ k 是 Ak的特征值(k为任意自然数 );ϕ (λ )是
f (x1, x2,
,
x
n)
=
a 11
x
2 1
+
a 22
x
2 2
+
+
a
nn
x
2 n
+
2
a 12
x1
x
2
+
2
a 13
x1
x
3
+
+ 2 a n−1,n x n−1 x n
称为二次型 .
二次型可记作 f = x T Ax , 其中 AT = A. A称 为二次型 f的矩阵 , f称为对称阵 A的二次型 , 对 称阵 A的秩称为二次型 f的秩 .
验证A AT = E.
例1 设a是n维列向量, E为n阶单位矩阵,证明
A = E − [2 /(aT a)]a aT 为正交矩阵.