向量内积的定义及运算规律

( 2)若A与对角矩阵
⎜⎛ λ 1
⎟⎞
Λ
=
⎜ ⎜
λ2
⎟ ⎟
⎜⎜⎝
λ n ⎟⎟⎠
相似,则λ 1 , λ 2 , , λ n是A的n个特征值.
(3)若A = PB P −1 ,则 Ak = P Bk P −1 ,
ϕ ( A) = Pϕ (B) P −1 .
特别地,若有可逆阵P, 使 P −1 AP = Λ为对角阵,
式为负,而偶数阶主子式为正 ,即
a11 ( −1)r
a1r > 0,(r = 1,2, , n).
ar1
a rr
典型例题
一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正
交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法
四、已知 A的特征值，求与 A
相关矩阵的特征值
五、求方阵 A的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
若 e1 , e2 , , er 是V的一个规范正交基 ,那么V
中任一向量 a都可表为
其中
a = λ1e1 + λ 2e2 + + λ r er , λ i = eTi a = [a, ei], (i = 1,2, , r ).
施密特正交化方法
设 a1 , a 2 , , a r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V 的一个规范正交基 ,只需把 a1 , a 2 , , a r 这个基规 范正交化 .
∴ AT A = AA
= [E − (2 / aT a) ⋅ a aT] [E − (2 / aT a) ⋅ a aT]
= E − [2 / (aT a)] ⋅ a aT − [2 / (aT a)] ⋅ a aT + [4 / (aT a)2]a(aT a)aT .
∵ a ≠ 0,∴ aT a为一非零数, 故a(aT a)aT = (aT a)(a aT ),
单位化．
⎜⎛ 1⎟⎞
⎜⎛ 1⎟⎞
⎜⎛ − 1⎟⎞
例2
已知向量
α
1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 0 0
⎟⎟,α
⎟⎟⎠
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0
⎟⎟,α
⎟⎟⎠
3
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 1
⎟⎟是线性 ⎟⎟⎠
无关向量组,求与之等价的正交单位 向量组.
６ 方阵的特征值和特征向量
定义 设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x
使关系式
Ax = λx 成立,那么, 这样的数λ称为方阵A的特征值,非零向 量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
A − λE = 0称为方阵A的特征方程. f (λ ) = A − λE 称为方阵A的特征多项式.
n阶方阵A有n个特征值.若A = (aij)的特征值为
(2)对称矩阵 A为正定的充分必要条件 是 : A的 特征值全为正 ;
(3)(霍尔维茨定理 )对称矩阵A为正定的充分必
要条件是 : A的各阶主子式都为正 ,即
a11 > 0; a11 a 21
a12 > 0; a 22
a11 , a n1
a1n > 0;
a nn
对称矩阵A为负定的充分必要条件 是 : 奇数阶主子
λ 1 , λ 2 , , λ n ,则有 (1) λ 1 + λ 2 + + λ n = a11 + a22 + + ann; (2)λ1λ 2 λ n = A .
７ 有关特征值的一些结论
设λ是A = (aij)n×n的特征值,则 (1)λ也是 AT 的特征值;
(2) λ k 是 Ak的特征值(k为任意自然数 );ϕ (λ )是
则有 Ak = P Λ k P −1 ,ϕ ( A) = Pϕ (Λ) P −1 .
(4) A 能对角化的充分必要条件是 A有 n个线 性无关的特征向量．
(5) A有n个互异的特征值，则 A与对角阵相似．
１１ 实对称矩阵的相似矩阵
(1)实对称矩阵的特征值为 实数.
(2)实对称矩阵的属于不同 特征值的特征向
第一步 正交化
取 b1 = a1;
b2
=
a2
−
[b1 , a2] [b1 , b1]
b1;
br
=
ar
−
[b1 [b1
, ,
ar] b1]
b1
−
[b2 [b2
, ,
a b
r] 2]
b
2
−
−
[br −1 [br −1 ,
,ar] br −1]
b
r
−1
.
则b1 , b2 , , br 两两正交,且与a1 , a2 , , ar 等价.
f (x1, x2,
,
x
n)
=
a 11
x
2 1
+
a 22
x
2 2
+
+
a
nn
x
2 n
+
2
a 12
x1
x
2
+
2
a 13
x1
x
3
+
+ 2 a n−1,n x n−1 x n
称为二次型 .
二次型可记作 f = x T Ax , 其中 AT = A. A称 为二次型 f的矩阵 , f称为对称阵 A的二次型 , 对 称阵 A的秩称为二次型 f的秩 .
其中x, y都是列向量. 内积满足下列运算规律 (其中 x, y, z为n维向
量, λ为实数 ) :
(1)[ x, y] = [ y, x];
(2)[λx, y] = λ[ x, y];
(3)[ x + y, z] = [ x, z] + [ y, z].
２ 向量的长度
定义 令
x=
[x, x] =
１６ 惯性定理
设有实二次型 f = xT Ax ,它的秩为 r ,有两个 实的可逆变换
x = Cy 及 x = Pz
使
f
=
k1
y 12
+
k2
y
2 2
+
+
kr
y
2 r
(k i ≠ 0),
及
f
=
λ
1
z
2 1
+
λ
2
z
2 2
+
+
λ
r
z
2 r
(λ i ≠ 0),
则 k 1 , k 2 , , k r中正数的个数与 λ 1 , λ 2 , , λ r中正
(3)拉格朗日配方法亦可把 二次型化为标准 形,此时所用的可逆线性变 换一般而言不是正交 变换 .
１５ 正定二次型
定义 设有实二次型f ( x) = xT Ax,如果对任何x ≠ 0, 都有f ( x) > 0(显然f (0) = 0),则称f为正定二次型,并 称对称矩阵A是正定的;如果对任何x ≠ 0, 都有f ( x) < 0,则称f为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.
从而有
[ x, y] ≤ 1, (当 x y ≠ 0时). xy
３ 向量的夹角
定义 当 x ≠ 0, y ≠ 0时,
θ = arccos [ x, y]
xy 称为 n维向量 x与y的夹角.
当[ x, y] = 0时, 称向量x与y正交. 若x = 0,则x与任何向量都正交.
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
∴ AT A = E − [4 /(aT a)]a aT + [4 /(aT a)]a aT = E, 故A是正交矩阵 .
特别当aT a = 1时, A = E − 2a aT 是正交矩阵.
二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可
以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与
验证A AT = E.
例1 设a是n维列向量, E为n阶单位矩阵,证明
A = E − [2 /(aT a)]a aT 为正交矩阵.
证明 先验证 AT = A, 然后根据正交矩阵的定 义验 证A AT = E .
∵ AT = [E − (2 / aT a) ⋅ a aT ]T= E − (2 / aT a)a aT = A,
阵,则B亦为对称阵,且R(B) = R( A)..
(2)任给实二次型 f =
n
∑
a ij x i x j (a ij = a ji ), 总
i, j=1
有正交变换 x = Py, 使f化为标准形
f
=
λ
1
y
2 1
+
λ
2
y
2 2
+
λ
n
y
2 n
,
其中 λ 1 , λ 2 , , λ n是f的矩阵 A = (a ij)的特征值 .
定理 若n维向量 a1 , a2 , , ar 是一组两两正交的非 零向量,则a1 , a2 , , ar 线性无关 . 定义 设n维向量 e1 , e2 , , er 是向量空间 V (V ⊂ Rn) 的一个基 ,如果 e1 , e2 , , er 两两正交 ,则称 e1 , e2 , , er 是V的一个规范正交基 .
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似. 对A进行运算 P −1 AP称为对A进行相似变换 ,
可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 .
矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性．
１０ 有关相似矩阵的性质
(1)若 A与 B相似，则 A与 B的特征多项式 相同，从而 A 与 B的特征值亦相同．
１ 向量内积的定义及运算规律
定义 设有n维向量
⎜⎛ x1 ⎟⎞
x
=
⎜ ⎜
x
2
⎟⎟,
⎜⎜⎝ x n ⎟⎟⎠
⎜⎛ y1 ⎟⎞
y
=
⎜ ⎜
y2
⎟⎟,
⎜⎜⎝ yn ⎟⎟⎠
令[ x, y] = x1 y1 + x 2 y2 + + x n yn ,[ x, y]称为向量
x与y的内积 .
内积的矩阵表示 [x, y] = xT y,
（列）向量都是单位向量，且两两正交． 正交矩阵 A的n个列(行)向量构成向量空间 Rn
的一个规范正交基 .
定义 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px称为 正交变换．
正交变换的特性在于保持线段的长度不变．
设y = Px为正交变换 ,则有 y = yT y = xT P T px = xT x = x .
ϕ ( A)的特征值.其中ϕ (λ ) = a0 + a1 λ + + am λ m ,
ϕ ( A) = a0 E + a1 A + + am Am .
(3)当A可逆时,
1
λ
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是
A−
1的特征值;
1
λ
⋅
A是
A∗的
特征值.
８ 有关特征向量的一些结论
定理 设 λ 1 , λ 2 , , λ m 是方阵 A的m个特征值 ,
七、判断方阵 A可否对角化
八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵
九、化二次型为标准形
一、证明所给矩阵为正交矩阵
方法1 证明矩阵的各列(或行)元素满足正
交条件
n
n
∑ ∑ aki akj = δ ij (或 aik a jk = δ ij), i, j = 1,2, , n;
k =1
k =1
方法2 根据正交阵的定义 ,先求出 AT ,然后
量必正交 .
(3)若λ是实对称矩阵 A的r重特征值 ,则对应 λ
的必有 r个线性无关的特征向量 . (4)实对称矩阵必可对角化 .即若A为n阶实对
称阵,则必有正交阵 P, 使得 P −1 AP = Λ, 其中Λ是 以A的n个特征值为对角元素的 对角阵 .
１２ 二次型
定义 含有 n个变量 x1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
二次型与它的矩阵是一一对应的．
当aij 是复数时, f称为复二次型;当aij 是实数时, f称为实二次型 .
１３ 二次型的标准形
定义 只含平方项的二次型
f
=
k1
y
2 1
+
k
2
y
2 2
+
+
kn
y
2 n
称为二次型的标准形 (或法式 ).
１４ 化二次型为标准形
(1)任给可逆矩阵C ,令B = CT AC ,如果A为对称
x
2 1
+
x
2 2
+
+
x
2 n
,
x 称为n维向量x的长度(或范数).
向量的长度具有下列性质：
(1)非负性 当x ≠ 0时, x > 0;当x = 0时, x = 0;
(2)齐次性 λx = λ x ;
(3)三角不等式 x + y ≤ x + y .
当 x = 1时, 称x为单位向量 .
向量的内积满足施瓦茨 不等式 [ x, y]2 ≤ [ x, x][ y, y],
数的个数相等 .
注意 k 1 , k 2 , , k r中正数的个数 p称为正惯性指 数;
r − p = N称为负惯性指数 ; s = p − N = p − (r − p) = 2 p − r称为 f的符号 差. 它们是二次型对于非退 化线性变换的不变 量.
１７ 正定二次型的判定
(1)实二次型 f = xT Ax为正定的充分必要条件 是 :它的标准形的 n个系数全为正 ,即正惯性指数 p = n;
p1 , p2 , , pm 依次是与之对应的特征 向量,如果
λ 1 , λ 2 , , λ m 各不相等 ,则 p1 , p2 , , pm 线性无关 .
即属于不同特征值的特 征向量是线性无关的 .
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
９ 相似矩阵
定义 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P, 使 P −1 AP = B,
第二步 单位化
取 e1 = 1 b1,e2 = 1 b2 ,
b1
b2
V的一个规范正交基 .
, e r = 1 br , 就得 br
５ 正交矩阵与正交变换
定义 如果 n阶矩阵 A满足 AT A = E (即 A−1 = AT ),
那么称 A为正交矩阵 . 方阵 A为正交矩阵的充分必要条件是 A的行