_八级数学下册9中心对称图形_平行四边形9.4矩形菱形正方形1导学案无答案新版苏科版0508241
八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形9.4矩形、菱形、正方形(1)教案苏科版(2021年整
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9。
4 矩形、菱形、正方形（1）一、教学目标:1、理解矩形的概念和性质,探索并证明矩形的性质定理；2、经历探索、猜想、证明的过程，进一步理解对猜想进行证明的必要性,不断感受合情推理和演绎推理是人们认识事物的重要途径,并逐步学会分析和综合的思考方法，发展演绎推理的能力；3、在对矩形特殊性质的探索过程中，理解特殊与一般的关系,领会特殊事物的本质属性与其特殊性质的关系。
二、教学重点：探索矩形的性质及性质的简单运用三、教学难点：矩形与平行四边形之间的关系四、新课讲解：导语：同学们,请观察这几幅图片，有你熟悉的图形吗？这些图形有什么特征?归纳：结合图形，你认为怎样的图形是矩形呢？（小组讨论．)活动一:1．(说一说）矩形是特殊的平行四边形，那么它具有平行四边形的一切性质，你能说说吗？2．（议一议)矩形是中心对称图形吗?是轴对称图形吗?活动二:拿出准备好的平行四边形的活动框架（每小组至少1个），扭动这个框架，你会发现□ABCD 的边、内角、对角线都随着变化．当扭动这个框架,使ABC ∠为直角时:（1)□ABCD 的其他三个内角为多少度？（2）对角线AC 、BD 的大小有什么关系？请同学们小组合作完成证明过程，并尝试用文字语言叙述．定理：矩形的四个角都是直角,对角线相等．例1 已知:如图,矩形ABC D 的对角线相交于点O ,且AC ＝2AB ．求证：△AOB 是等边三角形．你在矩形中还发现了哪些基本图形？五、小结：理解矩形的概念，探索矩形的性质定理，并能运用定理解决简单的实际问题．A DBC Oα六、教学反思：。
新苏科版八年级数学下册《9章 中心对称图形—平行四边形 9.4 矩形、菱形、正方形 正方形》教案_14
§9.4正方形判定（学案）一、教学目标1、探索正方形识别方法，并能运用它解决一些简单问题；2、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力。
二、教学重点：正方形的判定方法.教学难点：培养学生有条理地表达能力 。
三、教学过程：1.知识回顾（1）正方形是有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形；（2）正方形的对角线 且 ，每条对角线平分 。
2.探究：具备什么条件的平行四边形是正方形？1、先推导到矩形，再到正方形2、先推导到菱形，再到正方形1（1）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形（ ）（2）两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形（ ）（3）两条对角线相等的菱形是正方形（ ）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形（ ）3．例题解析：例1、在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足，试说明四边形DECF 为正方形。
例2、在正方形ABCD 中，点A ’、B ’、C ’、D ’分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，并且AA ’=BB ’=CC ’=DD ’，四边形A ’B ’C ’D ’是正方形吗？为什么？F E D C B A D'C'B'A'D C B A例3．如图，四边形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=∠ABC=90°，DE ⊥AB ，若四边形ABCD 面积为16，求DE 的长。
4.随堂检测：1、已知平行四边形ABCD ，在以下4个条件中再选哪两个条件，能使平行四边形ABCD 成为正方形？有 种选法。
①AB =BC ②AC ⊥BD ③∠ABC =90° ④AC =BD2、如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 、∠ABC 的角平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ， DF ⊥AC 于F ，四边形CFDE 是正方形吗?请说明理由。
八年级数学下册 第九章 中心对称图形-平形四边形 9.4 矩形、菱形、正方形(5)教案 苏科版
矩形、菱形、正方形教学目标1、探索正方形的性质和判别四边形是正方形的条件，会利用相关知识解决问题；2、经历平行四边形、矩形、菱形、正方形概念间的区别与联系的分析过程．3、领会特殊事物的本质属性与其特殊性质的关系.重点帮助学生探索正方形的性质和判别四边形是正方形的条件．难点判别四边形是正方形的条件的探索．教法教具自主先学当堂检测交流展示检测反响小结反思教具：多媒体等教学过教学内容个案调整教过程教学过程教师主导活动学生主体活动一、情境引入同学们，还记得我们学过的平行四边形、矩形、菱形吗？你认为怎样的平行四边形是正方形？二、自主先学1、自学内容：P81--822、自学指导：〔1〕怎样的矩形是正方形？〔2〕怎样的菱形是正方形？〔3〕平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有怎样的关系？3、自学检测：〔1〕矩形是具有而平行四边形不一定具有的性质是＿＿＿＿〔填代号〕①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等④对角线相等；学生观察、探索．自学教材内容⑤4个角都是90°；⑥轴对称图形〔2〕菱形是轴对称图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿又是中心对称图形，对称中心是＿＿＿＿＿＿〔3〕以下说法正确的选项是〔〕A、菱形的对角线相等B、两组邻边分别相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、菱形的对角线互相垂直平分.〔4〕正方形ABCD中，点E是对角线AC上的任意一点，连结BE、DE，那么BE与DE大小关系如何？并说明理由。
〔5〕质疑问难，提出学习中存在的问题。
三、交流展示〔一〕展示一分组展示自主先学中的问题，归纳所学知识。
讲清：1、正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。
2、正方形具有矩形、菱形的一切性质。
3、正方形的所有性质〔二〕展示二〔例题〕：如图，在正方形ABCD中，点A′、完成检测题交流问难分组展示板演并讲解学生讲解B DACEB′、C′、D′分别在AB、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形．〔三〕展示三〔拓展〕如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE=BC，EF⊥BD，DE与CF相等吗？为什么？四、检测反响1.矩形是轴对称图形，对称轴是＿＿＿＿＿又是中心对称图形，对称中心是＿＿＿2.要判定一个四边形是矩形，首先要说明它是一个，然后说明它具有或；如果一个四边形具有，就可以直接判定它是矩形。
八年级数学下册第9章中心对称图形平行四边形9.4矩形菱形正方形教案新苏科版041134
9.4 矩形、菱形、正方形（1）一、教学目标知识目标：理解矩形的概念，掌握矩形的性质.能力目标：1．经历探索矩形的概念与性质的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.2．知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想.情意目标：1.在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神.2.通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美.二、教学重点和难点重点:矩形的性质的理解和掌握.难点:矩形的性质的综合应用.三、教学方法:引导与自主探索相结合四、教学过程：教师活动学生活动个人修改意见一．课前预习与导学：（1）________的平行四边形叫做矩形，每一个矩形最少有______条对称轴．（2）在对称性方面，矩形与一般平行四边形相比较，相同之处是：二者都是_____对称图形．不同之处是：只有_______是_______对称图形.（3）如图3，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD 相交于点O，CE∥DB，交A的延长线于点E，AC和CE相等吗？为什么？二．课堂学习与研讨（一）情境创设：情境1：组织学生观察教材P74节首的两幅图片. 情境2：通过多媒体课件展示一些含有矩形的图片. 引导学生观察.问题：（1）上面的图片中有你熟悉的图形吗？（2）你能举出生活中类似的图形的吗？（3）矩形的结构特征是什么？（二）新知探索1．操作题：BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线，画出△ABC关于点O对称的图形。
操作分为以下二个步骤：第一：画出Rt△ABC关于点O对称的图形，得出四边形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心的结论.第二：探索图中的四边形ABCD的特点.学生通过探究可以发现：四边形ABCD是中心对称图形，是平行四边形，并且有一个角是直角，为引入矩形的概念做好铺垫.2.给出矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
3．思考：矩形是特殊的平行四边形，它还具有哪些特殊性质？引导学生主要从下面两点考虑（1）既然矩形是特让学生感受到特殊的平行四边形就在自己的身边，有利于激发学生的学习兴趣及探索精神.操作---观察---探索从而得出矩形的定义。
八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形9.4矩形、菱形、正方形学案(无答案)苏科版(new)
矩形【学习目标】1．掌握矩形的性质和判定,会证明一个四边形是矩形，并能够运用矩形的性质进行有关线段或角的计算或证明．2．能够结合三角形的知识，解决有关矩形与等腰三角形相、直角三角形相关的问题．3．探索与平行四边形有关的面积问题、最值问题、动点类问题等．【知识点】1．有一个角是的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质：矩形的四个角；矩形的对角线．3．矩形的判定：有个角是直角的四边形是矩形;对角线的平行四边形是矩形．【例题精讲】一、矩形与特殊等腰三角形问题例1．如图,在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°,则∠BOE的度数为A．85° B．80°C．75° D．70°例2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，AE＝3,ED＝3BE，则AB的值为A．6 B．5C．23 D．33例3．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M,CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H,且DM＝a，GH＝b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）A．2a＋b B．a＋2bC．a＋b D．2a＋2b例4．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点,点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F，G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM,若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF＝90°,则AB＝．二、矩形与面积问题例5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为A．12 B．10C．8 D．6例6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值为．例7．如图，在长方形ABCD中,E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积是平方厘米．三、矩形与勾股定理例8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，P、Q分别是AB和CD上的任意一点，且AP＝CQ，线段EF是PQ的垂直平分线,交BC于F，交PQ于E，设AP＝x，BF＝y,则y与x的函数关系式为．例9．如图，P是矩形ABCD内一点,若PA＝3,PB＝4，PC＝5，则PD＝．例10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1 恰好在∠BCD的平分线上时,则C A1的长为．例11．如图，在矩形ABCD中,AB＝6，BC＝8，AC与BD相交于O,E为DC的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F，记22d=+，则关于d的正DE BF确的结论是A．d＝5 B．d＜5C．d≤5 D．d≥5例12．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝8，BC＝3，运动过程中，点D到点O的最大距离为．例13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C 重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF终点，设AM的长为x,则x的取值范围是A．4≥x＞2.4B．4≥x≥2。
新苏科版八年级数学下册《9章 中心对称图形—平行四边形 9.4 矩形、菱形、正方形 菱形》教案_6
9.4 矩形、菱形、正方形（4）——菱形的判定【教学目标】：1.探索菱形的识别方法，同时能初步地应用菱形的性质和识别方法解决简单的问题。
2.通过菱形识别方法的探索，进一步使学生全面深刻地认识菱形。
3.学会与他人合作，不断探索，勇于攀登，体会数学美在现实生活中的应用。
【教学重点】：菱形的识别方法的探究。
【教学难点】：菱形识别方法和性质初步综合运用。
【教法及学法】：观察法、探究法、讨论与交流。
【教学准备】：实验手册附录2，矩形卡纸，三角板，圆规。
【学情分析】：从认知水平来看，学生在学习本节课之前，已经初步了解并掌握了特殊四边形的一些判定方法。
本节课的知识，既是前面所学知识的拓展和延续，也为以后的学习作必要的知识储备。
本节课通过操作、实验、观察、思考、交流等数学活动，引导学生在自主探索中学习思考，促进学生分析问题解决问题的能力和审美意识的发展，进一步渗透了“转化、类比”等数学思想方法。
【教学过程】：一、知识回顾1.菱形的定义是什么?有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.菱形有什么性质?(1)菱形具有平行四边形的一切性质。
(2)菱形的四条边都相等。
(3)菱形的对角线互相垂直。
3.“菱形的四条边都相等”和“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是什么？它们是真命题吗？“菱形的四条边都相等”的逆命题是“四条边相等的四边形是菱形”。
“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”，这个命题是真命题吗？如果不是，如何更改这个命题使之成为真命题？设计说明：学生思考回顾，既是对菱形的定义和性质的回顾，也是对前面命题相关概念的回顾。
通过设疑，既激发学生的兴趣，又回顾了命题证明的相关方法。
学生表达时教师需注意表达的条理性、严密性，同时适时的加以肯定、表扬。
二、知识探索⒈四边形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，四边形ABCD 是菱形吗？为什么？ 证明：∵AD=BC,AB=CD∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵AB=BC∴□ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 结论：四条边相等的四边形是菱形。
八年级数学下册第九章中心对称图形-平形四边形9.4矩形菱形正方形5教案新版苏科版
矩形、菱形、正方形教学目标1、探索正方形的性质和判别四边形是正方形的条件，会利用相关知识解决问题；2、经历平行四边形、矩形、菱形、正方形概念间的区别与联系的分析过程．3、领会特殊事物的本质属性与其特殊性质的关系.重点帮助学生探索正方形的性质和判别四边形是正方形的条件．难点判别四边形是正方形的条件的探索．教法教具自主先学当堂检测交流展示检测反馈小结反思教具：多媒体等教学过教学内容个案调整教过程教学过程教师主导活动学生主体活动一、情境引入同学们，还记得我们学过的平行四边形、矩形、菱形吗？你认为怎样的平行四边形是正方形？二、自主先学1、自学内容：P81--822、自学指导：（1）怎样的矩形是正方形？（2）怎样的菱形是正方形？（3）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有怎样的关系？3、自学检测：（1）矩形是具有而平行四边形不一定具有的性质是＿＿＿＿（填代号）①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等④对角线相等；学生观察、探索．自学教材内容⑤4个角都是90°；⑥轴对称图形（2）菱形是轴对称图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿又是中心对称图形，对称中心是＿＿＿＿＿＿（3）下列说法正确的是（）A、菱形的对角线相等B、两组邻边分别相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、菱形的对角线互相垂直平分.（4）正方形ABCD中，点E是对角线AC上的任意一点，连结BE、DE，则BE与DE大小关系如何？并说明理由。
（5）质疑问难，提出学习中存在的问题。
三、交流展示（一）展示一分组展示自主先学中的问题，归纳所学知识。
讲清：1、正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。
2、正方形具有矩形、菱形的一切性质。
3、正方形的所有性质（二）展示二（例题）完成检测题交流问难分组展示板演并讲解学B DACE生讲解已知：如图，在正方形ABCD 中，点A′、B ′、C ′、D ′分别在AB 、CD 、DA 上，且AA ′＝BB ′＝CC ′＝DD ′．求证：四边形A ′B ′C ′D ′是正方形．（三）展示三（拓展）如图，正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，且BE=BC ，EF ⊥BD ，DE 与CF 相等吗？为什么？试试看。
八年级数学下册第9章中心对称图形__平行四边形：矩形菱形正方形1矩形pptx课件新版苏科版
∵ AC=BD，∴ ▱ABCD是矩形
特别解读
1. 矩形的判定和性质互为逆定理 .
2. 矩形判定的常见思路 .
(1)从角的角度证明： ①四边形有三个直角 矩形； ②平行四边形 有一个直角矩形；
知2－讲
(2)从对角线的角度证明：
①平行四边形 对角线相等矩形；
②四边形
对角线互相 平分且相等
矩形
.
知2－讲
2. 特殊性质如下表
知1－讲
图形
文字语言(性质)
符号语言
矩形的四个角 ∵四边形ABCD是矩形，
都是直角
∴∠DAB=∠DCB=
∠ADC=∠ABC=90°
矩形的对角线 ∵四边形ABCD是矩形，
相等
∴ AC=BD
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴， 矩形也是中心对称图形
知1－讲
特别提醒：(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有平行 四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，对角 线互相平分；
在 Rt△ABC中，AB=6，AC=12.
由勾股定理，得 BC= AC2－AB2= 122－62= 108. (3)矩形 ABCD的面积．
在矩形ABCD中，AB=6，BC= 108，
∴ S矩形ABCD=AB·BC=6× 108=6 108．
知1－练
方法点拨 1. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 . 2. 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；另外，
知2－练
C. ∵ AD∥BC， ∴ ∠A+∠B=180 °，∵ ∠A= ∠C， ∴∠C+∠B=180°，∴ AB∥DC，∴四边形ABCD是平行 四边形，而AB=CD不能判定平行四边形ABCD为矩形，故 选项C符合题意；D. ∵ AD∥BC，∴∠BAD + ∠B=180°， ∵∠BAD=∠B，∴ ∠BAD=∠B=90 °， ∵AD2+CD2=AC2， ∴ ∠D=90 °， 即∠BAD=∠B=∠D=90°，∴四边形 ABCD是矩形，故选项D不符合题意. 答案：C
八年级数学下册9中心对称图形—平行四边形9.4矩形、菱形、正方形(4)导学案(无答案)苏科版(20
一、概念探究：
1．小明星期天在家用木条和纸做了一个菱形的风筝,你能帮小明想个办法，验证一下这个菱形做得是否准确吗?
2．小结：菱形的判定定理:
（1）
（2）
二、例题分析:
例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别相交于点E、F。四边形AFCE是菱形吗？为什么？
学习反思：
课题
学习
重难点
菱形的判定定理的综合应用
教 学 流 程
预 习 导 航
问题：我们知道，菱形的四条边相等，对角线互相垂直.反之，如果一个四边形的四条边相等，或一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是不是菱形呢？
1．如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,判断四边形ABCD的形状并说明理由.
2．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BD,判断四边形ABCD的形状并说明理由。
C、两对线互相平分 D、两对角线互相垂直平分
2．一张矩形纸片纸对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是（）
A．三角形 B．矩形
C．菱形D．梯形
3．画一个菱形，使它的两条对角线长分别是4cm和2cm.
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AB、CD的延长线分别相交于点E、F，四边形AFCE是菱形吗？
C、对角线互相垂直的四边形是菱形
D、菱形的对角线互相垂直平分。
2．若菱形ABCD的周长为20，一条对角线AC长为6，求菱形的面积.
3．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝700，AB的垂直平分线EF交AC于F，求∠CDF。
4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
八年级数学下册第9章中心对称图形平行四边形94矩形菱形正方形菱形学案苏科版
菱形【学习目标】1．理解矩形、菱形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系；掌握菱形的概念、性质与判定．2．会求菱形的面积及对角线、对角线的交点到边的距离等线段的长度，注意它与其他几何图形的关系，以及与函数的综合运用．3．会解答有关菱形的折叠、面积、旋转、动点等问题．【知识点】1．有一组邻边的平行四边形叫做菱形．3．菱形的性质：菱形的四条边；菱形的对角线．4．菱形的判定：四条边的四边形是菱形；对角线的四边形是菱形．5．四边形ABCD的对角线互相垂直，则这个四边形的面积是对角线长度的乘积的．【例题精讲】考点一：菱形中的线段关系例1．如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上，已知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则ABAE＝．例2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC＝2，∠BAD＝60°，BD边上有2013个不同的点P1，P2，…，P2013，过Pi（i＝1，2，…，2013）作PiEi⊥AB于Ei，PiFi⊥AB于Fi，则P1E1＋P1F1＋P2E2＋P2F2＋…＋P2013E2013＋P2013F2013的值为．例3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为E，作CD延长线的垂线，垂足为E，则PE PF＝．考点二：菱形中的角的关系例4．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD＝110°，则∠FPC的度数是．考点三：菱形与面积问题例5．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C、F、M，过点C作DE⊥OC，分别交OA、OB于点D、E，以FM为对角线作菱形FGMH，已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是A ．232y x =B ．23y x =C ．223y x =D ．233y x =例6．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB 1E ，则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积为A ．0.7B ．0.9C ．222-D ．22例7．如图，菱形ABCD 的一个内角是60°，将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后得到菱形A′B′C′D′，旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为838-，则菱形ABCD 的边长为 ．考点四：菱形与图形变换问题例8．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标系原点，顶点A 在x 轴上，∠B＝120°，OA ＝2，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为A ．（2-，2）B ．（2，2-）C ．（2，﹣2）D ．（3，3-）例9．如图，菱形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△CDE 沿CE 折叠后，点A 和点D 恰好重合，若菱形ABCD的面积为43，则菱形ABCD 的周长是A ．82B ．162C ．83D ．163例10．如图1，已知AC是矩形纸片ABCD的对角线，AB＝3，∠ACB＝30°，现将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中A′B′C′，当四边形A′ECF是菱形时，平移距离AA′的长是A．3 B．332C．23 D．92例11．如图，菱形OABC的面积为33，顶点O的坐标为（0，0），顶点A的坐标为（3，0），顶点B在第一象限，边BC与y轴交于点D，点E在边OA上，将四边形ABDE沿直线DE翻折，使点A落在第四象限的点F处，且FE⊥EA．则直线OF的解析式为．例12．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2015次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2015的坐标为．考点五：菱形与一次函数例13．如图，直线443y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为．例14．如图，菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA＝4，直线2433y x=+过点C，则菱形ABOC的面积是．考点六：菱形中的动点问题例15．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝6cm ，动点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P′，设Q 点运动的时间为t 秒，若四边形QP′CP 为菱形，则t 的值为A ．2B ．2C ．22D ．3例16．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过 秒△DEF 为等边三角形．考点七：菱形中的最值问题例17．如图，将两张长为8宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分呈一个菱形，则菱形周长的最大值是 ．例18．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB＝60°，点P 是对角线OC上一个动点，E （0，﹣1），当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为 ．例19．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）．已知菱形的边长为4，且有一个内角为60°，设它的等积线段长为m ，则m 的取值范围是A ．4m =或43m =B ．443m ≤≤C ．2343m ≤≤D ．234m ≤≤考点八：菱形与其它综合问题例20．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，连接BF、DE交于点M，延长DE到H使DE＝BM，连接AM、AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形．其中正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．3例20．如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF＝DE，∠A＝60°．（1）写出图中一对全等三角形：；（2）求证：△BEF是等边三角形；（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为m，请直接写出m的取值范围；（4）连接AC分别交边BE、BF交于点M、N，且∠CBF＝15°，试说明：MN²＋CN²＝AM²．【针对练习】1．下列性质中菱形不一定具有的性质是A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形3．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝12AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F．若AB＝2，∠ABC＝60°，则AE的长为A．3 B．5 C．7 D．224．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'．设P、P'分别是EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为A．283 B．243 C．323 D．3238-5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移(221-)个单位，再向上平移1个单位C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位第3题第4题第5题6．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B＝70°，则∠EDC的大小为A．10° B．15°C．20° D．30°7．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是A．BD＝AE B．CB＝BFC．BE⊥CF D．BA平分∠CBF 第6题8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若CF＝6，AC＝AF＋2，则四边形BDFG的周长为A．9.5 B．10 C．12.5 D．20第7题第8题9．如图，ABCD是菱形，AC是对角线，点E是AB的中点，过点E作对角线AC的垂线，垂足是点M，交AD 边于点F，连结DM．若∠BAD＝120°，AE＝2，则DM＝．10．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，BC＝1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是G，且点G在边AD上，若EG⊥AC，AB＝2，则FG的长为．12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE＋AF＝a，则线段EF长度的范围是．第9题第11题第12题13．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN 分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是．14．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．15．如图所示，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是．第13题第14题第15题16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过A作AF∥BC交BE 延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ACD面积相等的三角形（不包含△ACD）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N．求证：DG＝DN．18．如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，且BE＝CF，连结AE与BF相交于点G．将△ABC沿AB边折叠得到△ABD，连结DG．延长EA到点H，使得AH＝BG，连结DH．（1）求证：四边形DBCA是菱形；（2）若菱形DBCA的面积为83，DB4DG5，求△DGH的面积．19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，O为AC、BD的中点，AB＝10，AC＝16，BD＝12．（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请证明；（2）点P在AO上，点Q在DO上，且AP＝2OQ．若PQ＝BQ，求AP的长．20．已知如图，直线834+=x y 与x 轴、y 轴分别交于点N 、M ，菱形ABCD 的各顶点分别在坐标轴上，对角线交于原点O ，已知点A 坐标为（0,4），点B 坐标为（﹣3,0）．直线MN 沿着y 轴的负方向以每秒4个单位的速度匀速运动，与此同时，菱形ABCD 也沿着y 轴的负方向以每秒1个单位的速度匀速运动，设运动时间为t （秒），运动后直线MN 与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ．（1）直接写出当t ＝0.5时P 、Q 两点的坐标；（2）试探究：在整个运动过程中，直线MN 与菱形的边有公共点的时间有多长？（3）当直线MN 与菱形的边有公共点时，以PQ 为直径的圆能否与菱形的边AB 所在直线相切？如能，求出此时t 的值；如不能，说明理由．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若分式32x x +-的值为0，则x 的值为 A ．3x =-B ．2x =C ．3x ≠-D ．2x ≠ 【答案】A【分析】根据分式值为0，分子为0，分母不为0，得出x+3=0,解方程即可得出答案． 【详解】因为分式32x x +-的值为0， 所以x+3=0，所以x=-3.故选A.【点睛】考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注：“分母不为零”这个条件不能少．2．下列命题中是真命题的是( )A ．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ，227，3.14，π，0.301001…等五个数都是无理数 C ．若0m <，则点()5P m -，在第二象限D ．若三角形的边a 、b 、c 满足: ()()2a b c a b c ab +-++=，则该三角形是直角三角形【答案】D【分析】根据平行公理、无理数的概念、点坐标特征、勾股定理的逆定理判断即可.【详解】解：A 、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是假命题；B ，227，3.14，π，0.301001…中只有π，0.301001…两个数是无理数，本选项说法是假命题； C 、若0m <，则点()5P m -，在第一象限，本选项说法是假命题；D 、()()2a b c a b c ab +-++=，化简得222=a b c +，则该三角形是直角三角形，本选项说法是真命题； 故选D.【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．如图，在44⨯的正方形网格中，123∠∠∠，，的大小关系是（ ）A ．123∠>∠>∠B ．123∠=∠>∠C ．123∠<∠=∠D ．123∠=∠=∠【答案】B 【分析】利用“边角边”证明△ABG 和△CDH 全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ABG=∠DCH ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠CBG=∠BCH ，从而得到∠1=∠2，同理求出∠DCH=∠CDM ，结合图形判断出∠BCH>∠EDM ，从而得到∠2>∠3，即可得解． 【详解】解：如图，∵BG=CH ，AG=DH ，∠AGB=∠CHD=90°，∴△ABG ≌△CDH ，∴∠ABG=∠DCH ，∵BG//CH ，∴∠CBG=∠BCH ，∴∠1=∠2，同理可得：∠DCH=∠CDM ，但∠BCH>∠EDM ，∴∠2>∠3，∴∠1=∠2>∠3，故选B ．【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定和性质；把∠1、∠2、∠3拆成两个角，能利用全等三角形和平行线得出相关角相等，是解题关键．4．如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，1O ，2O 是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分面积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】根据题意作图，连接O 1B ，O 1C ，可得△O 1BF ≌△O 1CG ，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】连接O 1B ，O 1C ，如图：∵∠BO 1F ＋∠FO 1C ＝90°，∠FO 1C ＋∠CO 1G ＝90°， ∴∠BO 1F ＝∠CO 1G ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠O 1BF ＝∠O 1CG ＝45°， 在△O 1BF 和△O 1CG 中111111FO B CO G BO CO FBO GCO∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△O 1BF ≌△O 1CG （ASA ）， ∴O 1、O 2两个正方形阴影部分的面积是14S 正方形， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是14S 正方形，∴S 阴影＝12S 正方形＝1．故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点，难度适中．5．下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ） A ．三条边对应相等 B ．两边和一角对应相等C ．两角和其中一角的对边对应相等D ．两角和它们的夹边对应相等 【答案】B【解析】三角形全等的判定方法有SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，B 中“一角”如果不是两边夹角则不能判定全等，故选B6．如图，点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，PN OB ⊥于点N ，点M 是线段ON 上一点．已知3OM =，5ON =，点D 为OA 上一点．若满足PD PM =，则OD 的长度为（ ）A ．3B ．5C ．5和7D ．3或7【答案】D【分析】过点P 作PE ⊥AO 于E ，根据角平分线的性质和定义可得PE=PN ，∠POE=∠PON ，∠PEO=∠PNO=90°，再根据角平分线的性质可得OE=ON=5，然后根据点D 与点E 的先对位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用HL 证出Rt △PDE ≌Rt △PMN ，可得DE=MN ，即可求出OD ． 【详解】解：过点P 作PE ⊥AO 于E ∵OC 平分∠AOB ，PN OB ⊥，∴PE=PN ，∠POE=∠PON ，∠PEO=∠PNO=90° ∴∠OPE=90°－∠POE=90°－∠PON=∠OPN ∴PO 平分∠EPN ∴OE=ON=5①若点D 在点E 左下方时，连接PD ，如下图所示在Rt △PDE 和Rt △PMN 中PD PMPE PN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △PDE ≌Rt △PMN ∴DE=MN ∵MN=ON －OM=2∴OD=OE －DE=3②若点D 在点E 右上方时，连接PD ，如下图所示在Rt △PDE 和Rt △PMN 中PD PMPE PN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △PDE ≌Rt △PMN ∴DE=MN ∵MN=ON －OM=2 ∴DE=2∴OD=OE ＋DE=1 综上所述：OD=3或1． 故选D ． 【点睛】此题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 7．下列结论正确的是（ ）A ．有两个锐角相等的两个直角三角形全等；B ．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C ．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；D ．两个等边三角形全等.【答案】B【解析】试题解析：A 两个锐角相等的两个直角三角形不全等，故该选项错误；B 中两角夹一边对应相等，能判定全等，故该选项正确；C 一条斜边对应相等的两个直角三角形不全等，故该选项错误；D 中两个等边三角形，虽然角相等，但边长不确定，所以不能确定其全等，所以D 错误． 故选B ． 8．若分式36021x x -=+，则x 的值为（ ） A ．0x =B ．12x ≠-C ．12x =-D ．2x =【分析】根据分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得360x -=且210x +≠，解得2x =， 故选：D ． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，利用分子为零且分母不为零得出360x -=且210x +≠是解题关键．9．在1x 、13、212x +、5yπ+、1a m +中分式的个数有（ ）.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】根据分式的定义：分母中含有字母的式子叫分式可判别. 【详解】分母中含有字母的式子叫分式，由此可知，1x 和1a m+是分式，分式有2个； 故选A. 【点睛】本题考查了分式的定义，较简单，熟记分式的定义是解题的关键. 10．直线y =kx +b 经过第二、三、四象限，那么（ ） A ．k 0>，b 0> B ．k 0>，b 0< C ．k 0<，b 0< D ．k 0<，b 0>【答案】C【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解． 【详解】∵直线y=kx+b 经过第二、四象限， ∴k＜0，又∵直线y=kx+b 经过第三象限，即直线与y 轴负半轴相交， ∴b＜0， 故选C ． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系：k ＞0时，直线必经过一、三象限； k ＜0时，直线必经过二、四象限； b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交； b=0时，直线过原点； b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交． 二、填空题11．甲乙丙丁四位同学在5次数学测试中，他们成绩的平均数相同，方差分别为2=5.7s 甲，2=4.2s 乙，2=6.5s 丙，2=3.9s 丁，则成绩最稳定的同学是______．【答案】丁【分析】根据方差进行判断即可．【详解】∵2=5.7s 甲，2=4.2s 乙，2=6.5s 丙，2=3.9s 丁，∴丁的方差最小， ∴成绩最稳定的同学是丁． 故答案为：丁． 【点睛】本题考查了方差，明确方差的意义是解题的关键．12．已知一个等腰三角形的顶角30°，则它的一个底角等于_____________． 【答案】75°【分析】已知明确给出等腰三角形的顶角是30°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理易求得底角的度数．【详解】解：∵等腰三角形的顶角是30°， ∴这个等腰三角形的一个底角=12（180°-30°）=75°． 故答案为：75°． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，此题很简单，解答此题的关键是熟知三角形内角和定理及等腰三角形的性质．13．某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其它两位同学进行交流的情景．小明说：“去年两超市销售额共为150万元，今年两超市销售额共为170万元”， 小亮说：“甲超市销售额今年比去年增加10% 小颖说：“乙超市销售额今年比去年增加20% 根据他们的对话，得出今年甲超市销售额为_____万元 【答案】1【分析】设甲超市去年销售额为x 万元，乙超市去年销售额为y 万元，根据题意列出方程组求解后，再求出甲超市今年的销售额即可．【详解】解：设甲超市去年销售额为x 万元，乙超市去年销售额为y 万元， 根据题意得150(110%)(120%)170x y x y +=⎧⎨+++=⎩ 解得10050x y =⎧⎨=⎩ 所以今年甲超市销售额为(110%)100110+⨯=（万元）． 故答案为:1． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 14．分解因式：2a 2－4ab ＋2b 2=________． 【答案】22()a b -【分析】根据先提取公因式再利用公式法因式分解即可. 【详解】原式=2（a 2－2ab ＋b 2）=22()a b -【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法. 15．若分式方程1x ax -+＝a 无解，则a 的值为________． 【答案】1或-1【分析】根据分式方程无解，得到最简公分母为2求出x 的值，分式方程转化为整式方程，把x 的值代入计算即可．【详解】解：去分母：x a ax a -=+ 即：1)2a x a -=-（ ． 显然a=1时，方程无解．由分式方程无解，得到x+1=2，即：x=-1． 把x=-1代入整式方程：-a+1=-2a ． 解得：a=-1．综上：a 的值为1或者-1． 【点睛】本题考查了分式方程的解，需要注意在任何时候考虑分母不能够为2．16．若02018a =，2201720192018b =⨯-，201720184554c ⎛⎫⎛⎫=-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系用“＜"连接为________． 【答案】c b a <<【分析】根据零指数幂得出a 的值，根据平方差公式运算得出b 的值，根据积的乘方的逆应用得出c 的值，再比较大小即可．【详解】解：∵020118a ==，2222201720192018(20181)(20181)20182018120181b =⨯-=-+-=--=-，20172018201720172017454554555545445444c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯⎝=⎝⎭⎭⨯ 54-<-1<1 ∴c b a << ． 故答案为：c b a <<． 【点睛】本题考查了零指数幂，平方差公式的简便运算，积的乘方的逆应用，解题的关键是根据上述运算法则计算出a ，b ，c 的值．17．已知一次函数()12y k x =-+，若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___． 【答案】k ＜1．【分析】一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可． 【详解】解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y 随x 的增大而减小， ∴k-1＜0， 解得k ＜1， 故答案是：k ＜1． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性．一次函数y=kx+b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小． 三、解答题18．计算101()(12)2-+-= 【答案】3【解析】原式=2+1=319．如图，已知AB=AC ，点D 、E 在BC 上，且∠ADE=∠AED ，求证：BD=CE ．【答案】见解析【分析】由AB=AC 依据等边对等角得到∠B=∠C，则可用AAS 证明ABE ∆≌ACD ∆，进而得到BE CD =，等式两边减去重合部分即得所求证. 【详解】解：∵在ABC ∆中，AB=AC ， ∴∠B=∠C，∵在ABE ∆和ACD ∆中=AED ADE B CAB AC ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ∆≌ACD ∆（AAS ） ∴BE CD =， ∴-BE DE CD DE =- ∴BD=CE ． 【点睛】本题考查三角形中等角对等边、等边对等角，三角形全等的判定及性质. 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.20．如图，点D 是等边三角形ABC 的边AC 上一点，//DE BC 交AB 于E ，延长CB 至F ，使BF AD =，连结DF 交BE 于G ．（1）请先判断ADE 的形状，并说明理由． （2）请先判断BG 和EG 是否相等，并说明理由．【答案】（1）ADE 等边三角形，证明见解析；（2）BG EG =，证明见解析． 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质，即可完成证明； （2）根据（1）的结论，结合BF AD =，可得BFDE =；再根据平行线性质，得EDG F ∠=∠，DEG FBG ∠=∠，从而得到DEG FBG ≅△△，即可得到答案．【详解】（1）∵ABC 是等边三角形 ∴60A ABC ACB ∠=∠=∠= ∵//DE BC∴60AED ABC ∠=∠=︒，60ADE C ∠=∠=︒ ∴∠=∠=∠A AED ADE ∴ADE 是等边三角形； （2）∵ADE 是等边三角形 ∴AD DE BF == ∵BF AD = ∴BFDE =∵//DE BC∴EDG F ∠=∠，DEG FBG ∠=∠ 在DEG △和FBG △中EDG F BF DEDEG FBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEG FBG ≅△△ ∴BG EG =． 【点睛】本题考查了等边三角形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．21．科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的高架桥铺设任务的？工程师：是的，我们铺设600米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍． 通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度． 【答案】该建筑集团原来每天铺设高架桥300米．【分析】设该建筑集团原来每天铺设高架桥x 米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x 米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥x 米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x 米， 依题意，得：600480060092x x-+=， 解得：x ＝300，经检验，x ＝300是原方程的解，且符合题意． 答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米． 【点睛】本题考查分式方程的应用,关键在于理解题意找到等量关系.22．当在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A 、点B 的坐标分别为(2,1),(5,0)， （1）画出OAB 时关于x 轴对称图形；（2）在平面直角坐标系内找一点D 求(不与点B 重合)，使 OAD ∆与OAB ∆全等，求请直接写出所有可能的点D 的坐标．【答案】（1）见解析； （2）D （-3,1）或（3,4）或（-1，-3）． 【分析】（1）作A 关于x 轴对称的对称点A’，△OA’B 即为所求． （2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）如下图所示（2）如图所示，△OAD 即为所求，D （-3,1）或（3,4）或（-1，-3）．【点睛】本题考查了网格作图的问题，掌握轴对称图形的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 23．如图，已知在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE ． （1）求证：AC=CD ；（2）若AC=AE ，求∠DEC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．【分析】()1根据同角的余角相等可得到24∠=∠，结合条件BAC D ∠=∠，再加上BC CE =， 可证得结论；()2根据90ACD AC CD ∠=︒=，， 得到145D ∠=∠=︒， 根据等腰三角形的性质得到3567.5∠=∠=︒， 由平角的定义得到1805112.5DEC ∠=︒-∠=︒．【详解】() 1证明：90BCE ACD ∠=∠=︒，2334，∴∠+∠=∠+∠24∴∠=∠，在△ABC 和△DEC 中，24BAC DBC CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC DEC ∴≌，AC CD ∴=；（2）∵∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，∴∠1＝∠D ＝45°，∵AE ＝AC ，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC ＝180°－∠5＝112.5°．24．若115a b +=，求525a ba ab b +-+的值．【答案】523. 【分析】根据等式的基本性质将已知等式变形，然后利用整体代入法和分式的基本性质约分即可求出分式的值． 【详解】解：∵115a b+= ∴a ＋b ＝5ab ，∴525a b a ab b+-+ ＝()52a b a b ab ++- ＝5552ab ab ab⨯- ＝523ab ab＝523． 【点睛】此题考查的是求分式的值，掌握等式的基本性质和分式的基本性质是解决此题的关键．25．已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为121462048⨯-⨯=，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为1．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）若将正整数依次填入k 列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k 有关的定值，请用k 表示出这个定值，并证明你的结论．【答案】（1）24；（2）是，这个定值是2，理由见解析；（3）定值为21k -，证明见解析.【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为x-1，x+1，上下两数分别为x-6，x+6，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设十字星中心的数为y ，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．【详解】解：（1）根据题意得：68212482424⨯-⨯=-=，故答案为：24；（2）是，这个定值是2．理由如下：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为6x -，6x +， 十字差为：()()()()22116613635x x x x x x -+--+=--+=． 故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为2；(3)定值为21k -，证明如下：设设十字星中心的数为y ，则十字星左右两数分别为1y -，1y +，上下两数分别为y k -，(3)y k k +≥， 十字差为：()()()()22221111y y y k y k y y k k -+--+=--+=-， 故这个定值为21k -．【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C＝60°，点D 在AB 边上，DE⊥AB，并与AC 边交于点E ．如果AD ＝1，BC ＝6，那么CE 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【详解】∵在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠A ＝60°，∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝30°，∵AD ＝1，∴AE ＝2，∵BC ＝6，∴AC ＝BC ＝6，∴CE ＝AC ﹣AE ＝6﹣2＝4，故选：B ．【点睛】考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答．2．如图， / /AB FC ，E 是DF 的中点，若10AB =，6CF =，则BD 等于（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】B 【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E 是DF 的中点，所以根据ASA 得出△ADE ≌△CFE ，从而得出AD=CF ，进一步得出BD 的长．【详解】解：∵AB ∥FC∴∠ADE=∠EFC∵E 是DF 的中点∴DE=EF∵∠AED=∠CEF∴△ADE ≌△CFE∴AD=CF∵AB=10，CF=6∴BD=AB-AD=10-6=1．故选：B ．【点睛】此题目主要考查全等三角形的判方法的掌握．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．3．语句“x 的18与x 的和不超过5”可以表示为（ ） A ．58x x +≤ B ．58x x +≥ C ．855x ≤+ D ．58x x += 【答案】A 【分析】x 的18即18x ，不超过1是小于或等于1的数，由此列出式子即可． 【详解】“x 的18与x 的和不超过1”用不等式表示为18x+x ≤1． 故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．4．下列四个命题中，真命题的个数有（ ）①数轴上的点和有理数是一一对应的；②Rt ABC ∆中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5；③在平面直角坐标系中点(2，-3)关于y 轴对称的点的坐标是(-2，-3)；④两条直线被第三条直线所截，内错角相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A。
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变式1：
若把条件∠AOB=60°变为∠AOD=120°,你还能求AC的长吗？
变式2：
若把条件AB=4cm变为AC=4cm，其它条件不变，你能求AB的长吗？
三、展示交流：
1.矩形具有而一般的平行四边形不具有的特点是（）
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（）
A.6
B.3
2 C.2（1+3） D.1+3、
3.如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′，BC′交AD于E，下列结论不一定成立的是（）
A.AD=BC，
B.∠EBD=∠EDB
C.△ABE≌△CBD
D.△ABE≌△C′DE
4．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD=120°，你能说明 AC=2AB吗?
5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，
EC平分∠BED。
（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？
（2）若AB=1，∠ABE=45°，求BC的长
四、提炼总结：
1．在矩形ABCD中，若AC与BD相交于
点O。
则
(1)OA= = =
(2) ∠DAB= = = =90°E D
C
B A。