【新课标】2012年高考数学专题冲刺复习专题一第5讲 《导数及其应用》PPT课件

主干知识梳理
1．导数的几何意义 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在 点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝f′(x0)． (2)曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．
(2)因为 f′(x)＝x2＋2mx＋n，且 f(x)的单调递减区间的长度为 正整数，故 f′(x)＝0 一定有两个不同的根，从而 Δ＝4m2－ 4n>0，即 m2>n. 不妨设这两个不同的根为 x1，x2，则|x2－x1|＝2 m2－n为正 整数． 故 m≥2 时才可能有符合条件的 m，n. 当 m＝2 时，只有 n＝3 符合要求． 当 m＝3 时，只有 n＝5 符合要求． 当 m≥4 时，没有符合要求的 n. 综上所述，只有 m＝2，n＝3 或 m＝3，n＝5 满足上述要求．
f(x)＝ln x
f′(x)＝ex f′(x)＝xln1 a
f′(x)＝1x
(2)导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ③[uv((xx))]′＝u′(x)v([xv)－(x)u]2(x)v′(x)(v(x)≠0)． (3)复合函数求导 复合函数 y＝f(g(x))的导数和 y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间 的关系为 yx′＝f′(u)g′(x)． 3．函数的性质与导数 (1)在区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 f(x)在区间(a， b)上单调递增； 在区间(a，b)内，如果 f′(x)<0，那么函数 f(x)在区间(a， b)上单调递减．
变式训练 1 已知曲线 C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.
(1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程；
(2)第(1)小题中切线与曲线 C 是否还有其他公共点．
解 (1)y′＝12x3－6x2－18x， 所以切线斜率为 k＝y′|x＝1＝12－6－18＝－12， 把 x＝1 代入 C 的方程，求得 y＝－4， 所以切点为(1，－4)，所以切线方程为 y＝－12x＋8. (2)由yy＝＝3－x41－2x2＋x38－9x2＋4 得 3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0， 即(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0，x＝1，－2，23. 公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，23，0，除切点外， 还有两个公共点(－2,32)，23，0.
(2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x)；②求 f′(x)＝0 的根； ③判定根两侧导数的符号；④下结论． (3)求函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求 f′(x)； ②求 f′(x)＝0 的根(注意取舍)； ③求出各极值及区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最 小值)．
考题分析 本题主要考查了函数的性质，以及导数在研究函数 问题中的应用，突出了函数的工具性作用，同时考查了学生对 分类讨论思想的理解和应用．
易错提醒 (1)易忽视二次函数的最小值与对称轴的关系． (2)易忽视函数的单调性与导函数的关系． (3)不能正确地从问题中提炼条件是致误的关键． (4)易忽视分类讨论．
第 5 讲 导数及其应用
【高考真题感悟】 (2011·江西)设 f(x)＝13x3＋mx2＋nx. (1)如果 g(x)＝f′(x)－2x－3 在 x＝－2 处取得最小值－5， 求 f(x)的解析式； (2)如果 m＋n<10 (m，n∈N*)，f(x)的单调递减区间的长 度是正整数，试求 m 和 n 的值．(注：区间(a，b)的长度 为 b－a) 解 由题意得 g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2 ＋(n－3)－(m－1)2，已知 g(x)在 x＝－2 处取得最小值 －5，所以m(n－－13＝)－2(，m－1)2＝－5， 解得mn＝＝23.， 故所要求的解析式为 f(x)＝13x3＋3x2＋2x.
热点分类突破
题型一 导数几何意义的应用 例 1 已知曲线 y＝13x3＋43.
(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程．
思维启迪 “该曲线过点 P(2,4)的切线”与“该曲线在点 P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点 P(2,4)的切线 中，点 P(2,4)不一定是切点；在点 P(2,4)处的切线中，点 P(2,4)是切点．
2．基本初等函数的导数公式和运算法则
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈N*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0 且 a≠1)
所以 4－13x30＋43＝x02(2－x0)，解得 x0＝2 或 x0＝－1，
故所求的切线的方程为：4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
探究提高 (1)求函数 f(x)图象上点 P(x0，f(x0))处的切线方程的 关键在于确定该点切线处的斜率 k，由导数的几何意义知 k＝ f′(x0)，故当 f′(x0)存在时，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x －x0)．求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“点 P 处的 切线”的差异．过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上；点 P 处的切线，点 P 是切点． (2)要准确理解曲线切线的概念，如直线与曲线公共点的个数不 是切线的本质特征，一方面，直线与曲线只有一个公共点⇒直 线是曲线的切线；另一方面，直线是曲线的切线⇒直线与曲线 有且仅有一个公共点．
解 (1)所求切线的斜率为 y′|x＝2＝22＝4，故所求的曲线的切
线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
(2) 设 曲 线
y＝1 3ຫໍສະໝຸດ x3＋4 3
与
过
点
P(2,4) 的 切 线 相 切 于 点
Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为 k＝y′| x＝x0＝x20，切线方程为 y－13x30＋43 ＝x02(x－x0)， 因为点 P(2,4)在切线上，