第二章 第8节 幂函数与二次函数
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质二次函数与幂函数、指数函数是高中数学中常见的函数类型。
本文将比较二次函数与幂函数、指数函数的特点与性质，从多个角度分析它们之间的差异和联系。
一、函数表达式与图像形态比较二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它的图像是一条抛物线，圆顶方向和开口方向取决于a的正负。
幂函数的一般形式为f(x) = ax^m，其中a为实数，m为常数且m ≠ 0。
它的图像形态根据m的值而定，当m > 1时为上升函数，m < 1时为下降函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。
它的图像是一条递增或递减的曲线，斜率随x的增大而不断增大或减小。
通过比较函数表达式和图像形态，可以看出二次函数的图像是一条抛物线，幂函数的图像可以是直线、上升或下降的曲线，指数函数的图像是递增或递减的曲线。
二、增长速度与渐近性质比较二次函数的增长速度由a的值决定，当a > 0时随着x的增大，函数值快速增大；当a < 0时，随着x的增大，函数值快速减小。
二次函数没有水平渐近线，但存在一条对称轴。
幂函数的增长速度由m的值决定，当m > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < m < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
幂函数没有水平渐近线。
指数函数的增长速度由底数a的值决定，当a > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < a < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
指数函数存在一条水平渐近线，即x轴。
综合比较三种函数的增长速度和渐近性质，可以得出二次函数的增长速度相对较慢，幂函数的增长速度介于二次函数和指数函数之间，而指数函数的增长速度最快。
三、最值与极值比较对于二次函数，如果a > 0，则函数的最小值为c - b^2 / (4a)，无最大值；如果a < 0，则函数的最大值为c - b^2 / (4a)，无最小值。
二次函数与幂函数的关系
二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。
这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。
首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。
幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。
接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。
对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。
根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。
当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。
我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。
例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。
而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。
当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。
与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。
然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。
实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。
具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。
这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。
当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。
幂函数与二次函数讲义
幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。
幂函数与二次函数含参的讨论方法
幂函数与二次函数含参的讨论方法Understanding the discussion of exponential functions and quadratic functions with parameters is essential in mathematics. 幂数函数和含参的二次函数都是数学中非常重要的内容，了解它们的讨论方法能够帮助我们更好地理解数学知识。
Exponential functions are functions in the form of f(x) = a^x, where a is a constant base and x is the variable exponent. 幂函数是指数函数的一种形式，通常表达为f(x) = a^x，其中a是一个常数底数，x是变量指数。
On the other hand, quadratic functions with parameters are functions in the form of f(x) = ax^2 + bx + c, where a, b, and c are coefficients that can vary based on the parameters. 含参的二次函数通常表达为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是根据具体参数而变化的系数。
When discussing these functions, it's important to consider the domain and range of the functions, as well as any transformations that may occur due to changes in the parameters. 在讨论这些函数时，重要的是考虑函数的定义域和值域，以及由于参数的变化可能导致的任何变换。
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。
首先，我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行，斜率为b。
接下来，我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。
当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。
当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。
根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。
当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
高中数学必修1课件 第二章基本初等函数之二次函数和幂函数
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大 小相同， 开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像 的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为Y=(x-3) 2+2
发展性训练 1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换， 可以得到y=3x2的图像. 右移2单位，下移4单位 2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位， 再向下平移３个单位所得图像对应的函 数 2 -2(x-2)-3=x 2 -6x+5= (x-3) 2 -4 Y=(x-2) 解析式为
2、（2002河南两广高考）已知 a>0,f(x)=ax-bx2. (1)b>0时，若对任意x ∈ R都有 f(x)≤ 1,证明a≤ 2 . b (2)b>1时，证明 对任意 x ∈［ 0,1 ］, │ f(x) │≤1的充要条件是 b-1 ≤ a ≤ 2 b
(3)0<b ≤ 1时， 求 对任意 x∈［ 0, 1 ］, │ f(x) │≤ 1的充要条件。
求下列函数的定义域和值域:
x 3 x 4 (1) y= 2 x 3 x 4
2
(2) y= 1 2x x (3) y= 1 x x 3
作函数的图象的常用方法
1. 描点作图法; 2. 变换作图法.
基础练习
画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) (2)
(3)
变换作图法
平移变换
对称变换
作 业
画出下列函数的图象:
(1) (2) y=x2+2 x +1 y= x 2 x
2
② y=－x2－2x+3, x∈[－5, 0] ③ y= x 1 x
高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 幂函数课件 理
【互动探究】
1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2 m1，求当m为何值时， (1)f(x)是幂函数； (2)f(x)是正比例函数； (3)f(x)是反比例函数； (4)f(x)是二次函数．
解：(1)若f(x)为幂函数， 则m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
(2)若f(x)为正比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 1， ⇒m＝1. (3)若f(x)为反比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 －1， ⇒m＝－1.
C.13，12
D.0，13
解析：设
f(x)＝
1 2
x
－
1
x3
，f(0)＝1>0，f13＝
1 2
1
3
－
1 3
1
3
，
1
1
1
由于幂函数
y＝
1
x3
单调递增，得
f13＝
1 2
3
－
1 3
3
>0；f12＝
图 2-8-4
1
1
A．①y＝ x3 ；②y＝x2；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
1
D．①y＝ x3 ；②y＝ x2 ；③y＝x2；④y＝x－1
1
解析：y＝x2 为偶函数，对应②；y＝x 2 定义域 x≥0，对应
即m>12或m<－2， 或－2<m<12，
0<m<2
m>2或m<0，
∴12<m<2或－2<m<0. ∵m∈N*，∴m＝1.此时 f(x)＝x3，x∈R. ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数． 【规律方法】(1)幂函数 y＝xα的特点： ①系数必须为 1；②指数必须为常数. (2)幂函数的单调性:①α>0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函 数；②α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．【知识通关】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶奇 单调性 增(－∞，0)减， (0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A .12B ．1C.32 D ．2C3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜bD 4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．a ≤－5 B ．a ≤5 C ．a ≥－5 D ．a ≥5 C5．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3]【题型突破】幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D2.幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C3．若(a ＋1) 12＜(3－2a ) 12，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23[方法总结] (1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. (1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [方法总结] 求二次函数解析式的方法试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]D[母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. －3►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； (2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题 【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a 的取值范围为( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[方法总结] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]．g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，故k的取值范围是(－∞，1)．。
第二章函数导数及其应用第八节幂函数与二次函数PPT课件
y＝x
y＝x－1
图象
定义域 值域
_R__
_R__
_R__ _{_y_|y_≥__0_}_
_R__ _{x_|_x_≥__0_}_ _{x_|_x_≠__0_}_ _R__ _{_y_|y_≥__0_}_ _{_y_|y_≠__0_}_
二、复习巩固，任务驱动
函数
特征
y＝x
y＝x2
y＝x3 y＝x
y＝x－1
1
1
D．①y＝x 3 ，②y＝x 2 ，③y＝x2，④y＝x－1
1
[自主解答] y＝x2 为偶函数，对应②；y＝x2 定义域 x≥0，对应
③；y＝x－1 为奇函数，且图像与坐标轴不相交，对应④；y＝x3 与 y
1
1
＝x 3 均为奇函数，但 y＝x3 比 y＝x 3 增长率大，故①对应 y＝x3.
[答案] B
2．二次函数的表示形式 (1)一般式：y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：y＝ a(x－h)2＋k(a≠0) ，其中 (h，k) 为抛物线顶
点坐标； (3)零点式：y＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中 x1、x2 是抛物线
与 x 轴交点的横坐标． 3．二次函数的图象及其性质
a＞0
a＜0
奇偶 性
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
单调 x∈__－__∞__，__－__2b_a__是减函数 x∈_－__∞__，__－__2_ba___是增函数
性 x∈_－__2_ba_，__＋__∞___是增函数 x∈__－__2b_a_，__＋__∞__ 是减函数
最 值
当
x＝－2ba时，ymin＝
C．[1,2]
D．(－∞，2]
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数1．幂函数 (1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质定义域2.(1)二次函数的图象和性质(2)①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)(4)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(6)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(7)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．(√)(8)当n＞0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(9)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)(10)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)考点一 二次函数解析式[例1]解析：由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1， 所以必有⎩⎨⎧a ＞0，－a ＝－1.解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x(2)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)， ∴拋物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a 2)21(-x ＋8.∵f (2)＝－1，∴a 2)212(-＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－42)21(-x ＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[方法引航] 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________． 解析：设y ＝a (x －2)2－1，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，∴y ＝12(x －2)2－1. 答案：y ＝12(x －2)2－12．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2是偶函数， ∴ab ＋2a ＝0(a ≠0)，∴b ＝－2，当x ＝0时，2a 2＝4，∴a 2＝2，∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案：－2x 2＋4考点二 二次函数图象和性质[例2] 已知函数(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；(3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f (x )的最小值． 解：f (x )＝(x ＋a )2＋3－a 2，关于x ＝－a 对称， ∵x ∈[－4,6]．①当－a ≤－4，即a ≥4时，f (x )在[－4,6]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－4)＝16－8a ＋3＝19－8a②当－4＜－a ≤6，即－6≤a ＜4时，只有当x ＝－a 时，f (x )min ＝3－a 2， ③当－a ＞6时，即a ＜－6时，f (x )在[－4,6]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (6)＝36＋12a ＋3＝39＋12a . 综上，当a ≥4时，f (x )min ＝19－8a . 当－6≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2. 当a ＜－6时，f (x )min ＝39＋12a .2．若本例已知条件不变，f (x )＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a 的取值范围． 解：要使f (x )＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需⎩⎨⎧f (－a )＜0－4≤－a ≤6f (－4)≥0f (6)≥0即⎩⎨⎧3－a 2＜0，－6≤a ≤4，19－8a ≥0，36＋12a ≥0.解得，－134≤a ＜－3或3＜a ≤198.3．若本例中f (x )＞0在x ∈(0,6]上恒成立，求a 的取值范围． 解：x 2＋2ax ＋3＞0，在x ∈(0,6]上恒成立，即2a ＞－)3(x x +在x ∈(0,6]上恒成立，只需求u ＝－)3(xx +，x ∈(0,6]的最大值．∵x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时，取等号．∴u max ＝－23， ∴2a ＞－23，∴a ＞－ 3.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，∴f (x )＝.答案：C(2)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．3 解析：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·xm 2＋m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2. 又∵函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴m 2＋m －3＞0，∴m ＝2. 答案：B(3)已知f (x )＝21x ，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f )1(a ＜f )1(bB ．f )1(a ＜f )1(b＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(aD ．f )1(a ＜f (a )＜f )1(b＜f (b )解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜b ＜1b ＜1a ，又f (x )＝21x 为增函数， ∴f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(a.答案：C[方法引航] (1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图 象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B.幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a ＞b ＞c ＞d .故选B. 2．若3131)23()1(---<+a a ，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式3131)23()1(---<+a a 等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.答案：(－∞，－1)∪)23,32([规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决． [典例] (本题满分12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的范围； (3)若f (x )＝0的两根都在[0,1]内，求a 的范围．[规范解答] (1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .2分ⅰ.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在]1,0[a上递减，在]1,1[a上递增． ∴f (x )min ＝f )1(a＝1a －2a ＝－1a .4分ⅱ.当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.6分③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，∴a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1a ≥－1恒成立，∴a ≥1.10分(3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a (a ≠0)， 0∈[0,1]，∴0<2a ≤1，∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a >0和a <0.第三层：对称轴x ＝1a 与区间[0,1]的位置关系，左、内、右． (2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知342=a ，323=b ，3125=c 则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b解析：选A.，323442==a ，3231525==c 而函数32x y =在(0，＋∞)上单调递增，所以323232543<<，即b ＜a ＜c ，故选A.2．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a解析：选C.由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6＜1.50.6，所以b ＜a ＜c ，故选C.3．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：选C.A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝x e )1(是非奇非偶函数，B 不正确；C中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C.4．(2014·高考课标卷Ⅰ )设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )≤2⇒⎩⎨⎧ x ＜1，e x －1≤2或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥2131x x ⇒⎩⎨⎧ x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎨⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．答案：(－∞，8]5．(2015·高考天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．解析：由已知条件得b ＝8a ，令f (a )＝log 2a ·log 2(2b )，则f (a )＝log 2a ·log 216a ＝log 2a (log 216－log 2a )＝log 2a (4－log 2a )＝－(log 2a )2＋4log 2a ＝－(log 2a －2)2＋4， 当log 2a ＝2，即a ＝4时，f (a )取得最大值． 答案：4课时规范训练 A 组 基础演练1.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C.设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图象得：a ＜0，b ＜0，c ＞0.选C.2．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则)21(f 的值为( )A.13B.12C.23D.43 解析：选A.设f (x )＝x a, 又f (4)＝3f (2)，∴4a ＝3×2a ，解得a ＝log 23，∴)21(f ＝3log 2)21(3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b 2a ＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)＜f (2)＜f (－2)．5．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．－2＜a ＜2C ．a ＞2或a ＜－2D ．1＜a ＜3解析：选C.∵f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，∴Δ＝a 2－4＞0，则a ＞2或a ＜－2.6．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .结合图象有⎩⎨⎧ Δ≥0f (5)＞0，∴0＜a ≤14. 答案：0＜a ≤147．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎨⎧a ＞0，ac －4＝0. 答案：a ＞0，ac ＝48．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为),8[+∞m ，所以m 8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)．(3)当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝2)22(--k x ＋1－(k －2)24. 由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．B 组 能力突破1．若幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1解析：选B.由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c .若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( )A ．f (p ＋1)＞0B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－12，又∵f (0)＞0，f (p )＜0，∴－1＜p ＜0，p ＋1＞0，∴f (p ＋1)＞0.3．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.由函数图象知，a ＜0，与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac .对称轴x ＝－b 2a＝－1，∴2a －b ＝0. 当x ＝－1时，对应最大值，f (－1)＝a －b ＋c ＞0.∵b ＝2a ，a ＜0，∴5a ＜2a ，即5a ＜b .4．已知幂函数f (x )＝21-x ，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝21-x ＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )， ∴⎩⎨⎧ a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎨⎧ a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5.答案：(3,5) 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 第八节 幂函数与二次函数
1.已知幂函数f (
则不等式f (|x |)≤2 ( )
A.{x |－4≤x ≤4}
B.{x |0≤x ≤4}
C.{x |－2≤x ≤2}
D.{x |0＜x ≤2}
解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12
，∴f (x )＝1
2x . ∴1
2x ()≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：A
2.函数y ＝1
n
x ()(n ∈N ，n >2)的图象的大致形状是 ( )
解析：由n >2知－1n
<0， ∴x ≠0，且图象在第一象限内为减函数.
答案：A
3.比较下列各组值的大小：
(1)13
8--和－1
319()； (2) 2
54.1、2
53.8-（ 1.9-）3
5-
(3)0.20.5和0.40.3.
解：比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值.
(1)由于幂函数
1
3
y x-
=在(0，＋∞)上是减函数，
所以
11
33
<
89
--
，因此
11
33
<
89
--
--，
即
11
33
9
<
1 8;
----()
(2)由于
223
555
4.11,0 3.81, 1.9
><<0
<,
-
(-)-
1
3
y x-
=
因此
223
555
><<
4.11,0 3.81, 1.9
-
(-)-
(3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数，
所以0.20.5<0.20.3，
又由于幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，
所以0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.
4.已知函数f()
A.f(－2)＜f(0)＜f(2)
B.f(0)＜f (－2)＜f (2)
C. f (0)＜f (2)＜f (－2)
D. f (2)＜f (0)＜f (－2)
解析：∵f (1＋x)＝f(－x)，
∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x 2－b x＋c，
∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c，
∴2＋b＝－b，即b＝－1，
∴f(x)＝x 2－x＋c，其图象的对称轴为x＝1 2，
∴f(0)＜f(2)＜f(－2).
答案：C
5.(2010·海口模拟)方程|x2－2x|＝a2＋1(a∈(0，＋∞))的解的个数是()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：∵a∈(0，＋∞)，∴a2＋1＞1，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，∴方程有两解.故选B.
答案：B
6.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，满足不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)，且方程f(x)
＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.
解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).∵f (x )＞－2x ，
∴ax 2＋bx ＋c ＞－2x ，即ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.
∵解集为(1,3)，故224,0,4,<0.
x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥ 0,0,213,42,3<.13<a a b a b a a c c a ⎧⎪⎪⎧⎪+⎪⎪+=-⇒=--⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎪⨯=⎪⎩
由于f (x )＝－6a 有两个相等的实根，故ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0中Δ＝0. ∴b 2－4a (c ＋6a )＝0. ③
联立①②③，故a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35
， ∴f (x )＝－15x 2－65x －35
.
7.函数f (x )＝ ( )
A. f (1)≥25
B.f (1)＝25
C. f (1)≤25
D.f (1)＞25
解析：由题知
8
m ≤－2，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 答案：A
8.(2009·天津高考)已知函数f (x )＝224,0,40<,.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B.(－1,2)
C.(－2,1)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：函数f (x )＝224,0,40<,.
x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥的图象 如图.
① ②
知f (x )在R 上为增函数.
∵f (2－a 2)＞f (a )，
即2－a 2＞a .
解得－2＜a ＜1.
答案：C
9.已知f (x )＝x 2－2x ＋3，在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 .
解析：若f (x )＝3，则x ＝0或x ＝2；若f (x )＝2，则x ＝1.借助函数图象可知1≤m ≤2. 答案：1≤m ≤2
10.(2009·福建高考)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－2a
对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是 ( )
A.{1,2}
B.{1,4}
C.{1,2,3,4}
D.{1,4,16,64}
解析：设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－2b a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－
2b a
对称.而选项D 中4＋162≠1＋642. 答案：D 11.不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 .
解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0恒成立；
当a －2≠0时，220
42162<a a a -=⎧⎨∆=-+-⎩()()0
解之得：－2＜a ＜2
∴a 的取值范围是－2＜a ≤2.
答案：(－2,2]
12.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)·f (3)＞0，
(1)若a ＝1，求f (2)的值；
(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，且3＜x 1＋x 2＜5.
解：(1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1，
∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2.
(2)证明：首先说明a ≠0，
∵f (1)·f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0，
若a ＝0，则f (1)·f (3)＝－b 2＜0与已知矛盾，
∴a ≠0，
其次说明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，
∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，
∴若a ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而此时f (2)＜0，
∴若a ＜0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而此时f (2)＞0.
故二次函数图象必与x 轴有两个不同交点，
∴ 二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，
(或利用Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (6a ＋2b )＝b 2＋8ab ＋24a 2＝(b ＋4a )2＋8a 2＞0来说明) ∵a ≠0，
∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0两边同除以－a 2得
(b a ＋3)(b a
＋5)＜0， ∴－5＜b a ＜－3.
∴3＜x 1＋x 2＝－b a
＜5.。