2020高考数学 考前模拟预测系列 模拟二(学生版)
【精品】2020届高考数学模拟试卷2(湖南省)
2020届高考数学模拟试卷2（湖南省）一、单选题1．函数()1cos 1xx e f x x e-=⋅+的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．2．复数211i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2i -B ．2iC ．-2D ．2 3．某校有A 、B 、C 、D 四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社团中，在被问及在哪个社团时，甲说：“我没有参加A 和B 社团”．乙说：“我没有参加A 和D 社团”．丙说：“我也没有参加A 和D 社团”．丁说：“如果乙不参加B 社团，我就不参加A 社团”．则参加B 社团的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．给出的下列命题中正确的是（ ）A ．若α，β是第一象限角，且αβ<，则tan tan αβ<B ．函数3cos 22x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数 C ．8x π=是函数5cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴D ．32sin 2y x =在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小值为2-.5．已知,,,sin )2παβπααβ⎛⎫∈=+= ⎪⎝⎭，则β=（ ） A ．23π B ．56π C ．34π D ．1112π 6．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m >是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧7．已知集合{0,1,2}M =，{|22,}N x x x Z =-<<∈，则M N ⋂为（ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．{0,1}D ．∅8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8012π+B ．5912π+C ．5913.5π+D ．8013.5π+ 9．()263,034,0x x x x f x x ---≤⎧⎪=->⎨⎪⎩，则函数y =f [f （x ）]的零点个数为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．310．直线2y x =+交椭圆2214x y m +=于,A B 两点，若AB =，则m 的值为（ ）A ．16B ．12C ．D ．311．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于( )A ．产生的随机数的大小B ．产生的随机数的个数C ．随机数对应的结果D ．产生随机数的方法二、填空题 13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点,P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+,12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =_____14．已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=________ 15．已知△ABC 中，AB ＝，BC ＝1，sin C ＝cos C ，则△ABC 的面积为________．16．等比数列{}n a 的首项为512，公比为14q =-，记()*12n n a a a n N ∏=⋅∈，则数列{}n ∏的最大项是第___________项.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21522a a a +=，315S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()()1111n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(,x cos y a sin a R φφϕ=⎧=+∈⎨⎩为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为216cos πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且圆心C 在直线l 上． (Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是直线l 上一点，24,3B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是圆C 上一点，求OAB 的面积． 19．如图是某创业公司2017年每月份公司利润（单位：百万元）情况的散点图：为了预测该公司2018年的利润情况，根据上图数据，建立了利润y 与月份x 的两个线性回归模型：①y =0.94+0.028；②y =0.96+0.032lnx ，并得到以下统计值：（1）请利用相关指数R 2判断哪个模型的拟合效果更好；（2）为了激励员工工作的积极性，公司每月会根据利润的情况进行奖惩，假设本月利润为y 1，而上一月利润为y 2，计算z ()()11212121120.10.50.12y y y y y y y y y y ⎧+-≥⎪=⎨--⎪⎩，，＜，并规定：若z ≥10，则向全体员工发放奖金总额z 元；若z ＜10，从全体员工每人的工资中倒扣10﹣z 元作为惩罚，扣完为止，请根据（1）中拟合效果更好的回归模型，试预测208年4月份该公司的奖惩情况？（结果精确到小数点后两位）≈1.73≈2.24，1n 2≈0.69，1n 3≈1.10，ln 5≈1.61．相关指数R 2＝1122111221()()i i i i y y y y ==---∑∑．20．在直角坐标系xOy 中，动点P到两点(0,的距离之和等于4，设动点P 的轨迹为曲线C（1）写出曲线C 的方程（2）若直线y x m =+与曲线C 有交点，求实数m 的取值范围21．选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x =-.(Ⅰ)解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；(Ⅱ)若,x R ∃∈使得()||?()4f ax a f x +≤成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()1x a f x a －＝＋，（0a >且1a ≠）恒过定点()3,2，（1）求实数a ；（2）在（1）的条件下，将函数()f x 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函数()g x ，设函数()g x 的反函数为()h x ，求()h x 的解析式；（3）对于定义在[]1,9的函数()y h x ＝，若在其定义域内，不等式()()22[]22h x h x m ≤＋＋＋恒成立，求m 的取值范围．23．（14分）四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点.（1）证明PA //平面BDE ；（2）求二面角B −DE −C 的平面角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？若存在，请求出F点的位置；若不存在，请说明理由.参考答案1．C先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证. 解：()1cos 1xx e f x x e-=⋅+， ∴()()()1cos cos 111x x x x e e f x x x f x e e----=⋅-=⋅=-++-， ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，D 选项， 当12x =时，121211cos 02112e f e -⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭+. 故排除A 选项.故选：C.本题考查函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题.2．A根据复数除法与乘法法则求结果.()221112i i i ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭,选A. 本题重点考查复数的乘除运算，属于基本题.考查基本求解能力.3．B有乙、丙的说法知甲和丁参加了A 、D 社团，又由甲说知，甲参加了D 社团，则丁参加了A 社团，根据丁的说法知乙参加了B 社团．解：有乙、丙的说法知甲和丁参加了A 、D 社团，又由甲说知，甲参加了D 社团，则丁参加了A 社团，根据丁的说法知乙参加了B 社团．故选：B ．本题考查推理的相关知识，考查分析问题，解决问题的能力以及逻辑思维能力，属于基础题 4．B对于A ，通过举反例，即可得知A 错误；对于B ，利用诱导公式进行化简，借助奇函数的定义，即可得解；对于C ，求出5cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，即可判断； 对于D ，根据三角函数的图象即可求得结果.对于A ，若4πα=，136βπ=，满足α，β是第一象限角，且αβ<，但是tan tan αβ<不成立，故A 错误；对于B ，33cos sin 222x x y π⎛⎫=+=-⎪⎝⎭， 令()3sin 2x f x =-，则()33sin sin 22x x f x --=-=， 所以()()f x f x =--， 所以3cos 22x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，故B 正确； 对于C ，5cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 524x k ππ+=()k Z ∈，解得582k x ππ=-+()k Z ∈， 所以8x π=不是函数5cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故C 错误； 对于D ，32x ππ-≤≤，∴33224x ππ-≤≤， ∴31sin 12x -≤≤，∴322sin 22x -≤≤， ∴32sin2y x =在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值为2-，故D 错误. 故选：B. 本题主要考查的是三角函数的性质，包括单调性、奇偶性、对称性及最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.5．B先由条件求出sin()αβ+和cos α，然后算出cos cos()βαβα=+-即可.由于,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,()2αβππ+∈，∴sin()αβ+=，cos α==， ∴cos cos()cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+⋅++⋅1032613261326132⎛⎛-⨯⨯=-+-⨯==- ⨯⎝⎭⎝⎭， ∴56πβ=. 故选：B在解决本类题时，要善于观察角之间的关系，一般用已知角来表示所求角.6．C根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．若曲线C 为双曲线，则()210mm -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题所以选C本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．7．C分析：先化简集合N,再求M N ⋂.详解：由题得N={-1,0,1},所以M N ⋂={0,1}.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查集合的化简和交集，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答集合问题时，要注意看清集合元素的属性，不要漏了x Z ∈，否则容易出错.8．D由三视图可知，该几何体由半个圆柱与一个棱柱组成，根据三视图中数据，求出每个表面的面积，求和即可得结果.由三视图可知，该几何体由半个圆柱与一个棱柱组成，棱柱的长宽高分别为6、1、1.5，圆柱的底面半径为3，高为1.5，几何体的直观图如图所示，其表面积为2(1 5.516 5.56) 1.56⨯⨯+⨯+⨯-⨯233 1.58013.5πππ+⨯+⨯⨯=+,故选D.本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．A因为y=f[f （x ）]的零点个数⇔f[f （x ）]=0的根的个数，令t=f （x ），则f （t ）=0，画出y=f （x ）的图象，先判断出方程f （t ）=0有3个根，再根据每个根的范围，结合图象判断t=f （x ）的根的个数即可．因为y ＝f [f （x ）]的零点个数⇔f [f （x ）]＝0的根的个数，令t ＝f （x ），则f （t ）＝0y ＝f （x ）的图象如图所示：。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)高考数学模拟预测卷(二)数学试题(word版含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)模拟预测卷(二)数学I 卷2020.5一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合2{|1},A x x =≤集合{}2, 1, 0, 1, 2B =--,则A∩B=__.2. i 为虚数单位,计算12i i-=-__. 3.某地区有高中学校10所､初中学校30所､小学学校60所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查,则应抽取初中学校___所.4.已知实数x, y 满足2,8,1,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则z= 2x+y 的最小值是___.5.执行如图所示的伪代码,当输入a, b 的值分别为1, 3时,最后输出的a 的值为___.6.某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工,则选出的学生中男女生都有的概率为___.7.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时, ()21f x log x =-, 则不等式()0f x <的解集是___.8.若命题“存在2,40x ax x a ∈++≤R ”为假命题,则实数a 的取值范围是___.9.已知函数()sin(2)(0),3f x x x ππ=+≤<且1()()(),2f f αβαβ==≠则α+β=____. 10.已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0,a b a b +>+<则33a b +的取值范围是____.11.已知a>b>1且2log 3log 7,a b b a +=则211a b +-的最小值为___. 12. 已知圆O:224,x y +=若不过原点O 的直线1与圆O 交于P ､Q 两点,且满足直线OP ､PQ ､OQ 的斜率依次成等比数列,则直线1的斜率为___.13.已知圆C 22:(2)4,x y -+=线段EF 在直线l: y=x+1上运动,点P 为线段EF 上任意一点,若圆C 上存在两点A, B,使得0,PA PB ⋅≤u u u r u u u r 则线段EF 长度的最大值是____.14.已知函数32|2|,1()ln ,1x x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，若对于t ∈R , f(t)≤kt 恒成立,则实数k 的取值范围是____. 二､解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中,角A, B, C 的对边分别为a, b, c,已知3sin ,5A =tan(A- B)1.2=-(1) 求tanB 的值:(2) 若b=5,求c.16. (本小题满分14分)如图,在三棱锥PABC 中,∠PAC=∠BAC=90°,PA=PB,点D, F 分别为BC, AB 的中点.求证:(1)直线DF//平面PAC;(2)PF ⊥AD.17. (本小题满分14分)已知数列{}n a 满足()*122,n n n a a a k n k ++=++∈∈N R ,且1352, 4.a a a =+=-(1)若k=0,求数列{}n a 的前n 项和n S ;(2)若41,a =-求数列{}n a 的通项公式n a .18. ( 本小题满分16分)如图,在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l 上设立了A, B 两个报名点,满足A,B,C 中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作:先将A,B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处(点D 异于A,B 两点),然后乘同一艘游轮前往C 岛.据统计,每批游客A 处需发车2辆,B 处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2a 元,游轮每千米耗费12a 元. (其中a 是正常数)设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本为S 元.(1)写出S 关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;(2)问:中转点D 距离A 处多远时,S 最小?19.(本小题满分16分)如图,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的上､ 下顶点分别为A, B,右焦点为F,点P 在椭圆C 上,且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3,1),求椭圆C 的方程;(2)延长AF 交椭圆C 于点Q,若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍,求椭圆C 的离心率;(3) 求证:存在椭圆C,使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数()(21)()x f x e x ax a a =--+∈R ,e 为自然对数的底数.(1) 当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)①若存在实数x,满足f(x)<0,求实数a 的取值范围;②若有且只有唯一整数x 0,满足f(x 0)<0, 求实数a 的取值范围.21. [选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A. [选修4- 2: 矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵1252Mx-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为-2,求2M.B. [选修4- 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,求圆 8sinρθ=上的点到直线()3πθρ=∈R距离的最大值.C. [选修4- 5: 不等式选讲](本小题满分10 分)设x, y均为正数,且x>y,求证:2243.2x yx xy y+≥+-+[必做题]第22题､第23 题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤,22. (本小题满分10分)在直三棱柱111ABCA B C中,AB⊥AC, AB=2, AC=4,12,AA=设()BD DCλλ=∈Ru u u r u u u r.(1)若λ=1,求直线1DB与平面11A C D所成角的正弦值;(2) 若二面角111B AC D的大小为60°,求实数λ的值.23. (本小题满分10分)已知数列{}na满足2*1211132,(),()()(1),nna n n g n f n f n na a af=-=+++=--∈L N.求证:1(1)(2)3g>(2)当n≥3时,1().3g n>。
2020年高考数学押题预测卷02(山东卷)(参考答案)
2020年高考押题预测卷02（山东卷）数学·全解全析13．30 14．2π 215． 16．12π 17．（本小题满分10分）【解析】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-，所以222cos 23a cb B ac +-==-， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin 2B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==18．（本小题满分12分）【解析】（1）对任意的n *∈N ，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31nn S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩， n N *∈Q ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅L ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，②①-②得()()012111312312333333132n nn n n nn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=-L ， 因此，()21314n nn T -⋅+=. 19．（本小题满分12分）【解析】（1）证明：因为C 半圆弧»BD上的一点，所以BC BD ⊥. 在ABD ∆中，,E F 分别为,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且//EF AB . 于是在EFC ∆中， 222112EF FC EC +=+==， 所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥. 因为AB BD ⊥，//EF AB ,所以.因为EF FC ⊥，，BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD .又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD .（2）由已知120BFC ∠=o ，以F 为坐标原点，分别以垂直于BD 、向量,FD FE u u u r u u u r所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则31(,,0)22C ，(0,0,1)E ，(0,1,0)B -，(0,1,2)A -, 31=(,,1)2CE --u u u r ,(0,1,1)BE =u u u r ,(0,1,1)AE =-u u u r .设平面ACE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ,则·0·0AE m CE m ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v 即1111103102y z x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取11z =,得3,1,13=（）m . 设平面BCE 的法向量222(,,)x y z =n ,则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v 即22222031022y z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z =,得3,1,1=-（）n . 所以105cos ,=||||2153<>==⨯g m n m n m n ， 又二面角A CE B --为锐角，所以二面角A CE B --的余弦值为105.20．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点2,P c ⎛ ⎝⎭，2b =则有222212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =，因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由OM =可得AB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+，()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）【解析】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 22．（本小题满分12分） 【解析】（1）因为()()2112xa f x ex e x =--，所以()x a f x xe xe '=-．所以()01f =-，()00f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为1y =-； （2）因为()()xaxaf x xe xe x e e'=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ， 所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-； （3）当1x ≤时，()0f x <，且()222220af e e e =->->．由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1．。
2020年高考数学模拟试题(二)参考答案
高考使用2020年参考答月中.生教浬化1T■i_ri rin nrnq^p年高考数学模触霾)参考答圍—、选择题4.B提示：第一天共挖1+1=2,前二门+曰一"时亠11+2i天共挖2+2+0.5=4.5,故前3天挖通，所以1.B提示：依题意z=：=3—41两鼠相遇在第3天。
(1]+2)3+4)=25+50i=4+2i虚部 5.D提示：回归直线必过样本数据中(3—4i)(3+4O25心点，但样本点可能全部不在回归直线上，为P2_故A错误；所有样本点都在回归直线y=bx2.D提示:因为集合A=+a上，则变量间的相关系数为士1,故B错{x|y=1Og2(x—2)={x|x>21'B=山误；若所有的样本点都在回归直线y=bx+a y=』2—x}=y l y>0}，所以A n B=上，则bx+a的值与y,相等，故C错误；相关{x|x>21。
系数『与b符号相同，若回归直线y=bx+a3.D提示：设p=a+話，则a=p—話，的斜率b>0,则t>0,样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D 所以2a——=2/3—丁。
因为cos(a+]0)=正确。
：：3” 6.C提示：由函数单调递减可得0< 2,所以cos3=44,贝0sin(2a—4|)=a<1,当x=0时，一1<1+b<0,解得一2<sin(2/?----—)=一cos2/?=1一2cos23=1一b<1°可知函数y=x+a+b+1的定义123域为{x|x鼻一a},值域为{y|y鼻b+1}。
因22525。
为一1<一a<0,一1<b+1<0,结合选项知耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳(2)射线l分别与C：,C2联立得(x<—2,[—2W x W1,或]或p2(3sin20+1)=4,4(1一工一2工一4三511—工+2工+4三51贝U OA|2=；0=a,3sm a+1(x>1,8，解得x W—8或0W x Wip=4cos0,22{x—1+2x+4^5,3{0=a,则l OB|=16Cos£a o或x>1,所以原不等式的解集为所以|OB4t=4cos2a(3sin2a+1)(一x，一U[0,+x)o=4(1—sin2a)(3sin2a+1)要证f<mn)—|2mn十以“”一川, =—12sin*a+8sin2a+4只要证mn—1>l n—m■，只需证(m"—1)2由于0Wsin2a W1,根据二次函数的性质>(n—m)。
[参考答案2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)模拟预测卷(二)数学试题
且 x1＋x2＝－12＋kmk2 ，x1x2＝m1＋2－k42 ，故 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 因为直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以yx11·yx22＝k2x1x2＋km（x1xx21＋x2）＋m2＝ k2，化简得 m2k2＝m2.又 m≠0，所以 k2＝1，即 k＝±1.本题考查了直线与圆的位置关系，以 及韦达定理的运用，此方法也同样适用于直线与椭圆的位置关系．本题属于中等题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(本小题满分 14 分)
【答案与解析】
(1) 在锐角三角形 ABC 中，由 sinA＝35，得 cosA＝ 1－sin2A＝45，(2 分) 所以 tanA＝csoinsAA＝34.(4 分) 由 tan(A－B)＝1＋tantaAn－A·tantaBnB＝－12，得 tanB＝2.(7 分) (2) 在锐角三角形 ABC 中，由 tanB＝2，得 sinB＝25 5，cosB＝ 55，(9 分)
∵ DF\ 平面 PAC，AC 平面 PAC，
∴ 直线 DF∥平面 PAC.(6 分) (2) ∵ ∠PAC＝∠BAC＝90°， ∴ AC⊥AB，AC⊥AP. ∵ AB∩AP＝A，AB，AP 在平面 PAB 内， ∴ AC⊥平面 PAB.(8 分)
∵ PF 平面 PAB，∴ AC⊥PF.
∵ PA＝PB，F 为 AB 的中点，∴ PF⊥AB. ∵ AC⊥PF，PF⊥AB，AC∩AB＝A，AC，AB 在平面 ABC 内， ∴ PF⊥平面 ABC.(12 分)
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2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）模拟预测卷（二）
2020年新高考数学预测模拟题(二)
1天津市和平区2020年新高考适应性训练（二）（时间：2小时 满分：150分)第I 卷（选择题,满分45分)一、单选题（每题5分，满分45分，每题有且仅有一个正确答案）1．已知全集U =R ，集合M ={x|x ≥1}，N ={x|x+1x−2≥0}，则∁U (M ∩N)=( )A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (−1,2]D. [−1,2)2．设a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a−3b ⃗ |=|3a +b ⃗ |”是“a ⊥b ⃗ ”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A. √23fB. √223fC. √2512fD. √2712f24．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)是奇函数，将y =f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g(π4)=√2，则f(3π8)=( ) A. −2B. −√2C. √2D. 25.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.若l 与双曲线x 2a −y 2b =1 (a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB|=4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √56.甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23．则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为（ ）A ．124B ．524C ．172D ．1367. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有( )(1)m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β⇒α//β(2)n//m ，n ⊥α⇒m ⊥α(3)α//β，m ⊂α，n ⊂β⇒m//n(4)m ⊥α，m ⊥n ⇒n//αA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(−log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为()．A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a9．已知函数f(x)={x2−x+3,x≤1,x+2x,x>1,设，若关于x的不等式f(x)≥|x2+a|在上恒成立，则a的取值范围是()A. [−4716,2] B. [−4716,3916] C. [−2√3,2] D. [−2√3,3916]3第II卷（非选择题，满分105分)二、填空题（每题5分，共计30分）10．已知z=(a−i)(1+i)(a∈R,i为虚数单位)，若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=________．11．(x−2)(x+1)4的展开式中x2的系数为________.(用数字作答)12.数列满足，，．则数列的通项公式为_____13.设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则与的面积之比_________4514．已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为______．15．在△ABC 中，∠A =60°，AB =3，AC =2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则λ的值为______．三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计75分）16．（本题满分14分）设f(x)=sinxcosx −cos 2(x +π4)．(1)求函数f(x)的单调区间；)=0，a=1，求△ABC面积的最(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A2大值．617.（本题满分14分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=√6，AB=4．(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B−PD−A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．7818.（本题满分15分）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．（3）设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n，都有成立．9101119.（本题满分16分） 已知椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的离心率为23,直线1=y 与椭圆C 的两交点间距离为8. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 如图,设),(00y x R 是椭圆C 上的一动点,由原点O 向圆4)()(2020=-+-y y x x 引两条切线, 分别交椭圆C 于点Q P ,, 若直线OQ OP ,的斜率均存在,并分别记为21,k k ,求证:21k k ⋅为定值. (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,试问22OQ OP +是否为定值？若是,求出该值；若不是,请说明理由.•y O Q PR x20.（本题满分16分）设函数f(x)=lnx+m，m∈R.x(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)讨论函数零点的个数；(Ⅲ)若对任意b>a>0，f(b)−f(a)<1恒成立，求m的取值范围．b−a121314。
2020年高考数学全真模拟试卷(二)(含答案解析)
2020年高考数学全真模拟试卷（二）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）函数()32ln1y x x x =++-的图象大致为（ ）A. B.C. D.2.i 为虚数单位，复数z 满足z （1+i ）=i ，则|z|=（ ） A. 12B.22C. 123.已知在△ABC 中，AB =6，AC =3BC =7，若O 为△ABC 的外心且满足AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则6x y +=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 64.设a =2log 3，b =4log 6，c =lg 210，则（ ） A. c a b ＞＞B. a b c ＝＞C. c b a ＞＞D.a b c ＞＞5.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（ ） A.3455i + B.3455-i C. 3455i -+ D. 3455i -- 6.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 1107.已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ） A. 15B.14C.13D.129. 若复数2(1iz i i=-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A. 1i + B. 1i -C. 1i -+D. 1i --10.等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A. 12 B. 10 C. 8D. 2+log 35 11.已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π- B. 0 C.3π D.23π 12.已知P（14，1），Q（54，－1）分别是函数()()cosf x xωϕ=＋0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（）A.54π- B.54πC. －34πD.34π第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法种数有_______.(用数字作答) 14.已知7sin cos 5αα+=，且α是第一象限角，则tan 2α=________. 15.已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D =_______；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是_______．16. （22x +1xy）6的展开式中不含x 的项的系数为_____________．（用数字作答）三、解答题（本题共7道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,共0分）已知函数()ln mx nf x x x-=-，,m n R ∈. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()f x 在区间[1,+∞)上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>. 18..某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？19.已知双曲线221 5xy-=的焦点是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C的方程；（2）设动点M，N在椭圆C上，且433MN=，记直线MN在y轴上的截距为m，求m 的最大值.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，,60PA PD DAB=∠=o.（1）证明：AD PB⊥；（2）若6,2PB AB PA===，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值.21.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()2sin2cos0a aρθθ=+>；直线l的参数方程为222xy⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为(2,)π，||||2PM PN+=a的值．22.已知ΔABC内角A，B，C的对边分别为a、b、c，面积为S，且22243c a b--=．（Ⅰ）若225c a ab =+，求sin sin BA；（Ⅱ）若c =S =+a b 的值．23.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求∠B 的大小；（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值.试卷答案1.C 【分析】根据奇偶性以及特殊值即可排除。
2020届高考数学预测模拟(全国Ⅱ卷)
2020届高考数学预测模拟（全国Ⅱ卷）理科数学 强化训练一、三角函数图象和性质（对应9题）1.若对于任意x ∈R 都有f （x ）+2f （﹣x ）=3cosx ﹣sinx ，则函数f （2x ）图象的对称中心为 A ．（k ∈Z ）B ．（k ∈Z ）C ．（k ∈Z ） D ．（k ∈Z ）2.已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g （x ）=cosωx 的图象，则函数f （x ）的图象A ．关于直线x=对称B ．关于直线x=对称C ．关于点（，0）对称D ．关于点（，0）对称3.已知函数，若函数F （x ）=f （x ）﹣3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，xn ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n = A ．B ．445πC ．455πD ．二、数列（对应16题）4.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a 2=1，{nS n +（n+2）a n }为等差数列，则a 2017=__________．5.已知函数，数列为等比数列，，，则__________．6.已知数列{}n a 、{}n b 满足2log ,n n b a n N *=∈，其中{}n b 是等差数列，且920081,4a a ⋅=则1232016b b b b ++++=L.2016A - .2016B 2.log 2016C .1008D三、解三角形（对应17题）7.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，csinC ﹣asinA=（c ﹣b ）sinB ．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=1，求三角形ABC 面积S 的最大值．8.如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知4B π=，1BC =.（Ⅰ）若ABC △是锐角三角形，63DC =，求角A 的大小； （Ⅱ）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a += （Ⅰ）求A cos 的值； （Ⅱ）若2231,cos cos 1224B C a =+=+，求边c 的值． 四、立体几何（对应20题）10.如图1，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=1，BC=2，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且DE=1，EC=2，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥ABED ． （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）能否在边AB 上找到一点P （端点除外）使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．11.在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为边长为2的菱形，60BAD ο∠=,2PD =.CDBAP（Ⅰ）记D 在平面PBC 内的射影为M （即DM ⊥平面PBC ），试用作图的方法找出M 点位置，并写出PM 的长（要求写出作图过程，并保留作图痕迹，不需证明过程和计算过程）； （Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值.12.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（Ⅰ）求证：1A B AD ⊥；（Ⅱ）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.参考答案1.D 【解析】∵对任意x ∈R ，都有f （x ）+2f （﹣x ）=3cosx ﹣sinx ①，用﹣x 代替x ，得 f （﹣x ）+2f （x ）=3cos （﹣x ）﹣sin （﹣x ）②，即f （﹣x ）+2f （﹣x ）=3cosx+sinx ②；由①②组成方程组，解得f （x ）=sinx+cosx ，∴f （x ）=sin （x+），∴f （2x ）=sin （2x+）．令2x+=kπ，k ∈Z ，求得x=﹣，故函数f （2x ）图象的对称中心为（﹣，0），k ∈Z ．2.C 【解析】∵函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．把其图象向左平移个单位后得到函数g （x ）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，∴+φ=kπ+，k ∈Z ，∴φ=﹣，∴f （x ）=sin （2x ﹣）．由于当x=时，函数f （x ）=0，故A 不满足条件，而C 满足条件；令x=，求得函数f （x ）=sin =，故B ，D 不满足条件． 3.C 【解析】函数，令2x ﹣=+kπ得x=+，k ∈Z ，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，当k=30时，可得x=，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2=×2，x2+x3=×2，…，x n﹣1+x n=2×（），将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x28+x29=2（++…+）=（2+5+8+…+89）×=455π，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=（x1+x2）+（x2+x3）+x3+…+x n﹣1+（x n﹣1+x n）=2（）=455π.4.2017•2﹣2014【解析】∵a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，∴首项为1×1+3×1=4，第二项为2×（1+1）+4×1=8，公差为8﹣4=4．∴nS n+（n+2）a n=4+4（n﹣1）=4n．即nS n+（n+2）a n=4n．∴S n=4﹣，n≥2时，S n﹣1=4﹣，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为=．∴数列是等比数列，公比为，首项为4．∴=4×=23﹣n．∴a n=n•23﹣n．则a2017=2017•2﹣2014．5.【解析】∵，∴，∵数列{a n}是等比数列，∴，∴设S2019=f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna2019）①，∵S2019= f（lna2019）+f（lna2018）+…+f（lna1）②，①+②得2S2019=2019，∴S2019.6.A7.【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简csinC﹣asinA=（c﹣b）sinB，得：c2+b2﹣bc=a2，即c2+b2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A为三角形内角，∴A=30°．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c2+b2﹣1=bc，∴2bc﹣1≤bc，当且仅当b=c时取等号，∴bc≤=2+，∴S△ABC=bcsinA=bc≤，∴三角形ABC 面积S 的最大值．8.【解析】（Ⅰ）在BCD △中，4B π=，1BC =，6DC =， 由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得2132sin 26BDC ∠==，所以3BDC π∠=或23π，因为ABC △是锐角三角形，所以23BDC π∠=， 又DA DC =，所以3A π=.（Ⅱ）由题意可得11sin 246BCD S BC BD π=⋅⋅⋅=△，解得23BD =， 由余弦定理得2222cos4CD BC BD BC BD π=+-⋅⋅=22251219329+-⨯⨯=， 解得5CD =，则52AB AD BD CD BD +=+=+= 所以AB 52+. 9.【解析】（Ⅰ）由及正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+， 即()2sin cos sin A A B C =+，又,A C B -=+π所以有(),sin cos sin 2A A A -=π 即.sin cos sin 2A A A =而0sin ≠A ，所以.21cos =A （Ⅱ）由21cos =A 及0A π<<，得3A π=，因此23BC A ππ+=-=．由条件得1cos 1cos 3122B C +++= 即,23cos cos =+C B 得,2332cos cos =⎪⎭⎫⎝⎛-+B B π得.236sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πB 由,3π=A 知.65,66⎪⎭⎫⎝⎛∈+πππB 于是,36ππ=+B 或.326ππ=+B 所以6π=B ，或.2π=B 若,6π=B 则.2π=C 在直角ABC ∆中， c 13sin=π，解;332=c 若,2π=B 在直角ABC ∆中，,13tanc =π解得.33=c 因此所求233c =或33c =. 10.【解析】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，作DM ⊥BC 于M ，连接AE ，则CM=2﹣1=1，CD=DE+CE=1+2=3， 则DM=AB=2，cosC=，则BE==，sin ∠CDM=， 则AE==，∴AE2+BE2=AB2，故AE ⊥BE ，且折叠后AE 与BE 位置关系不变，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE ∩平面ABED=BE ， ∴AE ⊥平面BCE ， ∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE.（Ⅱ）∵在△BCE 中，BC=CE=2，F 为BE 的中点 ∴CF ⊥BE又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE ∩平面ABED=BE ， ∴CF ⊥平面ABED ，故可以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A（，﹣，0），C（0，0，），E（0，﹣，0），易求得平面ACE的法向量为=（0，﹣，1），假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，所成角的余弦值为，且（λ∈R），∵B（0，，0），∴=（﹣，，0），故=（﹣λ，λ，0），又=（，﹣，﹣），∴=（（1﹣λ），（2λ﹣1），﹣），又=（0，0，），设平面PCF的一个法向量为=（x，y，z），∴，令x=2λ﹣1得=（2λ﹣1，（λ﹣1），0），∴|cos＜＞|==，解得.因此存在点P且P为线段AB中点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为．11.【解析】（Ⅰ）取BC中点E，连接DE，PE，在∆PDE内作DM⊥PE，垂足为M，则47.（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz ，如图，A(2，0，0),P(0，0，2),B(1，0)，C （-10）(2,0,2),2),(2,0,0),AP PB BC =-=-=-u u u r u u u r u u u r分别设平面PAB ，平面PBC 的一个法向量为11112222(,,),(,,)n x y z n x y z ==u r u u r，则111211122020n AP x z n PB x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u r u u u r u u r u u u r，令111,y n ==u r ，2222222020n BC x n PB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，令222,y n ==u u r ，125cos ,7n n ∴==u r u u r ,又二面角A-PB-C 的大小为钝角， 二面角A-PB-C 的余弦值为57-. 12.【解析】（Ⅰ）证明：连接1AB ，1A D ，BD ， 设1AB 交1A B 于点O ，连接OD .由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠， 得1AA D ABD ≅V V ，所以1A D BD =. 又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又根据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=，所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（Ⅱ）由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直.以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，13OA OB a ==， 所以22OD AD OA a =-=，从而(0,3,0)A a ，(,0,0)B a ，13,0)B a ，(0,0,)D a . 所以11(3,0)CC BB a a ==-u u u u r u u u r .由12BC AD =u u u r u u u r ，得31(,)2C a a ，所以31(,,)22DC a a a =-u u u r .设平面11DCC D 的一个法向量为000(,,)m x y z =r，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，得00000303102ax ay ax az ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 令01y =，则03x =，033z =3,1,33)m =r.又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =u u u r，所以33393cos ,||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===u u u r ru u u r r u u u r r 故平面11DCC D 与平面11ABB A 393.。
2020年高考数学预测卷(卷Ⅱ)文科学生版
文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合B x x A =≤<-=11{},3,2,1,0{},则 B A =（ ）A ．}0{ B ．}1{ C ．}1,0{ D ．}2,1{ 2．已知=-+z 1i ，则⋅=-z z （ ）A ．4B ．2C ．2D ．03.2020年为调查精准扶贫的落实情况，某县在辖区内随机抽取12个乡镇进行调查评估，评估成绩达到85分及其以上的乡镇被称为“优秀”，评估成绩超过60分（包括60分）但不超过85分的乡镇被称为“合格”，评估成绩低于60分的为“不合格”．评估成绩（百分制）以茎叶图的形式表示（如下图所示）根据该次评估成绩按照称号的不同进行分层抽样随机抽选6个乡镇派代表座谈，则“优秀”乡镇中应被抽取（ ）个乡镇.A ．2B ．4C ．5D ．64．已知等差数列a n }{中S n 是其前n 项和，a 6和a 9是方程x x =+-218110的两根，则S 14=（ ）A ．77B ．126C ．154D ．2525.已知α=2tan ，则2sin 2cos 1αα-=（ ）A. -31B ．31C ．-21D ．21101教育2020年高考数学预测卷（卷Ⅱ）K 12教资料库6.函数=--≤≤x f x x x x )ππ()()cos (233且≠x (0)图像可能为( )A . B.C .D. 7.已知双曲线-=>a a x y 161(0)222的左、右焦点分别为F F ,21，抛物线=220x y 的焦点与F 2重合,则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．53D ．548.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的s 值是 （）A ．0 BCD ．19.已知⎩⎪-+<⎨=⎪-≥⎧x x x f x x x 255,1()e 1,12的函数值不小于3，则x 的取值范围为（ ）A ．-∞,(12]B ．+∞(12),C ． -∞+∞,(12),4[ln ]D ．(12,ln )410．把曲线=+f x x 26()sin(2)π1向右平移ϕϕ>)0(个单位后，所得曲线的对称轴方程是=x 4,π则ϕ的最小值为（ ）A ．3π2B ．4πC ．12πD ．8π3K 1培资料库11.我国古代名著《增减算法统综》中有如下问题：“一颗球形夜明珠要存放在一个带盖的正三棱柱的珠宝盒子中，知球形夜明珠的体积为3(mm)π323，问该珠宝盒内部至少表面积应达到（ ）(mm)2才能刚好装下夜明珠．”A ．723B ．363C ．1443D ．7212．已知函数=-+->f x ax x x ()e e (0)2恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,1()B ．+∞(e ,)2C ．+∞0,1e,()()D ．+∞0,1e ,2()()二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A 中y =10x -…， 解得：1x …，即{|1}A x x =…， 由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：αQ 是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴=-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型. 6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线(2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec tan yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ）， 可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】 【分析】化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t .【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++, ∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+, ∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P L ，记2i i M AB AP =⋅u u u u v u u u v（1,2,,10i =L ），则1210M M M L +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i yi i y += 【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ， 直线33B C的方程为6)y x =-， 可设(i i P x ，)i yi i y +=即有23i i i i M AB AP x =⋅=u u u u r u u u r)18i i y =+=，则12101810180M M M ++⋯+=⨯=． 故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x ≤的解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,3 【解析】 【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a >，且1a ≠，设函数21()21x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x …的解集是(-∞，3]，当1x …时，2|2|3x x -…，可得2323x x --剟，解得13x 剟； 当1x <，即(,1)x ∈-∞时，3x a …，不等式恒成立可得13a <…． 综上可得13a <…．∴实数a 的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.已知*n N ∈，从集合{}1,2,3,,n L 中选出k （k ∈N ,2k ≥）个数12,,,k j j j L ，使之同时满足下面两个条件：①121k j j j n ≤<<≤L ； ②1i i j j m +-≥（1,2,,1i k =-L ），则称数组()12,,k j j j L 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=， 故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）的A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x …，||1y …，可得||z …，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x …，||1y …，则||z =由||1z ，则221x y +…，所以||1x …，||1y …，即必要性成立． 所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( ) A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈ B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-, 即有()()()2121f x f x x x αα--<<-,令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+, 则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得AB AC =u u u r u u u r，进而可得△ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin (cos sin cos )2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AB AC =u u u r u u u r，∴111sin 2622ABCS AB AC π∆==⨯=u u u r u u u r 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，116h ==cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2，故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500x a -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x ≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值． 【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，的所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤， 所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由.【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v =-，于是CD0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v 代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+ 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++ 即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v=-于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-L ，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题． 21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=L ，求正整数k 的值； （3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++L . 【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=g ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【详解】（1）证明：112n n n S a a +=Q ，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=，又11a =Q ，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n n b b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k n b b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又Q 11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =Q ，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>…， 2211(1)2c m c c -∴==-， 232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯， 3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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2020考前模拟预测系列模拟二（学生版）
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知R 是实数集，2{|1},{|1}M x N y y x x ===-＜，则R N C M ⋂=( ) A.（1，2） B. [0，2] C.∅ D. [1，2]
2.复数i R y x i i
x z ,,(13∈-+=是虚数单位）是实数，则x 的值为 （ ）
Ａ．３ B ．－3 C ．０ Ｄ．3
3. “1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．已知函数⎩⎨⎧><=,0,ln ,0,)(x x x e x f x 则)]
1([e f f =( )
A ．e 1
B ．e
C ．-e 1
D ．-e
5．已知向量()1,2a =，(),4x b =，若2=b a ，则x 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．2±
D ．4±
6．已知m 、n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是
（ ）
A ．若//,//,//m n m n αα则
B ．若,,//αγβγαβ⊥⊥则
C ．若//,//,//m m αβαβ则
D ．若,,//m n m n αα⊥⊥则
7．已知1x >，则1
1y x x =+-的最小值为（ ）
A.1
B. 2
C. 22
D. 3
8．已知函数()2cos 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，下面四个结论中正确的是 ( )
A ．函数()f x 的最小正周期为2π
B ．函数()f x 的图象关于直线6x π
=对称
C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到
D ．函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 9．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( ) A ．13 B ．23
C ．156
D ．6224 10.已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2
ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是
A ．)3,1(
B ．)22,3(
C ．),21(+∞+
D ．)21,1(+
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11.抛物线2
2y x =的准线方程是 .
12．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=，则10S = .
13．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5：2：3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生
样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是 ；
14.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为
.
15．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，
()32x f x x c =-+（c 为常数），则(1)f -= 。
16．已知
22334422,33,44,,66,(,)3388515a a a t t t
+=+=+=+=L 若均为正实数，类比以上等式可推测a ，t 的值，则a+t = .
17.不等式a ax x ->-32对一切43≤≤x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分14分）
在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若3=a ，3
12sin =B ，求b ． 19．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，现将△ADE 沿直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCDE ，F 为线段A D '的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥平面A BC '；
（Ⅱ）求直线A B '与平面A DE '所成角的正切值.
20．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2
－x ＋a ln x
(1)当1x ≥时，2()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围；
(2)讨论()f x 在定义域上的单调性；
21.（本小题共15分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）. ( I )求n S ；
( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.
22.（本题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12
，12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2．
⑴求椭圆C 的方程；
⑵设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准
MF F面积的最大值．线l有公共点时，求△12。