北师大选修圆锥曲线的共同特征
高中数学选修2-1北师大版 圆锥曲线的共同特征 学案(含答案)
4.2 圆锥曲线的共同特征自主整理1.圆锥曲线的共同特征:圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离___________为定值e,当0<e<1时,圆锥曲线是___________;当e>1时,圆锥曲线是___________;当e=1时,圆锥曲线是___________.其中,e 是___________,定点是圆锥曲线的___________,定直线是圆锥曲线的___________.2.椭圆和双曲线都有两条准线,椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)的准线方程为___________,2222b x a y +=1(a>b>0)的准线方程为___________,双曲线2222b y a x -=1(a>0,b>0)的准线方程为___________,双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的准线方程为___________.3.抛物线有___________焦点___________,准线___________.高手笔记1.理解圆锥曲线的共同特征,由于e 的取值不同,导致圆锥曲线从形状上依次表示椭圆,双曲线和抛物线,应注意定义中的定点与定直线是对应的,如F 为左焦点时,l 为左准线,若F 为右焦点,则l 为右准线等.切记不可以左焦点F 对应右准线l 等情况发生.2.利用圆锥曲线的共同特征可以写出焦半径公式.如椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)上一点P(x 0,y 0),则|PF 1|=a+ex 0,|PF 2|=a-ex 0.再如双曲线方程2222by a x -=1(a>0,b>0),若P(x 0,y 0)为双曲线右支上一点时,|PF 1|=a+ex 0,|PF 2|=ex 0-a.对于双曲线中的焦半径的表达式中,点P 在左,右两支上时,形式有所不同,此问题无需死记,只要运用圆锥曲线的共同特征,便可迅速求出结果来. 名师解惑如何求圆锥曲线的准线方程?剖析:首先应确定圆锥曲线的标准方程,根据焦点所在坐标轴,对应的准线方程形式写出相应的准线方程来.准线方程取决于圆锥曲线在坐标系中的位置,但准线到椭圆,双曲线中心的距离不变,据此可写出准线方程.准线总是垂直于焦点所在的坐标轴.椭圆和双曲线的准线方程形式有x=±c a 2或y=±ca 2,而抛物线的准线方程形式有x=±2p 或y=±2p .若椭圆,双曲线和抛物线方程不是标准方程时,它的准线方程就不是上面的形式,应根据曲线在坐标系中的位置来确定准线方程. 讲练互动【例1】已知定点A(-2,3),点F 为椭圆121622y x +=1的右焦点,点M 在椭圆上运动,求|AM|+2|MF|的最小值,及此时点M 的坐标.解析:应用椭圆的几何性质及圆锥曲线的共同特征,把式子中|MF|用点M 到相应准线的距离表示出来,利用这种转化,问题便迎刃而解.答案:因为a=4,b=23,所以c=22b a -=2.所以e=21.A 点在椭圆内,设M 到右准线的距离为d,则d MF ||=e,即|MF|=ed=21d,右准线l:x=8,所以|AM|+2|MF|=|AM|+d. 因为A 点在椭圆内,所以过A 作AK ⊥l(l 为右准线)于K,交椭圆于点M 0,则A,M,K 三点共线,即M 与M 0重合时,|AM|+d 最小为AK,其值为8-(-2)=10. 故|AM|+2|MF|的最小值为10,此时M 点坐标为(23,3). 绿色通道作出草图帮助分析问题.许多数学问题中常出现具有某种特征的数值,若能抓住这些数值的规律及特殊含义,加以分析,联想,可迅速获得问题的解答策略,否则会造成过程繁杂或在问题解决中产生思维障碍. 变式训练1.已知双曲线16922y x -=1的右焦点为F,点A(9,2),M 为双曲线上的动点,则|MA|+53|MF|的最小值为________________.解析:双曲线的离心率e=35,则dMF ||=e(d 为点M 到右准线l 的距离),右准线l 的方程为x=59,显然当AM ⊥l 时,|AM|+d 最小,而|AM|+53|MF|=|MA|+53de=|MA|+d,而|AM|+d 的最小值是A到l 的距离为9-53659=.答案:536【例2】在双曲线91622y x -=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 解析:用圆锥曲线的共同特征转化两个距离间的关系,即建立方程求解.答案:设P 点坐标为(x 0,y 0),F 1,F 2分别为双曲线的左,右焦点,准线方程为x=±516.由于|PF 1|=2|PF 2|>|PF 2|,故P 在右支上. 所以516||01+x PF =e=516||02-x PF .因为|PF 1|=2|PF 2|,所以2(x 0-516)=x 0+516.所以x 0=548. 因为P 在双曲线上,所以16)548(2-920y =1.所以y 0=±53119.所以P(548,±11953).绿色通道在圆锥曲线的焦半径问题中,常用圆锥曲线的共同特征去转化问题,可使解题过程简便快捷,也可以直接设点构造方程来求解.变式训练2.已知双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0),F 1,F 2为双曲线的左,右焦点,点P 在双曲线上运动时,求|PF 1||PF 2|的最小值.答案:设P 点的横坐标为x 0,则x 02≥a 2.由圆锥曲线的共同特征,知|PF 1|=|x 0+ca 2|e=|a+ex 0|,|PF 2|=e|x 0-c a 2|=|ex 0-a|, 所以|PF 1||PF 2|=|ex 0-a||ex 0+a|=|ca 2x 02-a 2|.因为c 2≥a 2,x 02≥a 2,所以ca 2x 02≥a 2.所以|PF 1||PF 2|=c a 2x 02-a 2≥ca 2×a 2-a 2=c 2-a 2=b 2,即|PF 1||PF 2|的最小值为b 2.【例3】点M(x,y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l:x=325的距离的比是常数53,求点M 的轨迹.解析:由圆锥曲线的共同特征可知,M 点的轨迹为椭圆,但方程是否为标准方程需分析讨论来确定.答案:由题设及圆锥曲线的共同特征,知M 点的轨迹是椭圆,且右焦点F(3,0),相应的右准线l:x=325, 所以ca 2-c=325-3=316,且a c =53.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=316,532c ca a c 解得c=3,a=5.因为c=3且F(3,0),所以椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,故方程为2222by a x +=1(a>b>0),由a=5,c=3,得b=4,故所求点M 的轨迹方程为162522y x +=1. 绿色通道题中没有明确椭圆的中心是否在原点,就不能知道方程是否为标准方程,因此也不能依定点(3,0)而直接得出c=3的结果.焦点坐标,准线方程与椭圆在坐标系中的位置有关,但是焦点到相应准线的距离ca 2-c 与椭圆在坐标系中的位置无关,此类问题也可用直接求轨迹方程的方法直接列出方程,再化简求得. 变式训练3.已知双曲线的右准线为x=4,右焦点F(10,0),离心率e=2,求双曲线的方程. 答案:设双曲线上任意一点M(x,y),由圆锥曲线的共同特征,得|4|)10(22-+-x y x =e=2,化简整理,得所求双曲线的方程为4816)2(22y x --=1. 教材链接【思考交流】曲线上的点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=516的距离的比是常数45,(1)求曲线方程;(2)指出与例2的相同处和不同处,与同学交流.答:(1)设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,曲线上的点M 满足d MF ||=45, 由此得|516|)5(22x y x -+-=45,即有22)5(y x +-=45|516-x|, 化简,得91622y x -=1. (2)本题与例2除常数的值不同外,其余的题设条件相同.由于例2中e=21∈(0,1),故得到的方程是椭圆的方程,本题中e=45>1,故得到的方程是双曲线的方程.。
2018-2019学年北师大版选修2-1 3.4.2圆锥曲线的共同特征 课件(23张)
的距离和它到一条定直线（ l l不
F ）的距离的比等于常数 e的点的轨迹，
当 0 e 1 时，它是椭圆；
当 e 1 时，它是抛物线；
o
y M
L
d
当 e 1 时，它是双曲线.
F
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
y
焦点坐标
x
准线方程
2
o
y x 2 1 2 a b (a b 0)
北师大版《普通高中课程标准实验教科书》·数学 ·选修2-1 圆锥曲线的共同特征
4.2圆锥曲线的共同特征
一、 创设情境，引入新课
请同学们回忆以下知识： 1.求曲线方程的一般步骤; 2.椭圆、抛物线、双曲线的定义及标准方程； 3.椭圆、抛物线、双曲线的离心率的取值范围.
思考：
圆锥曲线的方程有什么共同特征吗？ 圆锥曲线的方程都是二元二次方程。
2
2
y
( c, 0) x a c
o
x
a (0, c) y c
2
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0)
2
2
y
o
x
a ( c, 0) x c
2
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y
o
x
a (0, c) y c
问题3：曲线上的点M(x,y)到定点 16 F(5,0)的距离和它到定直线L: X= 5 5 的距离的比是常数 4 ，求曲线方程。
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意， MF 5 曲线上的点M满足： ? d 4 ( x 5) 2 y 2 5 由此得 16 4 x 5 即有4 ( x 5) 2 y 2 16 5 x x y 两边平方，并化简得 1 16 9
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修2_1
C(x3，y3)三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，
|CF|成等差数列，则
()
A．x1，x2，x3 成等差数列 B．y1，y2，y3 成等差数列 C．x1，x3，x2 成等差数列 D．y1，y3，y2 成等差数列
解析：由抛物线定义： |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|. ∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. 又∵|AA′|＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2， ∴2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2⇒2x2＝x1＋x3. 答案：A
[针对训练] 1．已知双曲线焦距为 4，焦点在 x 轴上，且过点 P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线 l 经过该双曲线的右焦点且斜率为 1，求直线 m 被 双解曲：线(1)截设得双的曲弦线长方．程为xa22－by22＝1(a，b＞0)， 由已知可得左、右焦点 F1，F2 的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以 a＝1， 又 c＝2，所以 b＝ 3， 所以双曲线方程为 x2－y32＝1. (2)由题意可知直线 l 的方程为 y＝x－2， 联立双曲线及直线方程消去 y 得 2x2＋4x－7＝0，
[类题通法] 圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到 焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共 同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直 线的距离的转化，从而使运算得以简化．
[针对训练]
1．抛物线 y2＝2px(p>0)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点． 当 k≠0 时，由 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得 k＝12. 即直线 y＝12x＋1 与抛物线只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝12x＋1.
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修21
课堂小结 对直线与圆锥曲线位置关系的进一步理解 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相 切.相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有一个 公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线 的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线 的对称轴平行时)或两个. (2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看来(几何问题代数化)是直 线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相 交；一组解时，若化为x或y的方程，二次项系数非零，判别式为零时必 相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲 线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件
北师大版选修21
学习 目标
1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单应用. 2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点 的距离与它到一条定直线 的距离之比为定值e.
当 0<e<1 时，该圆锥曲线为椭圆；
圆锥曲线的共同特征-说课
( c, 0)
(0, c)
5、例（课本86页思考交流） 已知曲线上的点M（x，y）到定点F（5，0） 的距离与它到定直线 l : x 16 5 数
5 4
的距离的比是常
,求点M的轨迹方程。 解法一：(直接法)建—设—限---代---化 解法二：(定义法)圆锥曲线的共同特征。 设计说明：重视课本例题，适当对题目进行引申 ，使例题的作用更加突出，有利于学生对知识 的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效 果。
五、板书设计
圆锥曲线的共同特征
学生板演1：学生板演2：学生板演3：
多媒体投影 小结：
作业：
设计说明：板书是一节课的精华和浓缩，我的板书 设计重点突出、一目了然，让学生对课堂的流程有了 更清晰的认识。
§4曲线与方程
圆锥曲线的共同特征
二、学情分析：
1、学情分析：
学生已经对三种圆锥曲线有了足够的认识， 所以学生已经具备了利用坐标法求曲线方程的基 本能力。但是学生的数学建模能力不足，分析和 解决问题能力较差， 在圆锥曲线中尤其缺乏自信、 缺乏一求到底的精神。
2、教学目标： 通过对《圆锥曲线 知识目标 的共同特征》的学习， 培养学生的数学建模， 让学生感悟数学的统一 解决问题的能力；渗透 美、和谐美。 从特殊到一般，具体到 了解 圆锥曲线的共同特 抽象的数学思想。 端正学生的科学态 征及其应用。 情感目标 能力目标 度，进一步激发学生的 勇于探索和敢于创新的 精神。 德育目标
三、设计理念
对普通高中学习来说,课堂活动 是第一位的,强调要在“做数学中学 数学”, 新课标中再三强调要注重发 展学生的应用意识，课堂教学不能一 味的讲授理论，要随时随地联系实际 ，只有这样学生才会觉得学习数学有 用，才能激发学生学习数学的兴趣， 数学课才能充满活力和激情。
北师大版高中数学选修2-1课件3.4.1 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征课件
即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得 x2＋y2＝a2.依题意可 知 x≠± a. 故所求直角顶点 C 满足的方程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)． 方法二 由△ ABC 是直角三角形可知 AC ⊥ BC ，所以 y y kAC· kBC＝－1，则 · ＝－1(x≠± a)，化简得直角顶点 C 满 x＋a x－a 足的方程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)．
• 圆锥曲线的共同特征
曲线上的点 M(x，y)到定点 F(0,3)的距离和它到 定直线 l y＝－3 的距离的比是常数 1，求曲线方程． [解析] 设 d 是点 M 到直线 l 的距离，则 d＝|－3－y|.
|MF| 根据题意，曲线上的点 M 满足 d ＝1. x－02＋y－32 由此得 ＝1，即有 x2＋y－32＝|y＋3|.将 |－3－y| 上式两边平方，并化简得 x2＝12y. 故所求曲线方程为 x2＝12y.
• 2．在建立了直角坐标系之后，平面内的点与 它的坐标即有序实数对之间就建立了一一对 应关系，那么对应于符合某种条件的一切点， 它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约 束，所以探求符合某种条件的点的轨迹问题， 就变为探求这些点的横坐标与纵坐标受怎样 的约束条件的问题，两个变数x、y的方程f(x， y)＝0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的 约束，一般由已知条件列出等式，再将点的 坐标代入这个等式，就得到x、y的方程，于 是符合某种条件的点的集合，就变换到x、y 的二元方程的解的集合，当然要求两集合之 间有一一对应的关系，也就是：
思路方法技巧
• 曲线与方程的概念
如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x，y)＝0， 则以下说法正确的是( ) A．曲线 l 的方程是 F(x，y)＝0 B．方程 F(x，y)＝0 的曲线是 l C．坐标不满足方程 F(x，y)＝0 的点不在曲线 l 上 D．坐标满足方程 F(x，y)＝0 的点在曲线 l 上
3.4.2圆锥曲线的共同特征 3.4.3直线与圆锥曲线的交点 教案(北师大版选修2-1)
4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点●三维目标1．知识与技能(1)通过实例了解圆锥曲线的共同特征．(2)了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(3)会求直线与圆锥曲线的交点坐标．2．过程与方法在研究直线与圆锥曲线的关系的过程中，进一步体会解析几何的基本思想．3．情感、态度与价值观通过圆锥曲线共同特征的探究，体会从特殊到一般的认知规律．●重点难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系．难点：直线与圆锥曲线的位置关系．本节通过类比教学突出重点、化解难点，类比直线与圆的位置关系以及两直线的交点的求法展开教学．在教学过程中，突出“比”，从比较中深化学生对直线与圆锥曲线位置关系的认识．(教师用书独具)●教学建议1．在探究圆锥曲线共同特征的过程中，要引导学生体会求曲线方程的基本方法．2．在研究直线与圆锥曲线位置关系的过程中要引导学生进一步体会解析几何的基本思想．●教学流程设置情境，导入新课――→探究归纳通过例子归纳出其共同特征――→类比归纳直线与圆锥曲线的位置关系及交点求法――→体验通过例题与变式体验方法，深化认识归纳总结1．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：a 2－cx ＝a (x －c )2＋y 2，将其变形为：(x －c )2＋y 2a 2c－x ＝c a ，你能解释这个式子的意义吗？【提示】 这个式子表示一个动点P (x ，y )到定点(c,0)与到定直线x ＝a 2c 的距离之比等于定值c a.2．具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？【提示】 不一定．当a >c 时，是椭圆，当a ＝c 时是抛物线，当a <c 时，是双曲线． 圆锥曲线的共同特征。
新北师大选修2-1高中数学 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
§4曲线与方程4．2 & 4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点[对应学生用书P63]圆锥曲线上点M (x ，y )到定点F (c,0)的距离和它到定直线x ＝a 2c 的距离比是常数e .问题1：若F (4,0)，l ：x ＝254，e ＝45，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？ 提示：x 225＋y 29＝1，椭圆．问题2：若F (5,0)，l ：x ＝165，e ＝54，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？提示：x 216－y 29＝1，双曲线．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . 当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆； 当e >1时，圆锥曲线是双曲线； 当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？ 提示：正确．问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？提示：3条．曲线的交点设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，曲线C 1和C 2的任意一个交点的坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的坐标．1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数e .2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．[对应学生用书P63][例1] 曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到直线l ：x ＝165的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P 使|PF |＝5. [思路点拨] (1)可由|MF |与d (d 为M 到l ：x ＝165的距离)比为54，列出M (x ，y )满足的关系，进而求出曲线的方程．(2)由|PF |＝5，可得P 到l 的距离为4，从而可求得P 的坐标．[精解详析] (1)设d 是点M 到定直线l 的距离，根据题意，曲线上的点M 满足|MF |d ＝54，由此得(x －5)2＋y 2⎪⎪⎪⎪165－x ＝54，即(x －5)2＋y 2＝54⎪⎪⎪⎪165－x ， 两边平方整理得x 216－y 29＝1.(2)设P (x ，y )到l 的距离为d ，由|PF |＝5，得d ＝4. 即⎪⎪⎪⎪165－x ＝4，解得x ＝365或x ＝－45. 由于|x |≥4，故x ＝－45不合题意，舍去．由x ＝365得y ＝±6514.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫365，±6145. [一点通]圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．1.抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |，∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3. 答案：A2．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．解：∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线l 的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋D.当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小，如图．把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(负值舍去)，即P⎝⎛⎭⎫463，2为所求的点.[例2] 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 5＋y m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．[思路点拨] 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m 的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m 的范围．[精解详析] 法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，知 0<m <5.又∵直线与椭圆总有公共点，∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m ≤1，即m ≥1， 故m 的取值范围是m ∈[1,5)．法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x 轴上知0<m <5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立， 即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0， 亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，故m 的取值范围是m ∈[1,5)． [一点通]解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 解析：由题意，得4m 2＋n2 >2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.答案：A4．求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解：①若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1， 即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.[例3] 过点P (－1,1)的直线与椭圆x 4＋y 2＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.[思路点拨] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[精解详析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 因为点P 是AB 的中点，所以有 x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0. ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋[k (x 1－x 2)]2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303. [一点通]1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．直线y ＝kx ＋b 与曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，弦长公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．5．已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线l 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长． 解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的方程为y ＝x －2， 联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6.6．已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．解：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：点(2,4)位于抛物线y 2＝8x 上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．答案：B2．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－54，54 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫54，－54C.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫－54，54 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)>0， 即k >54或k <－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C. 答案：C3．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．答案：B4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝⎛⎭⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2， 所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 答案：B5．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为________．解析：法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋1，x 2－y 23＝1， 得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k 2＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4， y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3.显然x 1－x 2≠0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝3(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6. 答案：66．已知点M 到定点F (1,0)的距离与M 到定直线l ：x ＝3的距离的比为33，则动点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x －1)2＋y 2|x －3|＝33，∴3(x －1)2＋3y 2＝(x －3)2. ∴2x 2＋3y 2＝6. ∴所求方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝17．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，点A (8,8)，求线段AB 的中点到准线的距离．解：设AB 的中点是P ，到准线的距离是|PQ |，由题意知点F (2,0)，直线AB 的方程是：y ＝43(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝43(x －2)，消去x 得y 2＝8⎝⎛⎭⎫34y ＋2⇒y 2－6y －16＝0⇒y 1＝8，y 2＝－2. ∴|AB |＝1＋(34)2|y 1－y 2|＝252，由抛物线的定义知：|PQ |＝12|AB |＝254.8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB |的值是多少．解：(1)设P (x ，y )，由椭圆的定义知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b ＝22－(3)2＝1. 故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4. 消去y ，并整理，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1 ＝－4k 2－1k 2＋4＝0，所以k ＝±12. 当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝54×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫±4172＋4×1217＝46517.。
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(五)反馈练习，落实新知
ห้องสมุดไป่ตู้
过程
练习巩固
1.曲线上的点 M(x，y)到定点F(2,0)的距离和它到
定直线l:x=8 的距离之是常数2，求曲线方程.
2.椭圆 x 2 + y 2 = 1上一点P 25 16
的距离等于3，求它到直线 x =
到一个焦点F1(-3，0) 25 的距离.
3
【设计意图】通过学生的独立完成,进一步巩固了知识， 运用了知识.
【设计意图】通过复习,巩固了椭圆、抛物线、双曲线这三 种圆锥曲线的方程,为本节课作准备，同时也 很自然的引入新课.
教学
(二)实例探索，发现新知
过程
例1:曲线上的点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定
直线l：x=8的距离之比是常数 1 ,求曲线方程.
2
回顾2:求曲线方程的一般步骤有哪些？
简答：（1）建系设点 （2）列式 （3）代换
3.在整个教学过程中,采用引导发现法,探究讨论法 等教学方法,并注重数形结合等数学思想的渗透, 培养学生勇于探索,勇于创新的精神。
发现教学中的漏洞和不足;另一方面分层要求,使不同层次
的学生都获得最佳发展,培养学生的自主学习能力.
教学
板书设计
过程
4.2圆锥曲线的共同特征
例1
例2
例3变式 练习2
多媒体 展示
七、教学评价分析
1.这节课是围绕“实例探索→思考交流→抽象概括 →知识应用”这一主线展开的
2.教学中学生通过动手实践，相互探讨，自己归纳 出定义，符合从感性到理性的认识规律。
由此得 (x 2)2 y2 1
|8 x |
2
2 (x2)2y2 |8x|
化简得：
x2 y2 1 16 12
提出问题：这是哪种曲线的方程？
yM
•
N
o
•
F
x
答案：椭圆
再让学生计算它的焦点坐标和离心率
发现:定点F是一个焦点,常数是离心率
教学
(二)实例探索，发现新知
过程
回顾3:抛物线是怎样定义的？什么是它的焦点和准线？
教学
(一)复习回顾，引入新课
过程
回顾1:椭圆、抛物线、双曲线的方程形式是什么样子？
结果：以焦点在x轴上为例,
(1)椭圆的标准方程为:
x2 a2
by22
1(ab0)
(2)抛物线的标准方程为:y22px(p0)
(3)双曲线的标准方程为:
x2 a2
by22
1(a0,b0)
从形式上说它们都是二元二次方程.
（4）化简
（5）证明
让学生动手实践，并请一个学生到上面演板 (视频1)
【设计意图】：通过回顾和动手实践,调动了学生学习的 积极性,让学生在“做”中学数学,提高了运算能力和转
化 化归思想,巩固了用坐标法求曲线方程.
教学
(二)实例探索，发现新知
过程
解：作MN垂直 l 于 N，设d=|MN|
根据题意可知：| MF | 1 d2
答案:平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的集合 叫作抛物线,其中定点是它的焦点,定直线是它的准线.
结论:(1)椭圆也是到定点距离与到定直线的距离之比是常数 的点的轨迹,这与抛物线有类似的特征.
(2)这个定点是椭圆的一个焦点,这个常数是椭圆的离心 率,这条定直线叫作相应于这个焦点的准线
【设计意图】：通过对学生的解题过程的点评，规范了解题步骤; 再经过老师的引导,学生发现椭圆与抛物线有类似特征,分散了 “圆锥曲线共同特征的理解”这一难点,体会了从特殊到一般的
(视频23)
【设计意图】：通过分组讨论,让学生相互交流,互相学习， 培养他们的合作意识和谦虚好学的品质,使他们的归纳能 力和类比能力都得到了训练,得出了圆锥曲线的共性特征, 突破了难点,突出了重点.
教学
(四)指导应用，深化理解
过程
例3:方程 (x 12 )(y 12)|xy2|表示的曲线是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
再让学生计算一下它的焦点坐标和离心率
发现:定点F也是一个焦点,常数也是离心率
【设计意图】：在自主探索的过程中,使学生完全成了学习 的主人,由被动的接受变成主动的获取,进一步巩固了用坐 标法求曲线方程,突出了重点;另外经过老师引导学生发现 双曲线与抛物线也有类似特征.
教学
(三)思考交流，概括定义
过程
教学
(四)指导应用，深化理解
过程
例3.方程 (x 12 )(y 12)|xy2|表示的曲线是( B )
A.椭圆
B.双曲线 C.抛物线 D.直线
变式:若将本题中的方程变为 2(x12 )(y12 )|xy2|呢？
让学生自主解答
(视频6)
【设计意图】通过变式进一步巩固刚取得的成果,加深了 圆锥曲线第二定义的理解.
推 理方法,提高了数形结合能力.
教学
(二)实例探索，发现新知
过程
例2:曲线上的点M(x，y)到定点F (5，0)的距离和它到定直线
l : x 16 的距离之比是常数 5
5 4
,求曲线方程.
（让学生自主解答，并请一个学生到上面演板）
答案:曲线方程为 x2 y2 1 16 9
这是双曲线的方程，所以该曲线是双曲线
教学
(六)归纳小结,布置作业
过程
小 结 ： 1.知识总结（教师引导）
圆锥曲线的共同特征.
相互转化
到焦点的距离
到相应准线的距离
2.思想方法总结（学生完成） (1)数形结合的思想方法 (2)转化化归的思想方法
【设计意图】通过总结，使学生对所学知识有一个完整的 体系，突出了重点，抓住了关键，培养了概括能力.
教学 过程
课时作业
必做题：
1.课本P89习题3-4 A组：4.
2.椭圆 x2 y2 1上有一点P，它到椭圆的左准线
100 64
的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离。
选作题:
已知点A(3,1)F(2,0),点
P在双曲线
x2
y2
1
上,
3
求 | PA| 1| PF| 的最小值.
2
【设计意图】一方面为了巩固知识,形成技能,培养思维能力,
思考交流:例1与例2有哪些相同处和不同处？
请同学们分组讨论，相互探讨
圆锥曲线的共同特征（即第二定义）：
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直
线的距离之比为定值e.当0<e<1时,圆锥曲线是椭圆；
e>1时,圆锥曲线是双曲线；当e=1时,圆锥曲线是抛
物线.其中定点是圆锥曲线的一个焦e点，定直线是
相应于这个焦点的准线.
回顾4:课本P73页的思考交流
“请说出表达式 x2(y1)2 |y1| 的几何意
义”
4
4
联想:点到直线的距离公式
分析:指导学生从式子的结构形式入手，找出式子的几何
意义，利用圆锥曲线的第二定义进行解题. ( 视 频 45)
【设计意图】本例用一个新颖特殊的式子激起学生的兴趣,解 题中通过回顾、联想和分析，一步一步地化解了圆锥曲线第 二定义应用中的难点,培养了学生的观察能力和逆向思维的能 力,训练了学生解题的灵活性.