2016-2017学年高中数学北师大版必修1模块综合测评(二)

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y |y ＝2x }，P ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩P ＝( ) A ．{y |y ＞1} B ．{y |y ≥1} C ．{y |y ＞0}D ．{y |y ≥0}【解析】 M ＝{y |y ＝2x }＝{y |y ＞0}， P ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}． 故M ∩P ＝{y |y ＞0}． 【答案】 C2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，(x ≤1)，log 2x ，(x ＞1).则f (1)＋f (4)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 f (1)＋f (4)＝21＋1＋log 24＝5. 【答案】 A3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16B ．2 C.12D.116【解析】 设幂函数为y ＝x α，∵幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，∴22＝2α，解得α＝－12.y ＝x －12.f (4)＝4－12＝12.故选C. 【答案】 C4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0或1D ．－1,0或1【解析】 由题意可得，集合A 为单元素集，(1)当a ＝0时，A ＝{x |2x ＝0}＝{0}，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， (2)当a ≠0时，则Δ＝0解得a ＝±1， 当a ＝1时，集合A 的两个子集是{1}，∅， 当a ＝－1，此时集合A 的两个子集是{－1}，∅. 综上所述，a 的取值为－1,0,1.故选D. 【答案】 D5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1【解析】 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同；B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.【答案】 C6．(2016·山东滕州市高一期中)令a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解析】 a ＝60.7＞60＝1，b ＝0.76＞0且b ＝0.76＜0.70＝1，c ＝log 0.76＜log 0.71＝0.【答案】 D7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图像( )A ． B.C ． D.【解析】 ∵函数y ＝a －x 可化为y ＝(1a )x ，其底数大于0小于1，是减函数，又y ＝log a x ，当a ＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.【答案】 A8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 由题意f (x )的图像如图所示，故f (x )＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】 D9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 3x |(0＜x ≤9)，－x ＋11(x ＞9)，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )【导学号：04100087】A ．(0,9)B ．(2,9)C ．(9,11)D ．(2,11)【解析】 作出f (x )的图像：则log 3a ＝－log 3b ， ∴ab ＝1.设f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ， 则a ＝3－t ，b ＝3t ， c ＝11－t .由图可知0＜t ＜2， ∴abc ＝11－t ∈(9,11)． 【答案】 C10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f (x )＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则f (x )的定义域为( )A ．(－1,1)∪[2,4]B ．(0,1)∪[2,4]C ．[2,4]D ．(－∞，0)∪[1,2]【解析】 设t ＝2x ，则t ＞0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34≥34.∵函数f (x )＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1,7]．由y ＝1得t ＝1或2，由y ＝7得t ＝4或－1(舍去)，则0＜t ≤1或2≤t ≤4，即0＜2x ≤1或2≤2x ≤4，解得x ＜0或1≤x ≤2， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D. 【答案】 D11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f (x )＝2x －P ·2－x ，则下列结论正确的是( )A ．P ＝1，f (x )为奇函数且为R 上的减函数B ．P ＝－1，f (x )为偶函数且为R 上的减函数C ．P ＝1，f (x )为奇函数且为R 上的增函数D ．P ＝－1，f (x )为偶函数且为R 上的增函数【解析】 当P ＝1时，f (x )＝2x －2－x ，定义域为R 且f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∵2x 是R 上增函数，2－x 是R 的减函数，∴f (x )＝2x －2－x 为R 上的增函数．因此选项C 正确．当P ＝1时，f (x )＝2x ＋2－x ，定义域为R 且f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．根据1＜2，f (1)＜f (2)可知f (x )在R 上不是减函数；根据－2＜－1，f (－2)＞f (－1)可知f (x )在R 上不是增函数．因此选项B 、D 不正确．故选C.【答案】 C12．若关于x 的方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－a －2＝0有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－1,2]C ．(－2,1]D ．[－1,2)【解析】 令f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－2，∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，∴－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－2≤－1，则1≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22<4，故f (x )∈[－1,2)．由方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－a －2＝0有实数根，得a ∈[－1,2)．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f (x )＝ax 2＋(b ＋13)x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵函数f (x )＝ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，由偶函数的定义域关于原点对称可得(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13， 所以函数f (x )＝13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3.由题意可得f (－x )＝f (x )恒成立，即13(－x )2＋(b ＋13)(－x )＋3＝13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3对任意的实数x 都成立， 所以有b ＋13＝0，解得b ＝－13，所以a ＋b ＝0. 【答案】 014．(2016·福建龙岩高一期末)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间为________．【解析】 函数f (x )的定义域为{x |x ＞3或x ＜－1}． 令t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)单调递减，t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)． 【答案】 (－∞，－1)15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________. 【导学号：04100088】【解析】 设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r ＝1－x2π， ∴S 正＝(x 4)2＝x 216，S 圆＝π·(1－x )24π2， ∴S 正＋S 圆＝(π＋4)x 2－8x ＋416π(0＜x ＜1)，∴当x ＝4π＋4时有最小值． 【答案】4π＋416．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f (－1)＜f (ln x )的解集是________．【解析】 由已知f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x ＞0，f (1)＜f (ln x )，则1＜ln x ，有x ＞e ，当ln x ＜0，f (－1)＜f (ln x )，则－1＞ln x ，有0＜x ＜1e综上，不等式f (－1)＜f (ln x )的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 (2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72.【解】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫942－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝12.(2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2 ＝log 33－14＋lg102＋2 ＝－14＋2＋2＝154.18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)已知集合A ＝{}x | 2≤2x≤16，B ＝{}x | log 3x ＞1.(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由已知得A ＝{x |1≤x ≤4}， B ＝{x |x ＞3}，∴A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}∪{x |1≤x ≤4}＝{x |x ≤4}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，由C ⊆A 得1＜a ≤4. 综上，a 的取值范围为(－∞，4]．19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)＜f (5)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵f (x )为偶函数， ∴－2m 2＋m ＋3为偶数．又f (3)＜f (5)，∴3－2m 2＋m ＋3＜5－2m 2＋m ＋3，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫35－2m 2＋m ＋3＜1，∴－2m 2＋m ＋3＞0，∴－1＜m ＜32.又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，符合题意． ∴m ＝1，f (x )＝x 2.(2)由(1)知，g (x )＝log a [f (x )－ax ]＝log a (x 2－ax )(a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数．令u (x )＝x 2－ax ，y ＝log a u ，①当a ＞1时，y ＝log a u 为增函数，只需u (x )＝x 2－ax 在区间[2,3]上为增函数， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤0，u (2)＝4－2a ＞0，1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 为减函数，只需u (x )＝x 2－ax 在区间[2,3]上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥3，u (3)＝9－3a ＞0，a ∈∅，综上可知，a 的取值范围为(1,2)．20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f (x )＝a x －a －x(a >0且a ≠1)，(1)若f (1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围；(2)若f (1)＝32，g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )且g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．【解】 (1)f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a <0，又a >0，且a ≠1，∴0<a <1. ∵a x 单调递减，a －x 单调递增，故f (x )在R 上单调递减． 不等式化为f (x 2＋tx )<f (x －4)，∴x 2＋tx >x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t <5.(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， ∴g (x )＝22x ＋2－2x －2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x )＋2. 令t ＝f (x )＝2x －2－x ，由(1)可知f (x )＝2x －2－x 为增函数．∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝32，令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥32.若m ≥32，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2.若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去． 综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9.(1)求f (3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f (x )表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值. 【导学号：04100089】【解】 (1)f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)因为t ＝log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2. 由f (x )＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2. 令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2,2]．①当t ＝－32时，g (t )min ＝－14，即log 3x ＝－32，则x ＝3－32＝39， ∴f (x )min ＝－14，此时x ＝39；②当t ＝2时，g (t )max ＝g (2)＝12，即log 3x ＝2，x ＝9， ∴f (x )max ＝12，此时x ＝9.22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (3)＝8，定义域为R 的函数f (x )＝1－g (x )m ＋2g (x )是奇函数．(1)确定y ＝f (x )和y ＝g (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x ∈[－5，－1]，都有f (1－x )＋f (1－2x )＞0成立，求x 的取值范围．【解】 (1)设g (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则a 3＝8，∴a ＝2，∴g (x )＝2x .因为f (x )＝1－2x2x ＋1＋m，又f (－1)＝－f (1)， ∴1－12m ＋1＝1－24＋m⇒m ＝2，经检验，满足题意， 所以f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. (2)f (x )为减函数，证明如下：由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 任取x 1，x 2∈R ，设x 1＜x 2则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1＝12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 1＋1)(2x 2＋1)， 因为函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1＜x 2，∴2x 1－2x 2＜0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，从而由不等式f (1－x )＋f (1－2x )＞0得f (1－x )＞－f (1－2x )即f (1－x )＞f (2x －1)，所以⎩⎨⎧ 1－x ＜2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3， 即x 的取值范围是[2,3]．。