2014-2015学年四川省雅安市重点中学高二(下)期初数学试卷
四川省雅安市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理科)试题答案
雅安市2014—2015学年下期期末统一检测 高二数学试题(理科)参考答案及评分意见一．选择题（50分） CDCAD CDCBD 二．填空题（25分）11. 1 12.36 13.3 14. 4x －y －4＝0. 15.①②④ 三．解答题（75分） 16.（12分）解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1. ①.......................2分令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②.......................6分(1)∵a 0＝C 07＝1，............. ....................... .. .... ....8分 ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. ............. ....................... ...10分 (2)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. ....................... ....................... .......................12分17.（12分） 解：（1）-.3006-100080030010-100020005006-1000200050010-10004000800,2000,4000.(800)0.50.40.2,(2000)0.50.60.50.40.5,(4000)0.50.60.3X X p X p X p X =⨯⨯=⨯=⨯=⨯===⨯===⨯+⨯===⨯=利润产量价格成本考虑产量和价格，利润可以取，，，，即三个X 的分布列如下表：X 800 2000 4000 P0.20.50.3...................... ...................... ... ............ . ................ ..................... .......... ......... ........8分（2）223302333(1)20000.50.30.8.322000(1-)(1-)30.80.20.80.8963220000.896p P C p p C p p =+==+=⨯⨯+=由知，一季利润不少于的概率则季中至少有季的利润不少于的概率所以，季中至少有季的利润不少于的概率是............. ..................... .......... ......... ........12分 18.（12分）解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0，∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)上恒成立．......... .......... ........3分 设g (x )＝x －3x 2.当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112.................... .......... ........6分(2)由题意知f ′(1)＝0，即由（1）得3－1＋b ＝0，∴b ＝－2. ...... ......7分x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )=0，得x ＝1或x ＝－23.f ′(x )>0,得x 2(,)3∈-∞-或x (1,)∈∞ ,f ′(x )<0,得x 2(,1)3∈-即f(x)在x ＝－23处取极大值.. .... ...... .. .......... ...... .....10分..又)32(-f ＝2227＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c <c 2.解得c >2或c <－1，所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．.................. ......12分19.（12分）解：（1）设AD 中点为O ，连接PO∆PAD 为等边三角形，且边长为2 ∴PO ⊥AD ，PO ＝3又 面PAD ⊥面ABCD 于AD∴PO ⊥面ABCD∴PO 为点P 到平面ABCD 的距离，即P 到平面ABCD 的距离为3.......... ... ..6分ODCBA Pzyx连接BO ， ABCD 是菱形，且∠BAD ＝60，O 为AD 中点，∴BO ⊥AD∴以O 为坐标原点，OA 、OB 、OP 分别为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(1，0，0)、P （0，0，3）、B （0，3，0）、C （－2，3，0）. 设APB 平面的法向量为()z y x n ,,1=()0,3,1-=AB ，()3,0,1-=AP⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-∴zx y x z x y x 33,0303，∴可取()1,1,31=n同理，可取平面PAC 的法向量()1,1,02=n 设二面角A —PB －C 的平面角为θ， 则510252cos 2121=⋅=⋅∙=n n n n θ 由图可知，二面角A —PB －C 的平面角是钝角∴二面角A —PB －C 的平面角的余弦值为510-……………………………………….12分20.（13分）解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x＝(x >0)．………………………………………2分①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a.由ax 2－1<0，得0<x <1a.故当a >0时，F (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增， 在区间⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0上单调递减．…………………………………………………6分 ②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．……………………………8分(2)原式等价于方程a ＝2ln xx2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝>0,∴φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，……………………………10分而φ(e)＝2e 2< 2ln 24＝ln 22＝φ(2)．∴φ(x )min ＝φ(e)， 如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有φ(x )min ＝ln 22，……………………………12分a 的取值范围为ln 22≤a <1e. ………………………………………………..13分21.（14分）解：（1）函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1．……………………………1分理由如下：因为()e sin cos x f x x x =-，所以()e sin e cos sin x x f x x x x '=++． ……………………2分 因为π02x <<，所以()0f x '>， 所以函数()f x 在π(0,)2上是单调递增函数． ················· 3分因为(0)10f =-<，π2π()e 02f =>，根据函数零点存在性定理得函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1． ················· 4分（2）因为不等式12()()f x g x m +≥等价于12()()f x m g x -≥，所以 12ππ[0,],[0,]22x x ∀∈∃∈，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，等价于()1min 2min ()()f x m g x -≥，即1min 2max ()()f x m g x -≥． ·············6分 当π[0,]2x ∈时，()e sin e cos sin 0x x f x x x x '=++>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最小值1-． ······················ 7分 又()cos sin 2e x g x x x x '=--，由于0cos 1,sin 0,2e 2x x x x ≤≤≥≥，所以()g x '0<，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，()g x 取得最大值2-． ·················· 8分 所以()12m ---≥，所以21m --≤-． 所以实数m 的取值范围是(,12⎤-∞--⎦． ·················· 9分 （3）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x > 只要证e sin cos cos 2e x x x x x x ->-， 只要证()()e sin 21cos x x x x +>+，由于sin 20,10x x +>+>，只要证e cos 1sin 2x xx x >++． ··········· 10分 下面证明1x >-时，不等式e cos 1sin 2x xx x >++成立． 令()()e 11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x x x x x h x x x +-'==++， 当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取得极小值也就是最小值为1． 令cos sin 2x k x =+，其可看作点()sin ,cos A x x 与点()2,0B -连线的斜率，所以直线AB 的方程为：()2y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切， 当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1． ···················· 12分 故0x =时，()2102k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥．··········· 13分 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． …………………………………14分。
四川省雅安中学2014-2015学年高二下学期4月月考 数学理
雅安中学2014—2015学年高二年级下期月考（4月）数学试题（理工农医类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卷和机读卡一并回收。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、单项选择题：（本题共10道小题，每小题5分，共50分）. 1.复数212ii+-的虚部为（ ） A ．i B ．-1 C ．i - D ．12.已知{}的数量积等于与则为单位正交基底，b a k j i b k j i a k j i35,2,23,,+-=-+=（ ）A ．-5B ．-15C ．-3D ．-13.已知向量,27,65,2,,b a b a b a b a-=+-=+=向量向量且向量则一定是共线的三点是（ ）A .BCDB .ABC C.ABD D.ACD 4.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122-+a b cB ．1122++a b cC ．1122-++a b cD ．1122--+a b c5.已知平面α,β的法向量分别是),3,2(m -，)0,,4(λ，若//αβ，则m +λ的值（ ） A. 8B ．6C ．-10D ．-66.已知函数(12)(1)()2ln 38,limx f x f f x x x x ∆→-∆-=+∆则的值为（ ）A ．10B ．10-C ．20-D ．207.曲线()1xe f x x =-在0x =处的切线方程为（ ）1B ACD1A 1C 1D MA ．210x y ++=B ．10x y --=C ．210x y --=D ．10x y ++=8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A.1 B.2 C.-2 D.-19.已知()1s i n c o s f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即)(')(12x f x f =，)(')(23x f x f =，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()122011()()...f x f x f x +++= ( )A ．sin cos x x -+B ．sin cos x x -C ．sin cos x x --D ．sin cos x x + 10.已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则（ ）A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<B ．2(log )(3)(2)a f a f f <<C ．2(3)(log )(2)a f f a f <<D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）. 11.已知复数=+∈+=+b i R b a bi a iia ,,(1为虚数单位），那么 . 12．已知{}123，，e e e 为空间的一个基底，且1232OA =+-e e e ，12332OB =-++e e e ，12367OC =+-e e e ,能否以{}OAOBOC ，，作为空间的一个基底 （填“能”或“不能”）.13.已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表, ()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示. 下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．14.已知ax x x f +-=3)(在区间（1，1）上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．15.已知函数x x f ln )(=,121)(2-=x x g ,若方程k x g x f =-+)()1(2有三个根，求满足条件的实数k 的取值是 ．三、解答题（本题共6道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题13分,第6题14分,共75分）16. （本小题满分12分）设复数(,,0)z a bi a b R a =+∈>，满足z =(12)i z-在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）若()1m iz m R i ++∈-为纯虚数, 求实数m 的值.17. （本小题满分12分）用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=，1AC BC ==，12AA =．以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1DA 和1DC ．（Ⅰ）求证：1A D ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）求直线1CC 与平面11DAC 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=，a x x g +=221)(（a 为常数），直线l 与函数)(x f 、)(x g 的图象都相切，且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1． （Ⅰ）求直线l 的方程及a 的值；（Ⅱ）若)(')1()(x g x f x h -+= [注：)('x g 是)(x g 的导函数]，求函数)(x h 的单调递增区间；A DE FB CE FA D GB C21.(本小题满分14分)已知函数()()2x f x e ax =+(e 为自然对数的底数，a ∈R 为常数）．对于函数()(),g x h x ，若存在常数,k b ，对于任意x ∈R ，不等式()()g x kx b h x ≤+≤都成立，则称直线y kx b =+是函数()(),g x h x 的分界线． （Ⅰ）若1a =-，求()f x 的极值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）设2a =，试探究函数()242g x x x =-++与函数()f x 是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.雅安中学2014—2015学年高二年级下期月考（4月）数学试题（理科）参考答案第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、单项选择题：（本题共10道小题，每小题5分，共50分）. 1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.B第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）. 11. 1 12. 不能 13. ①②④ 14. 3≥a 15. 1三、解答题（本题共6道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题13分,第6题14分,共75分）16. 解：（Ⅰ）由z =2210a b += ① ……………………………2分又复数(12)i z -＝(2)(2)a b b a i ++-在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，则(2)(2)0a b b a ++-=即3a b = ② …………………………………4分 由①②联立的方程组得3,1a b ==或3,1a b =-=-…………………………5分 ∵0,a >∴3z i =+………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）得i z -=3……………………………………………………………8分()(1)312m i m i i z i i ++++=-+-=5322m m i+++……………………………………10分∵()1m iz m R i ++∈-为纯虚数,∴52m =-…………………………………………………………………………………12分17.解：设容器底面宽为xm ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x)m .由03.220x x >⎧⎨->⎩解得0<x<1.6，…………………………………………………………3分 设容器的容积为ym 3，则有y ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x （0<x<1.6）………………………………6分 y′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，……………………………………………………………………7分 令y′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．…………………………………………………………8分∵0<x<1时，y′>0；1<x<1.6时，y′<0.∴在定义域(0,1.6)内x ＝1是唯一的极值点，且是极大值点，∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. ……………………………………………………10分 此时容器的高为3.2－2＝1.2m. …………………………………………………………11分 答：容器高为1.2m 时容器的容积最大，最大容积为1.8m 3. ………………………………12分 18.（Ⅰ）连结1B C 如下图，……………………………………………………………………1分111ABC A B C -是三棱柱 11//A B AB ∴且11A B AB =，又四边形ABCD 是平行四边形∴//CD AB 且CD AB =∴11//A B CD 且11A B CD =∴四边形11A B CD 为平行四边形，……………………………………………………………………3分∴11//A D B C (4)分 又∵1B C ⊂平11BCC B 面，1A D ⊄平面11BCC B∴1//A D 平面11BCC B (6)分1（Ⅱ）由90ACB ∠=，四边形ABCD 为平行四边形得AC AD ⊥，1AA ⊥底面ABC如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，……………………………………………7分 则(0,1,0)C ，(1,0,0)D ，1(0,0,2)A ， 1(0,1,2)C ， 1(0,0,2)CC ∴=，1(1,0,2)A D =-，11(0,1,0)AC =…………………………………………………8分设平面11DAC 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0.A D AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即200x z y -=⎧⎨=⎩，令1z =，则0y =，2x = (2,0,1)∴=n (10)分11||sin ||||CC CC θ⋅∴===⋅n n ………………………………………………………………11分∴直线1CC 与平面1DAC …………………………………………………12分19.解：（I ）由题意得：l 与函数y=)(x f 图象的切点为（1，))1(f ∵切点（1，))1(f 在x x f ln )(=图象上∴切点为（1，0）………………………………………………………………………………1分 又∵xx f 1)('=∴直线l 的斜率为：1)1('=f ……………………………………………………………………3分 ∴直线l 的x-y-1=0…………………………………………………………………………………4分 ∵直线l 与函数y=)(x g 的图象相切∴方程组⎩⎨⎧-=+=1221x y ax y 只有一个解，即方程有两个相等实根，0)1(212=++-a x x ∴△=0，解得21a -=………………………………………………………………………………6分 (II)由（I ）得21-21)(2x x g = ∴x x g =)(' ∴{}1x )(,)1ln()(')1()(->-+=-+=x x h x x x g x f x h 的定义域为且……………………9分又∵)1x 1x111)('->+=-+=（—x x x h 令01,0)('<<->x x h 解得∴函数)(x h 的单调递增区间为）（0,1-…………………………………………………………12分21.（Ⅰ）若1a =-，则()()2xf x ex =-+，()()'1x f x e x ∴=-+，………………………1分由()'0f x =得1x = 又()'0f x >得1x <； ()'0f x <得1x >，()f x ∴在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减；()f x ∴在1x =处取得极大值()1f e =,无极小值．……………………………………………… 3分（Ⅱ）()()'2xf x eax a =++，…………………………………………………………………… 4分①当0a >时，由'()0f x ≥得22,1;ax a x a≥--∴≥-- 由'()0f x ≤得22,1;ax a x a≤--∴≤-- 函数()f x 在区间21,a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在区间2,1a ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦上是减函数 (6)分②当0a =时，'()0f x >对x ∀∈R 恒成立，此时函数()f x 是区间R 上的增函数；……………………………………………………………………7分③当0a <时，由'()0f x ≥得22,1;ax a x a≥--∴≤-- 由'()0f x ≤得22,1;ax a x a≤--∴≥-- 函数()f x 在区间2,1a ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦上是增函数，在区间21,a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数．…………9分 （Ⅲ）若存在，则()24222xx x kx b ex -++≤+≤+恒成立，令0x =，则22b ≤≤，所以2b =，………………………………………………………………11分因此：2422x x kx -++≤+对x ∈R 恒成立，即()240x k x +-≥对x ∈R 恒成立，由0∆≤得到4k =， ………………………………………………………………………………12分 现在只要判断()2242xe x x +≥+是否恒成立，设()()()2242xx ex x φ=+-+，则()()'244x x e x φ=+-，第 11 页 共 11 页 ①当0x >时，()1,244,'0,xe x x φ>+>> ②当0x <时，()01,244,'0,xe x x φ<<+<< ……………………………………………………13分所以()()00x φφ≥=，即()2242x ex x +≥+恒成立， 所以函数()242g x x x =-++与函数()f x 存在“分界线”，且方程为42y x =+ (14)分。
四川省雅安市雅安中学高二数学下学期开学考试试卷
四川省雅安市雅安中学2014-2015学年高二数学下学期开学考试试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1、将两个数8, 17a b ==交换,使17, 8a b ==,则下面语句正确的一组是( ).2、读程序 甲:乙:i=1 S=0WHILE i<=1000 S=S+i i=i+l WEND PRINT S ENDi=1000 S=0 DO S=S+i i=i-1LOOP UNTIL i<1 PRINT S END对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( ) A 、程序不同结果不同 C 、程序相同结果不同B 、程序不同,结果相同 D 、程序相同,结果相同3、二进制数(2)101110转化为八进制数是( ) A. (8)45 B. (8)56C. (8)67D. (8)76431-<的解集是（）A 、{}|516x x <<B 、{}|618x x <<C 、{}|720x x <<D 、{}|822x x << 5、 命题“若x 2+y 2=0，则x 、y 全为0”的逆否命题是( ) A 、若x 、y 全为0，则 x 2+y 2≠0 C 、若x 、y 全不为0，则 x 2+y 2≠0 B 、若x 、y 不全为0，则 x 2+y 2=0 D 、若x 、y 不全为0，则 x 2+y 2≠06、200x x >>是的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也必要条件 7、若x a h -<，y a h -<，则下面不等式中一定成立的是（ ） A 、x y h -<B 、x y h ->C 、2x y h ->D 、2x y h -<a=b b=a c=b b=a a=c b=a a=b a=c c=b b=a A BCD8、使|x －4|+|x －5|＜a 有实数解的a 为（ ） A 、a ＞1B 、1＜a ＜9C 、a ＞1D 、a ≥19、用秦九韶算法求多项式765432()765432f x x x x x x x x =++++++,当3x =时,3v 的值为 ( ) A 、27B 、86C 、262D 、78910、 △ABC 中，“sinA>cosB ”是“△ABC 是锐角三角形”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也必要条件 11、若x ，y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） A 、3B 、27 C 、4D 、2912、如图所示的算法中，θtan =a θsin =b θcos =c ，若在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<<-2,4,0,434|ππθπθπθ中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的取值范围是 A ：(,0)4p - B ：(0,)4π C ：3(,)24ππ D ：(,)42ππ第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）。
四川省雅安中学2014-2015学年高二下学期开学考试化学试卷.pdf
注意事项：请将选择题答案用2B铅笔涂写在机读卡上，第Ⅱ卷的答案写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题，50分） 一、单项选择题 （2×25=50分） 1．未来新能源的特点是资源丰富，在使用时对环境无污染或污染很小，且可以再生。
下列属于未来新能源标准的是（ ） ①天然气 ②煤 ③核能 ④石油 ⑤太阳能 ⑥生物质能 ⑦风能 ⑧氢能 A．①②③④ B．⑤⑥⑦⑧ C．③⑤⑥⑦⑧ D．③④⑤⑥⑦⑧ 2．已知热化学方程式： H2O(g)＝H2(g) + 1/2O2(g) H=+241.8kJ／mol H2(g)+ 1/2O2(g) ＝ H2O(1) H=－285.8kJ／mol 当1g液态水变为水蒸气时，其热量变化是 A．吸热88kJ B． 吸热2.44KJ C．放热44kJ D． 吸热44KJ D．Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl反应 4．一定条件下反应2AB(g) A2(g)＋B2(g)达到A．单位时间内生成n molA2，同时消耗2n molABB．容器内，3种气体AB、A2、B2C．AB的消耗速率等于A2的消D．容器中各组分的体积分数不随时间变化 5、下列关于热化学反应的描述中正确的是（ ） A．HCl和NaOH反应的中和热△H＝－57.3kJ/mol，则H2SO4和Ca(OH)2反应的中和热 △H＝2×(－57.3)kJ/mol B．CO(g)的燃烧热是283.0kJ/mol，则2CO2(g)===2CO(g)＋O2(g)反应的 △H＝+2×283.0kJ/mol C．△H>0，△S>0，在任何温度下都不可自发进行。
D．1mol甲烷燃烧生成气态水和二氧化碳所放出的热量是甲烷的燃烧热 6．相同温度下，有下列三个热化学方程式： （1）H2（）+O2（g）===H2O（） △H1=-Q1 kJ? mol-1 （2）2H2（g）+O2（g）===2H2O（l） △H1=-Q2 kJ? mol-1 （3）2H2（）+O2（g）===2H2O（g） △H1=-Q3 kJ? mol-1 则Q1、Q2、Q3的关系表示正确的是（ ） A. Q1=Q2 Q1 >Q3C. Q3> Q2> Q1 D. Q1=Q2=Q3 7．已知：H2(g)＋F2(g)===2HF(g) △H＝－270kJ／mol，下列说法正确的是A．1个氢气分子与1个氟气分子反应生成2个氟化氢分子放出270kJ B．1mol氢气与1mol氟气反应生成2mol液态氟化氢放出的热量小于270kJ C．在相同条件下，1mol氢气与1mol氟气的能量总和大于2mol氟化氢气体的能量 D．2氟化氢气体分解成1的氢气和1的氟气270kJ热量对于反应A(g)+3B(g) 2C(g)，下列各数据表示不同条件下的反应速率，其中反应进行得最快的是（ ）A、v(A)=0.01 mol/(L?s)B、v(B)=0.02 mol/(L?s)C、v(B)=0.60mol/(L?min)D、v(C)=1.0mol/(L?min)） A．盐酸、空气、醋酸、干冰 B．冰醋酸、福尔马林、硫酸钠、乙醇 C．蛋白质、油脂、苛性钾、石灰石 D．胆矾、漂白粉、氯化钾、硫酸钡 10．在下列平衡体系中，保持温度一定时，改变某物质的浓度，混合气体的颜色会改变；改变压强时，颜色也会改变，但平衡并不移动，这个反应是（ ） A．2NO＋O2 2NO2 B．N2O4 2NO2 C．Br2(g)＋H2 2HBr D．6NO＋4NH3 5N2＋3H2O 11．已知H—H键能为436 KJ/mol，H—N键能为391KJ/mol，根据化学方程式：N2 + 3H2=2NH3 ΔH=—92.4 KJ/mol，则N≡N键的键能是（ ） A．431 KJ/mol B．946 KJ/mol C．649 KJ/mol D．869 KJ/mol 12．aA(g)cC(g)＋dD()，D的浓度为原平衡的1.8倍，下列叙述正确的是（ ） A．A的转化率变 B．平衡向正反应方向移动 C．D的体积分数变大 D．a c＋d 2A(气) + B(气) 3C(气) + D(气) 达到平衡时，C的浓度为Wmol/L，若维持容器体积和温度不变，按下列四种配比作为起始物质，达到平衡后，C的浓度仍为Wmol/L的是（ ）A. 4molA+2molBB. 2molA+1molB+3molC+1molDC. 3molC+1molD+1molBD. 3molC+1molD 14、2.0mol PCl3和1.0mol Cl2充入体积不变的密闭容器中，在一定条件下发生下述反应PClg)+Cl2(g) PCl5(g) 达到平衡时，PCl5为0.4mol，如果此时移走1.0mol PCl3和0.50mol Cl2，在相同温度下再达平衡时PCl5的物质的量是A.0.40molB.0.20molC. 大于0.20mol，小于0.40molD. 小于0.20mol2Z(气) △H＜0c（H＋）相同的等体积的两份溶液A和B；A为盐酸，B为醋酸，分别和锌反应，若最后仅有一份溶液中存在锌，且放出的氢气的质量相等，则下列说法正确的是（ ） ①反应所需要的时间B>A②开始反应时的速率A>B③参加反应的锌的物质的量A＝B④反应过程的平均速率B>A⑤盐酸里有锌剩余⑥醋酸里有锌剩余A ③④⑤B ③④⑥C ②③⑤D ②③⑤⑥ 17．一定量的锌粉和6mol·L-1的过量盐酸反应，当向其中加入少量的下列物质时，能够加快反应速率，又不影响产生H2总量的是（ ） ①石墨 ②CuO ③铜粉 ④铁粉 ⑤浓盐酸 ⑥无水乙酸A.①③④B.①③⑤C.②④⑥D.②⑤⑥ 18、已知：Fe2O3(s)+C(s)＝CO2(g)+ 2Fe(s)，ΔH＝+234.1kJmol-1C(s)+O2(g)＝CO2(g)；ΔH＝－393.5kJmol-1则2Fe(s)+ O2(g)＝Fe2O3(s)的ΔH是（ ）A、－824.4 kJmol-1 B、－627.6kJmol-1 C、-744.7kJmol-1 D、-169.4kJmol-1 19、下列说法正确的是A．增大反应物浓度，可增大单位体积内活化分子的百分数，从而使有效碰撞次数增大B．有气体参加的化学反应，若增大压强（即缩小反应容器的体积），可增加活化分子的百分数，从而使反应速率增大C．升高温度能使化学反应速率增大，原因是增加了反应物分子中活化分子的百分数D．催化剂不影响反应活化能但能增大单位体积内活化分子百分数，从而增大反应速率某化学科研小组研究在其他条件不变时，改变某一条件对化学平衡的影响，得到如下变化规律（图中P表示压强，T表示温度，n表示物质的量）： 根据以上规律判断，上列结论正确的是A．反应Ⅰ：△H＞0，P2＞P1 B．反应Ⅱ：△H＞0，T1＞T2 C．反应Ⅲ：△H＞0，T2＞T1；或△H＜0，T2＜T1 D．反应Ⅳ：△H＜0，T2＞T1一定温度下，密闭容器中充入1.0molN2和3.0molH2，反应达到平衡时测得NH3的物质的量为0.6mol。
2014-2015年四川省雅安中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的）1．（5分）i是虚数单位，计算i+i2+i3＝（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i2．（5分）若＝12，则n＝（）A．8B．7C．6D．43．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（）A．30种B．144种C．5种D．4种4．（5分）化简（x﹣4）4+4（x﹣4）3+6（x﹣4）2+4（x﹣4）+1得（）A．x4B．（x﹣3）4C．（x+1）4D．x55．（5分）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（）A．240种B．180种C．120种D．60种6．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）在以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||＝|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2﹣2﹣，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|＝||•||•||．A．2B．3C．4D．58．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝09．（5分）已知＝（1，2，3），＝（2，1，2），＝（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A．B．C．D．10．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．＜1﹣x+x2B．ln（1+x）≥x﹣x2C．e x≤1+x+x2D．cos x≥1﹣x2二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）曲线y＝e x在点A（0，1）处的切线斜率为．12．（5分）复数z＝1+i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1＝．13．（5分）平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得个不同的三角形？14．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln+的图象分别与直线y＝m交于A，B两点，则|AB|的最小值为．三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）15．（12分）在（2﹣）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数．（2）含x2的项．16．（12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）可组成多少个无重复数字的自然数？（2）可组成多少个无重复数字的四位偶数？17．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．19．（13分）已知矩形ABCD中，，将△ABD沿BD折起，使点A 在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．（1）求证：DA⊥平面ABC；（2）求点C到平面ABD的距离；（3）求二面角G﹣FC﹣E的大小．20．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2+x，g（x）＝x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．2014-2015学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的）1．（5分）i是虚数单位，计算i+i2+i3＝（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：由复数性质知：i2＝﹣1故i+i2+i3＝i+（﹣1）+（﹣i）＝﹣1故选：A．2．（5分）若＝12，则n＝（）A．8B．7C．6D．4【解答】解：∵＝12，∴n（n﹣1）（n﹣2）＝12•，化简得n﹣2＝6；解得n＝8．故选：A．3．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（）A．30种B．144种C．5种D．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A33A43＝144种排法，故选：B．4．（5分）化简（x﹣4）4+4（x﹣4）3+6（x﹣4）2+4（x﹣4）+1得（）A．x4B．（x﹣3）4C．（x+1）4D．x5【解答】解：（x﹣4）4+4（x﹣4）3+6（x﹣4）2+4（x﹣4）+1＝[（x﹣4）+1]4＝（x﹣3）4，故选：B．5．（5分）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（）A．240种B．180种C．120种D．60种【解答】解：根据分步计数原理知先从6双手套中任选一双有C61种取法，再从其余手套中任选2只有C102种，其中选到一双同色手套的选法为5种．故总的选法数为C61（C102﹣5）＝240种．故选：A．6．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y＝f（x）和y＝f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选：D．7．（5分）在以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||＝|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2﹣2﹣，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|＝||•||•||．A．2B．3C．4D．5【解答】解：对①，∵向量、同向时，，∴只满足充分性，不满足必要性，∴①错误；对②，当为零向量时，λ不唯一，∴②错误；对③，∵2﹣2﹣1＝﹣1≠1，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故③错误；对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底；设⇒x＝（x﹣1）+⇒＝x+（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确；对⑤，∵|（）|＝||×||×|cos＜，＞|×||≤||||||，∴⑤错误．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【解答】解：A、对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；B、∵f（﹣﹣x）+f（x）＝（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，f（﹣）＝（﹣）3+a（﹣）2+b（﹣）+c＝﹣+c，∵f（﹣﹣x）+f（x）＝2f（﹣），∴点P（﹣，f（﹣））为对称中心，故B正确．C、若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，则f（x）＝x3﹣x2﹣x，对于f（x）＝x3﹣x2﹣x，∵f′（x）＝3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）＝0，故D正确．由于该题选择错误的，故选：C．9．（5分）已知＝（1，2，3），＝（2，1，2），＝（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：设Q（x，y，z）由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，则有Q（λ，λ，2λ），当＝（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）＝2（3λ2﹣8λ+5）根据二次函数的性质可得当时，取得最小值此时Q故选：C．10．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．＜1﹣x+x2B．ln（1+x）≥x﹣x2C．e x≤1+x+x2D．cos x≥1﹣x2【解答】解：A．取x＝0时，左边＝1，右边＝1，此时左边＝右边，因此A不正确；B．令f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2，f′（x）＝﹣1+x＝，当0＜x＜3时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．f（x）≤f（0）＝0，∴ln（1+x）≤x﹣，因此不成立．C．令f（x）＝e x﹣1﹣x﹣x2，则f′（x）＝e x﹣1﹣2x，f″（x）＝e x﹣2，当ln2≤x时，f″（x）≥0，函数f′（x）在[ln2，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（4）＝e4﹣9＞0，∴当x＞4时，f（x）＞f（4）＝e4﹣21＞0，因此不成立；D．令f（x）＝cos x﹣1+，f′（x）＝﹣sin x+x，令h（x）＝x﹣sin x，h′（x）＝1﹣cos x≥0，∴函数h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（0）＝0，∴函数f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0，∴cos x在x∈[0，+∞）上恒成立．故选：D．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）曲线y＝e x在点A（0，1）处的切线斜率为1．【解答】解：由题意得，y′＝e x，则在点A（0，1）处的切线斜率k＝e0＝1，故答案为：1．12．（5分）复数z＝1+i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1＝﹣i．【解答】解：z＝1+i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1＝（1+i）（1﹣i）﹣（1+i）﹣1＝2﹣1﹣i﹣1＝﹣i．故答案为：﹣i．13．（5分）平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得216个不同的三角形？【解答】解：平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，构成三角形需要3个点，因此需要分两类类，在共线的4个点中取一个或取两个．第一类，共线的4个点中取一个点，再剩下的8个点中取2个，则有＝112个不同的三角形．第二类，共线的4个点中取两个点，再剩下的8个点中取1个，则有＝48个不同的三角形．第三类，除共线的4个点中剩下的8个点中取3个，则有＝56个根据分类计数原理，可得112+48+56＝216个不同的三角形．故答案为：216．14．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln+的图象分别与直线y＝m交于A，B两点，则|AB|的最小值为2+ln2．【解答】解：由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m ＞0，∴|AB|＝2﹣lnm，设y＝2﹣lnx（x＞0），则y′＝2﹣，令y′＝0，解得x＝，∴0＜x＜时，y′＜0；x＞时，y′＞0，∴y＝﹣lnx（x＞0）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴x＝时，|AB|min＝2+ln2．故答案为：2+2ln2．三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）15．（12分）在（2﹣）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数．（2）含x2的项．【解答】解：（1）第3项的二项式系数为＝15，第三项的系数为T3＝•24•（﹣1）2＝240．（2）通项公式为T k+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x3﹣r，令3﹣r＝2，可得r＝1，故含x2的项为第2项，且T2＝﹣192x2．16．（12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）可组成多少个无重复数字的自然数？（2）可组成多少个无重复数字的四位偶数？【解答】解：（1）组成无重复数字的自然数共有个．（2）无重复数字的四位偶数中个位数是0共有个；个位数是2或4共有个，∴无重复数字的四位偶数共有60+96＝156个．17．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）＝﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因为f（﹣2）＝8+12﹣18+a＝2+a，f（2）＝﹣8+12+18+a＝22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a＝20，解得a＝﹣2．故f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）＝1+3﹣9﹣2＝﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）＝8，得k＝40，因此．而建造费用为C1（x）＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）＝0，即．解得x＝5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．19．（13分）已知矩形ABCD中，，将△ABD沿BD折起，使点A 在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．（1）求证：DA ⊥平面ABC ；（2）求点C 到平面ABD 的距离；（3）求二面角G ﹣FC ﹣E 的大小．【解答】解：（1）证明：依条件可知DA ⊥AB ①∵点A 在平面BCD 上的射影落在DC 上，即平面ACD 经过平面BCD 的垂线 ∴平面ACD ⊥平面BCD又依条件可知BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面ACD∵DA ⊂平面ACD ∴BC ⊥DA ②∵AB ∩BC ＝B ，∴由①、②得DA ⊥平面ABC …4分（2）解：设求点C 到平面ABD 的距离为d ，于是V C ﹣ABD ＝V D ﹣ABC由（1）结论可知DA ⊥平面ABC ，∴DA 是三棱锥D ﹣ABC 的高∴由V C ﹣ABD ＝V D ﹣ABC ，得，解得即点C 到平面ABD 的距离为…8分 （3）解：由（I ）结论可知DA ⊥平面ABC ，∵AC 、CG ⊂平面ABC∴DA ⊥AC ①DA ⊥CG ②由①得△ADC 为直角三角形，易求出AC ＝1于是△ABC 中AC ＝BC ＝1∵G 是等腰△ABC 底边AB 的中点，∴CG ⊥AB ③∵AB ∩DA ＝A ④∴由②、③、④得CG ⊥平面ABD∵CG ⊂平面FGC ∴平面ABD ⊥平面FGC在平面ABD 内作EH ⊥FG ，垂足为H ∴EH ⊥平面FGC作HK ⊥FC ，垂足为K ，连接EK ，故EK ⊥FC∴∠EKH 为二面角E ﹣FC ﹣G 的平面角 …10分设Rt △ABD 边BD 上的高为h ，容易求出，∴在△EFC中，容易求出三边长满足FC2＝FE2+EC2，∴∠FEC＝90°于是在Rt△FEC中容易求出，∴…12分于是二面角E﹣FC﹣G的大小为…13分20．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2+x，g（x）＝x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（x+a）﹣x2+x，∴∵函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2+x在点x＝1处取得极值，∴f'（1）＝0，即当x＝1时，∴，则得a＝0．经检验符合题意；（Ⅱ）∵，∴，∴．令，则．∴当x∈[1，3]时，h'（x），h（x）随x的变化情况表：计算得：，，h（2）＝ln2+3，∴所以b的取值范围为．（Ⅲ）证明：令F（x）＝g（x）﹣f（x）＝x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则＝，令G（x）＝x•e x﹣1，则∵G'（x）＝（x+1）•e x＞0（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）上的零点最多一个，又∵G（0）＝﹣1＜0，G（1）＝e﹣1＞0，∴存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）＝0，且当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0．即当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0．∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，从而F（x）≥F（c）＝c•e c﹣lnc﹣c﹣1．由G（c）＝0得c•e c﹣1＝0即c•e c＝1，两边取对数得：lnc+c＝0，∴F（c）＝0，∴F（x）≥F（c）＝0，从而证得g（x）≥f（x）．。
2014-2015年四川省雅安市荥经中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年四川省雅安市荥经中学高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的．1．（5分）已知M＝{x|﹣2≤x≤4，x∈Z}，N＝{x|﹣1＜x＜3}，则M∩N＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣2，1）C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）＝（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0B．∀x∉R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3≤0D．∃x∈R，x2+2x+3＜04．（5分）若|z﹣1|＝|z+1|，则复数z对应的点在（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限5．（5分）极坐标p＝cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线6．（5分）已知p、q是两个命题，若“￢（p∨q）”是真命题，则（）A．p、q都是真命题B．p、q都是假命题C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题7．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2 8．（5分）若曲线y＝x4的一条切线l与直线x+4y﹣8＝0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3＝0B．x+4y﹣5＝0C．4x﹣y+3＝0D．x+4y+3＝0 9．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2B．3C．6D．910．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）二.填空题：（每小题5分，共25分）将答案直接填在答题卡上．11．（5分）i是虚数单位，则复数Z＝（3+i）（1﹣2i）的共轭复数为．12．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的条件．13．（5分）若直线（t为参数）与直线4x+ky＝1垂直，则常数k＝．14．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝f′（）sin x+cos x，则f′（）＝．15．（5分）如图是y＝f（x）导数的图象，对于下列四个判断：①f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数；②x＝﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数；④x＝3是f（x）的极小值点．其中正确的判断是．（填序号）三、解答题（本大题共6个小题，请写出每个题的必要的解题过程，满分75分）16．（12分）当实数m为何值时，Z＝（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i（1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内．17．（12分）已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）＝（3﹣2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a 的取值范围．18．（12分）设f（x）＝x3﹣x2﹣2x+5．（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知直线L的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π]），（1）将直线L的参数方程与圆C的参数方程分别化成普通方程．（2）求直线L被圆C所截得的弦长．20．（13分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y＝f（x）的单调性并求出单调区间．21．（14分）已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在x＝1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．2014-2015学年四川省雅安市荥经中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的．1．（5分）已知M＝{x|﹣2≤x≤4，x∈Z}，N＝{x|﹣1＜x＜3}，则M∩N＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣2，1）C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【解答】解：由M＝{x|﹣2≤x≤4，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，N＝{x|﹣1＜x＜3}，所以M∩N＝{0，1，2}．故选：C．2．（5分）＝（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：原式＝＝＝1﹣i，故选：D．3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0B．∀x∉R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3≤0D．∃x∈R，x2+2x+3＜0【解答】解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+3≥0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+3＜0故选：D．4．（5分）若|z﹣1|＝|z+1|，则复数z对应的点在（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限【解答】解：由于|z﹣1|＝|z+1|，故复数z对应的点到（﹣1，0）的距离等于它到（1，0）的距离，故复数z对应的点在虚轴上，故选：B．5．（5分）极坐标p＝cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线【解答】解：∵极坐标p＝cosθ，x＝p cosθ，y＝p sinθ，消去θ和p，∴x2+y2＝x，x2+y2＝x为圆的方程；参数方程（t为参数）消去t得，x+y﹣1＝0，为直线的方程，故选：D．6．（5分）已知p、q是两个命题，若“￢（p∨q）”是真命题，则（）A．p、q都是真命题B．p、q都是假命题C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题【解答】解：由复合命题真值表得：若“￢（p∨q）”是真命题，则p∨q为假命题，则命题p、q都是假命题．故选：B．7．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2）∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．即为ρsinθ＝2．故选：D．8．（5分）若曲线y＝x4的一条切线l与直线x+4y﹣8＝0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3＝0B．x+4y﹣5＝0C．4x﹣y+3＝0D．x+4y+3＝0【解答】解：设与直线x+4y﹣8＝0垂直的直线l为：4x﹣y+m＝0，即曲线y＝x4在某一点处的导数为4，而y′＝4x3，∴y＝x4在（1，1）处导数为4，将（1，1）代入4x﹣y+m＝0，得m＝﹣3，故l的方程为4x﹣y﹣3＝0．故选：A．9．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2B．3C．6D．9【解答】解：∵f′（x）＝12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x＝1处有极值，∴a+b＝6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a＝b＝3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．10．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f （x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）＝xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．二.填空题：（每小题5分，共25分）将答案直接填在答题卡上．11．（5分）i是虚数单位，则复数Z＝（3+i）（1﹣2i）的共轭复数为5+5i．【解答】解：复数Z＝（3+i）（1﹣2i）＝5﹣5i，则复数Z＝（3+i）（1﹣2i）的共轭复数为：5+5i．故答案为：5+5i．12．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．【解答】解：由方程mx2+ny2＝1得，所以要使方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆，则，即m＞0，n＞0且m≠n．所以，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．13．（5分）若直线（t为参数）与直线4x+ky＝1垂直，则常数k＝﹣6．【解答】解：把直线（t为参数）化为普通方程得3x+2y﹣7＝0，由于此直线和直线4x+ky＝1垂直，∴﹣×（﹣）＝﹣1，k＝﹣6，故答案为﹣6．14．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝f′（）sin x+cos x，则f′（）＝．【解答】解：由，得f′（x）＝f′（）cos x﹣sin x，则f′（）＝f′（）•cos﹣sin，解得f′（）＝﹣1，∴＝﹣cos x﹣sin x＝﹣cos﹣sin＝﹣＝，故答案为：﹣．15．（5分）如图是y＝f（x）导数的图象，对于下列四个判断：①f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数；②x＝﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数；④x＝3是f（x）的极小值点．其中正确的判断是②③．（填序号）【解答】解：由导函数的图象可得：①由表格可知：f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，因此不正确；②x＝﹣1是f（x）的极小值点，正确；③f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，正确；④当2＜x＜4时，函数f（x）为减函数，则x＝3不是函数f（x）的极小值，因此④不正确．综上可知：②③正确．故答案为：②③三、解答题（本大题共6个小题，请写出每个题的必要的解题过程，满分75分）16．（12分）当实数m为何值时，Z＝（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i（1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内．【解答】解：（1）由，解得m＝3，∴当m＝3时，复数z为纯虚数；（2）由m2+3m+2＝0，得m＝﹣1或m＝﹣2，∴当m＝﹣1或m＝﹣2时，复数z为实数；（3）由，解得﹣1＜m＜3，∴当﹣1＜m＜3时，复数z对应的点在第二象限内．17．（12分）已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）＝（3﹣2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a 的取值范围．【解答】解：①若命题p为真，则：△＝4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2；②若命题q为真，则：3﹣2a＞1，∴a＜1；∴若p或q为真，p且q为假，则p真q假，或p假q真；∴，或；∴1≤a＜2，或a≤﹣2；∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，2）．18．（12分）设f（x）＝x3﹣x2﹣2x+5．（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣x2﹣2x+5，∴f′（x）＝3x2﹣x﹣2，令f′（x）＝0，得x＝1或x＝﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）的增区间为（﹣∞，﹣）和（1，+∞），f（x）的减区间为（﹣，1）．（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，只需使x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值小于m即可，＝f（﹣）＝5，f（2）＝7，由（1）知f（x）极大值∴f（x）在x∈[﹣1，2]中的最大值为f（2）＝7，∴m＞7．19．（12分）已知直线L的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π]），（1）将直线L的参数方程与圆C的参数方程分别化成普通方程．（2）求直线L被圆C所截得的弦长．【解答】解：（1）直线L的普通方程为2x+y﹣6＝0，圆C的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，（2）圆C的圆心为C（2，0），半径r＝2，圆心C到直线L的距离d＝＝，∴直线L被圆C所截得的弦长为2＝．20．（13分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y＝f（x）的单调性并求出单调区间．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x＝1处有极值，所以即可得，b＝﹣1．（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y＝f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）21．（14分）已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在x＝1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，则f'（1）＝2+1＝3．故曲线y＝f（x）在x＝1处切线的斜率为3；（Ⅱ）．①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，所以，函数f（x ）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max＝2…（9分）由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f （﹣）＝﹣1+ln （﹣）＝﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a ＜﹣．第11页（共11页）。
四川省雅安中学2014至2015学年高二下学期4月月考 数学文
雅安中学2014—2015学年高二年级下期月考（4月）数学试题（文史类）(命题人：姜志远审题人：鲜继裕)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. "0">x是"0">x的( )A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2. 若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是( )A．B．C．D．3.32+=xxy的导数是( )A．()2236+-xxxB．362++xxxC．()223+xxD．22)3(6++xxx4. 复数iiz+-=21（i为虚数单位)的虚部为（）A．51B．53C．53-D．i535. 设i是虚数单位,若复数2i-为纯虚数,则实数a为( )A．2 B．-2 C．12-D．126. 对于命题：p ：⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀2,0πx ,sinx+cosx>1;q ：22,sin cos 1x R x x ∃∈+>， 则下列判断正确的是（ ） A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真7.若0,0a b >>,且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值,则ab 的最大值等于( ) A ．2B ．3C ．6D ． 98. 函数),(1)(3+∞-∞+-=在x mx x f 上是减函数的一个充分不必要条件是( )A ．m<0B. 0≤mC ．1≤mD ．1<m9.在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（ ）A ．39R B.39R C ．33R D ．349R π 10. 函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是（ ） A ． ),1(e eB ． )1,0(eC ．)1,(e-∞D ． ),1(+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015-2016年四川省雅安中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）函数y＝f（x）在定义域（﹣，3）内的图象如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，]∪[1，2）D．（﹣，﹣]∪[，]∪[，3）2．（5分）若函数f（x）＝ax4+bx2+c满足f′（1）＝2，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．﹣2C．2D．03．（5分）复数z＝（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1B．﹣i C．2i D．24．（5分）已知f（x）＝xln x，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln 25．（5分）函数f（x）＝x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，1）6．（5分）已知f（x）＝a sin2x﹣sin3x（a为常数），在x＝处取得极值，则a＝（）A．B．1C．D．7．（5分）某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种8．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx＝0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）＝sin x，g（x）＝cos x；②f（x）＝x+1，g（x）＝x﹣1；③f（x）＝x，g（x）＝x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．111．（5分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A．f（x）＝sin x+cos x B．f（x）＝lnx﹣2xC．f（x）＝﹣x3+2x﹣1D．f（x）＝﹣xe﹣x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）＝．14．（5分）函数y＝x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1，k为正整数，a1＝16，则a1+a3+a5＝．15．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣2，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣f（﹣1）＞0的解集为．16．（5分）下列命题：①若f（x）存在导函数，则f′（2x）＝[f（2x）]′；②若函数h（x）＝cos4x﹣sin4x，则h′（）＝0；③若函数g（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2015）（x﹣2016），则g′（2016）＝2015!；④若三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d，则“a+b+c＝0”是“f（x）有极值点”的充要条件．其中假命题为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）求函数y＝的导数；（2）计算：C+C+C+…+C．18．（12分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？19．（12分）如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB＝90°，且AC＝1，AB＝2，E为BB1的中点，M为AC上一点，＝．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．20．（12分）已知函数f（x）＝（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b＝4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．21．（12分）某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时（其中64＜x＜100），中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为（2+）万元．（1）试将桥的总造价表示为x的函数f（x）；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A、B除外）应建多少个桥墩？22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣bx﹣（a，b为常数）在x＝1处的切线垂直于y轴．（1）求实数a，b的关系式；（2）当a＝﹣1时，函数y＝f（x）与函数g（x）＝﹣2x+m的图象有两个不同的公共点，求实数m的取值范围；（3）数列{a n}满足a n＝1﹣（n∈N+且n≥2），a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，求证：2n•a n（n∈N+，e是自然对数的底）2015-2016学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）函数y＝f（x）在定义域（﹣，3）内的图象如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，]∪[1，2）D．（﹣，﹣]∪[，]∪[，3）【解答】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，故选：A．2．（5分）若函数f（x）＝ax4+bx2+c满足f′（1）＝2，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．﹣2C．2D．0【解答】解：∵f（x）＝ax4+bx2+c，∴f′（x）＝4ax3+2bx，∴f′（﹣x）＝﹣4ax3﹣2bx＝﹣f′（x），∴f′（﹣1）＝﹣f′（1）＝﹣2，故选：B．3．（5分）复数z＝（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1B．﹣i C．2i D．2【解答】解：∵z＝＝＝＝＝1+2i，∴复数z＝（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．4．（5分）已知f（x）＝xln x，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln 2【解答】解：∵f（x）＝xln x，（x＞0）∴f′（x）＝lnx+1，∵f′（x0）＝2，∴f′（x0）＝lnx0+1＝2，解得x0＝e，∴x0的值等于e．故选：B．5．（5分）函数f（x）＝x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，1）【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2lnx（x＞0）的导数为f′（x）＝2x﹣，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．即有单调减区间为（0，1）．故选：A．6．（5分）已知f（x）＝a sin2x﹣sin3x（a为常数），在x＝处取得极值，则a＝（）A．B．1C．D．【解答】解：f′（x）＝2a cos2x﹣cos3x，根据函数f（x）在x＝处有极值，故应有f′（）＝0，即2a cos﹣cos（3×）＝﹣2×a+1＝﹣a+1＝0解得a＝1，故选：B．7．（5分）某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32＝12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32＝6种，根据分类计数原理可得，共有12+6＝18种，故选：C．8．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx＝0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）＝sin x，g（x）＝cos x；②f（x）＝x+1，g（x）＝x﹣1；③f（x）＝x，g（x）＝x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①：[sin x•cos x]dx＝（sin x）dx＝﹣cos x＝0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx＝（x2﹣1）dx＝（）≠0，∴f （x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx＝（）＝0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．9．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数f ′（x ），且函数f （x ）在x ＝﹣2处取得极小值，∴当x ＞﹣2时，f ′（x ）＞0；当x ＝﹣2时，f ′（x ）＝0；当x ＜﹣2时，f ′（x ）＜0．∴当x ＞﹣2时，xf ′（x ）＜0；当x ＝﹣2时，xf ′（x ）＝0；当x ＜﹣2时，xf ′（x ）＞0．故选：A ．10．（5分）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝2，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为（ ）A ．2B ．C ．D ．1【解答】解：如图：连接AC ，交BD 于O ，在三角形CC 1A 中，易证OE ∥C 1A ，从而C 1A ∥平面BDE ，∴直线AC 1与平面BED 的距离即为点A 到平面BED 的距离，设为h ， 在三棱锥E ﹣ABD 中，V E ﹣ABD ＝S △ABD ×EC ＝××2×2×＝ 在三棱锥A ﹣BDE 中，BD ＝2，BE ＝，DE ＝，∴S △EBD ＝×2×＝2 ∴V A ﹣BDE ＝×S △EBD ×h ＝×2×h ＝∴h ＝1故选：D ．11．（5分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x＝时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）＝﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．12．（5分）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A．f（x）＝sin x+cos x B．f（x）＝lnx﹣2xC．f（x）＝﹣x3+2x﹣1D．f（x）＝﹣xe﹣x【解答】解：对于f（x）＝sin x+cos x，f′（x）＝cos x﹣sin x，f″（x）＝﹣sin x﹣cos x，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除A；对于f（x）＝lnx﹣2x，f′（x）＝，f″（x）＝﹣，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除B；对于f（x）＝﹣x3+2x﹣1，f′（x）＝﹣3x2+2，f″（x）＝﹣6x，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除C；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）＝﹣1﹣i．【解答】解：原式＝＝﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．14．（5分）函数y＝x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1，k为正整数，a1＝16，则a1+a3+a5＝21．【解答】解：在点（a k，a k2）处的切线方程为：y﹣a k2＝2a k（x﹣a k），当y＝0时，解得，所以．故答案为：21．15．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣2，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣f（﹣1）＞0的解集为（﹣2016，﹣2015）．【解答】解由2f（x）+xf′（x）＞x2，（﹣2＜x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）＝x2f（x），则当﹣2＜x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣2，0）上是减函数，∴F（x+2014）＝（x+2014）2f（x+2014），F（﹣1）＝f（﹣1），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣1）＞0，即F（x+2014）＞F（﹣1），∵F（x）在（﹣2，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣1）得，﹣2＜x+2014＜﹣1，即﹣2016＜x＜﹣2015，故答案为：（﹣2016，﹣2015）16．（5分）下列命题：①若f（x）存在导函数，则f′（2x）＝[f（2x）]′；②若函数h（x）＝cos4x﹣sin4x，则h′（）＝0；③若函数g（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2015）（x﹣2016），则g′（2016）＝2015!；④若三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d，则“a+b+c＝0”是“f（x）有极值点”的充要条件．其中假命题为①②④．【解答】解：①[f（2x）]′＝f′（2x）（2x）′＝2f′（2x），①错误；②h（x）＝cos4x﹣sin4x＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，h′（x）＝﹣2sin2x，则h′＝﹣1，②错；③g（x）＝[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2015）]（x﹣2016），则g′（x）＝[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2015）]′（x﹣2016）+[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2015）]，则g′（2016）＝2015×2014×…×1＝2015!；故③正确，④f′（x）＝3ax2+2bx+c，△＝4b2﹣12ac＝4（b2﹣3ac），只需b2﹣3ac＞0即可，a+b+c＝0是b2﹣3ac＞0的充分不必要条件，④错．故答案为：①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）求函数y＝的导数；（2）计算：C+C+C+…+C．【解答】（1）解：y′＝（）′＝＝﹣，（2）：＝＝＝32918．（12分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解答】解：（1）为保证“恰有一个盒内不放球”，先选一个盒子，有种方法；再将4个球分成2，1，1三组，有种分法，然后全排列，由分步乘法计数原理，共有种放法，故共有＝144种放法；（2）“恰有一个盒内有2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，共有＝144种放法；（3）先从四个盒子中任意拿走两个，有种方法．然后问题转化为：“4个球，两个盒子，每个盒子必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为3，1和2，2两类：第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有种放法；第二类：有种放法．由分步计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有（+）＝84放法．19．（12分）如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB＝90°，且AC＝1，AB＝2，E为BB1的中点，M为AC上一点，＝．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，∵E为BB1的中点，∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AA1＝h，则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），B1（2，0，h），设F（x，0，z），则∥，∥，∵＝（x，0，z），＝（2，0，h），∴①∵＝（x，0，z﹣h），＝（2，0，﹣），∴＝②，由①②得z＝h，x＝，或F作FT⊥AB，则＝＝，则∴AF＝AB1，∵＝．∴MF∥CB1，∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，∴CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为＝（x，y，z），平面MA1E的法向量为＝（x，y，z），则，则，令z＝1，则x＝，y＝0，则＝（，0，1），由得，令z＝1，则x＝，y＝，即＝（，，1）|cos＜，＞|＝＝，得h2＝2，即h＝，则AA1的长度为．20．（12分）已知函数f（x）＝（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b＝4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．【解答】解：（1）当b＝4时，f（x）＝（x2+4x+4）＝（x），则＝．由f′（x）＝0，得x＝﹣2或x＝0．当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．∴当x＝﹣2时，f（x）取极小值为0．当x＝0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）＝（x2+bx+b），得：＝．由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．∴对任意x∈（0，）恒成立．∵．∴．∴b的取值范围是．21．（12分）某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时（其中64＜x＜100），中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为（2+）万元．（1）试将桥的总造价表示为x的函数f（x）；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A、B除外）应建多少个桥墩？【解答】解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价，即＝（64＜x ＜100）…（7分）（表达式写成同样给分）（2）由（1）可求，整理得，由f′（x）＝0，解得x1＝80，（舍），又当x∈（64，80）时，f′（x）＜0；当x∈（80，100）时，f′（x）＞0，所以当x＝80，桥的总造价最低，此时桥墩数为…（14分）22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣bx﹣（a，b为常数）在x＝1处的切线垂直于y轴．（1）求实数a，b的关系式；（2）当a＝﹣1时，函数y＝f（x）与函数g（x）＝﹣2x+m的图象有两个不同的公共点，求实数m的取值范围；（3）数列{a n}满足a n＝1﹣（n∈N+且n≥2），a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，求证：2n•a n（n∈N+，e是自然对数的底）【解答】解：（1）由f（x）＝lnx﹣bx﹣，得，由f′（1）＝0，得1﹣b+a＝0，即b＝a+1；（2）当a＝﹣1时，b＝0，f（x）＝lnx+，令F（x）＝f（x）﹣g（x），即F（x）＝lnx++2x﹣m，于是函数y＝f（x）与函数g（x）＝﹣2x+m的图象有两个不同的公共点，等价于有两个不同的根．令h（x）＝lnx+2x，，∴h（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，且h（）＝3﹣ln2，当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞．∴当m＞3﹣ln2时，函数y＝f（x）与函数g（x）＝﹣2x+m的图象有两个不同的公共点；（3）a n＝1﹣，∴，，则数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列，，则，由（2）知，，令，得，即，∴，，…，累加得：＝S n+a n﹣1．即．∴2n•a n．。
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2014-2015学年四川省雅安市重点中学高二（下）期初数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确一组是（）A．B．C．D．考点：赋值语句．专题：规律型．分析：要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把b的值赋给中间变量c，再把a的值赋给变量b，把c的值赋给变量a．解答：解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=17，再把a的值赋给变量b，这样b=8，把c的值赋给变量a，这样a=17故选B点评：本题考查的是赋值语句，考查逻辑思维能力，属于基础题．2．（5分）（2013•朝阳区校级模拟）读两段程序：对甲、乙程序和输出结果判断正确的是（）A．程序不同，结果不同B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并打印S值解答：解：程序甲是计数变量i从1开始逐步递增直到i=1000时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是：1+2+3+ (1000)程序乙计数变量从1000开始逐步递减到i=1时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是1000+999+ (1)但这两个程序是不同的．两种程序的输出结果都是：S=1+2+3+…+1000=100500．故选B．点评：考查由框图分析出算法结构的能力，本题考查是循环的结果．3．（5分）（2015春•雨城区校级月考）二进制数101110（2）转化为八进制数为（）A．45（8）B．56（8）C．67（8）D． 78（8）考点：进位制；整除的基本性质．专题：算法和程序框图．分析：利用101110（2）=1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0×20=46（10）．再利用“除8取余法”即可得出．解答：解：101110（2）=1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0×20=46（10）．再利用“除8取余法”可得：46（10）=56（8）．故选：B．点评：本题考查了本题“进位制”的互化，属于基础题．4．（5分）（1992•云南）不等式的解集是（）A．{x|5＜x＜16} B．{x|6＜x＜18} C．{x|7＜x＜20} D．{x|8＜x＜22}考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式可得﹣1＜﹣3＜1，即2＜＜4，化为4＜x﹣2＜16，由此求得不等式的解集．解答：解：由不等式，可得﹣1＜﹣3＜1，故有2＜＜4，∴4＜x﹣2＜16，解得6＜x＜18，故选B．点评：本题主要考查绝对值不等式、根式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）（2015春•雨城区校级月考）命题“若x2+y2=0，则x、y全为0”的逆否命题是（）A．若x、y全为0，则x2+y2≠0 B．若x、y不全为0，则x2+y2=0C．若x、y全不为0，则x2+y2≠0 D．若x、y不全为0，则x2+y2≠0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出该命题的逆否命题即可．解答：解：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，得：命题“若x2+y2=0，则x、y全为0”的逆否命题是命题“若x、y不全为0，则x2+y2≠0”．故选：D．点评：本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015春•雨城区校级月考）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据x2＞0，得到x的范围和x＞0比较即可．解答：解：由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．7．（5分）（2009秋•江西期中）若|x﹣a|＜h，|y﹣a|＜h，则下列不等式一定成立的是（）A．|x﹣y|＜h B．|x﹣y|＜2h C．|x﹣y|＞h D． |x﹣y|＞2h考点：不等关系与不等式．专题：计算题；综合题．分析：由题意分别解两个绝对值不等式，根据不等式的运算性质，利用两个同向不等式相加即可．解答：解：∵|x﹣a|＜h⇒﹣h＜x﹣a＜h ①∵|y﹣a|＜h⇒﹣h＜y﹣a＜h⇒﹣h＜a﹣y＜h ②根据不等式的性质①+②得﹣2h＜x﹣y＜2h∴|x﹣y|＜2h故选B点评：本题考查绝对值不等式的解法以及不等式性质的运用，属于基础题．8．（5分）（2015春•雨城区校级月考）使|x﹣4|+|x﹣5|＜a有实数解的a为（）A．a＞1 B．1＜a＜9 C．a＞1 D． a≥1考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据绝对值的意义可得|x﹣4|+|x﹣5|的最小值，从而求得a的范围．解答：解：由于|x﹣4|+|x﹣5|表示数轴上的x对应点到4、5对应点的距离之和，它的最小值为1，故使|x﹣4|+|x﹣5|＜a有实数解的a应满足a＞1，故选：A．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．9．（5分）（2013•杨浦区校级模拟）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）A．27 B．86 C．262 D．789考点：算法思想的历程．专题：计算题．分析：根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，得出结果即可解答：解：f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x故v3=（（7x+6）x+5）x+4当x=3时，v3=（（7×3+6）×3+5）×3+4=262故选C．点评：本题考查排序问题与算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键10．（5分）（2015•嘉兴二模）在△ABC中，“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可．解答：解：若B为钝角，A为锐角，则sinA＞0，cosB＜0，则满足sinA＞cosB，但△ABC为锐角三角形不成立，若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角形的性质是解决本题的关键．11．（5分）（2005•重庆）若x，y是正数，则+的最小值是（）A． 3 B．C． 4 D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：连续用基本不等式求最小值，由题设知+≥2（x+）×（y+）整理得知+≥2（xy++1），其中等号成立的条件是x=y，又xy+≥2=1等号成立的条件是xy=与x=y联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x=y=，计算出最值是4解答：解：∵x，y是正数，∴+≥2（xy++1），等号成立的条件是x+=y+，解得x=y，①又xy+≥2=1等号成立的条件是xy=②由①②联立解得x=y=，即当x=y=时+的最小值是4故应选C．点评：本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到．本题是一道易错题．12．（5分）（2008•深圳二模）如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是（）A．B．C．D．考点：选择结构；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：程序框图的功能是求a，b，c的最大值，根据输出的结果是sinθ，建立不等式，然后在给定范围内解三角不等式即可．解答：解：程序框图的功能是求a，b，c的最大值∵输出的结果是sinθ，∴sinθ最大即解得故选D．点评：本题主要考查了选择结构，以及解三角不等式，弄清算法功能是解题的关键，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）．13．（4分）（2013•朝阳区校级模拟）228与1995的最大公约数是57．考点：最大公因数．专题：计算题．分析：利用两个数中较大的一个除以较小的数字，得到商是8，余数是171，用228除以171，得到商是1，余数是57，用171除以57，得到商是3，没有余数，所以两个数字的最大公约数是57，得到结果．解答：解：∵1995÷228=8…171，228÷171=1…57，171÷57=3，∴228与1995的最大公约数是57，故答案为：57．点评：本题考查用辗转相除计算最大公约数，是一个基础题，这种题目出现的机会不是很多，属于基础题．14．（4分）（2013•泗县模拟）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为﹣．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当x=10，执行完循环体后，y=4，|y﹣x|=6＜1不成立，故继续循环，则x=4，y=1，当x=4，y=1时，|y﹣x|=3＜1不成立，故继续循环，则x=1，y=﹣，当x=1，y=﹣时，|y﹣x|=＜1不成立，故继续循环，则x=﹣，y=﹣，当x=﹣，y=﹣时，|y﹣x|=＜1成立，故退出循环，故输出的y的值为﹣，故答案为：﹣点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．（4分）（2014•海淀区校级模拟）给定下列命题：①若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根；②“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用判别式的符号判断①的正误；命题的否命题的真假判断②的正误；逆命题的真假判断③的正误；通过命题的否命题的真假判断④的正误；解答：解：对于①，若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根，∵△4+4k＞0，∴方程x2+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根；①正确；对于②，“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题：若a≤b，则a+c≤b+c，满足不等式的基本性质，∴②正确；对于③，“矩形的对角线相等”的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，显然不正确，例如等腰梯形，∴③不正确；对于④，“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题：若xy≠0，则x、y中都不为0．正确；正确命题：①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定以及四种命题的关系，考查基本知识的应用．16．（4分）（2015春•雨城区校级月考）已知p：对x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，4）．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0．综上＜a＜4或a＜0，所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．故答案为：（﹣∞，0）∪（，4）．点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明证明过程或运算步骤）．17．（12分）（2015春•雨城区校级月考）解下列不等式：（1）|x2﹣2x|＞3（2）0＜|x﹣2|+x＜4．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由不等式可得x2﹣2x＞3 ①或x2﹣2x＜﹣3 ②，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．（2）由原不等式可得③，或④．分别求得③④的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（1）∵|x2﹣2x|＞3，∴x2﹣2x＞3 ①或x2﹣2x＜﹣3 ②．解①求得：x＜﹣1或x＞3，解②求得：x∈∅，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（2）∵0＜|x﹣2|+x＜4，∴③，或④．解③求得2≤x＜3，解④求得x＜2．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜3}．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（12分）（2015春•雨城区校级月考）已知p：≥2，q：x2﹣4x+4﹣9m2≤0 （m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式的解法，分别求出集合A和B，若非p是非q的充分不必要条件，则q 是p的充分不必要条件，从而求出m的范围．解答：解：解不等式可求得：p：﹣2＜x≤3，q：2﹣3m≤x≤2+3m （m＞0）．…（4分）则¬p：A={x|x≤﹣2或x＞3}，¬q：B={x|x＜2﹣3m或x＞2+3m，m＞0}．由已知¬p⇒¬q，得A⊊B，…（8分）从而．解得0＜m≤…（13分）点评：本题以集合的定义与子集的性质为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．19．（12分）（2015春•雨城区校级月考）已知a，b∈R+．（1）若log a=﹣2，求证：3a+12b≥9；（2）若2a+b=1，求ab的最大值．考点：不等式的证明；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由题意可得b=，可得3a+12b=++由基本不等式可得；（2）由基本不等式可得ab=•2a•b≤（）2=，验证等号成立即可．解答：解：（1）∵log a=﹣2，∴=a2，∴b=，∴3a+12b=3a+=++≥3=9当且仅当=即a=2且b=时取等号，∴3a+12b≥9；（2）∵正数ab满足2a+b=1，∴ab=•2a•b≤（）2=，当且仅当2a=b即a=且b=时取等号，∴ab的最大值为点评：本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值，属中档题．20．（12分）（2015春•雨城区校级月考）若n∈N*，定义：n!=n（n﹣1）（n﹣2）…3×2×1，如3!=3×2×1=6．某同学设计了一个计算1!+2!+3!+…+20!的程序框图如下：（1）完善如图1程序框图；（2）在图2中写出该程序框图所对应的程序语句．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件结合程序框图的应用进行求解．解答：解：（1）由条件知共运行20次，则条件①为i≤20？②p=p×i，③s=s+p（2）i=1p=1s=0while i＜=20p=p*is=s+pi=i+1wendprint send点评：本题主要考查程序框图的识别和判断以及程序语句的编写，正确理解题意是解决本题的关键．21．（12分）（2015春•雨城区校级月考）已知直角三角形周长为2，求该三角形面积最大值．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c=，两次运用均值不等式即可求解．解答：解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L=2，由于a+b+=L≥2+．（当且仅当a=b时取等号）∴≤．∴S=ab≤（）2=•==3﹣2．故当且仅当a=b=2﹣，该三角形的面积最大，且为3﹣2．点评：利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．22．（14分）（2015春•雨城区校级月考）函数f（x）=log a（2x2+x），（a＞0，a≠1），若∀x∈（0，]，恒有f（x）＞0，解关于x的不等式：f[log2（9x+22x+1+1）]＞f[2log4（6x+4x+1+1）]．考点：对数函数的图像与性质．专题：转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题意，由f（x）＞0得出0＜a＜1；判断f（x）在（0，+∞）上是减函数，由此把所求的不等式化为对数不等式，再根据对数函数的单调性求出x的取值范围即可．解答：解：∵x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），函数f（x）=log a（2x2+x）在x∈（0，）时恒有f（x）＞0，∴0＜a＜1；由2x2+x＞0，得f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（0+∞）；又∵t=2x2+x在（0，+∞）上是增函数，y=log a t在（0，+∞）上是减函数，∴函数f（x）=log a（2x2+x）在（0，+∞）上是减函数；又∵9x+22x+1+1＞1，6x+4x+1+1＞1，∴log2（9x+22x+1+1）＞0，2log4（6x+4x+1+1）＞0；由f（x）的单调性知，f（log2（9x+22x+1+1））＞f（2log4（6x+4x+1+1））可化为log2（9x+22x+1+1）＜2log4（6x+4x+1+1），即9x+22x+1+1＜6x+4x+1+1，∴32x+2•22x＜2x•3x+4•22x；∴﹣﹣2＜0，∴[﹣2][+1]＜0，解得﹣1＜＜2，即x＜2；∴不等式的解集为{x|x＜2}．点评：本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．。