2020版高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学案(含解析)理

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高考数学第一轮知识点第2课时等差数列及其前n项和课时复习课件理

∴n－n 1＝43.∴n＝4，an＝11.
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242，得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝－22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增；若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数列． 2．等差数列的最值若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0，前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次

2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第5章第3节等比数列及其前n项和含答案

第三节等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q(n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝a b.2．等比数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)当q ≠－1时，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列． [常用结论]1．“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．2．若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n (k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列． ( )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝a b. ( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36C.812 D ．54C [公比q ＝a 4a 3＝1812＝32，则a 6＝a 4q 2＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝812.]3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]4．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝________. 4 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝1，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝52，消去a 1得1q ＋q ＝52，解得q ＝12或q ＝2.又0＜q ＜1，故q ＝12，此时a 1＝4.]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.]等比数列基本量的运算1．(2019·n S n ，若a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( )A ．1B ．5 C.3148 D.1116D [由S 3＝3a 3得a 1＋a 2＝2a 3， ∴1＋q ＝2q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)． ∴S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23×3332＝1116，故选D.]2．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.32 [设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.]3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[规律方法] 解决等比数列有关问题的两种常用思想等比数列的判定与证明【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn . (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．[解] (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a nn ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.等比中项法：若数列n n n (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.等比数列性质的应用►考法1 【例2】 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.(1)50 (2)31 [(1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎨⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n ＞0，q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎨⎧ a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31.]►考法2 等比数列前n 项和的性质【例3】 (1)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________．(2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式a n ＝________.(1)63 (2)12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1[(1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝48，①a 1(1－q 2n )1－q ＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n ＝14.③ 将③代入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝(S 2n －S n )2Sn＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为S 2n ＝S n ＋q n S n ，所以q n ＝S 2n －S n S n＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q 2n S n ＝60＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.](1)已知等比数列{a n }的公比q ＞0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50(1)B (2)B [(1) a 5·a 7＝a 26＝4a 24，∴a 6＝2a 4，则a 6a 4＝q 2＝2.∴q ＝2，从而a 1＝12＝22，故选B. (2)S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝4＋8＋16＋32＝60.]等差、等比数列的综合问题【例4】 (1)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52A [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝2(5－1)(5＋1)(5－1)＝5－12，故选A.](2)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. ①求{a n }的通项公式； ②求e a 1＋e a 2＋…＋e a n . [解] ①设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2.又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. ②因为e a 1＝e ln 2＝2，＝＝e ln 2＝2，所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n1－2＝2(2n －1)．n 1248(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎨⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ， ∴b n ＝2n ，∴b n ＋1b n＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1C.12D.18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D.n (n －1)2A [由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2.∴S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1)．]3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.－8 [设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1， ① a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.①(1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎨⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0.解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21.当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

2020版新高考复习理科数学教学案：数列含答案 (2)

答案：C
6．[20xx·惠州调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中.a1＝1,2a3.a5,3a4成等差数列.则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．2n－1B．2n－1－1
C．2n－1D．2n
解析：通解：设{an}的公比为q(q>0).由题意知2a5＝2a3＋3a4.∴2a3q2＝2a3＋3a3q.∴2q2＝2＋3q.∴q＝2或q＝－ (舍去).所以an＝2n－1.
■备考工具——————————————
1．求数列的前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋ .
②等比数列的前n项和公式
a．当q＝1时.Sn＝na1；
b．当q≠1时.Sn＝＝ .
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项相消：把一个数列的通项分成两项差的形式.相加过程中消去中间项.只剩有限项再求和．
通项公式的推广
an＝a1qn－1
(揭示首末两项的关系)
an＝amqn－m
(揭示任意两项之间的关系)
(2)前n项和公式
Sn＝或Sn＝
7．等比数列的性质
若{an}为等比数列.则
(1){a }. .{c·an}(c≠0)都是等比数列．
(2)各项及公比都不为0.
8．等比数列项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m.n.p.q∈N*).则am·an＝ap·aq.
令n＝101.则S101＋a101＝2×101－6＋ .所以S101＋(S101－S100)＝196＋ .得2S101－S100＝196＋ ②.
将①代入②得S100＝2× －196－＝396＋－196－＝200.选B.
答Байду номын сангаас：B

2020年高考理科数学一轮总复习：等差数列及其前n项和教师版

2020年高考理科数学一轮总复习等差数列及其前n 项和[基础梳理]1．等差数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数； S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数． [四基自测]1．(教材改编)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A2．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B3．(教材改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 答案：D4．在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．答案：165．已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________. 答案：514(15n －n 2)考点一等差数列的性质及基本量的运算◄考基础——练透角度1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B. 答案：B(2)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．70 B ．58 C ．51D ．40解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×(1＋13)2＝58.故选B.答案：B角度2 用等差数列性质进行计算[例2] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×2a52＝27.故选D.答案：D(2)(2019·河北唐山第二次模拟)设{a n}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．2X＋Z＝3Y B．4X＋Z＝4YC．2X＋3Z＝7Y D．8X＋Z＝6Y解析：设数列{a n}的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，Y－X，R－Y，Z－R成等差数列，所以2(Y－X)＝X＋R－Y，解之得R＝3Y－3X，又因为2(R－Y)＝Y－X＋Z－R，把R＝3Y－3X代入得8X＋Z＝6Y，故选D.答案：D等差数列的计算技巧1．已知等差数列{a n}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{a n}的公差为()A．－3 B．－5 2C．－2 D．－4 解析：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为⎩⎨⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4，故选D.答案：D2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝8，∴a 3＝4，又∵a 3＋a 5＝2a 4， ∴a 5＝2a 4－a 3＝14－4＝10. 故选B. 答案：B3．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156解析：3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.答案：B考点二等差数列的判定与证明◄考能力——知法角度1 用等差数列定义证明[例3] (2019·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．解析：(1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12(n ＝1)，－12n (n －1)(n ≥2).角度2 用等差中项法证明[例4] 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n . (1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？解析：(1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1，于是有a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2，所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列．(2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，则2a 1q m ＋1＝a 1q m ＋a 1q m －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2a 13[1－(－12)m ＋2] ＝2a 13 [1－14×(－12)m ]，S m ＋S m ＋1＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ]1－(－12)＋a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1]1－(－12)＝2a 13[1－(－12)m ＋1－(－12)m ＋1] ＝2a 13[2－12×(－12)m ]，所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．(证明用) (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1.(证明用) (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．将本例1条件变为“数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，”求证：{a n }为等差数列．证明：因为2S n －na n ＝n ，①所以当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1，② 所以①－②得：(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1， (1－n )a n ＋1＋na n ＝1，所以2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列．考点三等差数列前n 项和及综合问题◄考素养——懂理[例5] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.①求{a n }的通项公式； ②求S n ，并求S n 的最小值．解析：①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．①求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；②设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解析：①∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .②由①知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎨⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.关于等差数列前n 项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为： (1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法． ①_x0001_求和：用哪个公式，需要哪些量．②求S n 最值：(ⅰ)借助S n 的二次函数法； (ⅱ)借用通项的邻项变号法a 1>0，d <0，满足⎩⎨⎧ a m ≥0a m ＋1≤0S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎨⎧a m ≤0a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19D ．18解析：由a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35. a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a n ＝a 4＋(n －4)×d ＝33＋(n －4)×(－2)＝－2n ＋41. ∴a 20＞0，a 21＜0，∴当n ＝20时，S 20最大，故选B. 答案：B2．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解析：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎨⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎨⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎨⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312， ∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.数学建模——传统文化中的数列的学科素养在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养.[例1] 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺解析：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．故选B. 答案：B[例2] 中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤B ．184斤C.191斤 D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B.答案：B课时规范练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14 D.12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0.答案：B2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( )A ．3,7,9,15,100B ．4,10,12,34,100C ．5,11,16,30,100D ．4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B. 答案：B3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A. 答案：A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 1＋8×72d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A. 答案：A5．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15 解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.答案：B6．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97解析：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，解得a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝－1＋99×1＝98.答案：C7．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n－a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：108．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5. 答案：59．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值．(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n＋1＝1a n＋1＝1a n2a n＋1＝2a n＋1a n，∴b n＋1－b n＝2a n＋1a n－1a n＝2.又∵b1＝1a1＝1，∴数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b n＝1a n，∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.。

2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：5-2等差数列及其前n项和含解析

课时规范练A 组基础对点练1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( A ) A ．5 B.7 C ．9D.112．(2018·合肥质量检测)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( C ) A ．112 B.51 C ．28D.18解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋7×(7－1)2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.3．(2018·陕西省高三质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( D ) A ．27 B.36 C ．45D.54解析：因为在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，所以a 5＝6，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54.故选D.4．(2018·西安地区八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( B ) A ．S 4<S 3 B.S 4＝S 3 C ．S 4>S 1D.S 4＝S 1解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝－9，d ＝3.则S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.5．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( C ) A ．d <0 B.d >0 C ．a 1d <0D.a 1d >0解析：∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n ＋1－a n ＝d ，又数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n ＝2a 1d <1，∴a 1d <0.故选C.6．设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( C ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 解析：∵{a n }是等差数列， ∴a 2＝a 1＋a 32.A 项中只提供a 1＋a 2＞0，并不能判断a 2＋a 3＞0，即A 错误．同理B 也是错误的．假设0＜a 1＜a 2，则a 1＞0，公差d ＞0， ∴a 3＞0， ∴a 1＋a 32＞a 1a 3，∴a 2＞a 1a 3. 即C 正确．D 项中无法判断公差d 的正负，故(a 2－a 1)(a 2－a 3)无法判断正负，即D 错误．故选C.7．(2016·高考北京卷)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝__6__. 8．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为__5__.9．(2016·高考江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是__20__.解析：设等数差数{a n }的公差为d ，则由a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5(5－1)2d ＝10，解得d ＝3，a 1＝－4，所以a 9＝a 1＋8d ＝20.10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，则数列{a n }的公差为__2__. 解析：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝5a 4－10， ∴5a 3＝5a 4－10，∴5(a 4－a 3)＝5d ＝10，解得d ＝2.11．(2016·高考全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4，所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)设b n ＝12(S n －n )，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎨⎧a 2＝3，a 7－S 3＋1＝0，又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，解得⎩⎨⎧a 2＝3，a 7＝8，即⎩⎨⎧ a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝1，∴a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2. (2)∵b n ＝12(S n －n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. B 组能力提升练1．(2018·广州综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n ，若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( A ) A ．4n ＋2 B.4n C ．2n ＋1D.2n解析：因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( B ) A ．7 B.8 C ．9D.10解析：根据等差数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30构成等差数列，所以(S 20－S 10)＋(S 30－S 20)＝S 10＋(S 40－S 30)，即S 30－S 10＝S 40－S 30＋S 10，所以S 40＝2S 30－2S 10＝8.故选B.3．(2018·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A ) A ．55 B.11 C ．50D.60解析：法一设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，所以a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.法二设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，解得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.4．设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( A ) A ．9B.10C ．11 D.12解析：由题意可得{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，所以S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 62·11<0，故选A. 5．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( B ) A ．10 B.20 C ．30D.40解析：∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n ＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列． ∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20(x 1＋x 20)2， ∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16， ∴x 5＋x 16＝20.故选B.6．(2018·贵阳适应试题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱(“钱”是古代的一种重量单位)，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”在这个问题中，丙所得为( D ) A.76钱 B.56钱 C.23钱D.1钱解析：法一设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，公差为d ，则由题意，得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，即⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，所以a 3＝a 1＋2d ＝1.故选D.法二设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，因为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，所以5a 3＝5，则a 3＝1，所以丙所得为1钱．故选D. 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝32，则a 2＋2a 5＋a 6＝__16__. 解析：∵S 8＝32， ∴8(a 1＋a 8)2＝32，可得a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝8. 则a 2＋2a 5＋a 6＝2(a 4＋a 5)＝2×8＝16.8．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n 的最大值是__121__.解析：设数列{a n }的公差为d ，由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12. 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12为单调递减数列，所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121. 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__－49__. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，所以nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49.10．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.11．(2018·郑州质量预测)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n ，求{b n }的前n 项和S n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，因为2a 1，a 3,3a 2成等差数列，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q . 所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)，所以a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛ 1n －⎭⎪⎫1n ＋2，所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).。

2020版高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和讲义理(含解析)

题型错误! 等比数列的判断与证明
（2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1,nan＋1＝2（n＋1)an,设 bn＝ ann.
(1）求 b1，b2，b3；（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由； (3)求｛an｝的通项公式．解 (1）由条件可得 an＋1＝错误!an。将 n＝1 代入，得 a2＝4a1，而 a1＝1,所以 a2＝4。将 n＝2 代入，得 a3＝3a2，所以 a3＝12. 从而 b1＝1,b2＝2，b3＝4。（2）｛bn｝是首项为 1，公比为 2 的等比数列．由题设条件可得na＋n＋11 ＝错误!，即 bn＋1＝2bn，又 b1＝1，所以｛bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．（3）由（2）可得错误!＝2n－1，所以 an＝n·2n－1. 条件探究 1 将举例说明条件改为“a1＝1，a2，n－（2an＋1－1)an－2an＋1 ＝0，且 an>0"，求｛an｝的通项公式．
答案 6
解析因为 a1＝2,an＋1＝2an，所以 an≠0,故aan＋n 1＝2.
所以数列{an}是公比为 2 的等比数列，因为 Sn＝126，所以错误!＝126, 所以 2n＝64，故 n＝6.
题型错误! 等比数列基本量的运算
1．已知等比数列{an｝满足 a1＋a2＝6,a4＋a5＝48,则数列｛an}前 8 项的和 S8＝（）
第 3 讲等比数列及其前 n 项和
［考纲解读］ 1。理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系． 2。掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．(重点) 3。熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质．(难点）

2020届高三数学一轮复习：第5章第2节等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－1 B.1 C ．2D.－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5 B.7 C ．9D.11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100 B.99 C ．98D.97C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数． 16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }，则a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n . 由a n ＝6n ≤100，即n ≤1646＝1623，则在100以内有16个能被6整除的数．]n n 为{a n }的前n项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D.12(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A ．9 B.10 C ．11D.15(1)B (2)B [(1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B.1 C ．2D.3(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：01772176】(1)C (2)－72 [(1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.5分又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.7分 (2)由(1)知，b n ＝n －72，9分则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.12分[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[变式训练2] (1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )【导学号：01772177】A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝__________.(1)C (2)480 [(1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480.]每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61a 62a 63 图5-2-1 A ．2 B.8 C ．7D.4(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．(1)C [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.](2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，4分即d ＝－213a 1.7分从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0.9分故当n ＝7时，S n 最大.12分法二：由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，5分即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，9分解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.12分法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，5分故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，9分所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大.12分 [规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[变式训练3] (1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18 B.99 C ．198D.297(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝__________.(1)B (2)20 [(1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….2．等差数列{a n }中，a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，均是关于“n ”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．[易错与防范]1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和S n的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．。

数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析

第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。

理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。

(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。

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第二节等差数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －d 2＝n a 1＋a n2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }和{a 2n ＋1}也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .[常用结论]1．等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则有a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的． ( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项C [由题意知a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14，令－3n ＋14＝－49得n ＝21，故选C.]3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．6B [a 2，a 4，a 6成等差数列，则a 6＝0，故选B.] 4．小于20的所有正奇数的和为________．100 [小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S 10＝＋2＝100.]5．(教材改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. －1 [由S 2＝S 6得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，即a 4＋a 5＝0，又a 4＝1，则a 5＝－1.]1n n 61819 2 018的值是( ) A ．4 039 B ．4 038C ．2 019D ．2 038A [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋22d ＝54，19a 1＋171d ＝437，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝2，所以a 2 018＝5＋2017×2＝4 039，故选A.]2．(2019·武汉模拟)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 7＝2a 1＋6d ＝－8，a 2＝a 1＋d ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－3，a 1＝5，故选C.]3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )A ．18B ．20C ．21D ．25C [用a n 表示第n 天织布的尺数，由题意知，数列{a n }是首项为5，项数为30的等差数列．所以a 1＋a 302＝390，即＋a 302＝390，解得a 30＝21，故选C.] 4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________. －72 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]等差数列运算问题的一般求法是设出首项公式转化为方程组求解等差数列的通项公式及前个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题【例1】已知数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1a n －1＝a na n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.[拓展探究] 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)·a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．[解] 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .定义法：证明对任意正整数等差中项法：证明对任意正整数＋1－a n ＝a 通项公式法：判定数列{a n }前法证明数列{an 1n ＋1n (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[解] (1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，得na n ＋1－n ＋a nn n ＋＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .►考法1 【例2】 (1)(2019·长沙模拟)数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12(2)(2019·银川模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(1)D (2)A [(1)数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，利用等差数列的性质可知，a 3＋a 4＋a 5＝a 2＋a 4＋a 6＝12.(2)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32得4a 8＝32，即a 8＝8.又d ≠0，所以等差数列{a n }是单调数列，由a m ＝8，知m ＝8，故选A.] ►考法2 等差数列前n 项和的性质【例3】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45C ．36D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.(1)B (2)8 076 [(1)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.(2)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝8 076.]在等差数列m 、，则k 是常用的性质掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口 (1)n n 102030(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m ＝________.(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.(1)60 (2)6 (3)3727 [(1)由题意知，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列．则2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，即40＝10＋(S 30－30)，解得S 30＝60.(2)S 2m －1＝m －a 1＋a 2m －12＝m －a m2＝110，解得m ＝6.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132a 1＋a13132b 1＋b 13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.]【例4】 n n 1311S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8C [(1)法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．](2)已知等差数列{a n }的前三项和为－3，前三项的积为8. ①求等差数列{a n }的通项公式；②若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和T n . [解] ①设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.②当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3. 记数列{3n －7}的前n 项和为S n ，则S n ＝n －＋n －2＝32n 2－112n . 当n ≤2时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－32n 2＋112n ，当n ≥3时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a n )＝S n －2S 2＝32n 2－112n ＋10，综上知：T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋112n ，n ≤2，32n 2－112n ＋10，n ≥3.(1)在等差数列{n }中，1＋3＋5＝105，2＋4＋6＝99，以n 表示{n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. (1)B (2)130 [(1)因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，所以a 3＝35，a 4＝33，所以d ＝－2，a 1＝39.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n ≥0，解得n ≤412，所以当n ＝20时S n 达到最大值，故选B.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋…＋a 15)＝S 15－2S 5＝130.]1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192C ．10D ．12B [∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.]3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5.]4．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．[解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________。