4类图完美匹配数目的递推求法
递推算法详解 -回复
递推算法详解-回复什么是递推算法？递推算法，也称为迭代算法，是一种解决问题的数学或计算方法。
它通过定义初始条件和递推公式来计算求解一个问题的过程，并将问题的规模逐步缩小，直至达到基本情况可以被直接求解。
递推算法常常在计算机科学、数学、物理学等领域中被广泛应用。
递推算法的基本思想是通过已知结果计算未知结果，并逐步推导出整体的解。
它通常涉及将问题划分为一系列相互依赖的子问题，并根据子问题的解来推导出更大规模问题的解。
递推算法的核心是找到递归公式或迭代关系，通过不断迭代计算的方式逐步逼近最终解。
递推算法的特点是具有清晰的步骤和明确的终止条件。
它的执行过程可以看作是一系列有序的操作步骤，每一步都在上一步的基础上进行计算，直到达到终止条件为止。
递推算法通常使用迭代结构或递归函数实现，具有高效、可靠、易于理解的优点。
递推算法在实际问题中的应用非常广泛。
它可以用于解决数列求和、排列组合、动态规划、图算法等各种问题。
在数学中，斐波那契数列就是一个常见的递推数列，其递推公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，然后给定初始条件F(0) = 0，F(1) = 1，通过递推公式可以依次求解出每一个数的值。
递推算法的步骤可以总结为以下四个：1. 找到基本情况：递推算法的终止条件是基本问题的解，请确定问题的边界。
2. 设计递归公式：根据问题的性质确定递归公式或迭代关系，以便将问题拆解为更小的子问题。
3. 确定初始条件：确定问题的初始条件或起始状态。
4. 实施递推：通过递推公式或迭代关系将问题规模不断缩小，直到达到基本情况，然后计算基本情况下的解。
对于求解递归问题，递推算法通常具有较高的时间复杂度。
这是因为在递推过程中，需要重复计算许多中间值，并且递归函数的调用过程会导致额外的函数调用开销。
为了提高执行效率，可以使用记忆化搜索等技术来优化递推算法。
总结起来，递推算法是一种通过定义初始条件和递推公式来计算求解问题的方法。
五种典型的递推关系
五种典型的递推关系1.Fibonacci数列在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为⼤家所熟悉的。
在最基础的程序设计语⾔Logo 语⾔中，就有很多这类的题⽬。
⽽在较为复杂的Basic、Pascal、C语⾔中，Fibonacci数列类的题⽬因为解法相对容易⼀些，逐渐退出了竞赛的舞台。
可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反，⼀些此类的题⽬还是能给我们⼀定的启发的。
数列的代表问题是由意⼤利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔⼦繁殖问题”(⼜Fibonacci数列称“Fibonacci问题”)。
问题的提出：有雌雄⼀对兔⼦，假定过两个⽉便可繁殖雌雄各⼀的⼀对⼩兔⼦。
问过n个⽉后共问题有多少对兔⼦？解：设满x个⽉共有兔⼦Fx对，其中当⽉新⽣的兔⼦数⽬为Nx对。
第x-1个⽉留下的兔⼦数 解⽬设为Fx-1对。
则：Fx=Nx+ Fx-1 Nx=Fx-2 (即第x-2个⽉的所有兔⼦到第x个⽉都有繁殖能⼒） ∴ Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件：F0=0，F1=1由上⾯的递推关系可依次得到： F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。
数列常出现在⽐较简单的组合计数问题中，例如以前的竞赛中出现的“⾻牌覆盖”问Fabonacci数列题。
在优选法中，Fibonacci数列的⽤处也得到了较好的体现。
2.Hanoi塔问题问题的提出：Hanoi塔由n个⼤⼩不同的圆盘和三根⽊柱a,b,c组成。
开始时，这n个圆盘由⼤到问题⼩依次套在a柱上，如图3-11所⽰。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上： (1)⼀次只能移⼀个圆盘； (2)圆盘只能在三个柱上存放； (3)在移动过程中，不允许⼤盘压⼩盘。
问将这n个盘⼦从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？解：设hn为n个盘⼦从a柱移到c柱所需移动的盘次。
显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘⼦直接移动到c柱就可以了，故h1=1。
递推法
Fibonacci数列的应用
Fibonacci数列是最著名的递推公式。经常 出现在各种竞赛题中。 你能看出这几个题都是这个问题的应用吗？
例2 完美覆盖问题
问题描述:有2×n的一个长方形棋盘,用一些1×2的骨牌铺满 方格.例如n=3时,在2×3的棋盘上用1×2的骨片覆盖,共有 3种铺法。
问题求解:编写一个程序,试对给出的任意一个n(n>0),输出铺
01串
有1个长为n的01串，要求不能出现101和111.求符合条件的字符串有多 少个？ n<1000000 分析一：设a[n]为n个字符最后两位为00所形成的方案数，同样，b[n]对 应最后两位为01，c[n]对应最后两位为10，d[n]对应最后两位为11. 则a[n]=a[n-2]+b[n-2]+c[n-2]+d[n-2]=a[n-1]+c[n-1] b[n]=a[n-1]=f[n-3] c[n]=b[n-1]+d[n-1] d[n]=b[n-1]=a[n-2]=f[n-4] 所以f[n]=a[n]+b[n]+c[n]+d[n]=f[n-1]+f[n-3]+f[n-4]
我们用递推法求解问题时，关键是找出后项与前项之前的数学关系。 然后从初始项开始，逐项递推。在算出前n-1项之前，我们是不知道第 n项的值的。可以说，为了求第n项值，我们总共要计算n次，因此时间 复杂度为O(n)
而通项式建立的是第n项与项数n之间的数学关系。我们可以直接用项 数n计算出第n项的值。可以说，为了求第n项的值，我们只需计算1次 ，因此时间复杂度为O(1)
生成树的数目
在网格中取一个N x 1的矩形，并把它当作 一个无向图。这个图有2(N+1)个顶点，有 3(N-1)+4条边。这个图有多少个生成树？ 样例输入：1 样例输出：4
网格问题的基本方法--递推
网格问题的基本方法--递推引言网格问题是计算机科学中一个常见且重要的问题。
这类问题通常涉及在一个网格中寻找特定目标或满足特定条件的路径、组合或排列。
递推是解决网格问题的一种基本方法，它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的解来构建整体解决方案。
递推的基本原理递推的基本原理是将大问题拆解为一系列相对较小的子问题，然后通过求解子问题逐步构建出最终解决方案。
在网格问题中，递推可以通过以下步骤实现：1. 定义子问题：将大网格划分为小网格，通常是将一个网格划分为上、下、左、右四个相邻的子网格。
2. 定义初始条件：确定子问题的边界条件和初始状态，例如起始位置和目标位置。
3. 推导递推关系：根据子问题之间的关系，确定如何从一个子问题推导到下一个子问题。
这需要基于问题的特定要求来确定，例如可以是在相邻子网格中移动或改变状态。
4. 求解子问题：使用递归或迭代的方式求解子问题，并记录子问题的解。
5. 组合子问题的解：根据子问题的解，构建出最终的解决方案。
递推在网格问题中的应用递推在网格问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的网格问题及其解决方法：1. 迷宫问题：在一个迷宫中，找到从起点到终点的路径。
可以使用递推来记录每个位置是否可达，并找到从起点到终点的路径。
2. 数独问题：在一个9x9的网格中填入数字，使得每行、每列和每个3x3的子网格中的数字互不相同。
可以使用递推来逐步填充每个格子，直到整个数独被解决。
3. 动态规划问题：在一个网格中寻找最佳路径或组合。
通过定义子问题和递推关系，可以使用动态规划的方法求解。
结论递推是解决网格问题的一种基本方法，通过将问题拆解为子问题并逐步构建解决方案，可以高效地解决各种网格问题。
在实际应用中，可以根据问题的具体要求和特点，灵活运用递推方法来求解网格问题。
递推算法的一般步骤
递推算法的一般步骤递推算法是一种常用的计算方法，通过已知条件推导出未知结果的一种数学推理过程。
它可以用于解决一些复杂的问题，特别是涉及到递归关系的情况。
递推算法的一般步骤如下：1. 首先，明确问题的递推关系。
递推算法的核心就是通过已知条件推导出未知结果，因此需要通过观察问题的特点，找到问题的递推关系。
这个递推关系可以是一个公式、一个递归函数或者一系列等差、等比数列等。
2. 然后，确定初始条件。
递推算法是从已知条件推导出未知结果的过程，因此需要确定问题的初始条件。
这个初始条件可以是问题中给出的初始值，也可以是手动给定的一些值。
3. 接下来，进行递推计算。
根据问题的递推关系和初始条件，可以开始逐步计算得到未知结果。
递推计算的过程就是反复应用递推关系，将已知的结果代入递推关系中得到新的结果，然后再将新的结果代入递推关系中得到更新的结果，依此类推，直到得到想要的未知结果。
4. 最后，进行结果验证。
得到未知结果后，需要对结果进行验证，确保结果的正确性。
这可以通过与已知条件进行对比、与问题的实际情况进行比较等方法来进行。
如果结果符合要求，即可确认递推算法的正确性。
除了以上步骤，还有一些在使用递推算法时需要注意的问题：1. 递归深度的控制。
递推算法中经常使用递归函数来表达递推关系，但要注意递归的深度，避免出现无限递归的情况。
可以通过设置递归深度的限制条件或者使用迭代方法来避免这种情况的发生。
2. 边界条件的处理。
在确定初始条件时，要考虑问题的边界条件。
边界条件是递推算法中的特殊情况，需要单独处理，以确保算法的正确性。
边界条件可以是问题中给出的某种特殊情况，或者是根据问题的特点手动给定的一些条件。
3. 问题的优化。
在实际应用中，递推算法可能会面临一些效率问题，特别是在处理大规模数据时。
因此，需要对算法进行优化，提高算法的执行效率。
可以通过改进递推关系、使用动态规划等方法来实现问题的优化。
综上所述，递推算法是一种通过已知条件推导出未知结果的计算方法。
排列组合配对问题算法
排列组合配对问题算法排列组合配对问题，其实就是在已知有一组数据，需要对其进行组合，找到所有可能的组合情况，进而进行配对。
这个问题涉及到了算法和数学的知识，需要进行一定的计算和分析。
在这篇文章中，我将介绍几种常用的排列组合配对算法，并阐述它们的原理及其实现过程。
1. 回溯算法回溯算法是一种递归算法，用于解决包括排列、组合和背包问题等在内的一系列问题。
其核心思想是在搜索进程中遇到了问题，就返回上一级，尝试另一种可能性，直至找到问题的解法。
在排列组合配对问题中，回溯算法可以通过生成子集和排列来求解所有的组合。
生成子集的算法流程：（1）初始化一个数组 arr，表示给定的集合；（2）定义一个函数 dfs(start, subset)，其中 start 表示起始位置，subset 表示当前子集；（3）遍历数组 arr，对于每个数，都有两种可能性：将其加入子集中或不加入子集中。
如果加入，则将该数加入 subset，并递归调用 dfs(start+1, subset)，更新 start 和 subset；如果不加入，则仅递归调用 dfs(start+1, subset)。
生成排列的算法流程：（1）初始化一个数组 arr，表示给定的集合；（2）定义一个函数 dfs(pos)，其中 pos 表示已选择的数的个数；（3）遍历数组 arr，对于每个数，判断其是否已经被选择过。
如果没有，则将该数加入已选择的数中，并递归调用dfs(pos+1)，更新选择的数和 pos；如果已经被选择过，则不进行任何操作。
2. 位运算算法位运算算法与回溯算法类似，也可以用于求解排列和组合问题。
它的优势在于，通过位运算可以直接表示一个集合的子集或排列，而不需要额外的内存空间。
因此，位运算算法可以大大提高运算效率。
生成子集的算法流程：（1）初始化一个集合 set，表示给定的集合；（2）计算出集合 set 的元素个数 n，然后构建一个二进制串，表示从左到右每个元素是否在子集中，其中 0 表示不在，1 表示在。
的完美匹配
4
Bellman-ford求解过程：第2次迭代
最短路问题
5 5 0 a 起点 b -2 c 3 3 d 终点 6
4
Bellman-ford求解过程：第3次迭代
最短路问题
5 5 0 a 起点 b -2 c 3 3 d 终点 6
4
Bellman-ford求解过程：得到最终路径
最短路问题
Floyd-Warshall算法
例：为v2寻找增广路的搜索路径
二部图匹配
[例1，POJ 1719] 射击比赛
Byteland射击比赛的 规则是这样的： 每位选手需要向一个含有r*c 个小方格(2≤r,c≤1000)矩射击。 小方格由黑白两色组成，其中 每一列由2个白格子和r-2个黑 格子。 现在我们要求选手射击c次， 使得每一列中的两个白格有且 仅有一个被射中，而每一行至 少有一个白格子被射中。问是 否存在这样的策略？
二部图匹配
KM算法描述:
如何修改A[]，B[]
当增广路查找失败时， 我们得到了一颗匈牙利树
每次选择两个端点不在
同一连通分量的边加入
a
b 4 11 8 f 7
8 2 g 6 1
c 9 14 d 10 e
最小生成树
Kruskal方法：
每次选择两个端点不在
同一连通分量的边加入
a
b 4 11 8 f 7
8 2 g 6 1
c 9 14 d 10 e
最短路问题
在加权图中找到两点之间的最短路径 （权值和最小）
图论
蒋威 2008-12-25
图论
基本概念 最小生成树 最短路问题 二部图匹配 *网络流
数学建模案例完全图匹配
完全多元图的最大匹配摘要在一个完全多元图的最大匹配中可以包含多少边？我们讨论了一些情况并且得到了结果，然后给出一个新的公式来解决这一类问题。
1.引言假如我们有一家含有一些部门的公司，为了某一项工程需要从不同的部门抽调雇员组合成对工作（即pair work），如果每位雇员仅在一个部门工作，而且只允许参加一次组对，那么我们可以同时拥有多少对雇员？也就是最多可以组成多少对？什么情况下所有的雇员都能被组对？我们用图论来处理此问题。
可以认为，每位雇员相当于一个顶点，已成对的雇员对应于一条边，类似的，将公司的各个部门与代表公司的一个多元图的各个顶点的分割集合相对应。
并且，因为我们允许不同部门中的雇员任意组对，所以我们考虑完全多元图。
最后，我们可以发现顶点不相交的边即对应于不相交的雇员配对。
因而我们的目标就是找到最多的顶点不相交的边集。
我们将利用图论中标准的符号与定义来解决这个问题。
实质上，在这篇论文中，我们是要知道一个完全多元图的最大匹配中含有多少边。
首先我们先看一些已经得到结果的例子。
除了结果是引用的之外，所有的定理都是原创的。
最后，在我们的结论中，提供了一个带有简单公式的定理，可以解决这一类题目。
2.基本定义首先，我们定义图为由被称作顶点的对象组成的一个确定的集合，其中由顶点的无序组合构成的集合被称作边集。
用图表示的话，边可看作是连接顶点的直线部分（见图1）。
如果一个图的顶点集合可以被分成非空的子集，（我们称每一个子集为一个元图），而且在相同的元图里任意两个顶点间无边相连，那么此图就是多元图（见图2）。
进一步，一个完全的多元图是指这样一个多元图，其中不在同一元图的任意两个顶点间均有一条边相连。
表示一个含有n个元图的完全多元图，其中，m i代表图中第我们用符号K m1,m2,m3,···,mni个元图含有的顶点总数。
为了以后的论证方便，不妨设1≤m1≤m2≤···≤m n,即可知第n K2,2,2,12,1(见图3)。
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4类图完美匹配数目的递推求法
完美图是指每个节点都和其它节点之间有一条边，且没有任何节点有相同数量的边。
完美图的图论定义是指有n个节点的无向图，每个节点都有n-1条边，且每条边都连接着两个不同的节点。
4类完美图
完美图归类是指根据完美图中节点之间存在的边的特点，将完美图划分为4类：完全图、环形图、半环形图和完美链图。
完全图：完全图是指完美图中节点之间所有边都是无向边，每个节点与其它节点之间有n-1条边，因此在完全图中，节点间的连接是对称的。
环形图：环形图是指完美图中节点之间的边都是构成一个环状的，但不是完全环，节点间的联系可以是单方向的，也可以是双方向的，也就是说，环形图中的节点之间的边的连接不是对称的。
半环形图：半环形图是指完美图中节点之间的边构成一个半环，其中一侧的节点和另一侧的节点之间存在边，但另一侧的节点之间不存在边，节点之间的连接也不是对称的。
完美链图：完美链图是指完美图中节点之间的边构成一个无环的有序链，每个节点只与它的前后两个节点相连，节点之间的连接是单方向的，不是对称的。
4类图完美匹配数目的递推求法
完美匹配指的是两个结点之间存在且仅存在一条边。
完美匹配在图论中是非常重要的概念，在计算机科学、数学以及组合优化领域都
有广泛的应用。
因此，研究4类图完美匹配数目的递推求法显得尤为重要。
完美匹配的递推求法可以从公式出发，从简单的情况出发，以逐步增加的方式求出整个完美匹配的解，即求出完美图中每个节点所属的完美匹配条数。
根据完美图归类，我们可以将4类完美图中完美匹配数目的求法分为4类：完全图完美匹配数目的递推求法、环形图完美匹配数目的递推求法、半环形图完美匹配数目的递推求法和完美链图完美匹配数目的递推求法。
完全图完美匹配数目的递推求法
在完全图中，每个节点有n-1条边，则完美匹配数目为：
若n=2，则完美匹配数目为1；
若n=3，则完美匹配数目为3；
若n=4，则完美匹配数目为6；
依次类推，若n>2，则完美匹配数目为(n-1)*(完美匹配数目
n-2 ) 。
环形图完美匹配数目的递推求法
在环形图中，每个节点有n-1个节点连接，则完美匹配的数目为：若n=3，则完美匹配数目为1；
若n=4，则完美匹配数目为2；
若n=5，则完美匹配数目为4；
依次类推，若n>2，则完美匹配数目为(n-1)*(完美匹配数目
n-2 )/2 。
半环形图完美匹配数目的递推求法
在半环形图中，每个节点有n-1条边，但有一侧的节点不存在边，则完美匹配的数目为：
若n=3，则完美匹配数目为1；
若n=4，则完美匹配数目为2；
若n=5，则完美匹配数目为3；
依次类推，若n>2，则完美匹配数目为(n-1)*(完美匹配数目
n-2 )/2 。
完美链图完美匹配数目的递推求法
在完美链图中，每个节点只与前后两个节点相连，则完美匹配数目为：
若n=3，则完美匹配数目为1；
若n=4，则完美匹配数目为2；
若n=5，则完美匹配数目为2；
依次类推，若n>3，则完美匹配数目为n-2，即完美链图中，完
美匹配数目等于节点总数减2。
由以上对4类完美图中完美匹配数目的递推求法的分析，可以知道，在完美图中根据节点的连接特点，可以将完美图划分为4类，其中每类图的完美匹配数目也都有不同的递推求法，可以根据实际需要，灵活运用。