霍尔定理 最大匹配
最大基数匹配
• 最大基数匹配问题是多项式时间可解的，这里仅讨论二 分图的最大基数匹配问题.
• 对于图G的任意一个顶点的子集X，定义X的邻域N(X)为
与X中的点相邻接的所有点的全体. • 定理2：设G为二分图，顶点集分划为S,T，则G有饱和S 的每个顶点的匹配当且仅当对一切
X S ，有 | N ( X ) || X | .
最大基数匹配
• 给定一个图G=(V,E)，设M是E的一个子集，
如果M不含环且其中任意两边均不是邻接的，
则称M是G的一个匹配.
• 如果某顶点和M的一条边关联，则称其为M饱和点，否则称为M-非饱和点. 如果G的每
一点都是M-饱和点，则称M是G的完美匹配.
• 若M是G的边数最多的匹配，则称M是G的最 大基数匹配. 完美匹配是最大基数匹配.
其中某个 y j 是M-非饱和点，转3；否则对所有 y j ，把与 y j 在M中配
对的顶点 xi 给予标号“j”和未检查，并把.从得到标号T中的M-非饱和点 y j 开始反向 搜索，一直找到S中标号为“0”的M-非饱 和点 xi 为止，得到G中M-增广路P， 置M
( 0,0) (0,1)
2
1
v2 v1
v2 v1
(0,1) ( 0,0)
(10,1)(10 ,0)
5 5
(8,1) (8,0) (7,1) ( 7,0)
5
M P ( M P) \ ( M P)
，去掉M中所有
顶点标号，转2.
• 4.M是G的最大基数匹配，结束.
• 求下图所示二分图的最大基数匹配.
v5
v4
v10 v9 v8 v7 v6
v5
v4
v10 v9 v8 v7 v6
二部图匹配
一、人员安排问题 －－完备匹配
设M和M’是E(G)的两个不交的非空真子集.G中 (M，M’)交错路是指其边在M和M‘中交错出现 的路. (M, M )交错路简称为M交错路，其中 M =E(G)\M. 设M是G的匹配，两端点不同且都是非M饱和 的M交错路称为M增广路.
(a)匹配M(粗边)
(b)增广路
3 2 w 2 0 1 5 2 4 1 2 5 0 4 1 1 4 2 1 0 3 1 2 0 0 3
二、最优安排问题 －－最大权完备匹配
定理1 设l是G的可行顶点标号.若l等于子图 G l 有完备匹配M*，则M*是G最大权完备匹 配。 证明
二、最优安排问题 －－最大权完备匹配
例2 继例1 完全2部图K5,5, X={x1,x2,…,x5}, Y={y1,y2,…,y5}. 边权矩阵为
3 2 w 2 0 1 5 2 4 1 2 5 0 4 1 1 4 2 1 0 3 1 2 0 0 3
D是完全图的定向图—竞赛图 竞赛图一定含Hamilton有向路.则任何一个加工排序一定是D中一条 Hamilton有向路. 反之，D中任何一条Hamilton有向路对应一个加工排序.
例 (J2，J3，J4，J5，J1，J6)是D中一条Hamilton有向路(图中粗边 所示).按这条Hamilton有向路的顺序安排加工的总耗时为5分钟.
一、人员安排问题 －－完备匹配 匈牙利算法 1.任取G的匹配M.若M饱和X，则停止.若M不能饱 和X，则取X的非M饱和点x. 令S={x}，T=N(S)\T 2.若N(S)=T，则停止，此时G中无完备匹配. 若N(S) ≠T，则取y∈N (S)\T. 3.若y是M饱和的，则存在z ∈X\S 使yz ∈ M.用S∪ {z}替代S， T ∪{y} 替代T，并转入第2步.若y是非 M饱和的，则G中存在以x为起点且以y为终点的M 增广路P.然后用M’ △E(P)替代M并转入第1步.
图论二分图最大匹配算法
二分图最大匹配算法令G = （X,*,Y）是一个二分图，其中，X = {x1,x2,...xm}, Y = {y1,y2,...yn}。
令M为G中的任一个匹配。
1）讲X的所有不与M的边关联的顶点标上（@），并称所有的顶点为未被扫描的。
转到2）。
2）如果在上一步没有新的标记加到X的顶点上，则停止。
否则转到3）。
3）当存在X被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的X的顶点，比如，xi,用(xi)标记Y的所有顶点，这些顶点被不属于M且尚未标记的边连到xi .现在，顶点xi 是被扫描的。
如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到4）。
4）如果在步骤3）没有新的标记被标到Y的顶点上，则停止。
否则，转到5）。
5）当存在Y被标记但未被扫描的顶点时，选择Y的一个被标记但未被扫描的顶点，比如yi，用(yi)标记X的顶点，这些顶点被属于M且尚未标记的边连到yi.现在，顶点yi是被扫描的。
如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到2）。
也可以叙述为：[ZZ]匈牙利算法关键在于匈牙利算法的递归过程中有很多重复计算的节点，而且这种重复无法避免，他不能向动态规划一样找到一个“序”将递归改为递推。
算法中的几个术语说明：1。
二部图：如果图G=(V,E)的顶点集何V可分为两个集合X,Y，且满足X∪Y = V, X∩Y=Φ，则G称为二部图；图G的边集用E(G)表示，点集用V(G)表示。
2。
匹配：设M是E(G)的一个子集，如果M中任意两条边在G中均不邻接，则称M是G的一个匹配。
M中的—条边的两个端点叫做在M是配对的。
3。
饱和与非饱和：若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M-饱和的，否则称v 是M-不饱和的。
4。
交互道：若M是二分图G＝(V,E)的一个匹配。
设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路，这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的，则称这条道路为交互道。
5。
可增广道路：若一交互道的两端点为关于M非饱和顶点时，则称这条交互道是可增广道路。
29-匹配
离散数学 第29
上一讲内容的回顾
图的平面嵌入 平面图和非平面图 平面图的必要条件：欧拉公式 适用于简单图的欧拉公式推论 平面图的充分必要条件-Kuratowski定理 图着色 平面图着色与四色定理
匹配
支配集 点覆盖集与独立集 边覆盖集 匹配 最大匹配和完美匹配 二部图中的匹配 Hull定理
支配集与支配数
最小边覆盖与最大匹配的关系
证明W是最小边覆盖，M1是最大匹配．
W显然是边覆盖，所以 |W|≥α1。注意：|M|=β1, 又因为M是最大 ≥α 匹配，N中不可能有一条边的两个端点都是M-非饱和点，∴ |N|=n-2β1，∴|W|=|M|+|N|=n-β1。 β 而M1=W1-N1显然是匹配, |M1|≤β1。W1是最小边覆盖, 所以，构 ≤β 造 M1 时 ， 每 移 去 一 条 边 ， 恰 好 产 生 一 个 M1- 非 饱 和 点 。 而 |W1|=α1, M1-非饱和点数为n-2|M1|，∴|N1|=|W1|-|M1|=n-2|M1|, 即 α1= n-|M1|。 综 上 所 述 可 得 ： α 1= n-|M1|≥n-β1=|W|≥α1, 于 是 ： |W|=α1 且 ≥ β ≥α |M1|=β1，即W是G中的最小边覆盖，且M1是G中的最大匹配。
注意：极小支配集未必是最大独立集 (甚至未必是独立集)
极小支配集 不是 独立集
点覆盖与点覆盖数
点 覆盖 边
点覆盖数 α0=3
点覆盖数 α0=4
最小点覆盖 极小点覆盖
点覆盖与点独立集的关系
设G是无孤立点的简单无向图，VG的真子集V*是点 覆盖当且仅当V-V*是点独立集。 证明：令V’=V-V* ∈ ⇒ 假 设 V' 不 是 独 立 集 ， 则 存 在 u,v∈V', 满 足 uv∈EG, 注意：V‘=VG-V*, 即u,v∉V*, ∴uv边不可能被 V*所覆盖，矛盾。 ⇐ ∀e∈EG, 假设e=uv, 因为V‘是点独立集，u,v中 至 少 有 一 个 不 在 V' 中 ， 不 妨 设 u∉V', 则 u∈V*, ∴V* 是点覆盖。
霍尔(Hall)效应
霍尔效应霍尔效应[1]是磁电效应的一种，这一现象是美国物理学家霍尔（A.H.Hall，1855—193 8）于1879年在研究金属的导电机构时发现的。
当电流垂直于外磁场通过导体时，在导体的垂直于磁场和电流方向的两个端面之间会出现电势差，这一现象便是霍尔效应。
这个电势差也被叫做霍尔电势差。
霍尔效应的原理导体中的电荷在电场作用下沿电流方向运动，由于存在垂直于电流方向的磁场，电荷受到洛伦兹力，产生偏转，偏转的方向垂直于电流方向和磁场方向，而且正电荷和负电荷偏转的方向相反，这样就产生了电势差。
补充上面的人：正电荷与负电荷偏转的方向是相同的，只是因为导体中导电的是电子，所以只有电子偏转，才会有在两面有电压。
在半导体中，有两种载流子（空穴与自由电子），而它们的偏转方向是相同的，产生的电压也只是多数载流子与少数载流子之差，即表现了多数载流子的效果。
正是因为这样，所以才能利用霍尔效应来判断N、P型半导体。
霍尔效应的发展霍尔效应此后在测量、自动化、计算机和信息技术等领域得到了广泛的应用，比如测量磁场的高斯计。
在霍尔效应发现约100年后，德国物理学家克利青(Klaus von Klitzing,1943-)等在研究极低温度和强磁场中的半导体时发现了量子霍耳效应（运动电荷受到了磁场的作用力，从而运动方向发生偏转，这个力通常叫做洛伦兹力[1]，它为荷兰物理学家H.A.洛伦兹首先提出，故得名。
），这是当代凝聚态物理学令人惊异的进展之一，克利青为此获得了1985年的诺贝尔物理学奖。
之后，美籍华裔物理学家崔琦(Daniel Chee Tsui,1939-)和美国物理学家劳克林(Robert ughlin，1950-)、施特默(Horst L.St rmer，1949-)在更强磁场下研究量子霍尔效应时发现了分数量子霍尔效应，这个发现使人们对量子现象的认识更进一步，他们为此获得了1998年的诺贝尔物理学奖。
最近，复旦校友、斯坦福教授张首晟与母校合作开展了“量子自旋霍尔效应”的研究。
基本概念匹配最大匹配完美匹配
基本概念匹配最大匹配完美匹配在我们探讨各种关系和系统时，经常会遇到“匹配”这个概念。
它在不同的领域和情境中有着不同的含义和重要性。
今天，咱们就来好好聊聊“基本概念匹配”“最大匹配”和“完美匹配”这几个概念。
先来说说基本概念匹配。
这可以理解为最基础、最初步的一种匹配形式。
就好像我们要把不同形状的积木放进对应的洞里，形状对得上，那就算是基本匹配成功了。
在更广泛的层面上，比如在信息检索中，如果我们输入一个关键词，系统返回的结果中包含了这个关键词，这在某种程度上就实现了基本概念匹配。
又比如在人际交往中，两个人因为有共同的兴趣爱好而走到一起，这也可以看作是一种基本概念的匹配。
但这种匹配往往只是一个起点，相对比较简单和表面。
接下来是最大匹配。
想象一下有一堆任务和一群能够完成这些任务的人。
最大匹配就是要在有限的资源和条件下，让尽可能多的任务找到合适的执行者。
这可不是一件容易的事，需要综合考虑各种因素，比如任务的难度、时间要求，以及人员的技能、经验和可用时间等等。
在图论中，最大匹配是指在一个二分图中，选取最多的边，使得每条边的两个端点分别属于不同的集合，并且任意两条边都没有公共端点。
这种最大匹配的思想在很多实际问题中都有应用，比如资源分配、工作排班等。
通过找到最大匹配，我们可以尽可能地提高效率，充分利用现有的资源。
最后是完美匹配。
如果说最大匹配是追求数量上的最大化，那么完美匹配则更注重质量和完整性。
还是拿前面的任务和人员的例子来说，完美匹配不仅要让所有的任务都有合适的人来完成，还要让每个人都能充分发挥自己的能力，并且对分配的任务感到满意。
在图论中，完美匹配是指一个二分图中，每个顶点都恰好与另一个集合中的一个顶点相连。
这种完美的状态在现实中可能比较难以达到，但却是我们努力追求的理想目标。
比如在婚姻关系中，我们常说的“灵魂伴侣”或许就是一种完美匹配的象征，两个人在性格、价值观、生活目标等方面高度契合，相互支持，共同成长。
匹配与最大匹配.
推论 3.2.1（ k − 1）边连通偶数阶 k 正则图有完美匹配
证明：设 G 是命题中所述的 k 正则图。
当 k = 1 时，结论显然。 以下假定 k ≥ 2 。设 S 是 G 的任一个非空顶点集， G1, G2 ,L, Gn 是 G \ S 的奇分支。令
ν i = V (Gi ), mi =| {e | e 是 Gi 与 S 之间的连边} | 。
并设 M1 在 C 的 ywL z 段中的边集为 M1′ ， M 2 在 C 的 ywL z 段中的边集为 M 2′ ，于是 M1′ U {yz} U (M 2 \ M 2′ )
是 G* 的完美匹配，又与 G* 的选择矛盾。
综合(1)、(2)两种情形，便证明了 G* \ U 的每个连通分支都是完全图。证毕。
A = {v |u 到 v 有 M * 交错路}。
由于 M * 是最大匹配，故由 Berge 定理， u 是 A 中唯一的 M * 非饱和点。令 S = AI X ，T = AIY 。
uS
X
M*的边
T Y
注意 S − {u} 中的顶点在 M * 下与T 中的顶点一一配对（因 u ∈ S ，且对 ∀t ∈ T ，u 与 t 有 M * 交错路 Pt 相连，而且 t 是 M * 饱和的，故交错路 Pt 上最后一条边必是 M * 的边，它将 S 中一个 顶点与 t 配对。而且不同的 t 会有 S 中不同的顶点相配，否则会有两条 M * 的边关联到 S 中同一
由（*）式， O(G* \ U ) ≤ U ，即 G* − U 的奇分支个数最多是 U 。但这样一来， G* 就
有一个完美匹配：
G* \ U 的各奇分支中的一个顶点和U 的一个顶点配对；U 中余下的顶点以及 G* \ U 的各
匈牙利算法解决二分图最大匹配
匈⽛利算法解决⼆分图最⼤匹配预备知识 匈⽛利算法是由匈⽛利数学家Edmonds于1965年提出，因⽽得名。
匈⽛利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是⼆分图匹配最常见的算法，该算法的核⼼就是寻找增⼴路径，它是⼀种⽤增⼴路径求⼆分图最⼤匹配的算法。
⼆分图 ⼆分图⼜称作⼆部图，是图论中的⼀种特殊模型。
设G=(V,E)是⼀个⽆向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的⼦集(A，B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集(i in A，j in B)，则称图G为⼀个⼆分图。
匹配 在图论中，⼀个图是⼀个匹配（或称独⽴边集）是指这个图之中，任意两条边都没有公共的顶点。
这时每个顶点都⾄多连出⼀条边，⽽每⼀条边都将⼀对顶点相匹配。
例如，图3、图4中红⾊的边就是图2的匹配。
图3中1、4、5、7为匹配点，其他顶点为⾮匹配点，1-5、4-7为匹配边，其他边为⾮匹配边。
最⼤匹配 ⼀个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最⼤匹配。
图 4 是⼀个最⼤匹配，它包含 4 条匹配边。
任意图中，极⼤匹配的边数不少于最⼤匹配的边数的⼀半。
完美匹配 如果⼀个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是⼀个完美匹配。
显然，完美匹配⼀定是最⼤匹配，但并⾮每个图都存在完美匹配。
最⼤匹配数：最⼤匹配的匹配边的数⽬。
最⼩点覆盖数：选取最少的点，使任意⼀条边⾄少有⼀个端点被选择。
最⼤独⽴数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连。
最⼩路径覆盖数：对于⼀个DAG（有向⽆环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于⼀条路径，路径长可以为0（即单个点）定理1：Konig定理——最⼤匹配数 = 最⼩点覆盖数定理2：最⼤匹配数 = 最⼤独⽴数定理3：最⼩路径覆盖数 = 顶点数 - 最⼤匹配数匈⽛利算法例⼦ 为了便于理解，选取了dalao博客⾥找妹⼦的例⼦： 通过数代⼈的努⼒，你终于赶上了剩男剩⼥的⼤潮，假设你是⼀位光荣的新世纪媒⼈，在你的⼿上有N个剩男，M个剩⼥，每个⼈都可能对多名异性有好感（惊讶，-_-||暂时不考虑特殊的性取向） 如果⼀对男⼥互有好感，那么你就可以把这⼀对撮合在⼀起，现在让我们⽆视掉所有的单相思（好忧伤的感觉，快哭了），你拥有的⼤概就是下⾯这样⼀张关系图，每⼀条连线都表⽰互有好感。
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霍尔定理最大匹配
霍尔定理是图论中的一个定理，它描述了两个集合之间的匹配问题。
最大匹配是指在一个图中找到一个匹配，使得利用该匹配能够匹配的顶点数达到最大。
霍尔定理的具体内容如下：
如果一个二分图中的每个顶点都满足霍尔条件，即对于集合U 中的任意一个顶点，其相邻的顶点可以通过一系列与当前匹配无关的边来到达集合V中的任意一个顶点，那么这个二分图存在一个完美匹配，即匹配的边刚好能够将所有的顶点都匹配起来。
最大匹配问题即在二分图中找到一个边集合，使得该边集合是一个匹配，并且匹配的顶点数达到最大。
最大匹配问题可以通过增广路径算法、匈牙利算法等方法来求解。
需要注意的是，最大匹配不一定是唯一的，可能存在多个最大匹配。