2009 上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题
2009年全国高考上海数学试题(理科含答案)
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一．填空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2． 已知集合{}|1A x x = ，{}|B x x a = ，且A BR ?，则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417xx 5 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABC D A B C D - 的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=____________（结果用最简分数表示）.8. 已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________. 9. 已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C ab+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ^.若12PF F D 的面积为9，则b =____________. 10. 在极坐标系中，由三条直线0q =，3p q =，cos sin 1r q r q +=围成图形的面积是________.11.当01x ＃时，不等式sin2x kx p ³成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数()sin tan f x x x =+.项数为27的等差数列{}n a 满足22n a p p骣琪?琪桫，，且公差0d ¹.若1227()()()0f a f a f a ++?=，则当k =___________时，()0k f a =.13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
2009年成人高考专升本数学试题及答案
试介绍成人高等学校招生全国统一考试（简称“成人高考”）是为我国各类成人高等学校选拔合格新生以进入更高层次学历教育的入学考试。
考试分专科起点升本科(简称专升本)、高中起点升本科（简称高起本）和高职（高专）三个层次。
全国成人高等学校招生统一考试成人高等教育属国民教育系列，列入国家招生计划，国家承认学历，参加全国招生统一考试，各省、自治区统一组织录取。
成考教材成考用书除了大纲全国统一以外，教材辅导书试题集都没有做统一规定。
考生在选择教材时应谨慎。
选择辅导书、习题集时要看看出书组织单位是否是合法的法人，编写小组是否有正式的名称，出版社、出版单位最好选正规的单位。
购书时应该到大书店或者各区县成考办购买以防盗版、假冒伪劣辅导资料回家害人，选择辅导书不能贪多也不可贪便宜。
一般而言，高中起点升专(本)科的教材就分为人民教育出版社、高等教育出版社，还有人大出版社和成教出版社出版等，专升本教材则由中央广播电视大学出版社、人民教育出版社、高等教育出版社出版等。
具了解，如果上辅导班的话高中起点的教材用人民教育出版社的，专升本的教材用电大版高教版的比较多。
但是如果是自学呢？最好用高教版的教材。
授课方式成人高考的授课方式大体分为脱产、业余及函授三种形式，考生应根据自身的情况来选择适合自己的学习形式。
业余：业余授课方式一般在院校驻地招收学生，安排夜晚或双休日上课，所以，适合在职考生报考。
脱产：年龄较小或者想进入大学校门体验大学生活的考生可选择脱产的形式。
脱产学习就是在校内进行全日制学习方式，其管理方式与普通高校一样，对学生有正常的、相对固定的授课教室、管理要求，有稳定的寒暑假期安排。
注：2008年起，普通高校停止招收成人脱产班。
函授：该种学习形式也适合上班族人，业余时间少的考生。
函授教学主要以有计划、有组织、有指导的自学为主，并组织系统的集中面授。
函授教学的主要环节有：辅导答疑、作业、试验、实习、考试、课程设计、毕业设计及答辩。
上海理工大学专升本考试试卷
A.一号字B.四号字C.六号字D.五号字18．教材类书籍正文内容大部分使用________。
A.四号字B.五号字C.六号字D.三号字19．点数制中的1磅等于________英寸。
A.1/12B.1/72C.72D.36磅：不是指重量。
是字体排版之量度单位，英文字母最小单位是Point，1英寸分72单位磅。
20．目前新闻出版领域在进行文字输入时，主要使用的文字输入法是________。
A.拼音输入法B.五笔字型输入法C.语音输入法D.区位码输入法21．适合于低点阵的针式打印机输出和计算机屏幕显示的字形技术是________。
A.点阵字B.矢量字C.曲线字D.轮廓字22．能够高倍率压缩字库信息，但输出大字时笔画边缘不平滑有刀割形状的字形技术是________。
A.点阵字B.矢量字C.曲线字D.压缩点阵字23．字形美观，适合各种高精度字形处理，但输出低分辨率字或小字时易产生误差和失真的字形动手术是________。
A.点阵字B.矢量字C.曲线字D.压缩点阵字24．既有层次变化又有颜色变化的图像是________。
A.彩色图像B.灰度图C.二值图D.线条图25．只有层次变化，颜色不发生变化的图像是________。
A.彩色图像B.灰度图C.二值图D.线条图26．无层次变化的图像是________。
A.彩色图B.灰度图C.二值图D.点阵图27．使用调幅网点印刷图像时，原稿色调深的部位，复制品上的网点面积________，原稿色调浅的部位，复制品上的网点面积________。
A．大，小 B.小，大 C.小，小 D.大、大28．印刷复制时，图像上出现的形状不规则，有损图像美感的条纹称为________。
A.网点B.网线C.龟纹D.网花29．网点线数越________，表示图像的基本单元越________，图像的细微层次表达越精细。
A.高，大B.高，小C.低，大D.低、小30．现在的画册、画报，印刷复制经常用的网目线数是________。
2009 上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题
2009 上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题考生类别（文、理）一、选择题（每题3分，共15分）1. =⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→xx x x 121lim ____C_____。
A. 0B. ∞+C. 不存在D. 21e2. 两个无穷大的和一定是___D____。
A. 无穷大量B. 常数C. 没有极限D. 上述都不对3. 在抛物线2x y =上过____D_______点的切线与抛物线上横坐标为11=x 和32=x 的两点连线平行。
A. )1,1(B. )9,3(C. )0,0(D. )4,2(4. 在下列函数中，在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是____C______。
A. x eB. ||ln xC. 21x - D.211x-5. 0=x 是xx x f 1sin)(=的_____ A ____。
A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 震荡间断点二、填空题（每空3分，共15分） 1. =-⎰2|1|dx x ___1____2. )(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的____充分_____条件。
3. 方程x y y x y x y x sin 2432=''+'+'''是_____三_____阶微分方程。
4. 平行于向量}6,7,6{=m 的单位向量是_⎭⎬⎫⎩⎨⎧116,117,116和⎭⎬⎫⎩⎨⎧---116,117,116________。
5. 若直线b x y +=是抛物线2x y =在某点处的法线，则=b _____43______。
三、计算题（每题6分，共36分）1. xdtt xx cos 1)1ln(lim20-+⎰→原式=422lim sin )21ln(2lim 00=⋅=+→→xxx x x x2. 设2ln 93arcsin2+-+=x xx y ，求dy dx x x x x x dy ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22931133arcsin3. 设)sin ,(22y e y x xf u x +=，且),(v u f 有二阶连续偏导数，求y u 和xy u[])c o s (221y e f y f x yux +⋅=∂∂ ++=∂∂∂=∂∂∂2122c o s 2yf e yf xy u y x u x [])sin 2(cos cos sin 222222121211y e f x f y e yf e y e yf x yf x xx x x ⋅+⋅++⋅+⋅ 化简略。
2009专转本高数试卷
11．若幂级数的收敛半径为，则常数
12．微分方程的通解为_______
得 评卷 复评
3． 计算题（本大题共8小题，每小题8
分人 人
分，满分64分）
13．求极限
14．设函数由参数方程所确定，求
15．求不定积分 16．求定积分 17．求通过直线且垂直于平面的平面方程。
18．计算二重积分，其中
19．设函数，其中具有二阶连续偏导数，求 20．求微分方程的通解。
选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请将其字母填在题后的括号内）
1．已知，则常数的取值分别为
（）
A.
B.
C.
D.
2．已知函数，则为的
（）
A.跳跃间断点 B.可去间断点 C.无穷间断点 D.振荡间断点
3．设函数在点处可导，则常数的取值范围为（ ）
得 评卷 复评 分人 人
4． 综合题（本大题共2小题，每小题10 分，满分20分）
21．已知函数，试求： （1）函数的单调区间与极值； （2）曲线的凹凸区间与拐点； （3）函数在闭区间[—2,3]上的最大值与最小值。
22．设是由抛物线和直线所围成的平面区域，是由抛物线和直线及所围 成的平面区域，其中，试求： （1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体 积； （2）常数的值，使得的面积与的面积相等。
得 评卷 复评 分人 人
5． 证明题（本大题共2小题，每小题9 分，满分18分）
23．已知函数证明：函数在点处连续但不可导。
24．证明：当时，
合计得 分
题号 一
二
三
四
五
复查人
得分
09年专升本高数真题答案
12023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 解析及【解析】析一、选择题（每小题2分,共计60分）1.解析D.【解析】:注意函数地定义范围、解析式,应选D. 2.解析C.【解析】: ()ln(f x x -=-+,()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-,选C.3．解析D. 【解析】:11lim 11x x x +→-=-,11lim 11x x x -→-=--,应选D.4.解析C.【解析】:由等价无穷小量公式,应选C. 5.解析B.【解析】:00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 地可去间断点,应选B. 6. 解析D. 【解析】:0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-,应选D.7.解析D. 【解析】:1(3)21()2f x x -=,(4)()f x =3214x --,应选D.8.解析A.2【解析】:0d 2cos 20d sin 2y t k x x x t =⇒=⇒==切,应选A. 9.解析B.【解析】:由d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦得2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦, 把(0)0f =代入得1C =-,所以2()e e x x f x =-,应选B.10.解析A.【解析】:根据可导与连续地关系知,应选A. 11.解析A.【解析】: 34486y x x '=-+,212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-,应选A. 12. 解析B.【解析】: e lim0xx x→-∞=,0e lim x x x →=∞,应选B. 13.解析D.【解析】: 根据极值点与驻点地关系和第二充分条件,应选D. 14. 解析A.【解析】:根据连续函数在闭区间上地性质及()()f a f b =地条件,在对应地开区间内至少有一个最值,应选A. 15.解析B.【解析】: ()1()ln f x x x '==⇒ 21()f x x'=-,应选B.16.解析C.【解析】: 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 17.解析D.【解析】: 根据定积分地保序性定理,应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰,应选D.18.解析C.3【解析】:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分地可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰,应选C.19．解析C.【解析】:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =地积分,收敛地,应选C.20.解析C.【解析】:根据方程地特点是抛物面,又因两个平方项地系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示地曲面是旋转抛物面,应选C. 21.解析D.【解析】:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=,应选 D.22.解析A.【解析】:因{}2,7,3s =--,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)--不在平面内.故直线与平面地位置关系是平行但直线不在平面内,应选A. 23.解析B. 【解析】:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 24．解析D 【解析】:22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---,应选D 25．解析D.【解析】:积分区{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有4(,)ady f x y dx ⎰20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26.解析A.【解析】: 由格林公式知, (3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰,应选A. 27.解析C.【解析】: 根据可分离变量微分地特点,220x y xdx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C.28.解析A.【解析】: 由级数收敛地性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,应选A. 29.解析C.【解析】: 根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<,应选C.30.解析B.【解析】: 令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛地,故应选B.二、填空题（每小题2分,共30分）31.解析:⎪⎭⎫⎝⎛≠≠-21,121x x x x . 【解析】:()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.32.解析:21.5【解析】:2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============. 33.解析:2ln .【解析】:因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x ax x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以有 38a e =ln 2a ⇒=.34.解析:1=a .【解析】:函数在(,)-∞+∞内处处连续,当然在0x =处一定连续,又因为0sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===,所以0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.35.解析:043=+-y x . 【解析】:因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36.解析:1=ξ.【解析】:(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.37.解析:⎪⎭⎫⎝⎛41,0.【解析】:1()100,4f x x ⎛⎫'=-<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 38.解析:7.【解析】:222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.39.解析:{}12,8,4-.【解析】:因向量b 与a 共线,b 可设为{},2,3k k k -,5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=,所以{}4,8,12b =-.40.解析:()222212y xe x ++.6【解析】:22222222222(12)x y x y x y z z z exe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41.解析:()0,0.【解析】:40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y ∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.42．解析:0.【解析】:利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.43.解析:()⎰⎰102,yydx y x f dy .【解析】:积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.44.解析:x x x xe e C e C y ---+=41231.【解析】:230y y y '''--=地通解为312x x y C e C e -=+,根据方程解地结构,原方程地通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.45.解析:1332+-n n .【解析】:当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+.三、计算题（每小题5分,共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.【解析】:20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭0011limlim 222x x x e x x x →→-===. 47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定地隐函数,求dxdy.7【解析】:方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即 ()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y '+=--所以 dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+. 48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰,求1()dx f x ⎰. 【解析】:方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得 2()2xxf x e-=-,即22()xe f x x--=,所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.【解析】:4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰14322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭641164118843323332=++-+--+=. 50.已知22xxy y z e +-= 求全微分dz .【解析】:因222222()(2)x xy y x xy y x z e x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂,8222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续,从而函数22xxy y z e +-=可微,并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰,其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.【解析】:积分区域D 如下图所示: 把D 看作Y 型区域,且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰2222025()4y y x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 52.求微分方程22x y xy xe -'-=地通【解析】. 【解析】:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应地齐次微分方程20y xy '-=地通【解析】为2x y Ce =, 设原方程地【解析】为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有 22()x C x xe -'=,所以 222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程地通【解析】为2214x x y e Ce -=-+.53.求幂级数212nn n n x ∞=∑地收敛区间（考虑区间端点）. 【解析】:这是标准缺项地幂级数,考察正项级数212nn n n x ∞=∑,x y →=2yx因221112lim lim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=,当212x l =<,即||x <时,级数212n n n nx ∞=∑是绝对收敛地； 当212x l =>,即||x >,级数212n n n nx ∞=∑是发散地； 当212x l ==,即x =,级数212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑,显然是发散地。
《高等数学》(上理工) 试卷A
华南理工大学 广州汽车学院 2008——2009学年度第一学期期末考试 《高等数学》（上册•理工类） 试卷A考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚，“序号”即交作业的序号，勿写学号；2．本试卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟；3．所有答案应直接写在试卷上。
一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上）1．函数ln(1)y x =+的定义域是 。
2．设0sin 2lim 3x kx x→=，则常数k = 。
3．设y =dy = 。
4．不定积分2x dx xe ⎰= 。
5．反常积分 (0)a pI a dxx +∞=>⎰，当1p >时，I = 。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将正确选项的字母填在括号内）1．曲线ln y x x =在点(1,0)处的切线方程是 （ ） A ．(ln 1)(1)y x x =+- B ．1y x -= C ．1y x =- D ．(1)y x =--2．设||,0;()1,0,x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()f x 在0x =处 （ ）A ．0lim ()x f x →不存在 B ．'(0)f 存在C ．0lim ()x f x →存在，但()f x 在0x =处不连续D ．()f x 在0x =处连续，但不可导3．在区间[1,1] -上，不满足罗尔中值定理条件的是 （ ） A ．2()1x f x e =- B ．2()ln(1)f x x =+ C．()f x = D ．21()1f x x=+ 4．下列等式中，正确的是 （ ） A ．[()]()d f x dx f x =⎰ B ．[()]()df x dx f x dx dx=⎰ C ．()()df x f x =⎰ D ．' ()()f x dx f x C =+⎰5．设()f x 连续，且()sin xa f t dt x x =⎰，则()2f π= （ ）A ．sin cos x x x +B ．12π-C ．2πD ．1三．计算题（本大题共7小题，每小题7分， 共49分） 1．求极限 22sin 1lim (2)x x x ππ→--。
2009年专升本(高等数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2009年专升本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．0B．tanlC．π/4D．1正确答案：B2．A．B．C．D．正确答案：B3．设函数f(x)＝exlnx，则f＇(1)＝( )A．0B．1C．eD．2e正确答案：C4．函数f(x)在[0，2]上连续，且在(0，2)内f＇(x)＞0，则下列不等式成立的是( )A．f(0)＞f(1)＞f(2)B．f(0)＜f(1)＜f(2)C．f(0)＜f(2)＜f(1)D．f(0)＞f(2)＞f(1)正确答案：B5．A．x2+ex+CB．2x2+ex+CC．x2+xex+CD．2x2+xex+C正确答案：A6．A．B．C．D．正确答案：D7．A．B．C．D．正确答案：A8．A．B．C．D．正确答案：C9．设函数z＝f(u)，u＝x2+y2且f(u)二阶可导，则=( )A．4f＇＇(u)B．4xf＇＇(u)C．4yf＇＇(u)D．4xyf＇＇(u)正确答案：D10．任意三个随机事件A，B，C中至少有一个发生的事件可表示为( ) A．A∪B∪CB．A∪B∩CC．A∩B∩CD．A∩B∪C正确答案：A填空题11．____。
正确答案：2/312．____。
正确答案：e-1/313．设函数____。
正确答案：14．已知y＝ax3在X＝l处的切线平行于直线y＝2x-1，则a= 。
正确答案：2/315．函数y＝x sin x，则y＇＇＝。
正确答案：2cosx-xsinx16．曲线y＝x5-10x2+8的拐点坐标(x0，y0)＝。
正确答案：(1,-1)17．____。
正确答案：18．____。
正确答案：19．____。
正确答案：1/220．设函数z=ln(x+y2)，则全微分dz＝。
正确答案：解答题21．求正确答案：22．设函数y＝esinx，求dy．正确答案：23．计算正确答案：24．计算正确答案：25．有10件产品，其中8件是正品，2件是次品，甲、乙两人先后各抽取一件产品，求甲先抽到正品的条件下，乙抽到正品的概率．正确答案：26．求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．正确答案：27．(1)求在区间[0，n]上的曲线y＝sin x与x轴所围成图形的面积S．(2)求(1)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：28．求函数z＝x2+2y2+4x-8y+2的极值．正确答案：。
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2009上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题
考生类别（文、理）
一、选择题（每题3分，共15分）1.=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++∞→x
x x x 121lim ____C_____。
A.0 B.∞+ C.不存在 D.21
e 2.两个无穷大的和一定是___D____。
A.无穷大量
B.常数
C.没有极限
D.上述都不对3.在抛物线2x y =上过____D_______点的切线与抛物线上横坐标为11=x 和32=x 的两
点连线平行。
A.)1,1(
B.)9,3(
C.)0,0(
D.)
4,2(4.在下列函数中，在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是____C______。
A.x e
B.||ln x
C.21x -
D.2
11
x -5.0=x 是x x x f 1sin
)(=的_____A ____。
A.可去间断点 B.跳跃间断点
C.无穷间断点
D.震荡间断点二、填空题（每空3分，共15分）
1.=-⎰2
0|1|dx x ___1____2.)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的____充分_____条件。
3.方程x y y x y x y x sin 24
32=''+'+'''是_____三_____阶微分方程。
4.平行于向量}6,7,6{=m 的单位向量是_⎭⎬⎫⎩⎨⎧116,117,116和⎭
⎬⎫⎩⎨⎧---116,117,116________。
5.若直线b x y +=是抛物线2x y =在某点处的法线，则=b _____4
3______。
三、计算题（每题6分，共36分）1.x
dt
t x x cos 1)1ln(lim 200-+⎰→原式=422lim sin )21ln(2lim 00=⋅=+→→x x x x x x 2.设2ln 93
arcsin 2+-+=x x x y ，求dy dx
x x x x x dy ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22931133arcsin 3.设)sin ,(22y e y x xf u x +=，且),(v u f 有二阶连续偏导数，求y u 和xy u []
)cos (221y e f y f x y u x +⋅=∂∂++=∂∂∂=∂∂∂2122cos 2yf e yf x
y u y x u x [])sin 2(cos cos sin 222222121211y e f x f y e yf e y e yf x yf x x x x x ⋅+⋅++⋅+⋅化简略。
4.设y x e y x -=+2)(，求
dx dy 设y x e
y x y x F --+=2)(),(y
x y
x y x e y x e y x F F dx dy --++-+-=-=)(2)(25.⎰+xdx
x x ln 1原式=()C x x x x x xd dx x x xdx x ++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰2ln 2
1ln ln ln ln ln 11
6.求微分方程x
e y y y 265=+'-''的通解。
解：3
,20652==+-r r r ∴齐通解：x
x e c e c y 3221+=非齐一个特解：x
ae y =*代入原方程1=a ，∴通解x
x x e e c e c y ++=3221四、（8分）：求过点)2,1,3(-P 且通过直线12354:z y x L =+=-的平面方程。
思路：在直线找一点)0,3,4(1-P ，作S PP ⨯1得平面的法向量，由点法式方程即得。
五（8分）：求函数x x x y 123223--=在区间]4,2[-上最大值和最小值。
解：0
)1)(2(612662=+-=--='x x x x y 2
,1=-=∴x x 由)4(),2(),2(),1(f f f f --比较，得2
20)(min 432)(max =⇒-==⇒=x x f x x f 六（8分）：设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，记{}]1,0[,)(max ∈=x x f M 。
证明：至少存在一点),1,0(∈ξ使得M f 2)(≥'ξ。
证明：设0)(),1,0(00>=∈M x f x （若0=M ，则0)(≡x f 显证）
在)(],0[0x f x 满足Lagrange 定理条件
000101)()0()()(),0(x x f x f x f f x =-='∈∃ξξ在]1,[0x 上同样)
1,(02x ∈∃ξ000021)(1)()1()(x x f x x f f f --=--='ξ)()(100ξf x x f M '==∴)
()1()(200ξf x x f M '-==∴)
()1()(22010ξξf x f x M '-+'=∴
讨论：①当)
()(21ξξf f '≥'则)()()1()()()1()(2110102010ξξξξξf f x f x f x f x M '='-+'≤'-+'=②当)
()(21ξξf f '≤'则)()()1()()()1()(2220202010ξξξξξf f x f x f x f x M '='-+'≤'-+'=证毕。
七（每题5分，共10分，文科类考生必做）：
1.设)(2
2y x f z +=，其中)(u f 二阶连续可导，求y x z ∂∂∂2。
f xy y f x y x z x f x
z ''=⋅''=∂∂∂⋅'=∂∂4)2(2222.⎰-2
1||dx
xe x 原式=212212121211
1||2x x x x x x e e e dx e xe xde dx xe dx xe --=-==+⎰⎰⎰⎰-2
222e e e e e =+--=八（每题5分，共10分，理工类考生必做）：
1.计算⎰⎰x x dy y y dx sin 1
0原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-=-==1010101021
0cos sin sin )1(sin )(sin 2y yd ydy ydy y dy y y y y dx dy y y y y 1sin 1sin 1cos 11cos cos cos cos 1
0101010-=-++-=-+-=⎰y ydy y y y 2.计算
⎰⎰++D dxdy y x 2211，其中D 由曲线0,0,122===+y x y x 在第一象限所围部
分。
令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 原式2ln 4)1ln(41)1(2111021022202ππθθπ
=+=++=+=⎰⎰⎰⎰r r r d d r rdrd D (1,1)x y
x y
011。