排列组合与二项式定理(高考试题)
易错点15 计数原理、排列组合、二项式定理-备战高考数学考试易错题(新高考专用)(解析版)
专题15 计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】C ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以22553390r r C C ⋅⋅==，故选C.2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C =611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C -,第7项的系数为611C ,所以数最大的项是第7项.二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（ ） A ．260xB ．260x -C ．412xD ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】误认为第二项是2r =而错误【正解】展开式的通项为()6162Crrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.故选D.三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】该题为均匀分组，忽略除以22A 而错误.【正解】先将4名学生均分成两组方法数为2422C A ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为224622C A A ．故选B ．5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】该题为部分均匀分组，应除以22A ，而不是33A .【正解】C ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.四、计数时混淆有序与定序6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。
【山东省】2017年高考数学(理科)-排列组合、二项式定理-专题练习-答案
排列组合、二项式定理解析1．[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G。
从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条。
如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F。
因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)。
所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18．]2．D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择。
由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)。
]3．C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1．不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种。
综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)。
故共有14个。
故选C．]4．A[分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法。
由分步乘法计数原理得，不同的选派方案共有2×6＝12(种)。
]5．B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种。
根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B．]6．A[从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7，2＋6，3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，13·！m！m！＝7·＋！＋！m！＝6．]D·。
排列组合+二项式定理(含答案)
高二数学：排列组合二项式定理一、选择题（本大题共16小题，共80.0分）1.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案，故选D．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，相加即得所求．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．2.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有( )种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得A66=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23∴不同的排法种数共有23×720=480种．故选：B．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，即可得出结论．本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．3.从1，3，5中选2个不同数字，从2，4，6，8中选3个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为( )A. 5040B. 1440C. 864D. 720【答案】C【解析】解；先任选一个偶数排在末尾，共有4种选法，其它2个奇数的选法共有3种，剩余2个偶数的选法共有3种，这4个数全排列，共有4×3×2×1=24种方法，共有则这些五位数中偶数的个数为4×3×3×24= 864，故选：C．先按要求排末尾，再排其它，根据分步计数原理可得．本题考查加法原理和乘法原理综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D【解析】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：①、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有A44=24种情况，②、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有A43=24种选法，则此时共有3×24=72种选法，则有24+72=96种不同的参赛方案；故选：D．根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①、选出的4人没有甲，②、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素．5.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为( )A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】C【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，关键是根据题意，进行不重不漏的分类讨论．6.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种【答案】B【解析】解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，×A55=60，则B站在A的右边的情况数目为12故选B．根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B 站在A 的左边与B 站在A 的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．7. C 74+C 75+C 86等于( ) A. C 95B. C 96C. C 87D. C 97【答案】B【解析】解：根据组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m得，C 74+C 75+C 86=(C 74+C 75)+C 86 =C 85+C 86 =C 96． 故选：B ．利用组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m，进行化简即可．本题考查了组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m的逆用问题，是基础题目．8. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是( )A. C 42⋅C 52B. C 42+C 43+C 44C. C 42+C 52D. C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50【答案】D【解析】解：一共有4件一等品，至少两件一等品分为2件，3件，4件，第一类，一等品2件，从4件任取2件，再从3件二等品或2件三等品共5件产品中任取2件，有C 42⋅C 52， 第二类，一等品3件，从4件任取3，再从3件二等品或2件三等品共5件产品中任取1，有C 43⋅C 51，第二类，一等品4件，从4件中全取，有C 44⋅C 50， 根据分类计数原理得，至少有两件一等品的抽取方法是C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50． 故选：D ．利用分类计数原理，一共有4件一等品，至少两件一等品分为2件，3件，4件，然后再按其它要求抽取． 本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．9. 4名同学争夺三项冠军，冠军获得者的可能种数是( )A. 43B. A 43C. C 43D. 4 【答案】A【解析】解：每一项冠军的情况都有4种，故四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是43， 故选：A ．每个冠军的情况都有4种，共计3个冠军，故分3步完成，根据分步计数原理，运算求得结果． 本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．10. 某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( ) A. 720种 B. 520种 C. 600种 D. 360种 【答案】C【解析】解：分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有C 21C 53A 44种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有C 22C 52A 22A 32种.共有：C 21C 53A 44+C 22C 52A 22A 32=600(种)． 故选：C ．分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，第二类：甲、乙同时参加，利用加法原理即可得出结论． 本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．11. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( ) A. 144种 B. 72种 C. 64种 D. 84种 【答案】D【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 需要先给最上面金着色，有4种结果， 再给榜着色，有3种结果，给题着色，与榜同色，给名着色，有3种结果；与榜不同色，有2种结果，给名着色，有2种结果 根据分步计数原理知共有4×3×(3+2×2)=84种结果， 故选D ．需要先给最上面金着色，有4种结果，再给榜着色，有3种结果，给题着色，与榜同色，给名着色，有3种结果；与榜不同色，有2种结果，给名着色，有2种结果，根据分步计数原理得到结果．本题考查计数原理的应用，解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使用同一种颜色，”根据情况对C 处涂色进行分类，这是正确计数，不重不漏的保证．12. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种 【答案】B【解析】解：最左端排甲，共有A 55=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有C 41A 44=96种， 根据加法原理可得，共有120+96=216种． 故选：B ．分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论． 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．13. 有黑、白、红三种颜色的小球各5个，都分别标有数字1，2，3，4，5，现取出5个，要求这5个球数字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有( ) A. 120种 B. 150种 C. 240种 D. 260种 【答案】B【解析】解：根据题意，取出的5个球有三种颜色且数字不同， 分2步进行分析：①，先把取出的5个球分成3组，可以是3，1，1，也可以是1，2，2； 若分成3，1，1的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法； 若分成1，2，2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法；则共有10+15=25种分组方法，②，让三组选择三种不同颜色，共有A 33=6种不同方法 则共有25×6=150种不同的取法； 故选：B ．因为要求取出的5个球分别标有数字1，2，3，4，5且三种颜色齐备，所以肯定是数字1，2，3，4，5各取一个，分2步分析：先把5个球分成三组，再每组选择一种颜色，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查分步计数原理的应用，注意题目中“5个球数字不相同但三种颜色齐备”的要求．14. 从4双不同鞋中任取4只，结果都不成双的取法有____种.( )A. 24B. 16C. 44D. 384 【答案】B【解析】解：取出的四只鞋不成双，可分四步完成，依次从四双鞋子中取一只，取四次，故总的取法有2×2×2×2=16种， 故选B ．取出的四只鞋不成双，可分四步完成，依次从四双鞋子中取一只，取四次，利用乘法原理可得结论．本题考查排列、组合及简单计数问题，考查乘法原理的运用，比较基础．15.某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )种．A. 510B. 105C. 50D. A105【答案】A【解析】解：根据题意，公共汽车沿途5个车站，则每个乘客有5种下车的方式，则10位乘客共有510种下车的可能方式；故选：A．根据题意，分析可得每个乘客有5种下车的方式，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，16.从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中奇数有( )A. 18个B. 27个C. 36个D. 60个【答案】A【解析】解：先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个(不包含0)取1个为百位，再从剩下3个(包含0)取一个为十位，故有2×3×3=18个，故答案为：18．先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个(不包含0)取1个为百位，再从剩下3个(包含0)取一个为十位，根据分步计数原理可得．本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）17.(1+2x)5的展开式中含x2项的系数是______ .(用数字作答)【答案】40【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n−r b r可设含x2项的项是T r+1=C5r15−r(2x)r=2r C5r x r，可知r=2，所以系数为22C52=40所以答案应填40本题是求系数问题，故可以利用通项公式T r+1=C n r a n−r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数为40本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9.一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．18.(x−1x )(2x+1x)5的展开式中，常数项为______．【答案】−40【解析】解：(x−1x )(2x+1x)5展开式中常数项是(2x+1x )5展开式中的1x项与x的乘积，加上含x项与−1x的乘积；由(2x+1x)5展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)5−r⋅(1x)r=25−r⋅C5r⋅x5−2r，令5−2r=−1，解得r=3，∴T4=22⋅C53⋅1x =40x；令5−2r=1，解得r=2，∴T3=23⋅C52⋅x=80x；所求展开式的常数项为40 x ⋅x+80x⋅(−1x)=40−80=−40．故答案为：−40．根据(x−1x )(2x+1x)5展开式中常数项是(2x+1x)5展开式中的1x项与x的乘积，加上x项与−1x的乘积；利用(2x+1x)5展开式的通项公式求出对应的项即可．本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．19.小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有______ 种.【答案】36【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①、小刚与小红不相邻，将除小明、小刚、小红之外的2人全排列，有A22种安排方法，排好后有3个空位，将小明与小刚看成一个整体，考虑其顺序，有A22种情况，在3个空位中，任选2个，安排这个整体与小红，有A32种安排方法，有A22×A32×A22=24种安排方法；②、小刚与小红相邻，则三人中小刚在中间，小明、小红在两边，有A22种安排方法，将三人看成一个整体，将整个整体与其余2人进行全排列，有A33种安排方法，此时有A33×A22=12种排法，则共有24+12=36种安排方法；故答案为：36．根据题意，分2种情况讨论：①、小刚与小红不相邻，②、小刚与小红相邻，由排列、组合公式分别求出每一种情况的排法数目，由分类加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，注意特殊元素优先考虑，不同的问题利用不同的方法解决如相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空等方法．20.(1−3x)7的展开式中x2的系数为______ ．【答案】7【解析】解：由于(1−3x)7的展开式的通项公式为T r+1=C7r⋅(−1)r⋅x r3，令r3=2，求得r=6，可得展开式中x2的系数为C76=7，故答案为：7．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题21.已知C203x=C20x+4，则x=______ ．【答案】2或4【解析】解：∵C203x=C20x+4，则3x=x+4，或3x+x+4=20，解得x=2或4．故答案为：2或4．由C203x=C20x+4，可得3x=x+4，或3x+x+4=20，解出即可得出．本题考查了组合数的计算公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有______ 种.【答案】70【解析】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C42C51=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C41C52=40种；共有30+40=70种．故答案为：70任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，是基础题．23.一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是______ ．【答案】49【解析】解：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，P(ξ=0)=C31C31+C31C31+C31C31C61C61=34，P(ξ=1)=C21C21C61C61=19，P(ξ=2)=C21C11+C11C21C61C61=19，P(ξ=4)=C11C11C61C61=136，∴Eξ=19+29+436=49．故答案为：49．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个骰子掷两次得到结果有三种情况，使得它们两两相乘，得到变量可能的取值，结合事件做出概率和期望．数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示．24.把5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分发种数为______.(用数字作答)【答案】240【解析】解：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C52，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44，∴分法种数为C52⋅A44=240．故答案为：240．由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果．排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．25.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是______(用数字作答)【答案】96【解析】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120−4−20=96种；故答案为：96．根据题意，用间接法分析：首先计算在10名学生中任取3人的选法数目，再分析其中只有男生和只有女生的选法数目，分析即可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意利用间接法分析，可以避免分类讨论．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）26.已知(2x√x)n展开式前两项的二项式系数的和为10．(1)求n的值．(2)求出这个展开式中的常数项．【答案】解：(1)∵(2x√x)n展开式前两项的二项式系数的和为10∴C n0+C n1=10，解得n=9；(2)∵(2x√x )n展开式的通项T r+1=C n r(2x)n−r(√x)r=2n−r C n r x n−3r2----8分∴令n−3r2=0且n=9得r=6，∴(2x+√x)n展开式中的常数项为第7项，即T7=29−6⋅C96=672．【解析】(1)根据二项式展开式得到前两项的系数，根据系数和解的n的值，(2)利用展开式的通项，求常数项，只要使x的次数为0即可．本题主要考查了二项式定理，利用好通项，属于基础题．27.已知n为正整数，在二项式(12+2x)n的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79．(1)求n的值；(2)判断展开式中第几项的系数最大？【答案】解：(1)根据题意，C n0+C n1+C n2=79，即1+n+n(n−1)2=79，整理得n2+n−156=0，解得n=12或n=−13(不合题意，舍去)所以n=12；…(5分)(2)设二项式(12+2x)12=(12)12⋅(1+4x)12的展开式中第k+1项的系数最大，则有{C12k⋅4k≥C12k−1⋅4k−1 C12k⋅4k≥C12k+1⋅4k+1，解得9.4≤k≤10.4，所以k=10，所以展开式中第11项的系数最大.…(10分)【解析】(1)根据题意列出方程C n0+C n1+C n2=79，解方程即可；(2)设该二项式的展开式中第k+1项的系数最大，由此列出不等式组，解不等式组即可求出k的值．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了转化思想与不等式组的解法问题，是综合性题目．28.已知二项式(1+√2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n(x∈R，n∈N)(1)若展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的3倍，求n的值；(2)若n为正偶数时，求证：a0+a2+a4+a6+⋯+a n为奇数．(3)证明：C n1+2C n2⋅2+3C n3⋅22+⋯+nC n n⋅2n−1=n⋅3n−1(n∈N+)【答案】解：(1)由题意可得C n 4=3⋅C n 2(√2)2，∴n =11．(2)证明：当n 为正偶数时，则a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n =1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C n n ， 除第一项为奇数外，其余的各项都是偶数，故1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C nn 为奇数， 即a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n 为奇数．(3)∵kC n k =n ⋅C n−1k−1， ∴C n 1+2C n 2⋅2+3C n 3⋅22+⋯+nC n n ⋅2n−1=n(C n−10+C n−11×2+C n−12×22+⋯+C n−1n−1×2n−1) =n ⋅(1+2)n−1=n ⋅3n−1．【解析】(1)直接利用条件可得C n 4=3⋅C n 2(√2)2，由此求得n 的值．(2)当n 为正偶数时，则a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n =1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C nn ，除第一项为奇数外，其余的各项都是偶数，从而证得结论．(3)由kC n k =n ⋅C n−1k−1，可得C n 1+2C n 2⋅2+3C n 3⋅22+⋯+nC n n ⋅2n−1=n(C n−10+C n−11×2+C n−12×22+⋯+C n−1n−1×2n−1)，再利用二项式定理证得所给的等式成立．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．29. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(Ⅰ)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(Ⅱ)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (Ⅲ)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【答案】解：(Ⅰ)根据题意，从5名男生中选出2人，有C 52=10种选法，从4名女生中选出2人，有C 42=6种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种；(Ⅱ)先在9人中任选4人，有C 94=126种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C 74=35种， 则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126−35=91种；(Ⅲ)先在9人中任选4人，有C 94=126种选法，其中只有男生的选法有C 51=5种，只有女生的选法有C 41=1种， 则4人中必须既有男生又有女生的选法有126−5−1=120种．【解析】(Ⅰ)根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；(Ⅱ)用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；(Ⅲ)用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，(Ⅱ)(Ⅲ)中可以选用间接法分析．30. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台； (2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．【答案】解：(1)先排歌曲节目有A 22种排法，再排其他节目有A 66种排法，所以共有A 22A 66=1440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有A 66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有A 72种插入方法，所以共有A 66A 72=30240种排法．(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有A 44A 53A 22=2880种． 【解析】(1)先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论； (2)先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论．本题考查排列组合知识，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．。
2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析
主席派人来》4 首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2 首合唱歌曲
中共选出 4 首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（
A．14
B．48
C．72
）
D．120
【答案】D．
【解析】根据题意，在 2 首合唱歌曲中任选 1 首，安排在最后，有 2 种安排方法，
专题 13 排列组合与二项式定理
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理 T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，
某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、
下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安
令 x＝﹣1，则 f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②
①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，
解得 a＝3．
3.(2021•河南焦作三模•理 T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、
排方案的种数为（
A．126
）
B．360
C．600
D．630
【答案】D．
【解析】第一类，上下午共安排 4 个活动（上午 2 个，下午 2 个）分配给甲，乙，故有 A62A42
＝360 种，
第二类，上下午共安排 3 个活动，（上午 2 个下午 1 个，或上午 1 个下午 2 个）分配给甲，
历年高考排列组合试题及其答案
二项式定理历年高考试题荟萃(三)一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 102 分)1、 (1+2x)5的展开式中x2的系数是________.（用数字作答）2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 .3、已知,则( 的值等于 .4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。
（用数字作答）5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）．6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。
（用数字作答）7、的二项展开式中常数项是 (用数字作答).8、 (x2+)6的展开式中常数项是 .(用数字作答)9、若的二项展开式中的系数为，则______（用数字作答）.10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于.11、（x+）9展开式中x3的系数是 .（用数字作答）12、若展开式的各项系数之和为32，则n= ,其展开式中的常数项为。
（用数字作答）13、的展开式中的系数为．(用数字作答)14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为 .16、的展开式中常数项为 ; 各项系数之和为.（用数字作答）17、 (x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答)18、 (1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________.19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________.20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________.21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝ .22、 (x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答)23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________.24、展开式中x的系数为.二项式定理历年高考试题荟萃(三)答案一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 102 分)1、40解析：T3=C(2x)2,∴系数为22·C=40.2、解：∵的展开式中的第5项为，且常数项，∴，得3、-256解析:(1－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,即(a0+a2+a4)+(a1+a3+a5)=0;①令x=－1,则有a0－a1+a2－a3+a4－a5=25,即(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)=25.②联立①②有∴(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=－28=－256.4、57解析:1×1+2×=57.5、答案:72解析:∵T r+1= (=,∴r=0,4,8时展开式中的项为整数次幂,所求系数和为++=72.6、答案:－42解析:的通项T r+1==,∴(1+2x2)展开式中常数项为=－42.7、8、15解析：T r+1=x2(6－r)x－r=x12－3r,令12－3r=0，得r=4,∴T4==15.9、答案:2解析:∵=,∴a=2.10、答案:7解析:T r+1=C(2x3)n－r()r=2Cxx=2Cx令3n－r=0,则有6n=7r,由展开式中有常数项,所以n最小值为7.11、84 T r+1=,∴9-2r=3.∴r=3.∴84.12、5 10 解析:令x=1可得展开式中各项系数之和为2n=32.∴n=5.而展开式中通项为Tr+1=(x2)r()5-r=x5r-15.令5r-15=0,∴r=3.∴常数项为T4=C35=10.13、84 由二项式定理得(1-)7展开式中的第3项为T3=·(-)2=84·,即的系数为84.14、31 解析：由二项式定理中的赋值法,令x=0,则a0=(-2)5=-32.令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1.∴a1+a2+a3+a4+a5=-1-a=31.15、-6解析：展开式中含x2的项m=·13·(2x)0··12·(-x)2+·12(2x)1··13·(-x)1+11(2x)2·14(-x)0=6x2-24x2+12x2=展开式中x2的系数为-6x2,∴系数为-6.16、10 32 展开式中通项为T r+1=(x2)5-r()r=,其中常数项为T3==10;令x=1,可得各项系数之和为25=32.17、40解析:∵·(x3)·()2=10×1×(-2)2·x2=40x2,∴x2的系数为40.18、答案：35 (x+)6展开式中的项的系数与常数项的系数之和即为所求,由Tr+1=·()r=·x6-3r,∴当r=2时,=15.当r=3时,=20.故原展开式中的常数项为15+20=35.19、答案：-23 原式=4-33-4+4=-23.20、答案:1解析:x8的系数为k4=15k4,∵15k4＜120,k4＜8,k∈Z+,∴k=1.21、5 记(2x+)n的展开式中第m项为T m=a n-m+1b m-1=·(2x)n-m+1·()m-1,则b m=·2n-m+1.又∵b3=2b4,∴·2n-2=2×·2n-3=,解得n=5.22、答案：10 ·x4·=5×2=10.23、答案：5解析：(x+)n展开式中不含x0、x-1、x-2项即可,由Fr+1=x n-r()r=x n-4r.∵2≤n≤8,可以验证n=5时成立.24、2 展开式中含x的项n=·13·(2x)0··13·(-x)1+·12(2x)1··14(-x)0=-4x+6x=2x,∴展开式中x的系数为2.。
高三数学 专题训练排列组合和二项式定理解析 试题
仲元中学高三数学专题训练测试系列本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
(排列组合和二项式定理)时间是：120分钟 分值：150分一、选择题(每一小题5分，一共60分)1．(2021·海淀期末)5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是( )A ．54B ．45C ．5×4×3×2D.5×4×3×24！解析：依题意得，不同的分法即是从5个人中选出4人来分，因此相应的方法数为C 45＝5×4×3×24！，选D.答案：D2．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数为( )A ．20B ．40C ．80D ．160解析：注意到(x ＋2)6的展开式的通项是T r ＋1＝C r6·x 6－r·2r ＝C r 6·2r ·x6－r，令6－r ＝3得r ＝3.因此(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是C 36·23＝160，选D.答案：D3．五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为( )A ．60B ．48解析：五个人排成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的排法可分为两类：一类是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有A22·A33＝12种(先把除甲、乙、丙外的两个人排好，有A22种方法，再把甲、乙、丙插入其中，有A33种方法，因此此类方法有A22·A33＝12种)；另一类是乙、丙相邻但不与甲相邻，此类方法有A23·A22·A22＝24种方法(先把除甲、乙、丙外的两人排好，有A22种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选2个，作为甲和乙、丙的位置，此类方法有A23·A22·A22＝24种)．综上所述，满足题意的方法种数一共有12＋24＝36，选C.答案：C4．某小组一共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别分层随机抽取4人参加一项公益活动，那么不同的抽取方法有( ) A．40种B．70种C．80种D．240种解析：依题意得，所选出的4人必是3名男生、1名女生，因此满足题意的抽取方法一共有C36C12＝40种，选A.答案：A5．用0,1,2，…，9这十个数字组成无重复数字的三位数的个数是( ) A．9A29B．A310C．A310－A39D．A39解析：百位上有9种排法；其他数位上有A29种排法．一共有9A29个三位数，应选A.如用间接法，应为A310－A29.答案：A6．(2021·质量预测)在(x2－1x3)n的展开式中含有常数项，那么正整数n的最小值是( )A．4 B．5解析：其通项为T r ＋1＝C r n x2(n －r )(－1)r x －3r＝(－1)r C r n x 2n －5r.∵(x 2－1x3)n 的展开式中含有常数项，∴2n －5r ＝0，那么n 的最小值为5，选B. 答案：B7．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数一共有( )A ．288个B ．240个C ．144个D ．126个解析：个位是0的有C 14·A 34＝96个； 个位是2的有C 13·A 34＝72个； 个位是4的有C 13·A 34＝72个； 所以一共有96＋72＋72＝240个． 答案：B8．(2021·质量预测)(x 3－2x )2＋(x ＋1x)8的展开式中的整理后的常数项等于( )A ．－38B ．38C ．－32D ．70解析：要求展开式的常数项，即求(x ＋1x )8的常数项，因为T r ＋1＝C r 8x 8－r (1x)r ＝C r 8x 8－2r，所以由题意得8－2r ＝0，即r ＝4，∴T 5＝C 48＝70.答案：D9．(2021·东北三校一模)在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色，假设只要求相邻两块广告牌的底色不都为红色，那么不同的配色方案一共有( )A ．55种B ．56种C．46种D．45种解析：C08＋C18＋C27＋C36＋C45＝55.答案：A10．(2021·质检)有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻)，那么不同坐法的种数是( ) A．18 B．26C．29 D．58解析：假设把两人都安排在前排，那么有A23＝6种方法，假设把两人都安排在后排，那么有A24＝12种方法，假设两人前排一个，后排一个，那么有4×5×2＝40种方法，因此一共有58种方法，故正确答案是D.答案：D11．(2021·联考)假设自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，那么称n 为“可连数〞．例如：32是“可连数〞，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数〞，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于1000的“可连数〞的个数为( ) A．27 B．36C．39 D．48解析：根据题意，要构造小于1000的“可连数〞，个位上的数字的最大值只能为2，即个位数字只能在0,1,2中取．十位数字只能在0,1,2,3中取；百位数字只能在1,2,3中取．当“可连数〞为一位数时：有C13＝3个；当“可连数〞为两位数时：个位上的数字有0,1,2三种取法，十位上的数字有1,2,3三种取法，即有C13C13＝9个；当“可连数〞为三位数时：有C13C14C13＝36个；故一共有：3＋9＋36＝48个，应选D.答案：D12．(2021·二诊)为支持地震灾区的灾后重建工作，某公司决定分四天每天各运送一批物资到A、B、C、D、E五个受灾地点．由于A地间隔该公司较近，安排在第一天或者最后一天送达；B、C两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达(B在上午、C在下午与B在下午、C在上午为不同运送顺序)，且运往这两地的物资算作一批；D、E两地可随意安排在其余两天送达．那么安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序的种数为( ) A．72 B．18C．36 D．24解析：可分三步完成：第一类是安排送达物资到受灾地点A，有A12种方法；第二步是在余下的3天中任选1天，安排送达物资到受灾地点B、C，有A13A22种方法；第三步是在余下的2天中安排送达物资到受灾地点D、E，有A22种方法．由分步计数原理得不同的运送顺序一共有A12·(A13A22)·A22＝24种，应选D.答案：D二、填空题(每一小题4分，一共16分)13．沿海某区对口支援贫困山区教育，需从本区3所重点中学抽调5名老师分别到山区5所任教，每校1人；每所重点中学至少抽调1人，那么一共有__________种不同的支教方案．解析：5名重点中学老师到山区5所有A55种，而3所重点中学的抽调方法种数可由列举法一一列出为6种．故一共有6A55＝720种不同的支教方案．答案：72014．(2021·模拟)一个五位数由数字0,1,1,2,3构成，这样的五位数的个数为__________．解析：分两类：(1)万位取1，其余不同的四个数放在不同的四个位置上时有A44个：(2)万位取2或者3，在余下的四个不同的位置中选两个位置放数字0与3或者2时有2A24个，故总一共有A44＋2A24＝48.答案：4815．(2021·一模)(4x2－4x＋1)5的展开式中，x2的系数为__________．(用数字答题)解析：C15·4＋C25·(－4)2·1＝180.答案：18016．(2021·质检二)假设(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，那么实数m的值是__________．解析：令x ＝1，(1＋m )6＝a 0＋a 1＋…＋a 6 ①， 令x ＝0,1＝a 0 ②，①－②，得：a 1＋…＋a 6＝(1＋m )6－1 ∴(1＋m )6－1＝63 ∴(1＋m )6＝64 ∴1＋m ＝±2 ∴m ＝1或者m ＝－3. 答案：1或者－3三、解答题(本大题一一共6个小题，一共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)(1)求值：C 5－nn ＋C 9－nn ＋1； (2)解不等式：1C 3n －1C 4n <2C 5n.解：利用组合数定义与公式求解．(1)由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，解得4≤n ≤5.∵n ∈N *，∴n ＝4或者5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16. (2)由组合数公式，原不等式可化为3！(n －3)！n ！－4！(n －4)！n ！<2×5！(n －5)！n ！，不等式两边约去3！(n －5)！n ！，得(n －3)(n －4)－4(n －4)<2×5×4，即n 2－11n －12<0，解得－1<n <12.又∵n ∈N *，且n ≥5，∴n ＝5,6,7,8,9,10,11.18．(12分)有5张卡片的正反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7、8与9，将其中任三张并排组成三位数，可组成多少个数字不重复的三位数？解：解法1：(直接法)由于三位数的百位数字不能为0，所以分两种情况：当百位数字为1时，不同的三位数有A 18·A 16＝48个；当百位数为2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个时，不同的三位数有A 18A 18A 16＝8×8×6＝384个．综上，一共可组成不重复的三位数48＋384＝432个．解法2：(间接法)任取3张卡片一共有C 35·C 12·C 12·C 12·A 33种排法，其中0在百位不能构成三位数，这样的排法有C 24·C 12·C 12·A 22种，故符合条件的三位数一共有C 35·C 12·C 12·C 12·A 33－C 24·C 12·C 12·A 22＝432个．19．(12分)假设(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99. 解：令x －1＝t ，那么x ＝t ＋1，于是恒等式可变为(2t ＋3)100＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 100t 100， 又令f (t )＝(2t ＋3)100，那么a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12[f (1)－f (－1)]＝12[(2＋3)100－(－2＋3)100]＝12(5100－1)． 20．(12分)平面上有n 个点，无三点一共线，过其中每两点作直线，这些直线中无两条直线平行，且除原n 个点外无三线一共点，问除平面上原有n 个点之外，这些直线还会有多少个新交点？解：(图形法)先从n 个点中选4点，有C 4n 种选法．如图1，设所选点为A 、B 、C 、D .因为在每选出的4点中，两点一组分成两组，每两点确定一条直线，两条直线相交就有符合题意的一个交点，所以A 、B 、C 、D 四点两两连线，可得3个新增交点．故符合题意的交点个数为3C 4n ＝18n (n －1)(n －2)(n －3)．图121．(12分)(3a －3a )n 的展开式的各项系数之和等于(43b －15b)5的展开式中的常数项，求： (1)(3a－3a )n展开式的二项式系数和；(2)(3a－3a )n 的展开式中a －1项的二项式系数．解：依题意，令a ＝1，得(3a －3a )n 展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n，(43b －15b)5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r (－15b)r ＝(－1)r C r 545－r5－r 2b 10－5r 6.假设T r ＋1为常数项，那么10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27， 于是有2n＝27，得n ＝7.(1)(3a－3a )n展开式的二项式系数和为2n＝27＝128.(2)(3a－3a )7的通项为T ′r ＋1＝C r 7(3a)7－r·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3， ∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35. 22．(14分)(1)求证：kC k n ＝nC k －1n －1； (2)等比数列{a n }中，a n >0，化简：A ＝lg a 1－C 1n lg a 2＋C 2n lg a 3－…＋(－1)n C nn lg a n ＋1.解：(1)∵左式＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝nC k －1n －1＝右式，∴kC k n ＝nC k －1n －1. (2)由：a n ＝a 1qn －1，∴A ＝lg a 1－C 1n (lg a 1＋lg q )＋C 2n (lg a 1＋2lg q )－C 3n (lg a 1＋3lg q )＋…＋(－1)n C nn (lg a 1＋n lg q ) ＝lg a 1[1－C 1n ＋C 2n －…＋(－1)n C n n ]－lg q [C 1n －2C 2n ＋3C 3n －…＋(－1)n －1C n n ·n ]＝lg a 1·(1－1)n－lg q[nC0n－1－nC1n－1＋nC2n－1－…＋(－1)n－1·nC n－1n－1]＝0－n lg q[C0n－1－C1n－1＋C2n－1－…＋(－1)n－1·C n－1n－1]＝－n lg q(1－1)n－1＝0.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
排列组合和二项式定理(高三)
十、排列、组合和二项式定理1.排列数mn A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数mn C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21nn A n n n n ==--⋅。
如（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为 （答：3）；（2）满足2886x x A A -<的x ＝ （答：8）(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01nC =. 如已知16m n mn m n C C A +++=，求 n ，m 的值（答：m ＝n ＝2）(3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++.2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种 （答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法； （答：480）（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f 是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b +()f c =，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{ C B A 的集合A 、B 、C 共有 组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
高中排列组合与二项式定理练习题
株洲市十七中高二排列、组合与二项式定理测试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若从集合P 到集合Q={a,b,c}所有不同的映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同的映射共有（ ） A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个2．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两 个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ） A ．42B ．36C ．30D ．123．全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P ，排成前后两排，每排24人，排法 总数为Q,则有（ ） A ．P>QB ．P=QC ．P<QD ．不能确定4．从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种 A ．8B ．12C ．16D ．205．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配 方案共有（ ） A ．4448412C C CB ．44484123CC CC ．334448412AC C CD ．334448412A C C C 6．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性， 不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（ ）种 A ．350B ．300C ．65D ．507．有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人重新站位，则有（ ）种 重新站位的方法 A ．1680B ．256C ．360D ．2808．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法 A ．7200 B ．3600 C ．2400 D ．1200 9．在(311x x )n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二项式系数是 （ ） A. 462 B. 330 C.682 D.792 10.在(1+a x )7的展开式中,x 3项的系数是x 2项系数与x 5项系数的等比中项,则a 的值为( ) A.510 B.35 C.925 D.325二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．某公园现有A 、B 、C 三只小船，A 船可乘3人，B 船可乘2人，C 船可乘1人，今有 三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方 可乘船，他们分乘这些船只的方法有_____________种。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合与二项式定理一、排列组合1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B. 3. （2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )．A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种答案：C 解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521⨯⋅=⨯=⨯种选法，选C. 5．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )．A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A.6．(2014辽宁，理6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )．A ．144B ．120C ．72D ．24答案：D 解析：插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为34A ＝24.故选D.7．(2014四川，理6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )．A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种答案：B 解析：(1)当最左端排甲的时候，排法的种数为55A ；(2)当最左端排乙的时候，排法种数为1444C A . 因此不同的排法的种数为514544A +C A ＝120＋96＝216.8．(2014重庆，理9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )．A ．72B ．120C ．144D ．168答案：B 解析：解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类33A ，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有3333A 2A 72⋅=.第二类也分两步，先排歌舞类33A ，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有122222C A A ，故不同的排法有32213222A A A C 48=，故共有120种不同排法，故选B. 9．(2014浙江，理14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案：60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有2234C A =36种；二是有三人各获得一张奖券，共有34A =24种．因此不同的获奖情况有36＋24＝60种．10．(2014北京，理13)把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种．答案：36解析：产品A ，B 相邻时，不同的摆法有2424A A =48种．而A ，B 相邻，A ，C 也相邻时的摆法为A 在中间，C ，B 在A 的两侧，不同的摆法共有2323A A =12(种)．故产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48－12＝36(种)．11．(2013山东，理10)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.12．(2013福建，理5) 满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．10B [解析] 当a ＝0时，2x ＋b ＝0，∴ x ＝－b 2，有序数对(0，b )有4个；当a ≠0时，Δ＝4－4ab ≥0，∴ ab ≤1，有序数对(－1，b )有4个，(1，b )有3个，(2，b )有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B.13．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)480 [解析] 先排另外四人，方法数是A 44，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A 25，根据乘法原理得不同排法共有A 44A 25＝24×20＝480种．14．(2013北京，理13) 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．96 [解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A 44种方法，所以不同的分法种数是4A 44＝96.解析：按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A 44＝96.15．(2013浙江，理14) 将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．480 [解析一] 先在6个位置找3个位置，有C 36种情况，A ，B 均在C 的同侧，有CAB ，CBA ，ABC ，BAC ，而剩下D ，E ，F 有A 33种情况，故共有4C 36A 33＝480种．解析二：本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力．“小集团”处理，特殊元素优先，C 36C 12A 22A 33＝480. 16．（2012·安徽卷）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或4D [解析] 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C 26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.17．（2012·辽宁卷）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!C [解析] 本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A 33·A 33·A 33·A 33＝(3！)4.18．(2011北京，理12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）【答案】14【解析】个数为42214-=.19．(2010山东，理8)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）（A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种【答案】B 【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有4424A =种，另一类甲排在第二位共有133318C A =种，故编排方案共有241842+=种，故选B.20.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 288C. 216D. 96解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有32223342A C A A 432=种，其中男生甲站两端的有1442223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有288解析2：由题意有2221122222322323242A (C A )C C +A (C A )A 288⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,选B.21.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901333143323=+C A C A C 种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23413332313143323=+C A C C C A C 种，所以共有32423490=+个.22.（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．答案：336 【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有2237C A 种，因此共有不同的站法种数是336种．23．(2009·宁夏、海南，12)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：法一：先从7人中任取6人，共有C 67种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有C 36C 33A 22种分法．最后排在周六和周日两天，有A 22种排法，∴C 67×C 36C 33A 22×A 22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140种．答案：14024．（2010浙江，10）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)． 解析：上午测试安排有A 44种方法，下午测试分为：(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C 13种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C 13种方法，其余两位只有一种方法，则共有C 13·C 13＝9种， 因此测试方法共有A 44·(2＋9)＝264种．答案：264 25．(2009·辽宁，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A ．70种B ．80种C ．100种D ．140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C 25×C 14＋C 15×C 24＝70种．答案：A26．（2013重庆，5）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．解析：本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力．直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C 33·C 14·C 15＋C 34·C 13·C 15＋C 35·C 13·C 14＋C 24·C 25·C 13＋C 23·C 25·C 14＋C 23·C 24·C 15＝590.答案：59027．（2012新课标全国，5）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C 12C 24＝12种安排方案．答案：A二、二项式定理1、（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.2、（2016年山东高考）若（a x 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-2 3、（2016年上海高考）在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】1124、（2016年四川高考）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4【答案】A5、（2016年天津高考）281()x x -的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-6、（2016年全国I 高考）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】10。