2012-2013第二学期期末试卷及答案(高一数学)

2012-2013学年度石家庄市高一第二学期期末试卷
数学答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5：ADDBC 6-10：DACBD
11：B 12：【普通高中】D 【示范高中】A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.20
14.2
15. 1 16. 【普通高中】1(1)2n -- 【示范高中】1()2
n
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
解： （I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，
1(1)n a d n ∴=+- …………………………………1分
又521,,a a a 成公比不为1的等比数列，
2
215a a a = …………………………………3分
2(1)1(14)d d +=⨯+
2d =或0d =（舍） …………………………………5分 （Ⅱ）111111
()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +=
==--+-+ ………………………………7分 1111111111(1)(1)233557212122121
n n
S n n n n =-+-+-+-=-=
-+++ …………10分 18．（本小题满分12分） 解：第一步：在BEF ∆中，
sin sin BE EF
BFE FBE
=
∠∠, 所以sin sin()
a BE γ
αβγ=
++， …………………………………4分
第二步：在AEF ∆中, sin sin AE EF
AFE EAF
=
∠∠, 所以sin()
sin()
a AE γδβγδ+=
++， …………………………………8分
第三步：在ABE ∆
中，AB =
即AB =…………12分 19．（本小题满分12分）
解：当0m =时，两直线方程为6x =-，0x =，满足题意； ……………………………2分 当0m ≠时，直线方程为2216y x m m =--与22
33
m y x m -=-
， 由题意可知，2
123m
m m
--
= …………………………………4分 即3(2)m m =-
2230m m --=，
解得1m =-或3m =； …………………………………6分 当1m =-时，两直线方程为60x y ++=，2
03
x y ++
=，满足题意； …………………………………8分
当3m =时，两直线方程为960x y ++=，960x y ++=，两直线重合，不合题意． ……………………10分 ∴0m =，1m =-． ……………………12分 20. （本小题满分12分） 解：（I ）∵2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c ＝－＋－，
得2
2(2)(2)a b c b c b c ＝－＋－，即222
bc b c a ＝＋－，………………………………2分
∴2221
cos =
22
b c a A bc +-=， …………………………………4分 ∴60A =
. …………………………………6分
(Ⅱ)∵A B C ＋＋＝180， ∴18060120B C
＋＝－＝.
由sin sin B C +=
sin sin(120)B B +-=
，……………………………8分
∴sin sin120cos cos120sin B B B +-=
∴
3sin 2B B +=sin(30)1B += .…………………………………10分 又∵0120B
＜＜，3030150B
＜＋＜， ∴3090B
＋＝，即60B
＝. ∴60A B C ＝＝＝，
∴ABC 为正三角形． …………………………………12分
21．（本小题满分12分） 解：（I ）∵侧棱1AA ⊥底面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面11CDD C ，
∴点A 到面1MCC 的距离等于点A 到边CD 的距离，…………………………………2分
在菱形ABCD 中，0
60B ∠=，2AB AD ==，
所以
h = …………………………………4分
三棱锥1MCC A -
的体积
111142332MCC V S h ∆=⨯=⨯⨯⨯=. …………………………………6分 （II ）将矩形11DD C C 绕1DD 按逆时针旋转90 展开，与矩形11DD A A 共面,
此时11A M MC AC +≥当且仅当点M 是棱1DD 的中点时，1A M MC +取得最小值． ………………………………8分
在矩形11ADD A
中MA =在矩形11ABB A
中1AB =在11MB D ∆
中1MB ==，
所以在1MB A ∆中得：
222111AB MA MB MA MB =+⇔⊥ …………………………………10分
同理：11,MC MB MC MA M B M ⊥=⇒⊥ 面MAC .…………………………………12分 22. （本小题满分12分） 解: (Ⅰ) 2
10x bx b ++->
(1)(1)0x x b ++->
当11b -=-，即2b =时，解集为{|1}x x ≠-； …………………………………2分 当11b -<-，即2b <时，解集为{|1x x <-或1}x b >-；………………………………4分 当11b ->-，即2b >时，解集为{|1x x b <-或1}x >-．……………………………6分 (Ⅱ) 若对任意12,[1,1]x x ∈-，有12()()4f x f x -≤， 等价于对任意
()
f x 在
[1,1]-上的最大值与最小值之差
4M ≤, …………………………………8分
据此分类讨论如下： ①当12
b
-
>，即2b <-时，(1)(1)24M f f b =--=->，与题设矛盾； ②当12
b -<-，即2b >时，(1)(1)24M f f b =--=>，与题设矛盾； ③当102b -≤-<，即02b <≤时，2(1)()(1)422b b M f f =--=+≤恒成立； ④当012b ≤-≤，即20b -≤≤时，2(1)()(1)4
22
b b M f f =---=-≤恒成立． …………………………10分
综上可知，22b -≤≤． …………………………………12分
附加题：(本小题满分10分)
设圆心为(,1)C a a -，半径为r ，
则点C 到直线2l 的距离
1|43(1)14||711|
55
a a a d +-++=
=
…………………………2分 点C 到直线3l 的距离是2|34(1)10||76|
55
a a a d +-++==
…………………………4分 由题意，得222|711|
,5
|76|()3.5a r a r +⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩
…………………………6分
解得2,5a r ==， …………………………8分
即所求圆的方程是22
(2)(1)25x y -+-= . …………………………10分。