山东省诸城市桃林镇桃林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题20简单的四点共圆(附答案)

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山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型

专题 15角含半角模型破题策略1．等腰直角三角形角含半角如图，在△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝90°，点 D， E在 BC上且∠ DAE＝45°（1）△BAE∽△ADE∽△CDA22 2（2）BD＋CE＝DE．A45°CBD E证明（ 1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，因此△ BAE∽△ ADE∽△ CD A．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°获得△ACF，连接EF．A45° FCBD E则∠ EAF＝∠ EAD＝45°， AF＝AD，因此△ ADE∽△ FAE （SAS ）．因此 DE＝EF．而 CF＝ BD，∠ FCE＝∠ FCA＋∠ ACE＝90°，因此 BD＋CE＝ CF＋ CE＝EF＝ DE．方法二（翻折法）：如图2，作点B对于AD 的对称点F，连接AF， DF，EF．A45°CBD EF由于∠ BAD＋∠ EAC＝∠ DAF＋∠ EAF，又由于∠ BAD＝∠ DAF，则∠ FAE＝∠ CAE， AF＝ AB＝ AC，因此△ FAE∽△ CAE（SAS）．因此 EF＝E C．而 DF ＝ BD ，∠ DFE ＝∠ AFD ＋∠ AFE ＝90°，22222因此 BD ＋ EC ＝ FD ＋ EF ＝ DE ．【拓展】 ①如图，在△ ABC 中，AB ＝ AC ，∠ BAC ＝90°，点 222延伸线上，且∠ DAE ＝45°，则 BD ＋ CE ＝ DE ．D 在 BC 上，点 E在 BC的 ABD CE能够经过旋转、翻折的方法来证明，如图：FAAFBDCEBDCE②将等腰直角三角形变为随意的等腰三角形：如图，在△ABC 中， AB ＝ AC ，点D ，E 在BC 上，且∠ DAE＝1∠ BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180°2－∠ BA C ．ABD EC能够经过旋转、翻折的方法将BD ， DE ， EC 转移到一个三角形中，如图：AAFBDECBDECF2．正方形角含半角如图 1，在正方形ABCD中，点E，F 分别在边BC， CD上，∠ EAF＝45°，连接 EF，则：B A B ABH A45°45°E EEGC FD C F D CFD图1 图 2 图 3（1）EF＝BE＋DF;（2）如图 2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;（3）如图 3，连接BD交AE于点H，连接FH．则FH⊥AE．（1）如图 4，将△ABE绕点A逆时针旋转 90°获得△ADI证明．B AEC FD I图 4则∠ IAF＝∠ EAF＝45°， AI ＝ AE，因此△ AEF∽△ AIF（ SAS），因此 EF＝ IF ＝ DI＋ DF＝ BE＋ DF．（2）由于△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，因此 AG＝ A D．（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H四点共圆，进而∠ AHF＝180°－∠ ADF＝90°，即 FH⊥ AE．【拓展】①如图，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在边 CB， DC 的延伸线上，∠ EAF＝45°，连接EF，则 EF＝ DF－ BE．EABF C D能够经过旋转的方法来证明. 如图:EABFC G D②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中， AB =AD ，∠ BAD +∠ C =180 °，点 E ，F 分别在 BC 、 CD 上，∠ EAF = 1∠ BAD ，连接 EF ，则 EF=BE+DF.2BAECFD能够经过旋转的方法来证明. 如图:BAECFDG例题解说例1 如图 1，点 E 、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上，∠ EAF ＝ 45° .（ 1）试判断、 FD 之间的数目关系 .BE 、EF（ 2）如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ BAD ≠ 90°， AB ＝ AD ．∠ B ＋∠ D ＝ 180°，点 E 、F 分别在、上，则当∠EAF 与∠BAD 知足关系时，仍BC CD有 EF ＝ BE ＋ FD .（ 3）如图 3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD .已知 AB ＝ AD＝ 80m ，∠ B ＝ 60°，∠ ADC ＝ 120°，∠ BAD ＝ 150°，道路 BC ，CD 上分别有景点E ， F ，且 AE ⊥ AD ． DF ＝ 40（ 3 －1） m ．现要在 E 、F 之间修一条笔挺的道路，求这条道路 EF 的长．（结果取整数，参照数据： 2 ＝ 1.41 ， 3 ＝ 1.73 ）A DFADDAFFB EC B ECBEC图 1图 2图3解：（ 1）由“正方形内含半角模型”可得 EF ＝ BE ＋ FD ．（2）∠ BAD ＝ 2∠ EAF ，原因以下：如图 4，延伸 CD 至点 G ，使得 DG ＝ BE ．连接 AG. 易证△ ABE ≌△ ADG （SAS ） . 因此 AE ＝ AG ，即 EF ＝ BE ＋ DF ＝ DG ＋ DF ＝GF .进而证得△ AEF ≌△ AGF （ SSS ）．因此∠ EAF ＝ ∠ GAF ＝ 1 ∠ EAG ＝ 1∠ BAD .22AGHGDFDFABEC图 4BCE图 5（ 3）如图 5，将△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 1 50 °至△ ADG ．连接AF ．由题意可得∠ BAE ＝ 60°因此△ ABE 和△ ADG 均为等腰直角三角形 .过点 A 作 AH ⊥ DG 于点 H ．则DH ＝ 1AD ＝ 40m ， AH ＝3AD ＝ 403 m.2 2而 DF ＝ 40（ 3 － 1） m.因此∠ EAF ＝∠ GAF ＝45° . 可得△ EAF ≌△ GAF （SAS ）．因此 EF ＝ GF ＝80m+40（ 3 － l ） m ≈109. 2m.例 2 如图，正方形ABCD 的边长为 a ，BM 、 DN 分别均分正方形的两个外角，且知足∠ MAN＝ 45°．连接 MC 、 NC 、 MN ．（ 1）与△ ABM 相像的三角形是， BM DN ＝（用含有 a 的代数式表示）；（ 2）求∠ MCN 的度数；（ 3）请你猜想线段BM、DN和 MN之间的等量关系，并证明你的结论. ADB NCM解：（ 1）△NDA，a2 .（ 2）由（ 1）可得BM AB，AD ND因此BM DC．BC DN易证∠ CBM＝∠ NDC＝45°，因此△ BCM∽△ DNC．则∠ BCM＝∠ DNC，因此∠MCN =360°一∠BCD一∠BCM一∠DCN＝270°－（∠DNC+∠DCN）＝270°－（ 180°－∠DNC）＝135°．（3）BM2DN 2MN 2，证明以下：如图，将△ ADN绕点 A顺时针旋转90°，获得△ABE，连接EM.易得 AE＝AN.∠ MAE＝∠ MAN＝45°，∠ EBM＝90°，因此△ A ME≌△ AMN.（SAS）.则 ME＝ MN．在 Rt △BME中，BM2 BE2 EM 2因此BM2 DN 2 EM 2 .ADBCNEM倒 3 如图，在四边形ABCD中， AD∥ BC，∠ BCD＝90°， AB＝BC＋ AD，∠ DAC＝45°， E 为上一点，且∠＝ 45°. 若＝4，求△的面积 .CD BAE CD ABEB CEA D图1解：如图1．过点A作CB的垂线，交CB的延伸线于点F.由∠ DAC=45°，∠ ADC＝90°，可得 AD＝ CD.因此四边形ADCF为正方形.进而 AF＝ FC＝4．令 BC＝ m，则 AB＝4＋ m， BF＝4－ m．2 2在 Rt △AFB中，有 16＋（ 4 －m）一（ 4＋m）如图 2．将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG.易证△ AGH≌△ AEB．令 DE＝ n，则 CE＝4－ n， BE＝ BG＝3＋n在 Rt △BCE中，有1+（ 4－n）2＝（ 3＋n）2，解得n＝4 .因此 BG＝25.7 7 1AF BG 50进而SABE SABG .2 7G F B CEA D图 2进阶训练1.如图，等边△ ABC的边长为1，D是△ ABC外一点且∠ BDC＝120°，BD＝ CD，∠ MDN＝60°，求△AMN的周长．ANM BCD△ AMN 的周长是 2【提示】如图，延伸AC 至点，使得CE ＝，连接DE. 先证△≌△ ，再证△MDNEBMBMDCED≌△ EDN 即可 .ANMBCDE2．如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD ，E 、F 是边 BC ，CD 上的点， △CEF 的周长是正方形 ABCD 周长的一半， AE 、 AF 分别与 BD 交于 M 、 N ，试判断线段 BM 、 DN 和 MN 之间的数目关系，并证明．ADNFMBEC解： 2＋2＝2．BM DN MN【提示】由△ CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半，想到“正方形角含半角”，进而旋转构造协助线解决问题（如图1），证△ AEF ≌△ AGF ，得∠ MAN ＝ 1∠ BAD ＝ 4，而后，再由“等腰2直角三角形含半角”（如图2）即可证得．GH GADADNNFFMMBE CBEC图1图23．如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在边 AB 上， DE ⊥ BC 于点 E ，且 DE ＝ BC ，点 F 在边 AC 上，连接 BF 交 DE 于点 G ，若∠ DBF ＝45°， DG ＝27，BE ＝ 3，求 CF 的长．5ADGBE解： CF ＝12．5【提示】如图，将 DE 向左平移至 BH ，连接 HD 并延伸交 AC 于点 I ，则四边形 HBCI 为正方形．将△ BHD 绕点 B 顺时针旋转 90°至△ BCJ ，则点 J 在 AC 的延伸线上．连结 DF ，由“正方形角含半角模型”可得 DF ＝ DH ＋ CF ，∠ DFB ＝∠ JFB ＝∠ DGF ，所以 DF ＝ DG ，进而求得CF 的长．F CAHDIGFCBEJ。

山东省潍坊市诸城市2017届九年级上学期期中考试数学(解析版)

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AE=CE ，则△ADE 与四边形DBCE 的面积之比等于（）.A ．1B ．12 C ．13 D ．14【答案】C ．考点：相似三角形的判定与性质．2.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（）.A ．100mB ．mC ．150mD ．【答案】A ．【解析】试题分析：根据题意可得BC AC =，把BC=50m ，代入即可算出AC 的长，再利用勾股定理算出AB 的长即可．∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:，∴BC AC =BC=50m ，∴m ，∴，故选：A ．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．3.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x﹣3）2=k，则b，k的值分别为（）.A．0，4 B．0，5 C．﹣6，5 D．﹣6，4【答案】D．【解析】试题分析：先把（x﹣3）2=k化成x2﹣6x+9﹣k=0，再根据一元二次方程x2+bx+5=0得出b=﹣6，9﹣k=5，然后求解即可．∵（x﹣3）2=k，∴x2﹣6x+9﹣k=0，∵一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x﹣3）2=k，∴b=﹣6，9﹣k=5，∴k=4，∴b，k的值分别为﹣6、4；故选D．考点：解一元二次方程-配方法．4.如图，要使△ABC∽△CBD，则下列选项中不能作为条件添加的是（）.A．BC2=BD∙BA B．∠A=∠BCD C．AC2=AD∙AB D．∠BDC=∠ACB【答案】C．【解析】试题分析：图中已知条件是∠ABC=∠CBD，所以根据“两角法”、“两边及其夹角法”进行添加条件即可．如图，∠ABC=∠CBD．A、若添加BC2=BD∙BA即BC BABD CB=时，可以判定△ABC∽△CBD，故本选项错误；B、若添加∠A=∠BCD时，可以判定△ABC∽△CBD，故本选项错误；C、若添加AC2=AD∙AB即AC ABAD AC=时，可以判定△ABC∽△ACD，故本选项正确；D、若添加∠BDC=∠ACB时，可以判定△ABC∽△CBD，故本选项错误；故选：C．考点：相似三角形的判定．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=23，则BC的长为（）.A．4 B．C D 【答案】A．【解析】试题分析：根据cosB=23，可得CBAB=23，再把AB的长代入可以计算出CB的长．∵cosB=23，∴CBAB=23，∵AB=6，∴CB=23×6=4，故选：A．考点：锐角三角函数的定义．6.关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）.A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1【答案】C．【解析】试题分析：本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．∵x=1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得p2﹣2p+1=0，解此方程得到p=1．故本题选C．考点：一元二次方程的解．7.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．B．C．50 D．25【答案】D．【解析】试题分析：根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．如图：根据题意，∠1=∠2=30°，∵∠ACD=60°，∴∠ACB=30°+60°=90°，∴∠CBA=75°﹣30°=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25（海里）．故选D．考点：1.等腰直角三角形；2.方向角．8.如果关于x的一元二次方程kx2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）.A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．﹣12≤k＜12D．﹣12≤k＜12且k≠0【答案】D．【解析】试题分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，综合k的取值范围是-12≤k＜12，且k≠0．故选：D．考点：根的判别式．9.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF 交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）.A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】C．考点：1.相似三角形的应用；2.解直角三角形的应用．10.如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（）.A．16B．13C．12D．23【答案】B．【解析】试题分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．∵在正方形ABCD中，BC=AB=3，延长A′B′交BC于点E，∵点A′的坐标为（1，2），∴OE=1，EC=A′E=3﹣1=2，∴OE：BC=1：3，∴AA′：AC=1：3，∵AA′=CC′，∴AA′=CC′=A′C′，∴A′C′：AC=1：3，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是13．故选B．考点：1.位似变换；2.坐标与图形性质．11.如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（）.A ．12 B ．1 D ．1 【答案】C ．【解析】试题分析：设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL ”证明Rt △AB ′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B ′AE ，再根据旋转角求出∠DAB ′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD 的面积﹣四边形ADEB ′的面积，列式计算即可得解．如图，设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，在Rt △AB ′E 和Rt △ADE 中，'AE AE AB AD⎧=⎨=⎩，∴Rt △AB ′E ≌Rt △ADE（HL ），∴∠DAE=∠B ′AE ，∵旋转角为30°，∴∠DAB ′=60°，∴∠DAE=12×60°=30°，∴DE=1，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（12×1）=1．故选：C ．考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质．12.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB=3，AC=4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP=x ，则PD+PE=（）.A ．5x +3B ．4-5xC ．72D ．21212525x x -【答案】A ．【解析】试题分析：先根据勾股定理求得BC 的长，再根据相似三角形的判定得到△CDP ∽△CAB ，△BPE ∽△BCA ，利用相似三角形的边对应成比例就不难求得PD+PE 了．∵在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB=3，AC=4，∴由勾股定理得BC=5，∵AB ⊥AC ，PE ⊥AB ，PD ⊥AC ，∴PE ∥AC ，PD ∥AB ，∴△CDP ∽△CAB ，△BPE ∽△BCA ，∴PD PC AB BC =,PE BP AC BC =，∴PD=3(5)5x -，PE=45x ，∴PD+PE=3(5)5x -+45x =5x+3．故选A ．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13.观察下列等式 ①sin30°=12 cos60°=12②sin45° cos45°③sin60° cos30° …根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．【答案】1．【解析】试题分析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．考点：互余两角三角函数的关系．14.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为．【答案】（22﹣x）（17﹣x）=300．【解析】试题分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）=300，故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．15.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG，DE：FG：BC= ．【答案】1．【解析】试题分析：由平行线可得△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，进而利用相似三角形面积比等于对应边的平方比，即可得出结论．∵S △ADE =S 梯形DFGE =S 梯形FBCG ，∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∴ADE AFGS S∆∆=12，ADE ABCS S∆∆ =13，由于相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，∴DE ：FG ：BC=11．考点：相似三角形的判定与性质．16.已知线段AB 的长为2，以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ，以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM ．过E 作EF ⊥CD ，垂足为F 点，如图．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，则AE 的长为．1．【解析】试题分析：设AE=x ，则BE=2﹣x ，就有EFDB 的面积为2（2﹣x ），正方形AENM 的面积=x 2，根据正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等建立方程求出其解即可．设AE=x ，则BE=2﹣x ，由图形得x 2=2（2﹣x ），解得：x 11，x 2=1（舍去）﹣1．考点：一元二次方程的应用．17.如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2cm ．若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为 cm ．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】2.7．【解析】试题分析：过点B 作BD ⊥OA 于D ，过点C 作CE ⊥OA 于E ．首先在等腰直角△BOD 中，得到BD=OD=2cm ，则CE=2cm ，然后在直角△COE 中，根据正切函数的定义即可求出OE 的长度．过点B 作BD ⊥OA 于D ，过点C 作CE ⊥OA 于E ．在△BOD 中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm ，∴CE=BD=2cm ．在△COE 中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵tan37°=CEOE≈0.75，∴OE ≈2.7cm ．∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7cm ．故答案为2.7．考点：解直角三角形的应用．18.已知a ≠b ，且a 、b 满足a 2﹣3a ﹣4=0，b 2﹣3b ﹣4=0，那么a b +ba的值等于．【答案】﹣174．【解析】试题分析：由a 、b 满足a 2﹣3a ﹣4=0、b 2﹣3b ﹣4=0，可得出a 、b 是方程x 2﹣3x ﹣4=0的两个根，利用根与系数的关系即可得出a+b=3、ab=﹣4，将a b +b a 变形成22()ababa b -+，代入数据即可得出结论．∵a 、b满足a 2﹣3a ﹣4=0，b 2﹣3b ﹣4=0，∴a 、b 是方程x 2﹣3x ﹣4=0的两个根，∴a+b=3，ab=﹣4，∴a b +b a =22ab a b +=22()ab aba b -+=22(4)43-⨯--=﹣174．故答案为：﹣174．考点：1.根与系数的关系；2.分式的值．三、解答题（共6小题，满分66分）19.解关于x 的方程：（1）（2x ﹣5）2=（x ﹣2）2 （2）（1+x ）2+（1+x ）=12（3）x2+ax+b=0（配方法）【答案】（1）x1=3，x2=73．（2）x1=2，x2=﹣5．（3）当a2﹣4b＜0时，方程无解．当a2﹣4b≥0时，x=﹣2a±．【解析】试题分析：（1）利用直接开方法解即可．（2）移项，利用因式分解法解即可．（3）根据配方法的步骤解即可．试题解析：（1）∵（2x﹣5）2=（x﹣2）2，∴2x﹣5=±（x﹣2），∴x1=3，x2=73．（2）∵（1+x）2+（1+x）=12，∴（1+x）2+（1+x）﹣12=0∴（1+x+4）（1+x﹣3）=0，∴1+x+4=0或1+x﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣5．（3）∵x2+ax+b=0，∴x2+ax=﹣b，∴x2+ax+（2a）2=（2a）2﹣b，∴（x+2a）2=244ba-，当a2﹣4b＜0时，方程无解．当a2﹣4b≥0时，x=﹣2a．考点：1. 直接开方法解一元二次方程；2.解一元二次方程-配方法；3.解一元二次方程-因式分解法．20.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，CEBE=13，CF=DF，连接AE、AF、EF，并延长FE交AB的延长线于点G．（1）若正方形的边长为4，则EG等于；（2）求证：△ECF∽△FDA；（3）比较∠EAB与∠EAF的大小．【答案】（1）；（2）证明参见解析；（3）∠EAF＜∠EAB．【解析】试题分析：（1）先根据正方形边长得CF=2，由平行相似得：△FCE ∽△GBE ，则FC CE BG BE=，代入求得BG=6，根据勾股定理得：；（2）根据已知边的长度分别求EC FD =12，CF AD =24=12，则EC FD =CF AD，再由正方形性质得：∠C=∠D=90°，则△ECF ∽△FDA ；（3）先根据（2）中的△ECF ∽△FDA ，得∠CFE=∠DAF ，EF FA =CE DF =12，证明∠EFA=90°，分别计算∠EAB 与∠EAF 的正切值，根据两锐角正切大的角大，得出结论．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD=BC=4，∠ABC=90°，DC ∥AB ，∵CF=DF ，∴CF=12CD=2， ∵DC ∥AG ，∴△FCE ∽△GBE ，∴FC CE BG BE =，∵CE BE =13，∴FC BG =13，BE=34BC=34×4=3，∴2BG =13，∴BG=6，在Rt △BEG 中，=；故答案为：；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=AD=DC=4，∠C=∠D=90°，∵DF=FC=2，CE=1，∴EC FD =12，CF AD =24=12，∴EC FD =CF AD，∴△ECF ∽△FDA ；（3）∵△ECF ∽△FDA ，∴∠CFE=∠DAF ，EF FA =CE DF =12，∵∠DFA+∠DAF=90°，∴∠CFE+∠DFA=90°，∴∠EFA=90°，∴tan ∠EAF=EF FA =12，∵CE BC =14，∴tan ∠EAB=EB AB =34，∵12<34，∴∠EAF ＜∠EAB ．考点：相似形综合题．21.已知一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0．（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x 1，x 2是方程的两个实数根，且满足x 12+x 1x 2=1，求m 的值．【答案】（1）m ＜2；（2）m=74．【解析】试题分析：（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ＞0，建立关于m 的不等式，即可求出m 的取值范围．（2）x 1是方程的实数根，就适合原方程，可得到关于x 1与m 的等式．再根据根与系数的关系知，x 1x 2=m ﹣1，故可求得x 1和m 的值．试题解析：（1）根据题意得△=b2﹣4ac=4﹣4×（m﹣1）＞0，解得m＜2；（2）∵x1是方程的实数根，∴x12﹣2x1+m﹣1=0 ①，∵x1，x2是方程的两个实数根，∴x1•x2=m﹣1，∵x12+x1x2=1，∴x12+m﹣1=1 ②，由①②得x1=0.5，把x=0.5代入原方程得，m=74．考点：1.根与系数的关系；2.一元二次方程的解；3.根的判别式．22.今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度．【答案】（1）521米．（2）1：2.4．【解析】试题分析：（1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，构造直角三角形ABE 和直角三角形CBD，然后解直角三角形．（2）求出BE的长，根据坡度的概念解答．试题解析：如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足．在C点测得B点的俯角为30°，∴∠CBD=30°，又BC=400米，∴CD=400×sin30°=400×12=200（米）．∴B点的海拔为721﹣200=521（米）．（2）∵BE=DF=521﹣121=400米，又∵AB=1040米，米，∴AB的坡度i AB=BEAE=400960=512．故斜坡AB的坡度为1：2.4．考点：1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.解直角三角形的应用-仰角俯角问题．23.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元．（1）每件利润为14元时，此产品质量在第几档次？（2）由于生产工序不同，产品每提高1个档次，一天产量减少4件．若生产第x档的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工程生产的是第几档次的产品？【答案】（1）第3档次；（2）y=﹣8x2+128x+640；第5档次.【解析】试题分析：（1）由每提高一个档次，每件利润增加2元，14﹣10=4，需要提高2个档次，由此即可解决问题．（2）根据一天的利润=生产的件数×每件的利润，即可求出y与x的关系，再列出方程即可解决问题．试题解析：（1）由每提高一个档次，每件利润增加2元，每件利润为14元时，14﹣10=4，4÷2=2，需要提高2个档次，所以此产品质量在第3档次．（2）由题意y=[10+2（x﹣1）][76﹣4（x﹣1）]=﹣8x2+128x+640．（1≤x≤10）．当y=1080时，﹣8x2+128x+640=1080，解得x=5或11（舍弃）．所以工程生产的是第5档次的产品时，一天的总利润为1080元．考点：1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用．24.如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．（1）求证：AC∥BD；（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学计算器）【答案】（1）证明参见解析；(2) 61.9°；(3) 小红的连衣裙会拖落到地面．理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据等角对等边和对顶角相等得出∠OAC=∠OCA=12（180º-∠AOC ）和∠OBD=∠ODB=12（180º-∠BOD ），∠AOC=∠BOD 进而利用平行线的判定得出即可；或利用三角形相似和平行线判定可得出结论；（2）首先过点O 作OM ⊥EF 于点M ，则EM=16cm ，利用cos ∠OEF=1683417EM OE ==≈0.471，即可得出∠OEF 的度数；（3）首先证明Rt △OEM ∽Rt △ABH ，进而得出AH 的长即可．试题解析：（1）方法一：∵AB 、CD 相交于点O ，∴∠AOC=∠BOD ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=12（180º-∠AOC ），同理可证：∠OBD=∠ODB=12（180º-∠BOD ），∴∠OAC=∠OBD ，∴AC ∥BD ；方法二：AB=CD=136cm ，OA=OC=51cm ，∴OB=OD=85cm ，∴35OA OC OB OD ==，又∵∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ， ∴∠OAC=∠OBD ；∴AC ∥BD ；（2）在△OEF 中，OE=OF=34cm ，EF=32cm ；过点O 作OM ⊥EF 于点M ，则EM=16cm ；∴cos ∠OEF=1683417EM OE ==≈0.471，用科学计算器求得∠OEF=61.9°；（3）方法一：小红的连衣裙会拖落到地面；在Rt △OEM 中， =30cm ，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，同（1）可证：EF ∥BD ，∴∠ABH=∠OEM ，则Rt △OEM ∽Rt △ABH ，∴OE OM AB AH =,AH=3013612034OM AB OE ⨯== cm ，因为小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm ＞晒衣架的高度AH=120cm ．所以小红的连衣裙会拖落到地面．方法二：小红的连衣裙会拖落到地面；同（1）可证：EF ∥BD ，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；过点A 作AH ⊥BD 于点H，在Rt△ABH中sin∠ABD=AHAB，AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm，因为小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．所以小红的连衣裙会拖落到地面．考点：1.相似三角形的应用；2.解直角三角形的应用．。

山东省诸城市桃林镇桃林初中2017年秋初中竞赛模拟36数学试题(无答案)

初中数学竞赛模拟试题(三十六)一、选择题(每小题6分，共30分)1．已知钝角三角形的三边长分别是3，4，x ，则x 的取值范围是()A ．1＜x ＜7B ．5＜x ＜7C ．1＜x．5＜x ＜7或1＜x2．满足方程y 4＋2x 4＋1＝4x 2y 的所有整数对(x ，y )共有()对．A ．2B ．3C ．4D ．53．设n 为自然数，且a n11a ＋31a ＋51a ＋···＋9971a ＋9991a 的值是() A ．3B ．4C ．5D ．64．如图36－1，各边都相等的五边形ABCDE 中，∠ABC ＝2∠DBE ．那么，∠ABC 为()A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°5．设在一个宽度为w 的小巷内，一个梯子的长为a ，梯子的脚位于P 点．将该梯子的顶端放于一堵墙上Q 点时，Q 离开地面的高度为k ，梯子的倾斜角为45°，将该梯子的顶端放于另一堵墙上R 点时，R 离开地面的高度为h ，且此时梯子的倾斜角为75°，则小巷的宽度等于()A ．aB ．2h k +C ．kD ．h 二、填空题(每小题6分，共30分)6．已知a ，b ，c 都是正整数，且满足条件a 2－b 2－c 2＝abc ，a 2＝2(b ＋c )．则a ＝__________，b＝__________，c＝__________．7．如图36－2，AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∠CBD＝30°(A，C，D在同一直线上)．求AC＝__________．8．HJ牌小汽车的油箱可装汽油30升．愿来装有汽油10升，现在再加汽油x升．如果每升汽油 2.95元，油箱内汽油的总价y(元)与x(升)之间的函数关系式是____________________．其图像为(请画在图36－3的坐标系中)．x6－5－x4＋x3－2＋2x__________．9．已知x三、解答题(每小题15分，共60分)11．已知a，b，c，12．如图36－5，AD为⊙O的直径，过D的切线交BC的延长线于P，连PO并延长分别交AC，AB于N，M．求证：OM＝ON．13．设P为正整数，如果不定方程x2＋y2＝p(xy－1)有正整数解．试证明：p＝5．14．如图36－6，已知点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x轴的正半轴上，点A在点B的左边，α，β是以线段AB为斜边，顶点C为x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．(1)若二次函数y＝－x2－52kx＋(2＋2k－k2)的图像经过A，B两点，求它的解析式；(2)点C在(1)中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由．。

山东省诸城市桃林镇桃林初中2017年秋初中竞赛模拟4数学试题(无答案)

初中数学竞赛模拟试题(四)一、选择题(每小题6分，共30分)1．若a＋b =4，a3＋b3=28，则a2＋b2的值是( )A．8 B．10 C．12 D．14 2．在等腰△ABC中，顶角∠BAC=100°，延长AB到D，使AD：BC，则∠BCD= ( ) A．10°B．15°C．20°D．30°3．已知x，y，z均为实数，x＞0，y＞0且()()22xx yy z za--=-，b=x－y，则下面的结论中必定成立的是( )A．若x＜y，则n≥6B．a≤b C．a≥b D．若x＜y，则a ＜b4．以下命题中：是最简根式；②把x3＋x2－4分解因式的最后结果为(x＋2)·(x2＋x－2)；③设a＋b=l，则a3＋b3＋3ab－1；，正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．45．如图4－1，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于I，BD和AF相交于H，那么四边形BEIH的面积是( )A．13B．25C．715D．815图4-1EBFCD二、填空题(每小题6分，共30分)6．若正数m，n满足m n m4n+4n=，则nn+3________________________．7．若方程x2—17x＋17k－1=0至少有一个正整数根，则所有正整数k的和等于____________________________．8．AB是⊙O的一条弦，P是⊙O外一点，PB切⊙O于B，P A交⊙O于C，且AC= BC，PD⊥AB于D，E是AB的中点，DE=1000，则PB=________________________．9．一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多，若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球有____________个，红球有__________________个．10．已知：商品利润率=商品出售价－商品成本价商品成本价×100%某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%．当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出甲、乙两种商品的件数相等时，这个商人得到的总利润率是__________________．三、解答题(每小题15分，共60分)11．求使关于x的方程(n＋1)x2－(a2＋1)x＋2a3－6=0有整数根的所有整数a．12．已知抛物线y= x2＋px＋q上有一点M(x0，y0)位于x轴下方．(1)求证：此抛物线与x轴交于两点；(2)设此抛物线与x轴的交点为A(x0，0)，B (x2，0)，且x l＜x2．求证：x l＜x0＜x2．13．如图4－2，直线上按顺序有四个点A，B，C，D，且AB：BC：CD =2：1：3，分别以AC，BD为直径作⊙O1，⊙O 2，两圆交于E，F，求ED：EA的值．图4-2D14．如果一个自然数各位数字之和与各位数字之积的和恰好等于这个自然数，我们称它为“幸运数”，试求出所有“幸运数”的和．。

山东省诸城市桃林镇桃林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题6轴对称之最短路径(附答案)

专题6 轴对称之最短路径破解策略用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的题型有：1．已知：在直线l 同恻有A ．l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小．作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结A 'B ，与直线，的交点就是点P2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小作法：如图，连结AB ，作线段AB 的垂甫平分线．与直线l 的交点就是点P3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大A ll作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P4．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点．在l 上找两点C ，D （其中CD 的长度固定，等于所给线段d ），使得AC ＋CD ＋DB 最小，作法：如图，先将点A 向右平移口个单位长度到点A '，作A '关于直线l 的对称点A "，连结A "B ，与直线l 的交点就是点D ．连结A 'D ，过点A 作AC ∥A 'D ，交直线l 于点C ．则此时AC '＋CD ＋DB 最小．5．已知：在 MON 内有一点P ，在边ON ，OM 上分别找点Q ，R ，使得PQ ＋QR ＋RP 最AlAlalN作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，OM的交点就是点Q，R．6．已知：在∠MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小N作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q⊥ON，垂足为Q，P'Q与射线ON 的交点就是R．7．已知：在 MON 内有两点P ，Q ，在边OM ，ON 上分别找点R ，S ．使得PR ＋RS ＋SQ 最小．作法：如图，作点P 关于射线OM 的对称点P '，作点Q 关于射线ON 的对称点Q '，连纳P 'Q '．与射线OM ，ON 的交点就是R ，S ．例题讲解例1 （1）如图1，等边△ABC 中，AB ＝2，E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上作出点P ，使BP ＋EP 的值最小，并求BP ＋PE 的最小值．QNN（2）如图2，已知⊙O的直径CD为2，»AC的度数为60°，点B是»AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值．（3）如图3，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB，BC上作出点M，N，使△PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，α的代数式表示）．CDCCB图1 图2 图3解HNMFEPACDBP CDAB CDE（1B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P）；（2B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求的点P）；（3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N，线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．如图，连结BE，BF，∠EBF＝2∠ABC＝2α，BE＝BF＝BP＝m．过点B作BH⊥EF于点H，所以∠EBH＝12∠EBF＝α，EH＝FH．在Rt△BEH中，sinα＝EHBE，所以EH ＝BE ·sin α＝m ·sin α，所以EF ＝2m ·sin α，即PM ＋PN ＋MN ＝EF ＝2m ·sin α．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别以点A （2，3），B （3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A ，⊙B ，M ，N 分别是⊙A ，⊙B 上的动点，点P 为x 轴上的动点，求PM ＋PN 的最小值．解如图，作⊙A 关于x 轴的对称图形⊙A ´，连结A ´B ，与x 轴交于点P ，与⊙A ´交点为M ´，与⊙B 交点为N ，连结P A ，P A 与⊙A 交点为M ，则此时P A ＋PB 值最小，从而PM ＋PN 值也最小，最小值为线段M ´N 的长．如图，易得A ´（2，－3），由两电间距离公式得A ´B ＝．故M ´N ＝4，即PM ＋PN ＝－4．例3 如图1，等边△ABC 的边长为6，AD ，BE 是两条边上的高，点O 为其交点． P ，N 分别是BE ，BC 上的动点．Q O N EPBDCAACDBPENO图1 图2（1）当PN ＋PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度；（2）如图2，若点Q 在线段BO 上，BQ ＝1，求QN ＋NP ＋PD 的最小值．Q 'D 'ACDBPENO Q D 'O NEPBDCA图3 图4解（1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D 关于BE 的对称点D ´在AB 上，且为AB 的中点．如图3，过点D ´作BC 的垂线，垂足为N ´，D ´N 交BE 于点P ，连结PD ´，则PD ´＝ P D ．此时D ´N 的长度即为PN ＋PD 长度的最小值．显然D ´N ∥AD ，即点N 为BD 的中点．所以BN ＝14BC ＝32，从而BP ＝cos BNPBN∠（2）如图4，作点Q 关于BC 的对称点Q ´，则BQ ´＝1，∠CBQ ´＝30°．点D ´是点D 关于BE 的对称点，连接D ´Q ´，交BE 于点P ，交BC 于点N ．此时D ´Q ´即为QN ＋NP ＋PD 的最小值．显然∠D ´BQ ´＝90°，所以D ´Q＝即QN ＋NP ＋PD进阶训练1．两平面镜OM ， ON 相交于点O ，且OM ⊥ON ，一束光线从点A 出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B ，光线可以只经过平面镜OM 反射后过点B ，也可以只经过平面镜ON 反射后过点B ．除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由．'B''答案：作点A关于OM的对称点A´，作点B关于ON的对称点B´，连接A´B´，与OM，ON分别交于点D，C．光线行进路线如图．2．（1）在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（2）如图2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）解：（1）如图，过点B作BB’垂直于河岸，且使BB’长度等于这条河宽，连接AB’交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D，则CD即为架桥最合适的位置．（2）如图，过点A作AA’垂直于距点A较近的河岸，且使AA’长等于该河宽，同样，过点B作BB’垂直于距点B较近的河岸，且使BB’长等于河宽，连接A’B’分别交两条河相邻的河岸于点N，P，过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M，过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q，则MN，PQ即为架桥最合适的位置．ABB A图1 图23．如图，直线334y x=+分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C．若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．提示：作点C关于对称轴x＝1的对称点C’，则C’（2，1）．过点C’作C’F⊥AB于点F，且于对称轴交于点E，此时FC’的长为CE＋EF的最小值．连接C’B，C’A，作C’K⊥x轴于点K，则S△ABC＝S△ABD＋S△梯形C’KOB－S△C’KA＝AB⋅FC’，解得FC’＝145，则CE＋EF的最小值是145．。

山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题20 简单的四点共圆

专题20 简单的四点共圆破解策略如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”．四点共圆常用的判定方法有：1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．D【答案】（1）略；（2）A B，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．D【答案】（1）略；（2）AD DE；（3）AD＝DE·tanα．【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．（2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，∠AE D＝∠ABD＝30°，所以ADDE＝ tan30°，即AD＝DE．3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．【答案】略4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．D【答案】略诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．例题讲解例1 如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆．G证明因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以∠AED ＋∠AFD ＝180°，即A ，E ，D ，F 四点共圆．连结EF ，则∠AEF ＝∠ADF ．因为AD ⊥BC ，DF ⊥AC ，所以∠FCD ＝∠ADF ＝∠AEF ，所以B ，E ，F ，C 四点共圆．例2 在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 的中点．若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 与点N ，射线EN 与AB 相交于点P ，证明：∠APE ＝2∠MA D ．证明如图，连结DE ．因为AD ⊥BC ，CN ⊥AM ，E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝CE ＝NE ，从而A ，N ，D ，C 在以点E 为圆心、AC 为直径的圆上，所以∠DEN ＝2∠DAN ．由题意可得D 为BC 的中点，所以ED ∥AB ，所以∠APE ＝∠DEP ＝2∠MA D ．进阶训练1．已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径，P 是BC 上任意一点，过点P 分别作AB ，CD 的垂线，垂足分别为N ，M ．（1）如图1，若直径AB 与CD 相交成120°角，当点P （不与B ，C 重合）从B 运动到C 的过程中，证明MN 的长为定值；（2）如图2，求当直径AB 与CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值．ABCDEP N MABCDE P N MABCDEFABCDEF答案：（1）略（2）AB ，CD 相交成90°时，MN 取最大值，最大值为2．【提示】（1）如图，连接OP ，取其中点O ′，显然点M ．，N 在以OP 为直径的⊙O ′上．连结NO ′并延长，交⊙O ′于点Q ，连结QM ，则∠QMN ＝90°，QN ＝OP ＝2．而∠MQN ＝180°－∠BOC ＝60°，所以可求得MN 的长为定值．（2）由（1）知，四边形PMON 内接于⊙O ′，且直径OP ＝2．而MN 为⊙O ′的一条弦，故MN 为⊙O ′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN ＝90°． 2．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连结AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连结AE ．（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AD ＝DE ；（2）如图2，当∠ABC ＝30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？请说明理由；（3）当∠ABC ＝α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系（用含α的三角函数表示）．答案：（略）；（2）ADDE ；（3）AD ＝DE ·tan α．【提示】（1）证A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝45°，所以AD ＝DE ．（2）同（1）可得A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝30°，所以AEDE＝tan30°，图2ABCDEMN图1ABCD EFGABC D OM N QO ′P图1 图2A B CDPMNOABC DOM NP图1即AD DE．。

山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题2函数与方程

专题2 函数与方程、不等式的关系破解策略1．函数与方程的关系（1）关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的解⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标的值；（2）关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝mx ＋n （am ≠0）的解⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c（a ≠0）与直线y ＝mx ＋n （m ≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ≠0）的解集⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）位于x 轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0（a ≠0）的解集⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）位于x 轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞mx ＋n （ma ≠0）的解集⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）位于直线y ＝mx ＋n （m ≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜mx ＋n （ma ≠0）的解集⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）位于直线y ＝mx ＋n （m ≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2（m ≠0）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．若该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l ：y ＝－2x ＋2的上方，并且在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x ＝1，且直线l 与直线AB 关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方．又因为抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，所以抛物线与直线l 的一个交点的横坐标为－1．当x ＝－1时，y ＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y ＝mx 2－2mx －2，得m ＋2m －2＝4，则m ＝2．所以抛物线的表达式为y ＝2x 2－4x －2．例2 已知y ＝ax ²＋bx ＋c （a ≠0）的自变量x 与函数值y 满足：当－1≤x ≤1时，－1≤y ≤1，且抛物线经过点A （1，－1）和点B （－1，1）．求a 的取值范围．解：因为抛物线y ＝ax ²＋bx ＋c 经过A （1，－1）和点B （－1，1），代入得a ＋b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝1，所以a ＋c ＝0，b ＝－1，则抛物线y ＝ax ²－x －a ，对称轴为x ＝12a．①当a ＜0时，抛物线开口向下，且x ＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2＋ax ＋b＝1有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系为（）A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜nB【提示】函数y＝x2＋ax＋b和函数y＝x2＋ax＋b－1的图像如图所示，从而得到p＜m＜n ＜q解：函数y＝x2＋ax＋b如图所示：2．在平面直角坐标系xOy中，p（n，0）是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线，交一次函数y＝kx＋b的图像于点M，交二次函数y＝x²－2x－3的图像于点N，若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的表达式．y＝－2x＋1【提示】依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。

山东省诸城市桃林镇中考数学第20章圆复习题无答案

第20章圆20.1 点和圆的位置关系20.1.1 如图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，CD ⊥AB ，DE ⊥OC .如果AD 、BD 和CD 的长都是有理数，有下列命题：甲：OE 的长是有理数；乙：DE 的长是有理数；丙：图中所有字母表示出的线段的长都是有理数．那么，上述命题之中( )B(A)只有甲正确 (B)只有乙正确 (C)只有甲、乙正确 (D)甲、乙、丙都正确 20.1.2△ABC 的边长为a 、b 、c ，其外接圆的面积为S ；△A ´B ´C ´的边长为a ´、b ´、c ´，其外接圆的面积为S ´．若a ＜a ´，b ＜b ´，c ＜c ´，则S 与S ´的大小关系是( )．(A)S ＜S ´ (B)S ＝S ´ (C)S ＞S ´ (D)不能确定20.1.3 如图所示，正三角形ABC 内接于⊙O ，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长MN 交⊙O 于D ，连结BD 交AC 于P ，则PC PA＝.20.1.4 如图所示，扇形OAB 的半径为2，∠AOB 为直角，M 是以OB 为直径的半圆的圆心，MP ∥OA，MP 与半圆相交于N 点，则图中阴影部分的面积为 .ABM★20.1.5 在⊙O 上有一点A ，在⊙O 外有一点B ，求证：∠OAB ＞∠OBA .★20.1.6 在已知AB 为⊙O 的弦，C 、D 为AB 的三等分点.求证：（1）∠AOC =∠BOD .（2）∠COD =∠DOB .★20.1.7 锐角三角形ABC 的三边是a 、b 、c ，它的外心到三边的距离分别为m 、n 、p ，那么m ：n ：p 等于（）.（A ）cb a 1:1:1 （B ）a ：b ：c （C ）cosAcosB :cosC (D )sinA :sinB :sinC★20.1.8 已知⊙O 的半径是10，点P 到圆心的O 的距离是8，经过点P 且长为整数的弦有（）条.（A ）16 （B ）14 (C )12 (D )9★★20.1.9 如图所示，AD 是半圆直径，AD =4，B 、C 为半圆上两点，弦AB =BC =1，则弦CD 的长为_______.★★20.1.10 在等腰三角形ABC 的两腰AB 、BC 上分别取K 、L 两点，使得AK +LC =KL .过KL 的中点M 作BC 的平行线，交AC 边于点N .试求∠KNL 的度数.★20.1.11 圆内两条非直线的弦相交，试证:它们不能互相平分.★★20.1.12 已知⊙O 外接于△ABC ，AB 、BC 、CA 都不是⊙O 的直径，且⊙O 的任一条直径所在的直线都不能使A 、B 、C 三点在这条直线的同侧.（1）△ABC 是什么三角形？为什么？（2）试证明：△ABC 的三个角中，任一个角的正弦大于其他两个角的余弦.★★★20.1.13 一个上底与下底分别为AD 与BC 的梯形外切与一个圆，梯形的两条对角线相交于点E.试证：∠AED不是锐角.★★20.1.14在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM-3.若P是线段AC内一动点，⊙O是过P、M、C三点的圆，过P作PD∥AB交⊙O与点D.（1）求证：M是AB的中点.（2）求PD的长.★★20.1.15已知在⊙O中，内接四边形ABCD的对角线交于M，E、F分别为AB、CD的中点，求证：∠OEM=∠OFM.★★★20.1.16如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.20.2 圆内接四边形与四点共圆★20.2.1如图所示在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＞CD，△ACD的外接圆交BC于E，若AD=AE，则AB与BC的大小关系是（）.（A）AB＞BC（B）AB＜BC（C）AB＝BC（D）不能确定★★20.2.2如图所示，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝52.5°，∠B＝97.5°，∠AOB＝120°，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，则此四边形的面积S等于（）.（A ）21（ad +bc ）（B ）21（ad +cd ）（C ）21（ac +bd ）（D ）41（ad +bc +ad +cd ）★20.2.3 如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm ²，P 为正方形内一点，且∠OPB ＝45°，PA :PB ＝5:14，则PB ＝cm .★20.2.4 已知ABCD 为圆内接四边形，AC 、BD 为对角线，且ADC ABC S △△S ＝m ，CBD ABD S △△S ＝n ，则CD AB ＝.★★20.2.5 如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝1，∠ACD ＝60°，则四边形ABCD 的面积为.★★★20.2.6 如图所示，EF =CE =CF ，EA =BF =2AB ，且AP =CP =BQ =CQ =PD =DQ =1，求线段BD 的长度.★★★20.2.7 如图所示，四边形ABCD 内接于圆，AB =AD ，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得∠BFC =∠BAD .若∠BAD =2∠DFC ，请问：DEBE 之值是多少? ★★20.2.8 如图所示，在△ABC 中，AB =AC .任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP =BQ ，求证：在△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆.★★20.2.9 已知D 为正三角形ABC 外一点，且DA =DB +DC .求证：A 、B 、C 、D 四点共圆.★★20.2.10 已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE =3α，BC =CD =DE ，且∠BCD =∠CDE =180°—2α.求证：∠BAC =∠CAD =∠DAE .★★★20.2.11 已知△ABC 的外接圆为⊙O ，P 、Q 、R 依次是BC 、CA 、AB 的中点，弦PR 交AB 于D ，弦PQ 交AC 于E .求证：DE ∥BC .★★★20.2.12 已知AB 、CD 分别是单位圆的直径与弦，且AB ⊥CD ，BD =2AD ，E 是BD 的中点，连接AE ，与CD 交于P 点，延长AE ，与圆交于F 点；又连结CF ，与AB 相交于Q 点.（1）试证：EQ ∥CD .（2）求四边形ACQP 的面积.★★20.2.13如图所示，△ABC，△BCD，△CDE都是正三角形，线段FG∥BA.连结DG、EF相交于O，连结CO并延长，与AB的延长线相交于P.求证：CP＝EF.★★20.2.14如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，C1是C点关于直线AD 的对称点，C1B与AD相交于P，试问：当点D在BC（BC中点除外）运动时，AD·AP的值有何变化?并证明其结论.★★★20.2.15如图所示，NS是⊙O的直径，弦AB和NS垂直，且交NS于M，P为弧⌒ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q，求证RS＞MQ.★★★20.2.16设有一边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大和一个面积最小的.并求出这两个三角形的面积.（证明其论断）.★★20.2.17如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙I在切边BC、CA、AB于点D、E、F、P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交直线BC于点M、N.证明：（1）P、F、B、M四点共圆.（2）EM BD EN BP=.20.2.18用边长为1的正方形的四个边为斜边分别向正方形外作四个直角三角形.设点A、B、C、D分别作这四个直角三角形的顶点，O1、O2、O3、O4分别为这四个直角三角形内切圆圆心.试证：（1）四边形ABCD的面积不大于2；（2）四边形O1O2O3O4的面积不大于1.20.3 直线与圆的位置关系20.3.1已知O的半径为3cm，直线l上有一点P，OP=3cm，则直线l与O的关系是（）A.相交B.相离C.相切D.相交或相切20.3.2如图所示，A是半径为1的O外的一点，OA=2，AB是O的切线，B是切点，弦BC ∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（）（A）.29π（B）.6π（C）.6π+（D）.4πA20.3.3 PA切O于点A，AB是O的弦.若O的半径为1，PA=1，AB，则PB的长为（）（A）.1 （B）（C）.1（D）.不能确定20.3.4如图所示，一个半径为10cm的轮子紧靠在一个台阶上，台阶高为5cm，点Q是轮子与台阶的一个接触点，推动轮子使它绕点Q点旋转，一直到它的中心O在Q的正上方为止，轮辐OQ转过的角度是___________P20.3.5如图所示，以一底角为67.5°的等腰梯形ABCD的一腰BC为直径作圆，交大底AB于E，且恰与另一腰AD相切于M，则BE：AE=___________A B20.3.6如图所示，设AB是O中一条小于直径的弦，将△OAB绕圆心O顺时针旋转一个角α（0°<α<360°）得△''OA B.问：在旋转过程中，动弦''A B能否能过弦AB上的每一点？并证明其结论.20.3.7如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，O为△ABC的内心，连结A0并延长，与△ABC的外接圆交于D点，过O点作BC边的平行线，分别交AB、AC于E、F.求证：AB、AC均与△EFD的外接圆相切20.3.8如图所示，如果O内切于△ABC的三边，切点为X、Y、Z，那么，△XYZ满足（）.（A）每个角都等于60°（B）一个角是钝角，其余两个角都是锐角（C）与△ABC相似（D）每个角都等于△ABC中两个角和的一半B20.3.9如图所示，已知在△ABC中，∠A=90°，∠A的平分线AD交BC于D，且DB=3，DC=4，则△ABC内切圆的直径是（）（A）145（B）165（C）75（D）842520.3.10如图所示，△ABC为直角三角形，0点为△ABC的内切圆的圆心，D、E、F为切点，则△ABC的面积为（）.（A）AE·EC（B）AE·AC（C）AF·FB（D）BD·ACFB C20.3.11如图所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长（）（A）等于4 （B）等于5 （C）等于6 （D）不能确定AB20.3.12面积为2的等腰梯形外切于直径为13cm2的圆，则梯形的底角（锐角)度数为_____________.20.3.13如图所示，△ABC是正三角形，点C在矩形ABDE的DE边上，已知△ABC的内切圆半径是1，请问：矩形ABDE的外接圆直径是多少？20.3.14△ABC的内切圆分别切BC、CA及AB于点D、点B及点F.若AD=BE=CF，则△ABC是否必定为正三角形?20.3.15半径为R的圆内切于一个锐角三角形.已知圆上三条切线将此三角形分割出三个直角三角形及一个周长为Q的六边形，请问：这三个直角三角形的内切圆直径之和是多少？20.3.16设M、P分别在正方形ABCD的边BC、CD上，PM与以AB为半径的圆相切于点T，线段PA、MA分别交对角线BD于Q、N.证明：五边形PQNMC内接于圆.20.3.17设△ABC为锐角三角形，过A、B、C三点分别作△ABC外接圆的切线，过A点和过C点的切线分别与过B点的切线相交于M点和N点，作△ABC的高BP，P为垂足.求证：直线BP平分∠MPN.20.3.18如图所示，由OC外一点O引两条切线0A、OB(切点为A、B）.设OA、OB的中点分别为M、N，P是直线MN上任一点，由P点向O引切线PQ（Q为切点）.求证：PQ=P0.O20.3.19菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E 、F、G、H，在弧EF与弧GH上分别作O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q.求证：MQ∥NP.20.3.20在直线l上任取某个P点，要求利用圆规与直尺，作出尽可能少的线段来获得通过P 点与l垂直的直线，20.3.21平面上任意给定一个圆及一条与此圆不相交的直线，请使用没有刻度的直尺与圆规作一个正方形，使得此正方形相邻的两个顶点在此给定圆的圆周上，另两个顶点则在所给定的直线上（假设这样的正方形确定存在）.20.4 和圆有关的比例线段20.4.1如图所示，ABCD是圆内接四边形，点C是弧BD的中点，切线CE交AD的延长线于E，AC交BD于F，则与AECE相等的两线段的比共有（）C（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个★20.4.2 如图所示，已知P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，直线PN交⊙O于点M、N,则（）（A）PM+PN＜2PT（B）PM+PN＞2PT（C）PM+PN=2PT（D）PM+PN与2PT的大小不确定★★20.4.3如图所示，边长为26的正三角形ABC内接于圆，弦DE//BC，分别交AB、AC于F、G.如果AF的长x和DF的长y都是正整数，则y的值是（）（A） 6 （B）8 （C）12 （D）16★★20.4.4 如图所示，A 、B 、C 、D 四点在同一圆周上，且BC =DC =4，AE =6. 线段BE 和DE 的长都是正整数，则BD 的长等于.★★20.4.5如图所示，若ABBC DBE =∠DCE =∠A =30°，则DE =.EB DA★★20.4.6如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，P 是FE 的延长线与CB 延长线的交点，如果BD =2，DC =5，则PB =.EB FA★★20.4.7如图所示，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，PB 是过B 点的切线交AC 的延长线于P ，PD ⊥AB 于D ，C 是AB 的中点，E 是AB 的中点，求证： PB =2DE .★★20.4.8如图所示，已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于一点E，且BE=DE. 求证: AB2+BC2 +CD2+DA2=2AC2.★★20.4.9 如图所示，已知Q是圆内接四边形ABCD的对角线交点，PB、PD是圆的切线，P在直线AC上. 求证: (1)QAQC=AB ADCB CD⋅⋅；（2）QAQC=PAPC.★★20.4.10 已知D是△ABC的边AC上的一点，AD:DC=2:1，∠C=45°，∠ADB=60°. 求证: AB是△BCD的外接圆的切线.★★20.4.11 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD、BC，相交于F，延长AB、DC，相交于E，EP切⊙O于P，FQ切⊙O于Q，求证: EP2+FQ2=EF.FQ★★★20.4.12 如图所示，在Rt △ABC 中，AB 为斜边，CH 为斜边上的高，以A 为圆心，AC 为半径作圆⊙A ，过B 作⊙A 的任一割线交⊙A 于D 、E ，交CH 于F (D 在B 、F 之间); 又作∠ABG =∠ABD ，G 点在圆周上，G 与D 在AB 的两侧，求证: (1) A 、H 、D 、E 四点共圆；(2) E 、H 、G 三点共线；(3) FD 、FE 、BD 、BE 四条线段成比例.E BFCD A G H20.5圆和圆的位置关系★★20.5.1如图所示，在半径为R 的⊙O 内，作AO 的中垂线交AB 于Q ,交⊙O 于M 、N ，以Q 为圆心，MQ 为半径作⊙Q ，交AB 于P ，延长NP 交⊙O 于T ，则MT 等于（）（A R （B ）R （CR （D★ 20.5.2C 1和C 2 是平面上相切的半径均为1的两个圆. 问在这个平面上有（）个半径为3的圆与它们都相切.（A ） 2 （B ）4 （C ）5 （D ） 6★★20.5.3 把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.★★20.5.4 扇形OAB的弦AB=18，半径为6的⊙C恰与OA、OB和AB相切，⊙D又与⊙C、OA 和OB相切(见图)，则⊙D的半径为.★★20.5.5 直线上按顺序有四个点A、B、C、D，且AB:BC:CD=2:1:3，以AC、BD为直径作⊙O1、⊙O2，两圆交于E、F(见图)，则ED:EA的值是.★20.5.6平面上有一线段AB，长度为5，在此平面上与A、B两点距离分别为2和3 的直线有多少条? ★★20.5.7 如图所示，给出平面上一个锐角三角形ABC，以AB为直径的圆与AB边的高线CC'及其延长线交于M、N，以AC为直径的圆与AC边的高线BB'及其延长线交于P、Q. 求证: M、N、P、Q四点共圆.★★20.5.8 如图所示，过⊙O外一点P作⊙O的切线PN，切点为N，令PN中点为M. 过P和M 的圆与⊙O交于A、B，BA的延长线与PN交于Q. 求证: PM=3MQ.★★20.5.9 如图所示，从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线，设垂足为，作⊙O 分别切BC 、CD 、DB 于E 、F 、G . 求证: AC =AG .（ P 129-P132）**20.5.10 如图所示，两园⊙O 1、⊙O 2相交与A 、B,⊙O 1的弦BC 交于⊙O 2与E ，⊙O 2的弦BD 交⊙O 1于F求证：（1）若∠DBA=∠CBA ，则DF=CE ；（2）若DF=CE ，则∠DBA=∠CBA***20.5.11 已知点B 在线段AC 上，分别以AB,BC,AC 为直径⊙O 1,⊙O 2。

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专题20 简单的四点共圆
破解策略
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”．四点共圆常用的判定方法有：
1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．
如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的
圆上．
D
【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．
【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．
（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．
2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．
D
【答案】（1）略；（2）AD
；（3）AD＝DE·tanα．
【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．
（2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，∠AED＝∠ABD＝30°，所以AD
DE
＝tan30°，
即AD＝
3
DE．
3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．
【答案】略
4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．
如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．
D
【答案】略
诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．
例题讲解
例1 如图，在△ABC 中，过点A 作AD ⊥BC 与点D ，过点D 分别作AB ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ．求证：B ，E ，F ，C 四点共圆．
证明因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
所以∠AED ＋∠AFD ＝180°，即A ，E ， D ，F 四点共圆．
连结EF ，则∠AEF ＝∠ADF ．
因为AD ⊥BC ，DF ⊥AC ，
所以∠FCD ＝∠ADF ＝∠AEF ，
所以B ，E ，F ，C 四点共圆．
例2 在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 的中点．若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 与点N ，射线EN 与AB 相交于点P ，证明：∠APE ＝2∠MA D ．
A
B C
D E F A B C D E
F
G
证明如图，连结DE ．
因为AD ⊥BC ，CN ⊥AM ，E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝CE ＝NE ，
从而A ，N ，D ，C 在以点E 为圆心、AC 为直径的圆上，所以∠DEN ＝2∠DAN ．由题意可得D 为BC 的中点，所以ED ∥AB ，
所以∠APE ＝∠DEP ＝2∠MA D ．
进阶训练
1．已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径，P 是BC 上任意一点，过点P 分别作AB ，CD 的垂线，垂足分别为N ，M ．
（1）如图1，若直径AB 与CD 相交成120°角，当点P （不与B ，C 重合）从B 运动到C 的过程中，证明MN 的长为定值；
（2）如图2，求当直径AB 与CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值．
答案：（1）略
（2）AB ，CD 相交成90°时，MN 取最大值，最大值为2．
【提示】
（1）如图，连接OP ，取其中点O ′，显然点M ．，N 在以OP 为直径的⊙O ′上．连结NO ′并延长，交⊙O ′于点Q ，连结QM ，则∠QMN ＝90°，QN ＝OP ＝2．而∠MQN ＝180°－∠BOC ＝60°，所以可求得MN 的长为定值．图2 A B C D P M N O A
B C D O M
N
P
图1
A
B C
D E
P N M A B C D E P
N M
（2）由（1）知，四边形PMON 内接于⊙O ′，且直径OP ＝2．而MN 为⊙O ′的一条弦，故MN 为⊙O ′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN ＝90°．
2．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连结AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连结AE ．
（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AD ＝DE ；
（2）如图2，当∠ABC ＝30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？请说明理由；
（3）当∠ABC ＝α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系（用含α的三角函数表示）．
答案：（略）；（2）AD
；（3）AD ＝DE ·tan α．【提示】（1）证A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝45°，所以AD ＝DE ．
（2）同（1）可得A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝30°，所以
AE DE ＝tan30°，即AD
．图2 A B C
D E M N 图1 A
B C D
E
F
G A
B C D O M
N Q
O ′ P
图1。